Un exemple de corrections relativiste.

  Dans le cas d'un atome hydrognéoide, on peut calculer explicitement le spectre en utilisant la symétrie radiale du potentiel coulombien engendré par un noyau de charge Z:

(l'opérateur de Dirac commute avec l'opérateur J de moment cinétique total). Les calculs donnent alors un spectre discret juste en-dessous de l'énergie de masse Mc²:

où:

• est la constante de structure fine peu différente de 1/137:

  

• j et m sont associés au moment cinétique total, pour le vecteur propre associé à E on a:

  

  On a j+1/2 entier strictement positif et .

• est aussi associé au moment cinétique total, plus précisément est la valeur propre associée à .
• n est un entier positif, si n=0 est toujours négatif, si , peut prendre les deux signes ci-dessus.

En limite non relativiste ( ), on retrouve les valeurs propres d'un noyau hydrogénoide pour l'opérateur de Schrödinger:

( est le nombre quantique principal en mécanique quantique non relativiste).

La dégénérescence des niveaux est beaucoup plus grande en limite non relativiste qu'en relativiste. c'est pour cela qu' est appelée constante de structure fine. Pour donner une idée des ordres de grandeur des corrections relativistes, le niveau fondemental de l'hydrogéne vaut -13.6052 eV en relativiste et -13.6057 eV en non relativiste. Néanmoins pour des noyaux plus gros, est moins petit et les corrections sont plus importantes. Enfin, seule la théorie relativiste permet d'introduire le spin de manière naturelle, en non relativiste on est obligé de rajouter un opérateur de spin ayant deux valeurs propres et qui commute avec tout le monde pour multiplier par 2 la multiplicité de tous les niveaux.