Réduction sous forme échelonnée (rref)

On réduit la matrice puis on divise chaque ligne par son premier coefficient non nul. Si la matrice représentait un système linéaire inversible on obtient la matrice identité sur les colonnes sauf la dernière et la solution en lisant la dernière colonne. La relation conservée est en effet Ax = b où x est la solution de l'équation, et à la fin de la réduction A = I.

Par exemple pour résoudre le système

$$\left\{\vphantom{ \begin{matrix}{ccc} x + 2y + 3z &=& 5 \\ 4x + 5y + 6z &=& 0 \\ 7x + 8y &=& 1 \end{matrix}}\right.$$$$\begin{matrix}{ccc} x + 2y + 3z &=& 5 \\ 4x + 5y + 6z &=& 0 \\ 7x + 8y &=& 1 \end{matrix}$$

on réduit sous forme échelonnée la matrice [[1,2,3,5],[4,5,6,0],[7,8,0,1]], ce qui donne [[1,0,0,-9],[0,1,0,8],[0,0,1,-2/3]], d'où la solution x = - 9, y = 8, z = - 2/3.