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Quantification

  On peut reformuler les équations de la mécanique classique en utilisant les variables (x,p) au lieu des variables tex2html_wrap_inline668 . On obtient alors les équations de Hamilton:

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Une observable est une fonction tex2html_wrap_inline670 (par exemple l'altitude x3, ...). Pour connaître la valeur de l'observable à l'instant t, on remplace simplement x et p par les coordonnées de la particule à cet instant. Son évolution dans le temps est alors donnée par l'équation différentielle:

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tex2html_wrap_inline680 désigne le crochet de Poisson.

En mécanique quantique, les particules ne sont plus des points mais ont des propriétés ondulatoires (elles acquièrent une certaine ``épaisseur'', des phénomènes d'interférence appraissent), on les represente par une fonction (d'onde) normée d'un espace de Hilbert, par exemple tex2html_wrap_inline682 (dans ce cas, le module au carré de la valeur de la fonction en un point représente la densité de probabilité d'observer la particule en ce point). Les observables sont des opérateurs autoadjoints (non-bornés) de L2, la valeur de l'observable tex2html_wrap_inline686 sur une particule dans l'état tex2html_wrap_inline688 est donnée par le produit scalaire:

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L'évolution de la fonction d'onde au cours du temps est gouvernée par une observable tex2html_wrap_inline690 associee au hamiltonien:

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On en déduit l'évolution d'une observable:

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où [.,.] désigne le commutateur.

Lorsque le système est ``classique'' (c'est le cas des systèmes macroscopiques en général), la fonction d'onde est en gros une gaussienne centrée en un point, on souhaite que ce point subisse les équations de la mécanique classique! On doit donc avoir une correspondance tex2html_wrap_inline694 telle que

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ou encore:

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On a donc:

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d'où:

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Pour la mécanique classique newtonienne, on obtient par ce procédé:

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c'est l'équation de Schrödinger libre. Si on fait de même avec la relation (3), on obtient une équation du second ordre. On peut envisager 2 méthodes pour se ramener à une équation du premier ordre:

Aucune de ces deux méthodes ne respecte le principe de covariance entre le temps et l'espace. D'où l'idée de changer d'espace de fonctions d'ondes. Peut-on trouver un espace vectoriel tex2html_wrap_inline704 tel que dans tex2html_wrap_inline706 la relation (3) soit compatible avec une relation linéaire à coefficient matriciels tex2html_wrap_inline708 entre H et p? La réponse à été donnée dans l'exposé de J.Bertin, c'est possible et la dimension m=4 est la plus petite dimension possible. On peut refaire le raisonnement dans ce cas particulier: on part de

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qui doit être compatible avec

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où les tex2html_wrap_inline714 sont des matrices, et p0=H/c. C'est le cas si et seulement si:

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qij désigne le coefficient i,j de la forme quadratique q. De plus, comme H doit être une observable, il faut exiger que tex2html_wrap_inline726 et les tex2html_wrap_inline728 soient hermitiennes ou encore que les tex2html_wrap_inline714 soient antihermitiennes.

On en déduit que tous les tex2html_wrap_inline714 sont inversibles et diagonalisables de valeurs propres tex2html_wrap_inline734 pour tex2html_wrap_inline726 (et tex2html_wrap_inline738 pour les autres). Soit E+ et E- les espaces propres correspondant à tex2html_wrap_inline726 . Comme tex2html_wrap_inline726 anticommute avec les tex2html_wrap_inline714 ces dernières agissent de tex2html_wrap_inline750 et tex2html_wrap_inline752 qui ont donc même dimension. On décompose les matrices sur ces espaces:

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On obtient alors:

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On reprend le raisonnement précédent, on en déduit que dans une décomposition appropriée, on a:

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Quitte à changer de normalisation les vecteurs de base, on peut supposer que tex2html_wrap_inline754 , on a alors tex2html_wrap_inline756 . On choisit le signe + afin d'avoir une base directe:

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Les tex2html_wrap_inline760 sont appelés matrices de Pauli.

L'équation de Dirac (libre) s'écrit donc:

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Mise sous une forme ressemblant plus à l'équation de Schrödinger, cela donne en posant tex2html_wrap_inline762 :

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L'opérateur de Dirac est ainsi:

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En présence d'un champ électromagnétique (V,A):

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Bernard Parisse
Tue Mar 25 10:08:51 MET 1997