La matrice de la transformation restreinte à (x,t) s'écrit:
Revenons à la base canonique, on a:
D'où:
On remarque que l'origine du repère en translation se déplace à la vitesse v dans le repère de départ et 0 dans son propre repère donc:
d'où:
Comme:
on en déduit que la vitesse du premier repère dans le repère en translation est -v. Ce qui signifie que l'inverse de M est la matrice correspondant à la vitesse de translation -v. Donc
.
On peut maintenant déterminer à l'aide de (2)
et:
Il faut choisir le signe + sous peine de changer l'orientation en temps.
Pour les directions y et z, que la vitesse soit v ou -v ne change rien donc la valeur propre correspondante est égale à son inverse, comme elle vaut 1 pour v=0, les valeurs propres selon y et z valent 1 par continuité. On obtient ainsi:
Enfin, on vérifie que la vitesse de la lumière est conservée dans toutes les directions. On montre en fait que la forme quadratique q(dx1,dx2,dx3,c dt)=c2 dt2-dx12-dx22-dx32 est conservée par M:
Comme les trajectoires de vitesse c ont un vecteur directeur dans le noyau de q elles conservent leur vitesse après tranformation.