Écriture de la matrice d'une forme quadratique

Exercice Q1 (à rendre fin de la séance 2)
Écrire une fonction qui vérifie qu'une fonction de plusieurs variables est une forme quadratique et renvoie alors sa matrice ou renvoie 0 sinon. Les paramètres de la fonction seront l'expression q de la forme quadratique et la liste x des variables (par exemple $q:=x1^2+2*x1*x2$; x:=[x1,x2];).
Indication: On remarquera qu'une expression est quadratique en x:=[x1,...,xn]; si elle vaut zéro en $x=0$, si sa différentielle vaut zéro en $x=0$ et si les dérivées partielles d'ordre 2 sont des constantes (i.e. les dérivées partielles d'ordre 3 sont nulles)
Rappels :

• La fonction subs(q,x[i]=0) (MuPAD) ou subs(x[i]=0,q) (maple) permet de remplacer xi par 0 dans q.
• La fonction diff(q,x[i]) permet de dériver q par rapport à xi.

Application: exercice Q2 (à rendre fin de la séance 2)
On considère dans $\mathbb{R}^4$ la forme quadratique :
$q(x)=2x_1^2+3x_2^2-x_4^2+6x_1x_2-2x_1x_3+5x_1x_4+x_2x_4+2x_3x_4$
Écrire la forme bilinéaire symétrique $f$ forme polaire de $q$ .
Écrire la matrice associée à $f$ dans la base canonique.
Tester votre fonction avec $q$, $q+1$ et $x1^3$.