v vitesse de la particule, p la quantité de mouvement,
F la force (par exemple
dans un champ électrique pour une particule de charge
e).
On peut réécrire cette équation sous forme variationnelle, ce qui
permet de l'appliquer dans un système de coordonnées non cartésien.
On pose dans un repère galiléen:
Alors une trajectoire physique est un point critique de l'action:
parmi les trajectoires ayant les mêmes extrémités. Ce qui se traduit par les équations d'Euler-Lagrange:
La covariance des équations de la mécanique newtonienne par changement de référentiel galiléen est la conséquence de:
ce qui change l'action d'une constante indépendante du chemin (puisque le temps est absolu et que les extrémités sont fixées).
l'énergie H est conservée lorsque L ne dépend pas explicitement du temps:
La relation fondementale énergie-impulsion est ici:
