Quantification

  On peut reformuler les équations de la mécanique classique en utilisant les variables (x,p) au lieu des variables . On obtient alors les équations de Hamilton:

Une observable est une fonction (par exemple l'altitude x₃, ...). Pour connaître la valeur de l'observable à l'instant t, on remplace simplement x et p par les coordonnées de la particule à cet instant. Son évolution dans le temps est alors donnée par l'équation différentielle:

où désigne le crochet de Poisson.

En mécanique quantique, les particules ne sont plus des points mais ont des propriétés ondulatoires (elles acquièrent une certaine ``épaisseur'', des phénomènes d'interférence appraissent), on les represente par une fonction (d'onde) normée d'un espace de Hilbert, par exemple (dans ce cas, le module au carré de la valeur de la fonction en un point représente la densité de probabilité d'observer la particule en ce point). Les observables sont des opérateurs autoadjoints (non-bornés) de L², la valeur de l'observable sur une particule dans l'état est donnée par le produit scalaire:

L'évolution de la fonction d'onde au cours du temps est gouvernée par une observable associee au hamiltonien:

On en déduit l'évolution d'une observable:

où [.,.] désigne le commutateur.

Lorsque le système est ``classique'' (c'est le cas des systèmes macroscopiques en général), la fonction d'onde est en gros une gaussienne centrée en un point, on souhaite que ce point subisse les équations de la mécanique classique! On doit donc avoir une correspondance telle que

ou encore:

On a donc:

d'où:

Pour la mécanique classique newtonienne, on obtient par ce procédé:

c'est l'équation de Schrödinger libre. Si on fait de même avec la relation (3), on obtient une équation du second ordre. On peut envisager 2 méthodes pour se ramener à une équation du premier ordre:

• prendre comme espace de fonctions d'onde et utiliser la méthode habituelle de tranformation d'une équation du 2ème ordre en équation du premier ordre
• exprimer H en fonction de p et m et quantifier la racine carrée à l'aide d'opérateurs pseudodifférentiels.

Aucune de ces deux méthodes ne respecte le principe de covariance entre le temps et l'espace. D'où l'idée de changer d'espace de fonctions d'ondes. Peut-on trouver un espace vectoriel tel que dans la relation (3) soit compatible avec une relation linéaire à coefficient matriciels entre H et p? La réponse à été donnée dans l'exposé de J.Bertin, c'est possible et la dimension m=4 est la plus petite dimension possible. On peut refaire le raisonnement dans ce cas particulier: on part de

qui doit être compatible avec

où les sont des matrices, et p₀=H/c. C'est le cas si et seulement si:

où q_ij désigne le coefficient i,j de la forme quadratique q. De plus, comme H doit être une observable, il faut exiger que et les soient hermitiennes ou encore que les soient antihermitiennes.

On en déduit que tous les sont inversibles et diagonalisables de valeurs propres pour (et pour les autres). Soit E₊ et E_- les espaces propres correspondant à . Comme anticommute avec les ces dernières agissent de et qui ont donc même dimension. On décompose les matrices sur ces espaces:

On obtient alors:

On reprend le raisonnement précédent, on en déduit que dans une décomposition appropriée, on a:

Quitte à changer de normalisation les vecteurs de base, on peut supposer que , on a alors . On choisit le signe + afin d'avoir une base directe:

Les sont appelés matrices de Pauli.

L'équation de Dirac (libre) s'écrit donc:

Mise sous une forme ressemblant plus à l'équation de Schrödinger, cela donne en posant :

L'opérateur de Dirac est ainsi:

En présence d'un champ électromagnétique (V,A):