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Elimination des valeurs propres trouvées

Si la matrice A est symétrique, et si en est un vecteur propre normé écrit en colonne, on peut considérer la matrice B = A - xnenent qui possède les mêmes valeurs propres et mêmes vecteurs propres que A avec même multiplicité, sauf xn qui est remplacé par 0. En effet les espaces propres de A sont orthogonaux entre eux, donc

Ben = xnen - xnenenten = 0, Bek = xkek - xnenentek = xkek

On peut donc calculer la 2ème valeur propre (en valeur absolue), l'éliminer et ainsi de suite.

Si la matrice A n'est pas symétrique, on peut utiliser une technique analogue lorsque 0 n'est pas valeur propre de A (on peut s'y ramener en ajoutant à A un multiple de l'identité). En effet on peut construire un vecteur propre de B pour une valeur propre xk $ \neq$ 0 à partir d'un vecteur propre de B, en cherchant y tel que tel que

B(ek - yen) = xk(ek - yen)

On obtient pour le membre de gauche :

Bek - yBen = Bek = (A - xnenent)ek = xkek - xnen.eken

et pour le membre de droite

xkek - yxken

d'où l'équation

yxk = xnen.ek

Néanmoins cette méthode n'est pas stable, en particulier si la valeur propre ek est proche de 0, car les vecteurs propres se rapprochent alors tous de en.


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