% Merci a Yannick Chevallier pour la version mathjax-enabled
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\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{defn}[thm]{D\'efinition}
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% \renewcommand{\cuttingunit}{subsection} (add HEVEA after % for hacha)
\input{giacfr.tex}
\ifhevea
\(
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%HEVEA\htmlfoot{Retour \`a la page principale de \ahref{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\home{parisse}/giac_fr.html}{Giac/Xcas}.}
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\begin{document}
\title{Courbes param\'etriques
et \'equations diff\'erentielles pour la physique (Mat307-ex237)}
\author{Bernard.Parisse@univ-grenoble-alpes.fr}
\date{2017, 2022}

\begin{giacjshere}

\maketitle

\begin{center}
\includegraphics{mat307_qrcode.png}
\end{center}

{\bf Remarque}~: la version HTML de ce cours est interactive,
elle contient de nombreuses
commandes Xcas que le lecteur peut ex\'ecuter avec ou sans modifications
depuis un navigateur compatible
(l'interactivit\'e est optimis\'ee pour Firefox). Deux versions
sont propos\'ees, une utilisant \verb|www.mathjax.org| pour
un rendu plus fid\`ele des formules, mais qui n\'ecessite un
temps de chargement plus long, l'autre sans. Ces fichiers HTML
ont \'et\'e g\'en\'er\'es avec \verb|hevea.inria.fr| de Luc Maranget,
et le fork de Yannick Chevallier pour le support mathjax.

\tableofcontents

\printindex


\chapter{Pr\'esentation du module}
Ce cours commence par l'\'etude des particularit\'es des courbes
param\'etr\'ees, en distinguant propri\'et\'es cin\'ematiques
(d\'ependant du param\'etrage comme la vitesse, l'acc\'el\'eration)
et propri\'et\'es g\'eom\'etriques d'une courbe (c'est-\`a-dire
intrins\`eques, ind\'ependamment du param\'etrage, par
exemple la longueur, la courbure).
La g\'eom\'etrie d'une courbe 
peut sembler un objet d'\'etude int\'eressant uniquement 
le math\'ematicien. Mais ce n'est pas le cas~: les lois
de K\'epler par exemple traduisent sous forme
de contrainte g\'eom\'etrique les lois de la m\'ecanique
c\'eleste, et la relativit\'e, c'est 
s'extraire d'un syst\`eme de coordonn\'ees ou
d'un param\'etrage pour trouver
des \'equations covariantes par changement de syst\`eme et
des propri\'et\'es invariantes.

On abordera aussi un peu calcul diff\'erentiel et
int\'egral dans le plan, en particulier l'int\'egrale
curviligne, notion utile pour calculer des quantit\'es
comme le travail d'une force, mais aussi comme outil
de calcul pratique pour trouver une aire, un centre d'inertie...

Dans la deuxi\`eme moiti\'e du cours, on s'int\'eresse
aux \'equations diff\'erentielles. Ce th\`eme est tr\`es li\'e au
pr\'ec\'edent puisque les solutions d'une \'equation diff\'erentielle
d\'ecrivent une courbe, et certaines propri\'et\'es de ces
\'equations (constantes du mouvement par exemple)
imposent des contraintes g\'eom\'etriques aux solutions.
On rappellera quelques m\'ethodes de r\'esolution explicite
d'\'equations et on parlera un peu des propri\'et\'es
qualitatives ou asymptotiques de solutions, particuli\`erement
importantes lorsqu'on ne sait pas r\'esoudre explicitement
une \'equation diff\'erentielles.

On terminera par une petite introduction au 
calcul variationnel, une th\'eorie
tr\`es utile pour mettre en \'equation de 
ph\'enom\`enes physiques de mani\`ere covariante
(les \'equations d'Euler-Lagrange). Un prolongement
de ce chapitre (non \'etudi\'e ici) est le th\'eor\`eme 
de Noether qui permet 
de d\'eduire des constantes du mouvement en fonction
de sym\'etries du probl\`eme (par exemple quantit\'e
de mouvement et invariance par translation d'espace, \'energie
pour le temps, moment cin\'etique pour les rotations).

%\verb|^|\\
Le programme en mots-clefs~:
\begin{itemize}
\item \'Etude des courbes param\'etr\'ees~:\\
% (4.5 s\'eances): 
param\'etrisation, cas des coniques, sym\'etries,
p\'eriodicit\'e, branches infinies, \'etude locale (tangente, point
singulier, convexit\'e), propri\'et\'es
m\'etriques (longueur d'arc, courbure, acc\'el\'eration normale et
tangentielle). 
Courbes en polaires, cas des coniques.\\
Lien avec la physique~: la cin\'ematique.
\item Int\'egration le long d'un chemin d'une forme diff\'erentielle\\
% (1.5 s\'eance). 
Lien avec
la physique~: travail d'une force, force d\'erivant d'un potentiel,
forme diff\'erentielle ferm\'ee et thermodynamique.
\item \'Equations et syst\`emes diff\'erentiels~: \\
% (5 s\'eances)
champ des tangentes (principe de r\'esolution approch\'ee), 
existence et unicit\'e d'une courbe int\'egrale 
passant par une condition initiale donn\'ee,
m\'ethodes de r\'esolution analytiques dans le cas \`a variables
s\'eparables et dans le cas lin\'eaire
(cas des coefficients constants, cas non constant, cas des
syst\`emes, comportement
asymptotique~: r\'egime permanent
et transitoire), 
int\'egrales premi\`eres (constantes du mouvement),
\'equations autonomes (points d'\'equilibre,
lin\'earisation au voisinage). \\
Lien avec la physique~: circuits RLC, radioactivit\'e, cin\'ematique, ...
\item introduction au calcul des variations~:
% (2 s\'eances) 
\'equations d'Euler-Lagrange.
Lien avec la physique~: principe de moindre action,
formulation lagrangienne des \'equations de la
m\'ecanique.
\end{itemize}

Le but du module {\bf n'est pas}
de vous apprendre \`a d\'eriver ou int\'egrer m\'ecaniquement
de grosses expressions
mais de comprendre et mettre en oeuvre les notions au programme.
Les calculs fastidieux ou techniques se feront directement sur ordinateur
(en TP) ou sur calculatrices (en TD) avec un logiciel de calcul formel.
Les calculs simples seront faits si possible en calcul mental
(qui est un analogue de l'exercice physique pour le cerveau) 
sinon papier-crayon, \`a d\'efaut sur calculatrice. On 
prendra l'habitude de {\bf v\'erifier} syst\'ematiquement les
calculs par divers moyens (calcul v\'erifi\'e \`a la
machine, coh\'erence avec la repr\'esentation graphique, 
coh\'erence du tableau de variations, signe et ordre de grandeur
d'une aire, position d'un centre d'inertie, etc.).
Les calculatrices pourront \^etre autoris\'ees au DS 
en fonction de la technicit\'e des calculs du sujet
et seront autoris\'ees \`a l'examen final. 
Les \'etudiants n'ayant pas 
de calculatrices formelles peuvent en emprunter une pour le semestre.

L'\'evaluation se fait sur~:
\begin{itemize}
\item 1/2~: DS semaine des partiels, TP et autre \'evaluation en TD
% 2 interros et un TP = 3 evaluations notees sur 10, on donne un coeff
% double a la meilleure et on divise par 4
% en cas d'absence justifiee a une evaluation, on fait la
% moyenne des 2 autres.
\item 1/2~: l'examen final (avec r\`egle de max)
\end{itemize}

\chapter{Pr\'erequis}
Cette section liste quelques comp\'etences dont l'exp\'rience montre
qu'elles ne sont pas suffisamment maitris\'es par les \'etudiants, \`a
revoir avant le d\'ebut des TD, cf. l'exercice 0 de la feuille d'exercices
et le lien suivant\\
\verb|maths.ac-orleans-tours.fr/ressources_lycee/activites_mentales/articles/fiches_de_calcul_mental_au_lycee/|

\section{G\'eom\'etrie analytique}
Droites du plan~: savoir passer de l'\'equation cart\'esienne
\`a des \'equations
param\'etriques et r\'eciproquement, 
et de m\^eme vers/de droite donn\'ee par deux points, par un point
et un vecteur directeur. Repr\'esentation graphique. Coefficient directeur,
ordonn\'ee \`a l'origine. Coefficient directeur de la tangente en un
graphe de fonction r\'eguli\`ere $y=f(x)$.\\
\giacinput[style="width:400px;height:40px;font-size:large"]{A:=point(1,2); B:=point(-1,3); D:=line(A,B)}
\giacinputbigmath{equation(D); parameq(D); slope(D)}
\giacinput{D:=line(A,slope=2)}
\giacinput{v:=[1,-2]; line(A,v);}
\giacinput[style="width:400px;height:40px;font-size:large"]{G:=plot(x^2); M:=point(1,1); T:=tangent(G,M);}

Distance entre 2 points $A$ et $B$ (Pythagore),
distance d'un point \`a une droite d'\'equation $ax+by+c$~:
$$ \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},\quad \frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
\giacinputmath{distance(A,B); distance(A,D);}

Cercles~: lien entre \'equation cart\'esienne et centre-rayon et
\'equation param\'etrique trigonom\'etrique.
$$ (x-x_A)^2+(y-y_B)^2=r^2, \quad x=x_A+r\cos(t), y=y_A+r\sin(t)$$
\giacinput{C:=circle(A,B-A);}
\giacinput{C:=circle(x^2+y^2-2y=4);}
\giacinput{equation(C);}

Exemple d'exercice~: calculer la tangente en un point du cercle ou 
d'un graphe,  l'intersection de la tangente avec l'axe des $x$, etc.
\giacinput[style="width:500px;height:40px;font-size:large"]{M:=element(C):;T:=tangente(M):;equation(T); coordinates(inter(T,line(y=0)));}

\section{Trigonom\'etrie}
Valeurs remarquables de $\sin,\cos,\tan$ (en $0,\pi/6,\pi/4,\pi/3,\pi/2,...$).

Passer de $\sin^2$ \`a $\cos^2$ et r\'eciproquement.

Formules de duplication
$$ \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x), \quad cos(2x)=2\cos(x)^2-1=1-2\sin(x)^2$$

D\'eveloppement et lin\'earisation en utilisant les nombres complexes
(ci-dessous $\Re$ d\'esigne la partie r\'eelle)
$$ \cos(3x)=\Re(e^{3ix})=\Re((\cos(x)+i\sin(x))^3)=...$$
\giacinputbigmath{texpand(cos(3x))}
$$ \cos(x)^3=\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^3=...$$
\giacinputbigmath{tlin(cos(x)^3)}

\section{Complexes}
Partie r\'eelle, imaginaire et module, argument.
$$ x+iy=\rho e^{i\theta}, \quad \rho=\sqrt{x^2+y^2}, x=\rho \cos(\theta),
y =\rho \sin(\theta)$$

Conjugu\'e $x-iy=\rho e^{-i\theta}$.

\subsection{Complexe et g\'eom\'etrie analytique}
Affixe d'un point du plan, d'un vecteur.

Rotation de centre l'origine et d'angle $\alpha$ revient \`a ajouter 
$\alpha$ \`a l'argument.
Translation revient \`a ajouter l'affixe du vecteur.
Conjugu\'e correspond \`a une sym\'etrie par rapport \`a l'axe $Ox$.

\chapter{Courbes param\'etriques et polaires}

\section{Introduction}
Le graphe d'une fonction $f: I \mapsto \mathbb{R}$ ($I$ un intervalle)
est un exemple de courbe du plan, mais il
n'est pas assez g\'en\'eral pour repr\'esenter tous les types de
courbe du plan, par exemple un segment de droite vertical, ou
un cercle, car deux points distincts d'un graphe doivent avoir
des abscisses diff\'erentes. D'autre part, il apparait naturellement
d'autres types de courbes que les graphes de fonction, par exemple
la trajectoire d'un mobile dans le plan dont les coordonn\'ees $x,y$
d\'ependent du temps (selon une \'equation diff\'erentielle ou
un syst\`eme diff\'erentiel), ce sont les courbes param\'etriques,
ou des courbes v\'erifiant une
\'equation cart\'esienne \'egalement appel\'ees courbes implicites,
par exemple en g\'eom\'etrie
le cercle $x^2+y^2=1$, ou en cin\'ematique des courbes
de niveau de l'\'energie totale dans le plan position-impulsion.

Dans cette section, on va \'etudier les courbes en param\'etriques,
donn\'ee par un couple de fonctions $(x(t),y(t))$ d\'efinies 
pour $t$ dans un intervalle ou une r\'eunion d'intervalles
et \`a valeurs dans $\mathbb{R}$.
(Ceci ne restreint pas trop la g\'en\'eralit\'e,
on peut montrer sous des hypoth\`eses assez g\'en\'erales 
que l'allure locale d'une courbe implicite est identique \`a celle
d'une courbe param\'etrique, sauf en certains points dits singuliers,
c'est le th\'eor\`eme des fonctions implicites).

Exemples~:
\begin{itemize}
\item le graphe d'une fonction $y=f(x)$ est une courbe param\'etr\'e
d'\'equation $(x(t),y(t))=(t,f(t))$ ($x$ est le temps). 
On aurait aussi pu choisir
$(x(t),y(t))=(t-1,f(t-1))$ (ce qui revient \`a changer l'origine des
temps) ou d'autres param\'etrages.
Exemple~: \\
\giacinput{plotfunc(sin(x))}
\giacinput{plotparam([t-1,sin(t-1)],t)}
\item une droite d'\'equation $y=ax+b$ est le graphe d'une fonction,
donc param\'etrable comme ci-dessus. Une droite verticale $x=a$ peut
se param\'etrer par $(x(t),y(t))=(a,t)$
\item le cercle de centre l'origine et de rayon 1 peut se param\'etrer
  par $(x(t),y(t))=(\cos(t),sin(t)), t \in [0,2\pi[$. On peut bien sur
le param\'etrer par $t \in \mathbb{R}$, mais dans ce cas on parcourt plusieurs
fois le cercle (p\'eriodicit\'e). On peut aussi param\'etrer tout le
cercle sauf un point avec le param\'etrage rationnel
$(x(t),y(t))=(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}), t \in \mathbb{R}$. Ce
param\'etrage permet de calculer plus facilement des points
du cercle, mais contrairement au param\'etrage trigonom\'etrique,
il n'est pas ``uniforme''.\\
Exemple 
\giacinput{plotparam([cos(t),sin(t)],t=0..2*pi,affichage=arrow_line)}

\giacinput[style="width:400px;height:40px;font-size:large"]{plotparam([(1-t^2)/(1+t^2),2t/(1+t^2)],t=-10..10)}
ou avec les nombres complexes\\
\giacinput{plotparam((1+i*t)/(1-i*t),t=-10..10,affichage=arrow_line)}
\end{itemize}

\section{Repr\'esentation graphique} 
La plupart des calculatrices graphiques
et de nombreux logiciels de maths permettent de
repr\'esenter graphiquement un arc de courbe en donnant des valeurs
extr\^emes $t_-$ et $t_+$ (souvent not\'ees \verb|tmin| et
\verb|tmax|) et un pas $\Delta t$ (\verb|tstep|). Le logiciel \'evalue
la valeur de $x(t)$ et $y(t)$ en $t_-$, $t_-+\Delta t$, $t_-+2\Delta
t$, ... puis relie les points de la courbe obtenue par des segments
(parfois avec des autres arcs de courbes). La plupart du temps
cela donne une bonne id\'ee de la courbe, mais parfois on peut
manquer un d\'etail int\'eressant (valeur de $\Delta t$ trop
grande), ou un morceau de courbe (mauvaises
valeurs de $t_-$ et $t_+$). Par exemple 
\giacinput[style="width:400px;height:40px;font-size:large"]{plotfunc(x+0.01/(x-sqrt(2)),x=-2..2,xstep=0.1)}

Il peut \^etre n\'ecessaire d'ajuster le cadrage graphique
\`a l'affichage (\verb|xmin|, \verb|xmax|, \verb|ymin|, \verb|ymax|) ou
de l'affiner avec un menu de \verb|zoom|. Attention, sur 
certaines calculatrices,
les op\'erations de changement de cadrage graphique
provoquent un nouveau calcul complet qui peut durer une
dizaine de secondes.

Mise en oeuvre~:
\begin{itemize}
\item avec Xcas: on utilise la commande \verb|plotparam|
dans le menu \verb|Graphe, Courbes|. Le cadrage
graphique est calcul\'e automatiquement et peut \^etre
modifi\'e par les touches menus \`a droite du graphe.
On peut sp\'ecifier le pas avec l'argument optionnel \verb|tstep=|.
\item HP Prime~: touche Apps puis Param\'etrique, entrer les
formules donnant $X1$ et $Y1$ en fonction de $T$, puis touche
Plot. Pour r\'egler la discr\'etisation, faire shift-Plot (Plot
setup).\\
Ou touche Apps puis G\'eom\'etrie et utiliser les m\^emes commandes 
qu'avec Xcas.
\item $\chi$CAS sur Casio Graph 90+e/35eii: commande \verb|plotparam|
du catalogue (F4, puis touche log 2 fois).
\item sur les calculatrices TI89/92/voyage 200~: il faut s\'electionner le mode
de trac\'e param\'etrique avec la touche MODE,
puis sur \verb|Y=|, l'\'ecran de d\'efinition
de $x(t),y(t)$ apparait. Si les r\'eglages graphiques
ne sont pas satisfaisants, la touche \verb|WINDOW|
permet d'y acc\'eder, puis la touche \verb|GRAPH| lance
le trac\'e.
\item TI Nspire : lancer Graphes depuis Home puis touche Menu,
3. Graph puis 3. Parametric. On peut aussi r\'egler le zoom depuis Menu.
\end{itemize}

Exemples~: essayez de tracer quelques courbes en param\'etriques
$$ (2\cos(t),3\sin(t)), \quad (\cos(2t),\sin(3t)), \quad (t^2,t^3),
\quad (t+1/t, t^2+2/t), \quad (\sqrt{t-1},\sqrt{2-t}) $$

\section{Param\'etrage} \index{param\'etrage}
On adoptera souvent la convention d'appeler temps le param\'etre $t$.
Mais cela ne signifie pas que le param\'etrage est r\'eellement le
temps mesur\'e en secondes. On peut tr\`es bien param\'etrer une
courbe avec un param\`etre autre, qui peut \^etre un multiple 
constant ou variable du temps (c'est d'ailleurs conforme au
principe de la relativit\'e). Le param\'etrage n'est jamais unique,
on peut changer de param\'etrage pourvu que la fonction donnant
le nouveau en fonction de l'ancien param\'etrage soit une bijection
(qui peut m\^eme renverser le sens de d\'eroulement du temps
c'est-\`a-dire le sens de parcours de la courbe). On utilisera
d'ailleurs plus loin un param\'etrage par la longueur,
o\`u la courbe est parcourue \`a vitesse constante \'egale \`a 1.

Le choix d'un param\'etrage est ce qui fait la diff\'erence
entre la cin\'ematique (on prend le temps comme param\`etre) et la 
g\'eom\'etrie
(o\`u on cherche \`a d\'ecrire les propri\'et\'es intrins\'eques
de la courbe ind\'ependamment
du param\'etrage). Ainsi, l'\'equation cart\'esienne d'une courbe
est une propri\'et\'e g\'eom\'etrique, ind\'ependante du choix
de param\'etrage choisi pour l'obtenir. 

On observe aussi que l'op\'eration
inverse, trouver un param\'etrage \`a partir d'une \'equation
cart\'esienne de courbe n'est pas possible de mani\`ere
explicite, sauf dans quelques cas particuliers. C'est pour cette
raison qu'il est beaucoup plus difficile (et couteux en temps)
d'obtenir une repr\'esentation graphique d'une courbe donn\'ee
par son \'equation cart\'esienne.

\section{\'Etude analytique d'une courbe en param\'etrique}
\index{param\'etrique, courbe}

\subsection{Rappel sur les graphes de fonction}
Pour tracer le graphe d'une fonction $f$, on commence par
d\'eterminer le domaine de
d\'efinition, on restreint \'eventuellement l'intervalle d'\'etude
(parit\'e, p\'eriodicit\'e). Puis on calcule les limites aux bornes
du domaine de d\'efinition~:
\begin{itemize}
\item une limite infinie en $x=a$ fini correspond \`a une asymptote
verticale d'\'equation $x=a$.\\
Exemple \giacinput [style="width:400px;height:40px;font-size:large"]{purge(x);plot((x+1)/(x-2),x=0..4); line(x=2,color=red)}
\item une limite finie $l$ lorsque $x\rightarrow \pm \infty$ correspond
\`a une asymptote horizontale d'\'equation $y=l$.\\
Exemple \giacinput [style="width:400px;height:40px;font-size:large"]{purge(y);plot((x^2-1)/(x^2+1),x=0..10); line(y=1,color=red)}
\item si $y$ tend vers $\pm \infty$ lorsque $x\rightarrow \pm \infty$,
on a une branche infinie. S'il s'agit d'une asymptote $y=ax+b+o(1)$, alors
$y/x=a+b/x+o(1/x)$ tend vers $a$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ce qui
permet de trouver $a$ en calculant $\lim_{x\rightarrow +\infty} y/x$,
puis $b=\lim_{x\rightarrow +\infty}y-ax$. Si $b$ est fini, on a une
asymptote, sinon une branche parabolique de direction $y=ax$. 
On remarque que si $a=0$,
comme $y$ tend vers l'infini, on ne peut pas avoir d'asymptote, on
parle de branche parabolique de direction $Ox$. Si $y/x$ tend vers
l'infini, on a une branche parabolique de direction $Oy$.\\
Exemple \giacinput [style="width:400px;height:40px;font-size:large"]{plot(x^2/(x+1),x=0..10);line(y=x-1,color=red)}
\item Lorsqu'il y a une asymptote d'\'equation $y=ax+b$, 
on peut raffiner en cherchant la
position de la courbe par rapport \`a l'asymptote en \'etudiant le
signe de $y-(ax+b)$
\end{itemize}
On calcule la d\'eriv\'ee premi\`ere de $f$ pour d\'eterminer le sens
de variations, les points d'annulation correspondent \`a des tangentes
horizontales. On peut \'etudier la convexit\'e de $f$ (signe de
$f'{'}$), les points d'inflexion de la courbe se produisent lorsque
$f'{'}$ s'annule.
On trace alors la courbe en faisant apparaitre les points particuliers
et les asymptotes.

Pour une courbe en param\'etrique, le plan g\'en\'eral est analogue,
mais l'\'etude est un peu plus compliqu\'ee puisqu'on a 
deux fonctions $t \rightarrow x(t)$ et $t \rightarrow y(t)$
au lieu d'une seule $x \rightarrow y(x)$.

\subsection{Domaine et p\'eriodicit\'e}
On supposera dans toute la suite que les fonctions $x(t)$ et $y(t)$
sont continument d\'erivables au moins 2 fois, sauf peut-\^etre
en un nombre fini de r\'eels d'un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

On commence par d\'eterminer le domaine de d\'efinition de $x(t)$
et de $y(t)$, et on essaie de le r\'eduire si possible, soit par
p\'eriodicit\'e (par exemple pour le cercle ci-dessus, $t \in [0,2 \pi]$)
soit par l'existence de sym\'etries si les fonctions
$x(t)$ et $y(t)$ sont paires ou impaires. \\
Si $x$ et $y$
sont paires, alors on parcourt deux fois le m\^eme arc de courbe
sur $\mathbb{R}^+$ et $\mathbb{R}^-$, on peut restreindre le domaine d'\'etude
\`a $t\geq 0$. \\
Si $x$ est pair et $y$ impair, alors 
$(x(-t),y(-t))=(x(t),-y(t))$, il y a une sym\'etrie par rapport \`a
l'axe des $x$, on se restreint \`a $t \in R^+$.
Par exemple, pour $(3\cos(t)+2\cos(3t),3\sin(t)-2\sin(3t))$ 
\giacinputbig{plotparam([3cos(t)+2cos(3t),3sin(t)-2sin(3t)],t=0..pi/2,affichage=arrow_line); 
plotparam([3cos(t)+2cos(3t),3sin(t)-2sin(3t)],t=-pi/2..0,,affichage=arrow_line+red)}
Dans le cas p\'eriodique, on peut tester des sym\'etries correspondant
\`a des demi (voire quart) de p\'eriode.

\subsection{Branches infinies}\index{branche, infinie}
On s'int\'eresse ensuite aux bornes du domaine de d\'efinition
et aux points o\`u $x$ ou/et $y$ ne sont pas d\'efinis.
Si $x$ et $y$ admettent une limite finie, on peut prolonger la
courbe. Si les limites existent mais ne sont pas finies, 
on a une branche infinie ($x$ ou $y$). Si l'une des deux
valeurs tend vers l'infini, l'autre restant finie, on a une
asymptote (horizontale si $x$ tend vers l'infini, verticale
si $y$ tend vers l'infini), on peut d\'eterminer la position
de l'arc de courbe par rapport \`a l'asymptote en
cherchant le signe de $y-l$ ou $x-l$ lorsque $t$ tend
vers la valeur particuli\`ere (limite \`a droite et limite
\`a gauche). Enfin si $x$ et $y$ tendent vers l'infini
tous les deux, on cherche la limite de $y/x$,
Si $\frac{y}{x} \rightarrow a \neq 0$, on a une 
{\bf branche parabolique}\index{branche, parabolique} 
de direction asymptotique\index{asymptotique, direction} $y=ax$,
on cherche alors la limite
$y-ax$, si cette limite est finie et vaut $b$ 
on a une {\bf asymptote}\index{asymptote} oblique $y=ax+b$ (on peut d\'eterminer
la position en cherchant le signe de $y-(ax+b)$.

Exemples~: 
$$ (\frac{t^2}{t+1},t+\frac1{t^2+1}), \ 
(t^2,t^3), \ 
(\frac{t^3}{t^2+1},t+\frac{1}{t^2+2}), \ 
(\frac{1}{t^2-1},\frac{t}{t+1}), $$
On peut utiliser la commande \verb|limit| dans Xcas pour \'etudier
une asymptote, par exemple dans le premier cas, pour \'etudier la
branche infinie pour $t \rightarrow +\infty$\footnote{on notant $X(t)$ et
$Y(t)$ les deux fonctions pour pouvoir utiliser $x$ et $y$ dans {\tt
  droite}}\\
On d\'efinit les fonctions
\giacinputmath{X(t):=t^2/(t+1);Y(t):=t+1/(t^2+1);}
puis on calcule les limites lorsque $t \rightarrow +\infty$
\giacinputmath[style="width:400px;height:40px;font-size:large"]{a:=limit(Y(t)/X(t),t=inf);
b:=limit(Y(t)-a*X(t),t=inf)}\\
Si $a$ est fini non nul et $b$ fini, on en d\'eduit que $y=ax+b$ est asymptote \`a la courbe. Il y a une
autre asymptote pour $t=-1$ ($Y$ fini, $X$ tend vers l'infini)\\
\giacinputbig{gl_x=-7..7;gl_y=-7..7;
purge(x,y);plotparam([X(t),Y(t)],t=-7..7,affichage=arrow_line);
line(y=a*x+b,color=red);line(y=Y(-1),color=green)}
Autre exemple~:
\giacinput{X(t):=t^3/(t^2+1);Y(t):=t+1/(t^2+2);}

\subsection{\'Etude locale}
On se place en une valeur de $t_0$ o\`u $x$ et $y$ sont continument
d\'erivables au moins deux fois. On notera la dérivation par rapport 
au paramètre par le signe ' (en physique on utilise aussi le point).
On a alors un d\'eveloppement de Taylor \`a l'ordre 2
du vecteur
\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{M(t_0)M(t_0+h)}&=&(x(t_0+h)-x(t_0),y(t_0+h)-y(t_0)) 
\\ &=& h
(x'(t_0),y'(t_0))+\frac{h^2}{2}(x'{'}(t_x),y'{'}(t_y))
\end{eqnarray*}
o\`u $t_x$ et $t_y$ sont compris entre $t_0$ et $t_0+h$.
Si le vecteur vitesse $v=(x'(t_0),y'(t_0))$ est non nul, on en d\'eduit
un \'equivalent
$$\overrightarrow{M(t_0)M(t_0+h)} \approx h (x'(t_0),y'(t_0))$$
Lorsque $h$ est proche de 0, le vecteur $\overrightarrow{M(t_0)M(t_0+h)}$
est \'equivalent \`a un vecteur colin\'eaire \`a
$\overrightarrow{v}=(x'(t_0),y'(t_0))$
(suppos\'e non nul),
qui est donc vecteur tangent \`a la courbe en $(x(t_0),y(t_0))$.

\begin{defn}
On appelle {\bf point r\'egulier}\index{r\'egulier, point} d'une courbe param\'etrique
un point o\`u la vitesse $\overrightarrow{v}(t)=(x'(t),y'(t))$ est non nulle.
En un point r\'egulier, la courbe est tangente au vecteur vitesse
(la direction du vecteur vitesse est donc une propri\'et\'e
g\'eom\'etrique, alors que le vecteur vitesse est une propri\'et\'e
cin\'ematique).
On notera en particulier que la tangente est horizontale si $y'=0$
et verticale si $x'=0$.

On appelle {\bf point singulier}\index{singulier, point} 
un point o\`u la vitesse s'annulle.
\end{defn}
On verra dans la suite comment \'etudier la tangente en un point
singulier d'une courbe. G\'en\'eriquement, une courbe n'a pas
de points singuliers, car il faut annuler simultan\'ement les
deux d\'eriv\'ees, or on n'a qu'un seul param\`etre libre $t$. Par contre
une famille de courbes $(x_m(t),y_m(t))$ d\'ependant d'un param\`etre
$m$ (par exemple $x_m(t)=t^2-mt, y_m(t)=m/(1+t^2)+t$)
poss\`ede en g\'en\'eral un nombre discret de valeurs du
param\`etre pour lesquelles la courbe admet un point singulier.
Dans l'exemple, $x_m'=2t-m, y_m'=-2mt/(1+t^2)^2+1$, les deux 
d\'eriv\'ees s'annulent si $m=-2$ 
(en $t=-1$, $x=-1, y=-2$) ou $m=2$ (en $t=1$).
Commandes Xcas~:\\
\verb|x:=t^2-m*t; y:=m/(1+t^2)+t;|\\
\verb|solve([diff(x,t),diff(y,t)],[m,t]);|\\
\verb|supposons(m=[-2.0,-5,5,0.1]);| \\
\verb|plotparam([x,y],t=((-3) .. 3),affichage=arrow_line);|\\
\giacinputbigmath{x:=t^2-m*t; y:=m/(1+t^2)+t;solve([diff(x,t),diff(y,t)],[m,t]);}
\giacslider{m}{-5}{5}{0.1}{-2}{
gl_x=-3..3;gl_y=-4..4;
x:=t^2-m*t;y:=m/(1+t^2)+t;
plotparam([x,y],t=-3..3,affichage=arrow_line)}
%\begin{rawhtml}
%<a href="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/xcasfr.html#+//Point singulier d'une courbe dependant d'un parametre, ici m pour m=2 et m=-2&+m:='m';x:=t^2-m*t;y:=m/(1+t^2)+t&+solve([diff(x,t),diff(y,t)],[m,t]);&*m,-2,-5,5,0.1&+gl_x=-3..3;gl_y=-4..4;plotparam([x,y],t=-3..3)" target="_blank">tester en ligne</a>
%\end{rawhtml}

{\bf Remarque~}: en cin\'ematique, si la vitesse et l'acc\'el\'eration
sont nulles en un point
et que les \'equations ne d\'ependent pas explicitement du temps,
on reste ind\'efiniment en ce point qui est un point d'\'equilibre,
la notion de tangente \`a la courbe n'a alors pas de sens.
On peut aussi suivre une trajectoire qui se rapproche 
de plus en plus d'un point d'\'equilibre (la limite de $(x(t),y(t))$
est alors ce point, pour $t \rightarrow +\infty$ si l'\'equilibre
est stable ou $t \rightarrow - \infty$ si l'\'equilibre est instable).

Pour faire une \'etude locale plus pr\'ecise dans le cas d'un point
r\'egulier, ou pour d\'eterminer la tangente en un point singulier,
il faut poursuivre le d\'eveloppement de Taylor \`a un ordre plus
grand. \`A l'ordre 2, si $x$ et $y$ sont 3 fois continument
d\'erivables, il existe $t_x,t_y\in [t_0,t_0+h]$ tels que~:
$$\overrightarrow{M(t_0)M(t_0+h)}= 
h (x'(t_0),y'(t_0))+\frac{h^2}{2}(x'{'}(t_0),y'{'}(t_0))
+\frac{h^3}{6}(x'{'}'(t_x),y'{'}'(t_y))
$$
Si les vecteurs vitesse $\overrightarrow{v}=(x'(t_0),y'(t_0))$
et acc\'el\'eration $\overrightarrow{a}=(x'{'}(t_0),y'{'}(t_0))$
ne sont pas colin\'eaires, 
alors $\{\overrightarrow{v},\overrightarrow{a}\}$ forme 
une base, et dans cette base $\overrightarrow{M(t_0)M(t_0+h)}$
a pour coordonn\'ees $(h,h^2/2)+$un terme d'ordre 3 en puissances de $h$, l'arc
de courbe est \`a l'ordre 2 identique \`a un arc de parabole. 
On parle de {\bf point bir\'egulier}\index{bir\'egulier}.
Si $\{\overrightarrow{v},\overrightarrow{a}\}$ est une base directe,
l'arc est {\bf convexe}\index{convexe} (la vitesse
``tourne'' dans le sens trigonom\'etrique),
sinon il est concave. On peut tester cela en calculant
le d\'eterminant des coordonn\'ees de 
$\{\overrightarrow{v},\overrightarrow{a}\}$ ou le sens
de variations de $m$, la pente de la tangente 
\[ m=\frac{y'}{x'}, \quad m'=\frac{x'y'{'}-x'{'}y'}{x'^2} \]

\begin{thm}
Si det$(v,a)=x'y'{'}-x'{'}y'>0$ [resp $<0$] 
sur un intervalle du domaine de d\'efinition,
la courbe n'a que des points r\'eguliers, 
la direction de la tangente en un point
est donn\'ee par le vecteur vitesse, et la courbe est convexe\index{convexe}
[resp. concave].
Si $x'y'{'}-x'{'}y'=0$, on parle de 
{\bf point d'inflexion}\index{inflexion} analytique.
\end{thm}
{\bf Remarques~}: 
\begin{itemize}
\item pour un graphe de fonction, $x=t$, on retrouve le
crit\`ere usuel $y'{'}>0$.
\item Attention, la convexit\'e/concavit\'e d\'epend du sens de param\'etrage,
cela n'a pas de sens de parler de convexit\'e d'une courbe g\'eom\'etrique,
seulement de changement de convexit\'e/point d'inflexion.
\end{itemize}

{\bf Exemple~}: point d'inflexion en $t=0$ de
$$ (\frac{t^3}{t^2+1},t+\frac{1}{t^2+2}) $$
La courbe admet deux autres points d'inflexion ($t=-3.16...$ et
$t=1.31...$) qu'on peut d\'eterminer avec les commandes Xcas suivantes~:\\
\giacinputbigmath{purge(x,y);X:=x^3/(x^2+1); Y:=x+1/(x^2+2); 
plotparam([X,Y],x,affichage=arrow_line);}
\giacinputmath{fsolve(X'*Y''-X''*Y',x)}\\
\giacinputmath[style="width:400px;height:40px;font-size:large"]{tabvar([X,Y]);}
Note~: on utilise comme param\`etre \verb|x| au lieu de \verb|t| pour pouvoir 
utiliser la notation \verb|'| pour d\'eriver (si on utilise \verb|t|
comme param\`etre, il faut utiliser \verb|diff(.,t)| pour calculer
la d\'eriv\'ee par rapport \`a $t$). L'instruction \verb|fsolve|
effectue une r\'esolution num\'erique, pour tenter une r\'esolution
exacte, utiliser \verb|solve|, mais on risque alors de manquer
certaines solutions.

On observe que la convexit\'e est (presque) une propri\'et\'e g\'eom\'etrique,
en effet si on change de param\'etrage
$$ x'=\frac{dx}{dt} =\frac{dx}{ds} s' $$
on d\'erive par rapport \`a $t$
$$ x'{'} = (\frac{dx}{ds} s')'=\frac{d^2x}{ds^2} s'^2 + \frac{dx}{ds}
s'{'} $$
puis~:
$$ x'y'{'}- y' x'{'} = 
\frac{dx}{ds} s' (\frac{d^2y}{ds^2} s'^2 +\frac{dy}{ds} s'{'} ) - 
\frac{dy}{ds} s' (\frac{d^2x}{ds^2} s'^2 +\frac{dx}{ds} s'{'} ) 
= s'^3 (\frac{dx}{ds} \frac{d^2y}{ds^2} - 
\frac{dy}{ds} \frac{d^2x}{ds^2} )
 $$
on retrouve en facteur $s'^3$ qui est positif si on parcourt la courbe
dans le m\^eme sens ou n\'egatif sinon.

La convexit\'e d\'ecrit qualitativement la g\'eom\'etrie
de la courbe (orient\'ee) \`a l'ordre 1. 
On verra plus loin que le rayon de courbure d\'ecrit
quantitativement la g\'eom\'etrie de la courbe \`a l'ordre
2 (comme la tangente d\'ecrit la g\'eom\'etrie de la courbe
\`a l'ordre 1).

Dans le cas d'un point singulier ($\overrightarrow{v}=0$), si 
l'acc\'el\'eration $\overrightarrow{a}\neq 0$, alors la
tangente est port\'ee par $\overrightarrow{a}$. L'\'etude compl\`ete
de la nature
d'un point singulier ou de la convexit\'e d'un point r\'egulier
tel que $\overrightarrow{a}$ est colin\'eaire \`a $\overrightarrow{v}$ 
n\'ecessite de faire un
d\'eveloppement de Taylor en $t=t_0$
jusqu'au premier ordre $q$, s'il existe, tel que~: 
\begin{itemize}
\item les d\'eriv\'ees d'ordre 1, .., $p-1$ de $(x,y)$ s'annulent
\item la d\'eriv\'ee d'ordre $p>0$ est non nulle, on la note $\overrightarrow{T}$
\item les d\'eriv\'ees d'ordre $p+1,...,q-1$ sont colin\'eaires
\`a la d\'eriv\'ee d'ordre $p$ (ce qui inclus le cas o\`u elles
sont nulles)
\item la d\'eriv\'ee d'ordre $q$ est non colin\'eaire \`a $p$,
on la note $\overrightarrow{A}$.
\end{itemize}
Dans la base $\{ \overrightarrow{T},\overrightarrow{A}\}$, les
composantes de $\overrightarrow{M(t_0)M(t)}$
sont alors respectivement \'equivalentes \`a $h^p/p!$ et $h^q/q!$
o\`u $h=t-t_0$.
On en d\'eduit que la tangente \`a la courbe est port\'ee par
$\overrightarrow{T}$.
\begin{itemize}
\item si $p$ est pair, on a un rebroussement\index{rebroussement} 
de premi\`ere esp\`ece 
si $q$ est impair (cas g\'en\'erique d'un point singulier, $p=2, q=3$)
ou de deuxi\`eme esp\`ece si $q$ est pair. On ne peut pas
r\'egulariser le point singulier par changement de param\'etrage.
\item Si $p$ est impair, on peut reparam\'etriser la courbe
pour rendre le point non singulier (prendre $s=(t-t_0)^{1/p}$)
mais au risque de perdre de la r\'egularit\'e,
\item Si $p$ est impair et $q$ impair on a un point d'inflexion 
g\'eom\'etrique (changement de sens de convexit\'e).
\end{itemize}

Exemples de points singuliers en $t=0$ avec dans l'ordre rebroussement
de 1\`ere puis 2i\`eme esp\`ece, m\'eplat et inflexion~: 
$$ (t^2,t^3), \ (t^2+t^4,t^4+t^5), \ (t^3,t^4), \ (t^3,t^5) $$\\
\giacinput{plotparam([t^2,t^3],t=-1..1)}

\giacinput{plotparam([t^2+t^4,t^4+t^5],t=-1..1)}

\giacinput{plotparam([t^3,t^4],t=-1..1)}

\giacinput{plotparam([t^3,t^5],t=-1..1)}
Les deux derniers cas peuvent \^etre reparam\'etr\'es (au prix
de la perte de d\'erivabilit\'e seconde) en posant $s=t^{1/3}$.

Pour faire l'\'etude d'un point singulier avec Xcas, on peut utiliser
la fonction \verb|series| sur $x(t)$ et $y(t)$ (ici c'est inutile,
le d\'eveloppement de Taylor est d\'ej\`a fait).

Remarque~: il peut arriver dans des cas pathologiques
que toutes les d\'eriv\'ees de $(x,y)$ s'annulent en
un point sans que la fonction $(x,y)$ soit nulle (par exemple si $x$
et $y$ contiennent un facteur $\exp(-1/t^2)$ en $t=0$, on parle
de fonction plate). Il peut aussi
arriver que toutes les d\'eriv\'ees soit colin\'eaires \`a la
premi\`ere d\'eriv\'ee non nulle, si on se d\'eplace sur une droite
ou si la tangeance est plate.

\section{Plan d'\'etude d'une courbe}
\begin{enumerate}
\item On d\'etermine et on restreint le domaine de d\'efinition
(p\'eriodicit\'e, sym\'etries). 
\item On \'etudie les branches infinies (point exclus du domaine,
$\pm \infty$)~: asymptotes horizontales, verticales, directions
asymptotiques, asymptotes obliques.
\item Recherche de $x'$ et $y'$, on \'etudie l'annulation conjointe
  des deux (points singuliers).
\item Signe de $x'$ et $y'$, double tableau de variations faisant
apparaitre $x,x',y,y'$ et mise
en \'evidence des tangentes horizontales et verticales
\item Pour pr\'eciser le trac\'e, on peut chercher la convexit\'e
en \'etudiant le signe de $x'y'{'}-x'{'}y'$.
\item Trac\'e des points remarquables et des asymptotes et
on les relie entre eux en suivant les sens de variations
du tableau de variations.
\end{enumerate}
\ifhevea
\begin{rawhtml}
<a href="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/xcasfr.html#+//%20Etude%20analytique%20de%20la%20courbe%20parametrique%20ci-dessous,%20assistee%20par%20le%20calcul%20formel&+xt:=2t+1/%282t+1%29;%20yt:=t^2-1/%282t+1%29&+//%20Branches%20infinies&+limit%28xt,t,-1/2%29;%20limit%28yt,t,-1/2%29;%20a:=limit%28yt/xt,t=-1/2%29&+b:=limit%28yt-a*xt,t=-1/2%29&+//%20Donc%20asymptote%20oblique%20pour%20t=-1/2%20d%27equation%20y=a*x+b=-x-3/4%3Cbr%3EOn%20peut%20faire%20la%20meme%20etude%20en%20-inf%20et%20+inf&+limit%28xt,t,-inf%29;%20limit%28yt,t,-inf%29;%20a:=limit%28yt/xt,t,-inf%29&+//%20Branche%20parabolique%20de%20direction%20asymptotique%20Oy%20en%20t=-inf,%20meme%20chose%20en%20+inf%3Cbr%3EOn%20passe%20aux%20point%20singuliers&+x1:=factor%28diff%28xt,t%29%29;%20y1:=factor%28diff%28yt,t%29%29&+//%20Donc%20un%20seul%20point%20singulier%20en%20t=-1,%20on%20cherche%20la%20tangente%20en%20ce%20point%20%28acceleration%29%3Cbr%3E%20et%20le%20type%20de%20point%20%28rebroussement%201ere%20espece%29&+x2:=diff%28xt,t,2%29;%20y2:=diff%28yt,t,2%29;%20x3:=diff%28xt,t,3%29;%20y3:=diff%28yt,t,3%29&+[x2,y2]%28t=-1%29;%20&+//%20Acceleration%20non%20nulle%20donc%20vecteur%20directeur%20de%20la%20tangente%20au%20point%20singulier.%3Cbr%3EOn%20peut%20aussi%20faire%20le%20DL%20en%20t=-1%20a%20un%20ordre%20suffisant&+series%28xt,t=-1,3%29;%20series%28yt,t=-1,3%29&+subst%28x2*y3-x3*y2,t=-1%29;%20//%20Si%20non%20nul,%20on%20a%20un%20rebroussement%20de%201ere%20espece&+//%20Etude%20de%20la%20convexite&+factor%28x1*y2-x2*y1%29&+//%20Point%20d%27inflexion%20analytique%20pout%20t=1/2,%20coordonnes%20du%20point%20et%20vecteur%20directeur%20de%20la%20tangente&+[xt,yt]%28t=1/2%29;%20[x1,y1]%28t=1/2%29&+//%20Tableau%20de%20variations%20commun%20de%20xt%20et%20yt,%20calcule%20par%20Xcas&+tabvar%28[xt,yt]%29&+&" target="_blank">Exemple</a>
\end{rawhtml}
\fi

\section{Courbes en polaires}\index{polaire, courbe}
Une courbe en polaire est essentiellement
donn\'ee par la distance au centre $O$ d'un
point $M$ de la courbe en fonction de l'angle $\theta$ 
entre la direction $Ox$ et le vecteur $\overrightarrow{OM}$~:
$$ OM = r(\theta)$$ 
On autorise toutefois des valeurs n\'egatives pour $r$,
si c'est le cas, on prend alors le sym\'etrique par rapport
\`a l'origine du point situ\'e \`a distance $-r>0$ et d'angle $\theta$.

Repr\'esentation graphique~: avec Xcas 
(ou $\chi$CAS sur Casio Graph 90+e/35eii), on utilise
la commande \verb|plotpolar| (menu Graphes, Courbes dans Xcas ou
Repr. graphique sur Casio), sur calculatrices
graphiques, s\'electionner le mode de trac\'e en polaire (touche Mode
sur TI89/92/V200) ou
l'application Polaire ou G\'eom\'etrie sur les HP Prime.
Par exemple 
\giacinput[style="width:400px;height:40px;font-size:large"]{circle(0,1,color=red); plotpolar(1,x=0..2*pi)}

\giacinput{plotpolar(cos(2x),x=0..2*pi,tstep=0.01)}

\giacinput[style="width:400px;height:40px;font-size:large"]{circle(0,1,color=red); plotpolar(1/(2+cos(x)),x=0..2*pi);}

\giacinput[style="width:400px;height:60px;font-size:large"]{purge(x,y);plotpolar(1/(1+2*cos(x)),x=0..2*pi); //rotation(0,2*pi/3,line(y=-sqrt(3)/3),color=red)}

\giacinput{plotpolar(x,x=-10..10)}

Remarque~: une courbe en polaires est toujours parcourue dans le sens
trigonom\'etrique.

C'est un cas particulier de courbe en param\'etriques puisque
$$ (x,y)=(r(\theta) \cos(\theta), r(\theta) \sin(\theta))$$
mais on pr\'ef\`ere souvent faire l'\'etude directement sur la
fonction $r$. Le plan d'\'etude est calqu\'e sur celui
d'une courbe en param\'etrique, mais on n'a qu'une seule fonction
$r$ \`a \'etudier.
\begin{enumerate}
\item domaine de d\'efinition de $r$, recherche
de p\'eriodicit\'es et sym\'etries ($\theta \rightarrow -\theta$
ou ajout d'une demi ou d'un quart de p\'eriode).
Si la période n'est pas un multiple de $2\pi$, cela correspond
à obtenir un arc de la courbe par rotation à partir d'un autre arc
de la courbe.
\item branches infinies pour $\theta_0$ (non infini)
où $r$ n'est pas d\'efini. La branche a pour direction
asymptotique la droite faisant un angle $\theta_0$ avec
l'axe des $x$. On calcule alors la limite si elle existe de 
$r \sin(\theta-\theta_0)$, c'est l'ordonnée dans
le repère obtenu par rotation d'angle $\theta_0$, si la limite
est finie et vaut $l$
on a une asymptote (d'équation $Y=l$ dans le repère tourné).\\
Exemple $r=1/(1+2\cos(\theta))$. $r$ n'est pas d\'efini pour
$\cos(\theta)=-1/2$, donc $\theta=\pm 2\pi/3$. Pour $\theta_0=2\pi/3$,
on calcule $\lim_{\theta \rightarrow 2\pi/3}r\sin(\theta-2\pi/3)$\\
\giacinputmath[style="width:400px;height:40px;font-size:large"]{limit(1/(1+2cos(x))*sin(x-2pi/3),x=2pi/3)}\\
La tangente est donc l'image par la rotation de centre $O$ et d'angle
$2\pi/3$ de la droite $Y=-\sqrt{3}/3$
\item si la fonction n'est pas périodique, il y a lieu
d'étudier l'existence de limites de $r$ en $\pm \infty$, si la limite
est nulle on s'approche en spiralant de l'origine, si
elle est finie, il y a un cercle asymptote, si elle est
infinie une spirale.
\item comme $\overrightarrow{OM}=r e_r, 
e_r=(\cos(\theta),\sin(\theta))$, 
la vitesse (si le temps est $\theta$) est donnée par 
$$\overrightarrow{v}= r' e_r + r e_\theta$$
où $\{ e_r,e_\theta \}$ est une base orthonormée directe.\\
Donc si $r\neq 0$ ou $r' \neq 0$, le point est régulier et
l'angle $V$ de la tangente avec $e_r$ vérifie 
$$\tan(V)=\frac{r}{r'} \in \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} $$
(si $r \neq 0$ et $r'=0$, la tangente est portée par $e_\theta$).
Si $r=0$, la tangente est portée par $e_r$.\footnote{Si $r'\neq 0$,
cela se lit sur l'expression de la vitesse qui est non nulle, mais
c'est encore vrai si $r(\theta)=r'(\theta)=0$ et $r$ non identiquement nul, 
pour le voir, on observe que $M(\theta)M(\theta+h)=OM(\theta+h)$ a pour
direction $e_r(\theta+h)$ qui tend vers $e_r(\theta)$ lorsque $h$ tend
vers 0.}
\item On ne peut avoir un point singulier que pour $r=0$. On ne fait
pas leur \'etude comme en param\'etriques, en effet la tangente est
toujours port\'ee par $e_r$, si $r$ change de signe la courbe
a la m\^eme allure que pour un point r\'egulier, si $r$ ne change pas
de signe on a un rebroussement de premi\`ere esp\`ece (puisqu'on
traverse la tangente lorsque $\theta$ augmente)\\
Exemple~: \giacinput[style="width:400px;height:80px;font-size:large"]{plotpolar(sin(x)^2*cos(x),x=-pi/4..pi/4,tstep=pi/100);plotpolar(sin(x)^2*cos(x),x=pi/4..3*pi/4,tstep=pi/100,color=red)}
\item Convexité~:  pour avoir un point d'inflexion, il faut que 
$$\frac1r + \left(\frac1r\right)'{'}=0
\Leftrightarrow
r^2+2r'^2-rr'{'}=0
$$
On peut le montrer de diff\'erentes mani\`eres~:
\begin{itemize}
\item En calculant le d\'eterminant de \{vitesse,acc\'el\'eration \}
par rapport \`a $\theta$ dans le rep\`ere $e_r,e_\theta$, on a
$$v=r'e_r+re_\theta \quad a=r'{'}e_r+2r'e_\theta-re_r$$
$$ \Rightarrow \mbox{det}(v,a)=\left| \begin{array}{cc} r' & r'{'}-r \\
r & 2r'\end{array}\right|=2r'^2-r r'{'}+r^2$$ 
\item En calculant la d\'eriv\'ee de l'angle fait avec l'axe $Ox$ qui vaut
$\theta+\arctan(r/r')$ 
\item avec Xcas en se ramenant en param\'etriques
\giacinputbigmath[style="width:400px;height:60px;font-size:large"]{
X:=r(x)*cos(x); Y:=r(x)*sin(x); simplify(X'*Y''-Y'*X'');
simplify(1/r(x)+(1/r(x))'');}
où on a noté $x$ l'angle $\theta$ pour pouvoir dériver avec \verb|'|
et $X$ et $Y$ les deux coordonnées.
\end{itemize}
\item de même on calcule la courbure d\'efinie en section \ref{sec:courbure}
$$ \kappa = \frac{r^2+2r'^2-rr'{'}}{\sqrt{r^2+r'^2}^3}$$
\end{enumerate}

\section{Coniques}\index{conique}
Les coniques sont des courbes implicites dont l'\'equation
cart\'esienne est du second degr\'e~
$$ax^2+cy^2+bxy+dx+ey+f=0$$
Exemples:\\
\giacinput{purge(x,y);plotimplicit(x^2+y^2+x*y=4)}

\giacinput{plotimplicit(x^2+y^2+3*x*y=4)}

On va voir qu'elles sont de trois types~: ellipses, hyperbole,
parabole\footnote{En toute rigueur il faut ajouter deux autres cas~;
l'ensemble vide et les paires \'eventuellement confondues de droites} 
et on va les param\'etriser, \`a partir de leur \'equation
cart\'esienne ou \`a partir de leurs \'el\'ements g\'eom\'etriques
(le calcul des \'el\'ements g\'eom\'etrique \`a partir de l'\'equation
cart\'esienne fait intervenir l'\'etude des formes quadratiques, il ne
sera pas abord\'e dans ce cours).
Les coniques sont des courbes importantes en g\'eom\'etrie, 
ce qui a un int\'er\^et en optique 
(parabole), mais aussi en cin\'ematique (premi\`ere loi de Kepler~:
l'orbite d\'ecrite par une plan\`ete est une ellipse dont
le Soleil occupe un foyer).


\subsection{Ellipse}\index{ellipse}
\begin{defn}
L'ellipse $E$ de foyers $F_1$ et $F_2$ de demi-grand axe
$a$ est l'ensemble des points $M$ du plan tels que 
\[ MF_1+MF_2=2a\]
\end{defn}
Exemple~: ouvrir un niveau de g\'eom\'etrie 2d dans Xcas,
choisir le mode ellipse cliquer 2 points (ce sont les foyers)
puis un 3\`eme point (point de l'ellipse), passer en mode
pointeur et faire bouger l'un des points, observer la forme
de l'ellipse qui en r\'esulte. Ou dans une ligne de commande
normale taper la commande \verb|ellipse()| avec
en arguments les 2 points foyers et un point de l'ellipse
ou l'\'equation cart\'esienne de l'ellipse, par exemple
\verb|ellipse(-1,1,3+i)| trace l'ellipse de foyers $(-1,0), (1,0)$
et passant par le point $(3,1)$.

On note $2c=F_1F_2$ la distance entre les deux foyers, qui doit \^etre
plus petite que $2a$ pour que l'ellipse soit non vide.
L'excentricit\'e de l'ellipse est d\'efinie par $e=c/a < 1$. Si $e=0$,
on obtient un cercle de centre $F_1=F_2$ et de rayon $a$. Si $e\neq 0$,
on va voir qu'il s'agit d'un cercle contracté
selon l'axe perpendiculaire \`a $F_1F_2$ dans un rapport de 
$\sqrt{1-e^2}$. On va \'egalement calculer l'\'equation en
coordonn\'ees polaires de $E$ (c'est sous cette forme
que l'on montre que la Terre d\'ecrit une ellipse 
dont le Soleil occupe un foyer).

Soit $O$ le milieu de $F_1$ et $F_2$, on se place dans le rep\`ere 
orthonorm\'e
dont le premier axe $Ox$ contient $F_1$ et $F_2$ donc les
coordonn\'ees de $F_1$ sont $(c,0)$ et celles de $F_2$ sont $(-c,0)$. 
Soit $M(x,y)$ un
point de l'ellipse, on a d'une part~:
\[ MF_1^2 - MF_2^2 = (x-c)^2-(x+c)^2 = -4cx \]
et d'autre part~:
\[ MF_1^2 - MF_2^2 = (MF_1 + MF_2)(MF_1 - MF_2 ) = 2a (MF_1 - MF_2 )\]
donc~:
\[ MF_1 - MF_2 = \frac{-2cx}{a} \]
en additionnant avec $MF_1+MF_2=2a$ et en appliquant $c=ea$, on en d\'eduit~:
\begin{equation} \label{eq:MF1}
 MF_1 = a - \frac{cx}{a} = a-ex 
\end{equation}
En prenant le carr\'e, on a~:
\[ (x-ea)^2 + y^2 = (a-ex)^2\]
d'o\`u~:
\[ y^2 + x^2 (1-e^2) = a^2(1-e^2) \]
finalement~:
\[ x^2 + \frac{y^2}{1-e^2} = a^2 \]
qui est bien la contraction selon $Oy$ de rapport $\sqrt{1-e^2}$ du
cercle de centre $O$ et de rayon $a$ (appel\'e grand cercle de
l'ellipse).

En coordonn\'ees param\'etriques, on peut utiliser le param\'etrage suivant~:
$$ (x,y)=(a\cos(t),b\sin(t))$$

En coordonn\'ees polaires, on note $\rho$ la distance de $F_1$ \`a
$M$, et $\theta$ l'angle entre l'axe $Ox$ et $F_1M$. L'abscisse de $M$
est donc~:
\[ x= ea + \rho \cos(\theta)\]
que l'on combine avec (\(\ref{eq:MF1}\)) pour obtenir~:
\[ \rho = a-ex =a(1-e^2) - e \rho \cos(\theta) \]
donc~:
\[ \rho = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos(\theta)} \]

{\bf Remarques}~:
\begin{itemize}
\item La premi\`ere loi de K\'epler dit que l'orbite d'une plan\`ete
autour du Soleil est une ellipse dont le Soleil occupe un des foyers.
La troisi\`eme loi de K\'epler donne la relation suivante entre le
demi-grand axe $a$, la p\'eriode de r\'evolution $T$ et $\mu$
le produit de la masse du Soleil\footnote{en n\'egligeant la masse
de la plan\`ete devant celle du Soleil} par la constante de gravitation~:
$$ \frac{a^3}{T^2} = \frac{\mu}{4\pi^2}$$
\item Attention, $t\neq \theta$. Et dans le cas de l'orbite
de la Terre autour du Soleil, aucun de ces deux param\'etrages n'est
le temps $\tau$. Le param\'etrage par le temps se d\'eduit de la loi
des aires
\[ r^2 d\theta =  L d\tau , \quad
 \frac{L^2}{\mu}= a(1-e^2) \]
Il n\'ecessite de r\'esoudre
une \'equation , cf. l'\'equation du temps dans le cours~:\\
\verb|www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/climat/orbite.html|\\
L'excentricit\'e de la Terre est faible, $e=0.0167$ en
ce moment, elle est responsable d'une petite diff\'erence 
de dur\'ee des saisons, elle varie tr\`es lentement au cours des si\`ecles sous
l'action des autres plan\`etes du syst\`eme solaire, cette lente variation
est une des raisons des glaciations du quartenaire.
\item On peut aussi d\'efinir g\'eom\'etriquement l'ellipse
par un foyer $F$ et une directrice $D$, c'est l'ensemble des $M$ tels
que $d(M,F)=ed(M,D)$. Dans le rep\`ere d'origine $O$, $D$
a pour \'equation $x=a/e$ (dans le rep\`ere d'origine $F$, c'est
$x=a/e-e=a(1-e^2)/e$). En effet $MF=a-ex=e(a/e-x)$.
\end{itemize}
Exemple~: faites varier la valeur de l'excentricit\'e ci-dessous, que
voit-on pour E=0.0, E un peu inf\'erieur \`a 1 (par exemple 0.8) et un peu sup\'erieur
\`a 1 (par exemple 1.3)\\
\giacinput[style="width:400px;height:60px;font-size:large"]{E:=0.5; gl_x=-5..5;gl_y=-3..3;plotpolar(1/(1+E*cos(t)),t=0..2*pi,tstep=pi/100)}

\subsection{Parabole}\index{parabole}
Si $F$ est un point et $D$ une droite ne passant pas par $F$, la
parabole de foyer $F$ et directrice $D$ est l'ensemble des points
\'equidistants de $F$ et $D$.
En choisissant un rep\`ere tel que la droite $D$ ait pour \'equation
$y=0$ et en prenant $F(0,1)$, $M(x,y)$ appartient \`a la parabole
si 
$$|y|=d(M,D)=d(M,F)=\sqrt{(y-1)^2+x^2} $$
donc en passant au carr\'e~:
$$ y^2=(y-1)^2+x^2 \Rightarrow y=\frac{x^2+1}{2}$$
La parabole est donc (ici) un graphe de fonction, donc
un cas particulier de courbe param\'etrique.
On peut trouver son \'equation en polaire,
en prenant $F$ comme origine donc l'\'equation de la droite
devient $y=-1$ et on a~:
$$ \rho=\rho \sin(\theta)+1 \ \Rightarrow \ \rho=\frac{1}{1-\sin(\theta)}=r$$
cf. l'exercice sur les coniques donn\'ees par foyer et directrice,
qui traite aussi le cas des hyperboles. On peut aussi faire \`a
titre d'exercice l'\'etude de la courbe en polaire~:
\[ \rho = \frac{A}{1+e\cos(\theta)}\]
lorsque $e=1$ et $e>1$.

Un int\'er\^et majeur de la parabole en optique est que
les rayons incidents perpendiculaires \`a la directrice
se r\'efl\'echissent en passant par le
foyer (on peut m\^eme montrer que cela caract\'erise
une parabole). Illustration-d\'emonstration
avec Xcas dans un niveau de g\'eom\'etrie taper les commandes
\begin{verbatim}
P:=plotfunc(x^2/2+1/2,x=-5..5);
supposons(a=[-1.4,-5,5,0.1]);
D:=line(x=a,color=red);
M:=inter_unique(P,D);
T:=tangent(P,M);
R:=symetrie(T,D,color=red);
trace(R);
\end{verbatim}
puis faire varier $a$ en cliquant sur les fl\`eches. Pour tester en
ligne, commencez par initialiser la trace en ex\'ecutant
\giacinput{purge(x,y);L:=[]}
puis faites varier $a$ en cliquant sur le bouton \verb|+| ou \verb|-|~: 
\giacslider{a}{-5}{5}{0.1}{0.6}{gl_x=-5..5;gl_y=0..6;P:=plotfunc(x^2/2+1/2,x=-5..5);D:=line(x=evalf(a),color=red);M:=single_inter(P,D);T:=tangent(P,M);R:=symetrie(T,D,color=red);L:=append(L,R)}
%\begin{rawhtml}
%<a href="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/xcasfr.html#+L:=[]&*a,0.6,-5,5,0.1&+gl_x=-5..5;gl_y=0..6;P:=plotfunc(x^2/2+1/2,x=-5..5);D:=line(x=a,color=red);M:=inter_unique(P,D);T:=tangent(P,M);R:=symetrie(T,D,color=red);L:=append(L,R)&" target="_blank">Tester en ligne.</a>
%\end{rawhtml}
Noter la valeur\\ \verb|inter_unique(R,line(x=0))|\\
elle est ind\'ependante de $a$ et est le foyer. On peut
montrer qu'une courbe ayant cette propri\'et\'e est
une parabole.
 
\subsection{Hyperbole}
Une hyperbole de foyers $F$ et $F'$ est d\'efinie comme l'ensemble
des points $M$ tels que~:
$$ |MF-MF'|=2a$$
o\`u $a$ est une constante telle que $2a>2c=FF'$, avec une excentricit\'e
$e=c/a>1$.

En physique, les hyperboles interviennent dans les trajectoires non
p\'eriodiques en m\'ecanique c\'eleste, mais aussi comme courbes 
de d\'ephasage constant entre deux sources situ\'ees aux deux foyers
(les figures d'interf\'erence font apparaitre des hyperboles).

On peut faire un calcul analogue \`a celui de l'ellipse, 
$$ MF-MF'=\pm 2a, \ MF+MF'=\frac{MF^2-MF'^2}{MF-MF'}=-\pm 2ex$$
on en d\'eduit que
$$ MF=\pm (a-ex)$$
l'\'equation cart\'esienne de l'hyperbole dans le rep\`ere centr\'e au milieu
des foyers, d'axe $Ox$ l'axe des foyers est donc~:
$$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2(e^2-1)}=1$$
On peut param\'etrer les deux branches de l'hyperbole par
$$ x(t)=\pm a\cosh(t), y(t)=a\sqrt{e^2-1} \sinh(t)$$
et en polaires
$$ \rho=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos(\theta)}$$

Exercice~: faire l'\'etude de la courbe param\'etr\'ee et montrer que
l'hyperbole admet deux asymptotes d'\'equation $y = \pm \frac{b}{a} x$.

%\section{Autres exemples de courbes}

\subsection{Param\'etrisation rationnelle}
Si on connait un point d'une conique, on peut effectuer
un changement d'origine en ce point, l'\'equation cart\'esienne
devient
$$P(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=0$$
On suppose que $(d,e)\neq(0,0)$\footnote{Si $d=e=0$, le
polyn\^ome est homog\`ene et se factorise,
on obtient l'origine ou la r\'eunion de deux droites}.
On cherche alors l'intersection de la conique avec la droite $y=tx$
(de pente $t$), on va voir que la droite coupe en g\'en\'eral la
conique en deux points, l'origine et un autre point dont on
calcule les coordonn\'ees en fonction de $t$\footnote{Cette m\'ethode
fonctionne pour les coniques, mais ne fonctionne malheureusement
pas pour n'importe quelle \'equation cart\'esienne}.
Graphiquement, par exemple\\
\giacinput{L:=NULL:;}\\
\giacslider{T}{-10}{10}{0.1}{1}{purge(x,y);
eq:=x^2+y^2+x*y-4:; gl_x=-3..3;gl_y=-3..3;G:=implicitplot(eq);D:=line(y=evalf(T)*(x+2)); L:=L,inter(G,D,color=red)}
%\giacinput[style="width:400px;height:40px;font-size:large"]{t:=2; implicitplot(x^2+3y^2-x*y+3x+y); line(y=t*x,color=red)}\\
puis faire varier la valeur de $t$ ou d'un des coefficients de
l'\'equation.
%\begin{rawhtml}
%<a href="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/xcasfr.html#+eq:=x^2+3y^2-x*y+3x+y:;&+G:=implicitplot(eq):;&+L:=NULL;&+//Parametrisation rationnelle d'une conique, L:=NULL ci-dessus efface la trace&*T,2.1,-5,5,0.1&+S:=solve(eq(y=t*x))&+gl_x=-4..1;gl_y=-2..2;G;D:=line(y=T*x); L:=L,point(S[0](t=T),T*S[0](t=T),color=red),point(S[1](t=T),T*S[1](t=T),color=red)" target="_blank">Tester en ligne</a>
%\end{rawhtml}
En effet on obtient une \'equation du second degr\'e en $x$,
qui se factorise par $x$, l'autre solution donne alors $x$ comme
fraction rationnelle en $t$, puis $y=tx$.
$$ (ax+btx+ct^2x+d+et)x=0 \Rightarrow x=0, x=\frac{-d-et}{ct^2+bt+a}$$
Comme dans le premier exemple sur le cercle trigonom\'etrique,
on n'obtient pas toujours toute la conique (s'il existe un autre
point d'abscisse $x=0$).

Si on cherche les points o\`u le d\'enominateur en $t$ s'annule, on doit
calculer  (pour $c\neq 0$ et en supposant que la fraction
$\frac{-d-et}{ct^2+bt+a}$ est irr\'eductible\footnote{sinon, on 
aura deux droites parce que le
polyn\^ome $P(x,y)$ se factorise en produit de deux facteurs
de degr\'e 1 dont $dx+ey$})
le discriminant\footnote{On peut aussi voir ce discriminant comme le
d\'eterminant de la matrice de la forme quadratique associ\'ee} 
de l'\'equation du second degr\'e
$$ \Delta= b^2-4ac$$
Il y a trois cas possibles: 
\begin{itemize}
\item si $b^2<4ac$, il n'y a pas de racine, le
param\'etrage est d\'efini pour tout $t$ et les limites en $\pm
\infty$ de $x$ sont nulles (car $c \neq 0$ puisque $4ac>b^2$),
la conique est born\'ee, c'est une ellipse.
\item si $b^2=4ac$, il y a une racine double, qui engendre
une \'etude de branche infinie en $t=-b/(2c)$, on
obtient une parabole (deux branches selon que $t$ tend
vers $-b/(2c)$ par la droite ou la gauche). Il n'y a pas
d'asymptote, on a bien $y/x=t$ qui tend vers $t_0=-b/(2c)$,
mais $y-t_0x$ ne converge pas (le num\'erateur a une racine simple
qui ne compense pas la racine double au d\'enominateur)
\item si $b^2>4ac$, il y a deux racines distinctes $t_\pm$ , 
donc deux valeurs de $t$ o\`u il faut faire une \'etude
de branche infinie, on a alors une
hyperbole\index{hyperbole}
avec 4 branches infinies et deux asymptotes parall\`eles \`a
$y=t_\pm x$ (en effet le rapport $y/x=t$ tend bien
vers $t_\pm$ et $y-t_\pm x$ a une limite car la racine au
d\'enominateur de $x$ et $y$ est simple 
donc il y a simplification avec le num\'erateur)
\end{itemize}
{\bf Exercice}~: param\'etrer et faire l'\'etude des coniques~:\\
$x^2+4y^2+2xy=4, x^2-3y^2+2xy=4$

{\bf Remarque}~: 
on a vu que les ellipses, paraboles, hyperboles admettent une
\'equation r\'eduite du second degr\'e. On en d\'eduit facilement que
leur \'equation dans un rep\`ere quelconque est toujours
du second degr\'e. R\'eciproquement, pour une \'equation cart\'esienne
on a calcul\'e une param\'etrisation rationnelle, mais pas
d\'emontr\'e que c'\'etait forc\'ement une conique. Pour faire
cela, l'outil adapt\'e est l'\'etude des formes quadratiques. On peut
toutefois le faire \`a la main en dimension 2, en faisant une rotation
$x,y \rightarrow X,Y$ pour annuler le coefficient de $XY$. Par exemple\\
\giacinputbigmath[style="width:800px;height:40px;font-size:large"]{restart; z:=(X+i*Y)*exp2trig(exp(i*alpha));x:=re(z); y:=im(z);tlin(coeff(a*x^2+b*x*y+c*y^2,[X,Y],[1,1])) }\\
on voit que l'angle $\alpha$ de la rotation \`a effectuer v\'erifie
$$(c-a)\sin(2\alpha)+b\cos(2\alpha)=0 \quad \Rightarrow \quad \tan(2\alpha)=\frac{b}{a-c}$$

\chapter{Propri\'et\'es m\'etriques des courbes.}
\section{Longueur d'arc}
La longueur $ds$ d'un morceau de courbe r\'egulier parcouru
pendant un petit intervalle de temps $dt$ est égal
au premier ordre à la longueur du segment tangent parcouru,
ou encore au produit de la norme de la vitesse instantanée 
par $dt$
$$ ds=\sqrt{x'^2+y'^2} dt$$
On remarque que cette quantit\'e est invariante par changement de 
param\'etrage, si $t=t(\tau)$ alors
\begin{eqnarray*} 
ds &= & \sqrt{\frac{dx}{dt}^2+\frac{dy}{dt}^2} dt \\
&=& \sqrt{ \left(\frac{dx}{d\tau}^2+\frac{dy}{d\tau}^2\right) 
\left(\frac{d\tau}{dt}\right)^2} |\frac{dt}{d\tau}| d\tau \\
& = & \sqrt{ \frac{dx}{d\tau}^2+\frac{dy}{d\tau}^2} d\tau
\end{eqnarray*}
On en déduit
\begin{prop} 
La longueur d'un arc de courbe entre les points
de paramètre $t_0$ et $t_1$ vaut
$$ \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{x'^2+y'^2} dt$$\\
En coordonn\'ees polaires~:
$$ \int_{\theta_0}^{\theta_1} \sqrt{r'^2+r^2} d\theta$$
\end{prop}

{\bf Remarque}~: il est très rare que l'on puisse effectuer
le calcul explicite d'une primitive de $\sqrt{x'^2+y'^2}$,
il faut alors se contenter d'une valeur approchée de l'intégrale
lorsque $t_0$ et $t_1$ ont des valeurs numériques, calculée
par des méthodes numériques qui généralisent la méthode
des rectangles (cf. le cours de mat406).
Ce calcul se fait avec Xcas (ou une calculatrice formelle) en donnant
une valeur approchée à l'une des bornes.
Il y a quelques exceptions~ par exemple la longueur d'un arc de 
parabole se calcule avec une formule explicite (essayez la
commande \verb|int(sqrt(1+4t^2),t,a,b)| ou\\
\giacinputmath{a:='a';b:='b';t:='t';arclen([t,t^2],t,a,b)}\\
La cyclo\"ide\index{cyclo\"ide}\footnote{qui tire
son nom de la trajectoire d'un point fix\'e \`a un cercle roulant
sans glisser sur une droite, par exemple l'extr\'emit\'e d'un rayon 
sur une roue de v\'elo.} 
$$ x(t)=R(t-\sin(t)), y(t)=R(1-\cos(t))$$
\giacinput{plotparam([t-sin(t),1-cos(t)],t,0,2*pi,affichage=arrow_line)} 
admet aussi une formule simple pour sa longueur 
\giacinputmath{arclen([t-sin(t),1-cos(t)],t,0,2*pi)}\\
Par contre, la
longueur d'un arc d'ellipse ne se calcule pas avec les fonctions
usuelles (pour pouvoir le faire, il faut introduire des fonctions spéciales
adaptées, appel\'ees int\'egrales elliptiques)~:\\
\giacinputbigmath{a:=arclen([2*cos(t),sin(t)],t,0,2*pi); evalf(a)}


\section{Courbure, rep\`ere de Frenet, accélération normale et
  tangentielle.} \label{sec:courbure}
Si on choisit $s$, la longueur d'arc, comme nouveau paramètre de temps, 
la longueur parcourue est égale au temps, donc la vitesse instantanée
par rapport \`a $s$ est de norme 1. On peut aussi le voir en notant $M(t)=(x,y)$~:
$$ \frac{dM}{dt} =\frac{dM}{ds} \frac{ds}{dt} 
\ \Rightarrow \ \| \frac{dM}{dt} \| = \| \frac{dM}{ds} \| |\frac{ds}{dt}|
\ \Rightarrow \ v = \| \frac{dM}{ds} \| v$$
o\`u $v$ est la norme de la vitesse avec $t$ comme param\`etre,
donc $\| \frac{dM}{ds} \|$ est bien \'egal \`a 1.

Calculons maintenant l'accélération avec ce nouveau paramètre $s$. Comme
la vitesse est de norme constante égale à 1, donc de carré 1, 
en dérivant $(dM/ds)^2$ par rapport \`a $s$,
on v\'erifie que l'accélération est perpendiculaire à la vitesse
pour ce paramétrage par la longueur d'arc $s$. 
L'acc\'el\'eration par rapport \`a $s$ est donc portée par la normale à la trajectoire,
et sa mesure alg\'ebrique est appelé courbure (sign\'ee), not\'ee $\kappa$,
la valeur absolue de l'inverse de $\kappa$ est appel\'e le rayon de courbure
(la direction de l'accélération pointe vers le centre
de courbure). 
$$ \frac{d^2M}{ds^2} \perp \vec{v}, \quad \| \frac{d^2M}{ds^2}\| =
|\kappa| = \frac{1}{R} $$
Si on se déplace sur un cercle de centre $O$
et de rayon $R$ à vitesse 1, alors $x(s)+iy(s)=Re^{is/R}$, la vitesse
est donnée par $x'+iy'=ie^{is/R}$ donc de norme 1, et l'accélération
par $x''+iy''=-\frac{1}{R} e^{is/R}$, sa norme vaut $1/R$ et sa direction
pointe vers le centre du cercle. Donc la courbe est, 
à l'ordre 2 au point considéré, identique à un cercle de rayon $R$.

Revenons au paramètrage initial $t$. Dérivons par rapport à $t$ la vitesse
$\frac{dM}{dt} = v \frac{dM}{ds}$, on obtient~:
\begin{eqnarray*}
 \vec{a} =\frac{d^2M}{dt^2} 
&=&\frac{dv}{dt} \frac{dM}{ds} + v \frac{d}{dt} \left( \frac{dM}{ds} \right)\\
&=&\frac{dv}{dt} \frac{dM}{ds} + v \frac{ds}{dt} \frac{d^2M}{ds^2}\\
&=& \frac{dv}{dt} \frac{dM}{ds} + v^2 \frac{d^2M}{ds^2}
\end{eqnarray*}
L'accélération se décompose donc en deux parties~
\begin{itemize}
\item  le premier
terme colinéaire au vecteur tangent est l'accélération 
tangentielle\index{acc\'el\'eration tangentielle}, 
de norme $v'$, 
\item le second terme perpendiculaire au vecteur tangent
est l'accélération normale\index{acc\'el\'eration normale}, 
dont la norme est $v^2/R$,
où $R$ est le rayon de courbure\index{courbure, rayon}
\end{itemize}

Autre formule de calcul du rayon de courbure~: l'accélération normale $a_n$ vaut $v^2/R$ donc
$$ \| \vec{a} \wedge \vec{v} \|=
a_n \|\vec{v}\|=\frac{v^3}{R} 
\ \Rightarrow \ R =v^3/\|\vec{a} \wedge \vec{v}\|
=\frac{\sqrt{x'^2+y'^2}^3}{|x'y'{'}-y'x'{'}|}
$$

\begin{prop}
On appelle repère de Frenet\index{Frenet} \index{rep\`ere de Frenet}
en un point $M$ r\'egulier d'une courbe, 
le repère orthonorm\'e direct form\'e par
le point de la courbe, le vecteur tangent $\vec{T}$ 
et le vecteur normal $\vec{N}$. On a alors
$$ \vec{v}=v \vec{T}=\frac{ds}{dt}\vec{T}, \quad \frac{d}{ds}\vec{T}=\kappa \vec{N}, 
\frac{d}{ds}\vec{N}=-\kappa \vec{T},
\quad R=\pm\frac1\kappa, 
$$
(l'avant-derni\`ere formule vient du fait que $\{ \vec{T}
,\vec{N} \}$ est une base orthonorm\'ee directe, le signe
$\pm$ est d\'etermin\'e par la convexit\'e de la courbe), et~:
$$
\vec{a}=\frac{d}{dt}\vec{v}=\frac{dv}{dt} \vec{T} \pm
\frac{v^2}{R} \vec{N}, \quad
R=\frac{\sqrt{x'^2+y'^2}^3}{|x'y'{'}-y'x'{'}|}$$
On appelle centre de courbure le point $\Omega=M+\frac1\kappa
\vec{N}$. Le cercle de centre $\Omega$ passant par $M$
(de rayon $R$)
est appel\'e cercle osculateur\index{osculateur, cercle} en $M$ \`a la courbe.
\end{prop}
{\bf Exemple}~: calcul du cercle osculateur en un point d'une parabole
$(t,t^2)$.
$$ x'=1, y'=2t, \ 
\vec{T}=(\frac1{\sqrt{1+4t^2}},\frac{2t}{\sqrt{1+4t^2}}), \quad
y'{'}=2\quad R=\frac{\sqrt{1+4t^2}^3}{2}$$
%Trac\'e par exemple pour $t=0.5$:\\
%\giacinput[style="width:400px;height:160px;font-size:large"]{G:=plotparam([t,t^2],t=-2..2,color=red);t0:=0.5;M:=point(t0,t0^2,affichage=point_croix+epaisseur_point_3);T:=tangent(G,M):;N:=normalize([-pente(T),1]); R:=(1+4t0^2)^(3/2)/2;C:=circle(M+R*N,R);}
\giacslider{t0}{-5}{5}{0.1}{0}{gl_x=-5..5; gl_y=0..6;
G:=plotparam([t,t^2],t=-2.3..2.3,color=red);
M:=point(evalf(t0),t0^2,affichage=point_croix+epaisseur_point_3);
T:=tangent(G,evalf(t0));
N:=normalize([-slope(T),1]); 
R:=evalf((1+4t0^2)^(3/2)/2);
C:=circle(M+R*N,R);
//L:=L,C;}
%\begin{rawhtml}<a href="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/xcasfr.html#*t0,0,-5,5,0.1&+gl_x=-5..5; gl_y=0..6;G:=plotparam([t,t^2],t=-2.3..2.3,color=red);M:=point(t0,t0^2,affichage=point_croix+epaisseur_point_3);T:=tangent(G,M):;N:=normalize([-pente(T),1]); R:=(1+4t0^2)^(3/2)/2;C:=circle(M+R*N,R);" target="_blank">Tester en ligne</a>\end{rawhtml}
Avec Xcas version 1.1.1-18 ou sup\'erieure, on peut taper directement~:\\
\verb|C:=cercle_osculateur(G,M)|. Pour visualiser que les cercles
sont inclus les uns dans les autres, initialiser \giacinput{L:=NULL}

{\bf Remarques~}: 
\begin{itemize}
\item La courbure\index{courbure} est aussi la d\'eriv\'ee par
rapport \`a l'abscisse curviligne de 
l'angle $\theta$ fait par la
  tangente avec une direction fixe, par exemple l'axe $Ox$.
En effet $\vec{T}=(\cos(\theta),\sin(\theta))$,
dont la d\'eriv\'ee est le produit de $\theta'$ par le vecteur
normal $\vec{N}$.
\item G\'en\'eriquement, une courbe reste du m\^eme cot\'e de
sa tangente (car le terme suivant dans le d\'eveloppement est d'ordre
2, de signe constant en 0), les exceptions sont les points
d'inflexion. Par contre,
g\'en\'eriquement une courbe traverse son cercle osculateur (en y
rentrant ou en en sortant), car le terme suivant dans le
d\'eveloppement de la diff\'erence entre les points des deux courbes 
est d'ordre 3 et change donc de signe en 0. Les exceptions
(tangeance courbe-cercle osculateur d'ordre 3 au lieu de 2)
sont appel\'es sommets d'une courbe, par exemple le sommet d'une
parabole.
\item on peut calculer les coordonn\'ees du centre du cercle
osculateur de mani\`ere alg\'ebrique (i.e. sans introduire de racines
carr\'ees) \`a partir des
coordonn\'ees param\'etriques de $M$ et de ses d\'eriv\'ees
\item la courbe $D$ d\'ecrite par les $\Omega$ lorsque $M$ parcourt
la courbe \'etudi\'ee $C$ est appel\'ee
{\bf d\'evelopp\'ee}\index{d\'evelopp\'ee} 
de la courbe $C$. 
La vitesse de $\Omega$ vaut
$$ \frac{d}{dt}(M+\frac1\kappa \vec{N})=v\vec{T} +
\frac{d\frac1\kappa}{dt} \vec{N} + \frac1\kappa v(-\kappa
\vec{T})
= \frac{d\frac1\kappa}{dt} \vec{N} $$
on en d\'eduit que la tangente \`a la d\'evelopp\'ee en $\Omega$ a
pour direction la normale $\vec{N}$  (si $\kappa$ admet un
point critique, par exemple en un sommet de la courbe,
la d\'evelopp\'ee admet g\'en\'eriquement
un point de rebroussement\footnote{On peut montrer qu'une courbe
convexe admet au moins 4 sommets (th\'eor\`eme des quatre sommets), 
sa d\'evelopp\'ee admet donc
au moins 4 points de rebroussements.}). 
{\em L'enveloppe\index{enveloppe}\footnote{L'enveloppe d'une famille
de droites est une courbe dont l'ensemble des tangentes est la famille de droite} 
des normales \`a une courbe est donc sa d\'evelopp\'ee.}\\
Exemple~: d\'evelopp\'ee de l'ellipse $(2\cos(t),\sin(t))$\\
Initialiser la trace avec \giacinput{L:=[]}\\
puis faire varier $t0$~:
\giacslider{t0}{-5}{5}{0.1}{0.7}{gl_x=-6..6;gl_y=-4..4;
G:=plotparam([2*cos(t),sin(t)],t=0..2*pi,affichage=arrow_line);
M:=element(G,evalf(t0));T:=tangent(M);N:=perpendiculaire(M,T);
L:=append(L,N);
evolute(G,color=red)}
On observe 4 sommets pour l'ellipse, situ\'es sur les grands et
petits axes, et donc 4 points de rebroussements pour la d\'evelopp\'ee.
%\begin{rawhtml}
%<a href="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/xcasfr.html#+L:=[]&*t0,0.7,-5,5,0.1&+gl_x=-6..6;gl_y=-4..4;G:=plotparam([2*cos(t),sin(t)],t=0..2*pi);M:=element(G,t0);T:=tangent(M);N:=perpendiculaire(M,T);L:=append(L,N);developpee(G,color=red)&" target="_blank">Tester en ligne</a>
%\end{rawhtml}
Ouvrir un niveau de g\'eom\'etrie 2d dans Xcas, taper une commande
par ligne\\
\verb|G:=plotparam([2*cos(t),sin(t)],t=0..2*pi);|\\
\verb|M:=element(G);|\\
\verb|T:=tangent(M);|\\
\verb|N:=perpendiculaire(M,T);|\\
\verb|trace(N)|\\
passer en mode pointeur (menu mode du niveau
de g\'eom\'etrie) et faire bouger le point $M$ le long
d'un quart de l'ellipse, ceci trace un faisceau de normales
\`a l'ellipse, dont on voit apparaitre l'enveloppe (limite
entre la r\'egion couverte et non couverte par des points
du faisceau de normales), cette enveloppe est
la d\'evelopp\'ee de l'ellipse (vous pouvez utiliser 
le menu M \`a droite
du dessin pour effacer les traces). Avec Xcas version 1.1.1-18
ou ult\'erieure on peut tracer la d\'evelopp\'ee avec
la commande \verb|developpee(G)|.\\ 
Cf. aussi les animations de l'article D\'evelopp\'ee de wikipedia.\\
{\bf Exercice}~: calculer le rep\`ere de Frenet pour une ellipse $E$,
par exemple $x(t)=4\cos(t), y(t)=3\sin(t)$
puis le rayon de courbure, puis la d\'evelopp\'ee $A$
(on obtient une courbe image par affinit\'e
d'une astro\"ide\index{astro\"ide}). Donner une \'equation
param\'etrique simple de $A$.\\
V\'erification avec Xcas (version \`a jour)~:\\
\giacinputbig{E:=plotparam([4cos(t),3sin(t)],t,0,2pi,affichage=arrow_line); 
A:=evolute(E);}
\giacinputbigmath{eq:=simplify(parameq(A)); trigcos(re(eq)); im(eq)}
\item
De plus, comme $\vec{N}$ est norm\'e,
la longueur d'arc de courbe de la d\'evelopp\'ee est donn\'ee par~:
$$ \int_{t_0}^{t_1} \left|\frac{d\frac{1}{\kappa}}{dt}\right| \ dt = 
\left| \left[\frac{1}{\kappa}\right]_{t_0}^{t_1} \right|
= |R(t_1)-R(t_0)|
$$
\\
Cons\'equence~: si on enroule un fil sur la d\'evelopp\'ee $D$,
que ce fil est tendu et que son extr\'emit\'e co\"incide, avant de
commencer \`a le d\'erouler, avec un point de la courbe $C$ 
alors dans la suite du d\'eroul\'e, l’extr\'emit\'e parcoura la courbe
$C$ (on dit que $C$ est une d\'eveloppante de $D$).
\item si la courbure est de signe constant, les cercles osculateurs
sont inclus les uns dans les autres, c'est une cons\'equence
de la remarque pr\'ec\'edente, de l'in\'egalit\'e triangulaire
et du fait que la distance entre deux centres de cercles
osculateurs est plus petite que la longueur d'arc sur la
d\'evelopp\'ee. Comme les points de la courbe sont
sur des cercles osculateurs, il en r\'esulte que la courbe
entre ou sort d\'efinitivement du cercle osculateur au point
de contact.
\item La d\'evelopp\'ee peut servir \`a calculer une caustique en
optique. On envoie des rayons lumineux parall\`ele \`a une
direction fix\'ee vers un miroir ayant la forme de la courbe $C$
la {\bf caustique}\index{caustique} 
est l'enveloppe des rayons lumineux r\'efl\'echis
(que l'on observe par une plus grande intensit\'e lumineuse).
On peut montrer que la caustique est la d\'evelopp\'ee 
de l'anticaustique de $C$ par rapport \`a une droite perpendiculaire
aux rayons lumineux (pour d\'eterminer 
l'anticaustique d'une courbe par rapport
\`a une droite, on prend un point de la courbe, on le proj\`ete sur
la droite puis on prend le sym\'etrique du projet\'e par rapport \`a la
tangente \`a la courbe au point choisi, 
l'anticaustique est le lieu de ces sym\'etriques). 
Cf. dans Xcas la session exemple du
menu \verb|Exemple, geometrie, caustique|.
Les d\'evelopp\'ees peuvent aussi servir dans le calcul de caustiques
par r\'efraction~:
\verb|http://www.mathcurve.com/courbes2d/caustic/caustic.htm|
\item On peut faire une \'etude analogue pour une courbe dans
  l'espace, dans ce cas la d\'eriv\'ee de $\vec{N}$
par rapport \`a l'abscisse curviligne $s$ fait intervenir une
composante sur le troisi\`eme vecteur du rep\`ere direct
$\vec{T} \wedge\vec{N}=\vec{B}$ 
($\vec{B}$ comme binormal), appel\'e
torsion.
\item {\bf \'Equation intrins\`eque d'une courbe~:}\\
Il s'agit de trouver une courbe v\'erifiant une relation entre la
courbure (ou rayon de courbure) et l'abscisse curviligne, par exemple
la relation $Rs=b^2$ avec $b>0$ fix\'e.\footnote{Ce type de courbe, appel\'e
spirale d'Euler\index{Euler, spirale} ou de Fresnel\index{Fresnel,
  spirale} ou clotho\"ide\index{clotho\"ide}, est utilis\'ee pour
faire des raccordements de chemin de fer (ou de route) 
entre une portion rectiligne, o\`u l'acc\'el\'eration normale est
nulle, et un arc de cercle, o\`u l'acc\'el\'eration normale est
constante, en effet si $Rs=b^2$ est constant alors l'acc\'el\'eration
normale varie lin\'eairement en fonction de l'abscisse curviligne
donc du temps \`a vitesse constante. C'est plus agr\'eable pour
les passagers qui passent d'une acc\'el\'eration nulle \`a une
acc\'el\'eration constante progressivement, mais aussi pour
cr\'eer une pente progressive lat\'erale sur les rails pour compenser
la force centrifuge par la gravit\'e et \'eviter une usure
pr\'ematur\'ee du rail.}
Pour trouver une telle courbe, on la param\`etre par l'abscisse
curviligne $s$, donc la vitesse $dM/ds$ est de norme 1 et caract\'eris\'ee
par l'angle $\phi(s)$ fait avec une direction fixe, on a alors
$\phi'(s)=1/R$ et on en tire $\phi(s)$ puis $M(s)$. 
Dans l'exemple, on a $\phi'(s)=s/b^2$, donc $\phi(s)=s^2/(2b^2)$ (en
choisissant la direction fixe pour annuler la constante
d'int\'egration), puis~:
$$\frac{dM}{ds}=\left(\cos\left(\frac{s^2}{2b^2}\right),\sin\left(\frac{s^2}{2b^2}\right) \right) $$
puis en choisissant l'origine du rep\`ere~:
$$ M(s)=\left(
\int_0^s \cos\left(\frac{u^2}{2b^2}\right) \ du ,
\int_0^s \sin\left(\frac{u^2}{2b^2}\right)
\ du
\right)$$
en posant $u=\sqrt{2}b v$ on a aussi
$$ M(s)=\sqrt{2}b \left(\int_0^{\frac{s}{\sqrt{2}b}} \cos(v^2) \ dv ,
\int_0^{\frac{s}{\sqrt{2}b}} \sin(v^2) \ dv
\right)$$
Pour $b=1/\sqrt{2}$, le trac\'e est obtenu par la commande\\
\giacinput{plotparam(int(exp(i*t^2),t,0,s),s=-3..3,tstep=0.03,affichage=arrow_line)}
\end{itemize}



%\pagebreak

\chapter{Formes diff\'erentielles et int\'egrales curvilignes}
Il s'agit ici de calculer des int\'egrales
le long d'un arc de courbe. Cela intervient directement
par exemple pour calculer le travail d'une force au cours d'un
d\'eplacement le long d'une courbe 
ou la quantit\'e de chaleur/travail pendant
un cycle en thermodynamique (le long d'une courbe
dans le plan d\'efini par deux coordonn\'ees ind\'ependantes 
comme par exemple pression-temp\'erature ou pression-volume)
ou indirectement en transformant un calcul d'int\'egrale double
\`a l'int\'erieur d'un domaine en int\'egrale curviligne sur le bord
du domaine (calcul d'aire, de centre d'inertie, de moment d'inertie...). 
Dans les cas favorables, on a un analogue des primitives, on peut
calculer un potentiel et faire la diff\'erence de potentiel entre les
deux extr\'emit\'es du chemin pour calculer l'int\'egrale curviligne.

On va d'abord d\'efinir ce
qu'on peut int\'egrer le long d'une courbe, \`a savoir une
forme diff\'erentielle (aussi appel\'ee 1-forme), puis on
donnera quelques r\'esultats sur les formes ferm\'ees et
exactes (c'est le cas favorable, il correspond aux forces
conservatives en m\'ecanique ou aux diff\'erentielles totales
de fonctions d'\'etat en thermodynamique).

\section{Forme diff\'erentielle}
Soit $V(x,y)$ une fonction de deux variables continument d\'erivable.
On s'int\'eresse aux variations de $V$ lorsqu'on se d\'eplace dans le
plan depuis le point $M(x,y)$ dans une direction donn\'ee \`a
la vitesse $w$.
On a alors une formule \'equivalente \`a celle de 
la d\'eriv\'ee d'une fonction d'une variable~:
\begin{prop}
Pour tout vecteur $w=(w_1,w_2)$, la d\'eriv\'ee de $V$ en $(x,y)$
dans la direction $w$ est donn\'ee par~:
$$ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{V((x,y)+wh)-V(x,y)}{h}=
\partial_xVw_1+\partial_yV w_2$$
On appelle diff\'erentielle\index{diff\'erentielle} 
de $V$ et on note $dV$ l'application
qui en un point $(x,y)$ associe au vecteur $w$ la valeur de la
d\'eriv\'ee directionnelle de $V$ en $(x,y)$ selon $w$
$$ dV(w)=\partial_xV w_1+\partial_yV w_2$$
Cette application est lin\'eaire par rapport \`a $w$.
\end{prop}
En effet~:
\begin{eqnarray*}
 V(x+w_1h,y+w_2h)&=&V(x+w_1h,y)+\partial_yV(x+w_1h,y) w_2h + o(h)\\
&=&V(x,y)+\partial_xV(x,y) w_1 h + \partial_yV(x+w_1h,y) w_2h + o(h)
\end{eqnarray*}
donc
\begin{eqnarray*}
 \frac{V(x+w_1h,y+w_2h)-V(x,y)}{h} & = &
\partial_xV(x,y) w_1 + \partial_yV(x+w_1h,y) w_2 +o(1) \\
&\rightarrow_{h\rightarrow 0} & \partial_xV(x,y) w_1
+ \partial_yV(x,y) w_2 
\end{eqnarray*}

{\bf Exemples~}: 
\begin{itemize}
\item la d\'eriv\'ee de $V$ selon la direction $(1,0)$ (axe des $x$)
est $\partial_xV$ et selon la direction $(0,1)$ (axe des $y$)
est $\partial_y V$.
\item Soit $A(a,b)$ et $V(x,y)=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$ 
la distance de $A$ au point $M(x,y)$.
Alors $dV$ existe en tout point $M$ diff\'erent de $A$
et $(\partial_x V,\partial_y V)=(x-a,y-b)/AM$ est le vecteur
unitaire port\'e par $\overrightarrow{AM}$.
\end{itemize}

{\bf Remarque~: Diff\'erentielle et gradient, forme différentielle et champ de vecteurs}\\
La diff\'erentielle $dV$ a les m\^emes composantes que
le gradient\index{gradient} de $V$ (not\'e $\nabla V$, \verb|gradient(V,[x,y])| avec Xcas), 
mais ce ne sont pas les m\^emes objets~: 
en un point donn\'e
$dV$ est une application lin\'eaire (qui a un sens ind\'ependamment
de la d\'efinition d'un produit scalaire)
alors que $\nabla V$ est un vecteur (dont la relation
avec la d\'eriv\'ee directionnelle d\'epend du produit scalaire), 
on a pour tout vecteur $w$ la relation 
$$dV(w)=\nabla V. w $$

On a la m\^eme relation entre le travail d'une force (que l'on peut voir comme une
forme lin\'eaire qui s'applique sur les vecteurs d\'eplacement) 
et la force correspondante qui est un champ de vecteurs $F$.
Le champ de vecteurs $F$ correspond \`a la généralisation d'une différentielle,
appelée forme différentielle $\omega$
en utilisant le produit scalaire~: pour tout vecteur $w$, on a
$$ \omega(w)=\uparrow{F}.w$$
Dans le cas d'une force conservative, $\omega$ est l'opposé de la différentielle du potentiel
de la force $\omega=-dV$ (le signe moins vient de la convention utilisée en physique
$F=-\nabla V$).

On parle parfois de vecteur
covariant pour la diff\'erentielle (et vecteur contravariant pour le
gradient).

{\bf Applications~}: 
\begin{itemize}
\item
Tangente \`a une courbe de niveau~:\\
le vecteur tangent en un point $M$ d'une courbe de niveau de $V$
est dans le noyau de l'application lin\'eaire $dV$ en ce point
(puisque $V$ est constant le long de le courbe), ou de
mani\`ere \'equivalente $\nabla V$ est orthogonal \`a la
courbe de niveau.
\item
Calcul du gradient en coordonn\'ees polaires.\\
le rep\`ere $\{e_r,e_\theta \}$ est orthonorm\'e, pour
connaitre les coordonn\'ees de $\nabla V$ dans ce rep\`ere
il suffit de calculer la d\'eriv\'ee directionnelle de $V$
dans les directions $e_r$ et $e_\theta$ car~: 
$$ \nabla V. e_r = dV(e_r), \quad \nabla V.e_\theta=dV(e_\theta)$$ 
Or la d\'eriv\'ee directionnelle selon $e_r$ est
la d\'eriv\'ee partielle de $V$ par rapport \`a $r$, et la d\'eriv\'ee
directionnelle selon $e_\theta$ est la d\'eriv\'ee partielle de $V$
par rapport \`a $\theta$ divis\'ee par $r$ (il faut diviser par $r$
parce qu'on se d\'eplace tangentiellement au cercle de rayon $r$), donc
$$ \nabla V = \partial_r V e_r + \frac1r \partial_\theta V e_\theta$$
\item 
Tangente et la normale en un point $M$ d'une ellipse~:\\
Ce sont la bissectrice ext\'erieure et int\'erieure issues de $M$ 
du triangle d\'efini par $M$ et les foyers. 
Cela vient du fait que le gradient de la
distance $FM$ est le vecteur unitaire port\'e par
$\overrightarrow{FM}$
et que l'ellipse est courbe de niveau de la somme des distances aux
foyers. On retrouve ainsi qu'un rayon lumineux issu d'un foyer
se r\'efl\'echit sur l'ellipse en passant par l'autre foyer,
et la longueur du chemin parcouru est constante (donc des
rayons lumineux issus d'un foyer arrivent en phase à l'autre
foyer quel que soit la direction initiale)
\item De m\^eme on peut d\'eterminer g\'eom\'etriquement la
tangente et la normale \`a une parabole,
ce sont les bissectrices issues de $M$ 
de la droite $MF$ (o\`u $F$ est le foyer) et de la
perpendiculaire en $M$ \`a la directrice de la parabole,
on retrouve ainsi que les rayons lumineux perpendiculaires
\`a la directrice se r\'eflechissent sur la parabole en passant
par le foyer) et \`a une hyperbole (comme pour une ellipse).
\end{itemize}

On note donc $dx$ [resp. $dy$] la diff\'erentielle de
$V(x,y)=x$ [resp. $V(x,y)=y$]\footnote{G\'eom\'etriquement,
$dx$ [resp. $dy$] est la forme lin\'eaire constante
(i.e. ind\'ependante du point du plan choisi) qui a tout vecteur de
$\mathbb{R}^2$ associe sa premi\`ere [resp. deuxi\`eme] coordonn\'ee~:
$$ dx(v_1,v_2)=v_1, \quad dy(v_1,v_2)=v_2 $$}
on a~:
$$ dV=\partial_xV dx + \partial_yV dy$$

Une forme 
diff\'erentielle\index{diff\'erentielle, forme}\index{forme diff\'erentielle}
$\omega$ est la g\'en\'eralisation
de la diff\'erentielle d'une fonction, elle s'\'ecrit sous la forme
$$ \omega=M(x,y) dx + N(x,y) dy$$
o\`u $M$ et $N$ sont des fonctions 
des deux variables $x,y$, mais pas forc\'ement les d\'eriv\'ees
partielles d'une fonction $V$.
 
La d\'efinition g\'eom\'etrique d'une forme diff\'erentielle $\omega$
est la donn\'ee en tout point du plan (ou d'un domaine ouvert
du plan) d'une application lin\'eaire de $\mathbb{R}^2$ \`a valeur dans $\mathbb{R}$
\footnote{Pour \^etre complet, on suppose de plus que cette application
lin\'eaire qui d\'epend du point du plan en d\'epend de mani\`ere 
au moins continue et presque toujours de mani\`ere 
continument diff\'erentiable}
(ou en tout point de l'espace d'une application lin\'eraire de $\mathbb{R}^3$
\`a valeurs dans $\mathbb{R}$ pour une courbe de $\mathbb{R}^3$). 
Si on prend la base canonique de $\mathbb{R}^2$,
une application lin\'eaire de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ est caract\'eris\'ee
par sa matrice qui poss\`ede une ligne et deux colonnes et
a donc deux coefficients $M$ et $N$, une forme diff\'erentielle
\'equivaut donc bien \`a la donn\'ee d'un couple de fonction 
$M(x,y),N(x,y)$.

\section{Int\'egrale curviligne} \label{sec:defcurv}
Ceci permet de donner la~:
\begin{defn} \label{def:defcurv}
Pour calculer l'int\'egrale 
curviligne\index{curviligne, int\'egrale}\index{int\'egrale curviligne}
 d'une forme diff\'erentielle 
le long d'un arc de courbe orient\'e,
on choisit un param\'etrage de l'arc continument d\'erivable par morceaux
(on suppose qu'il en existe un), 
et on calcule l'int\'egrale usuelle par rapport au param\`etre
de la forme diff\'erentielle appliqu\'ee au vecteur tangent entre les
deux valeurs du param\`etre correspondant \`a l'origine
et extr\'emit\'e de l'arc de courbe~:
$$ \int_\gamma \omega = \int_{t_0}^{t_1}
\omega\left(\frac{d\gamma(t)}{dt}\right) dt $$
En coordonn\'ees,
\begin{equation} \label{ref:defcurv} 
\int_\gamma \omega =\int_{t_0}^{t_1} 
(M(x(t),y(t)) \frac{dx}{dt} + N(x(t),y(t) \frac{dy}{dt}) \ dt
\end{equation}
%\begin{displayjax} \label{ref:defcurv} 
%\int_\gamma \omega =\int_{t_0}^{t_1} 
%(M(x(t),y(t)) \frac{dx}{dt} + N(x(t),y(t) \frac{dy}{dt}) \ dt
%\end{displayjax}
\end{defn}
Exemple: on prend $\omega=ydx$ et on calcule l'int\'egrale
curviligne le long de l'arc de parabole $(t,t^2)$ pour $t\in[0,1]$,
on obtient
$$ \int_0^1 t^2 \ dt =\frac{1}{3}$$
En param\'etrant par $(u^2,u^4)$ avec $u\in[0,1]$
$$ \int_0^1 u^4 (2u \ du) = \left[2\frac{u^6}{6}\right]_0^1=\frac{1}{3}$$
on retrouve le m\^eme r\'esultat.

La valeur de l'int\'egrale est bien d\'efinie
ind\'ependamment du param\'etrage, 
en effet si on change de param\'etrage avec une bijection
$t \rightarrow u(t)$ envoyant $[t_0,t_1]$ sur $[u_0,u_1]$, on a (en
utilisant la lin\'earit\'e de $\omega$ \`a la deuxi\`eme ligne)~:
\begin{eqnarray*}
 \int_{u_0}^{u_1} \omega\left(\frac{d\gamma(u)}{du}\right) du 
&= &\int_{t_0}^{t_1} \omega\left( \frac{dt}{du} \frac{d\gamma(t)}{dt} \right)
    \frac{du}{dt} dt \\
&=& \int_{t_0}^{t_1}  \frac{dt}{du} \omega\left( \frac{d\gamma(t)}{dt} \right)
    \frac{du}{dt} dt \\
&=& \int_{t_0}^{t_1}  \omega\left( \frac{d\gamma(t)}{dt}  \right) dt
\end{eqnarray*}

Attention \`a l'orientation, si on change d'orientation, on change le
signe, par exemple si on parcourt l'arc de parabole de $(1,1)$
vers $(0,0)$, en utilisant le param\'etrage $(1-t,(1-t)^2), t \in
[0,1]$, on obtient l'oppos\'e~:
$$ \int_0^1 (1-t)^2 (-dt) = \left[\frac{(1-t)^3}{3}\right]_0^1 =
-\frac{1}{3}$$

Remarque~: le travail d'une force $\overrightarrow{F}=(F_x,F_y)$ le 
long d'un arc de courbe est donn\'e par l'int\'egrale curviligne de la forme
diff\'erentielle $F_x dx+F_ydy$. 

 L'int\'egrale curviligne d'une forme diff\'erentielle
reliant deux points $A$ et $B$ d'un arc de courbe
$\gamma$ se calcule en choisissant un param\'etrage de $\gamma$,
si $\gamma$ est une courbe param\'etriques,
on prendra en g\'en\'eral le param\'etrage d\'efinissant $\gamma$,
si $\gamma$ est une courbe $y=f(x)$ on peut prendre $(x=t,y=f(t))$,
si $\gamma$ est une courbe en polaires $r(\theta)$, on peut
prendre $x=r(\theta) \cos(\theta), y=r(\theta) \sin(\theta)$
($t=\theta$). 

Pour certaines formes diff\'erentielles, on peut
faire comme en dimension 1, trouver une primitive,
voir la section ci-dessous.

{\bf Calcul avec Xcas}~: sur les versions les plus récentes de Xcas ($\geq$1.9.0-996),
la commande {\tt integrate} permet de calculer une intégrale curviligne.
On définit la courbe et son paramétrage, par exemple\\
\giacinput{G:=plotparam([t^2,t^4],t)}\\
puis on passe à {\tt integrate}
le champ de vecteur associé à la forme différentielle,
exprimé en fonction des variables $x,y$,
la liste des variables $x,y$, la courbe $G$, et les valeurs de début et fin du paramètre $t$\\
\giacinput{integrate([y,0],[x,y],G,0,1)}\\

{\bf Remarque~:} l'intégrale curvligne se généralise en dimension supérieure à 2.

\section{Forme diff\'erentielle exacte}\index{exacte, forme diff\'erentielle}
Voyons maintenant \`a quelle condition il existe un analogue du calcul
avec une primitive. On a:
$$ \int_\gamma dV=V(\gamma(t_1))-V(\gamma(t_0)), $$
En effet, on applique la d\'efinition (\ref{def:defcurv}) o\`u
$M=\partial_xV, N=\partial_y V$ et~:
$$  \partial_x V \frac{dx}{dt} + \partial_y V \frac{dy}{dt} =\frac{d}{dt} V(x(t),y(t)) $$

Pour une force qui d\'erive d'un potentiel,
on a donc montr\'e que le travail de la force se calcule 
en faisant la diff\'erence
de potentiel entre les deux extr\'emit\'es. Cette propri\'et\'e, 
analogue au calcul d'int\'egrale classique en utilisant une primitive
n'est pas automatique, car elle implique que l'int\'egrale curviligne
ne d\'epend pas du chemin choisi pour relier les deux points.
Or en thermodynamique, la
chaleur est mod\'elis\'ee par une forme diff\'erentielle, 
mais la chaleur \'echang\'ee d\'epend du chemin
suivi (c'est vrai aussi en m\'ecanique pour le travail de forces non
conservatives comme les forces de frottement).
En math\'ematiques, on parle de forme diff\'erentielle exacte ou non exacte.
\begin{defn}
Une forme diff\'erentielle $\omega$ est exacte s'il existe une
fonction $V$ telle que sur tout arc de courbe $\gamma$ d'origine $A$ et 
extr\'emit\'e $B$
$$ \int_\gamma \omega = V(B)-V(A)$$
{\bf Attention}, la convention de signe est oppos\'ee \`a celle utilis\'ee
pour le potentiel\index{potentiel} d'une force en physique.
\end{defn}
Si on choisit comme chemin un segment entre deux points $A$ et $B$
d'ordonn\'ees identiques $y$ et d'abscisses $x$ et $x+h$ (i.e.
$\gamma(t)=(t,y), \ t \in [x,x+h]$), alors
$$ \int_\gamma M dx+Ndy = \int_x^{x+h} M(t,y) dt = V(x+h,y)-V(x,y) $$
en divisant par $h$ et en faisant tendre $h$ vers 0, on a 
$$M(x,y)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{V(x+h,y)-V(x,y)}{h} = \partial_x V(x,y)$$
De m\^eme $N=\partial_y V$.
R\'eciproquement, si $M=\partial_x V$ et $N=\partial_y V$ alors
$\omega=dV$ donc $\int_\gamma \omega=V(B)-V(A)$
\begin{prop}
Une forme diff\'erentielle $\omega$ est exacte si et seulement si il 
existe une fonction $V$ telle que~:
$$ \omega=\partial_x V dx + \partial_y V dy=dV$$
\end{prop}
Si $V$ est deux fois continument diff\'erentiable alors
$\partial_{yx} V = \partial_{xy} V$. D'o\`u
une condition n\'ecessaire pour que $\omega$ soit exacte~:
$$ \partial_y M = \partial_{yx} V = \partial_{xy} V = \partial_x N$$
\begin{defn}
On appelle forme diff\'erentielle
ferm\'ee\index{ferm\'ee, forme diff\'erentielle} une forme
diff\'erentielle $\omega=Mdx+Ndy$ telle que
$\partial_y M=\partial_x N$ 
\end{defn}
Une forme exacte est toujours ferm\'ee, mais la r\'eciproque n'est pas
toujours vraie, une forme ferm\'ee n'est pas forc\'ement exacte, cela
d\'epend o\`u elle est d\'efinie. Si elle est d\'efinie dans un
domaine ouvert de $\mathbb{R}^2$ sans trou ($\mathbb{R}^2$ tout entier,
un rectangle, un disque, etc.), 
on peut montrer qu'une forme 
ferm\'ee est une forme exacte, on se fixe un point $M_0$ et
on d\'efinit $V(M)$ comme $\int_\gamma \omega$ pour $\gamma$
un chemin quelconque reliant $M_0$ \`a $M$, on montre
que le r\'esultat ne d\'epend
pas du choix du chemin en appliquant le th\'eor\`eme 
de Stokes (voir section suivante). Sinon, il existe des
contre-exemples, comme sur le cercle unit\'e
$$\omega=\frac{ydx-xdy}{x^2+y^2}$$
La forme est ferm\'ee~:\\
\giacinputbigmath{purge(x,y):;simplify(diff(y/(x^2+y^2),y)-diff(-x/(x^2+y^2),x))}\\
mais elle n'est pas exacte~:\\
\giacinputbigmath[style="width:800px;height:40px;font-size:large"]{x:=cos(t);y:=sin(t);int((y*diff(x,t)-x*diff(y,t))/(x^2+y^2),t,0,2*pi)}

Pour trouver le potentiel\index{potentiel} 
$V$ dont une forme diff\'erentielle ferm\'ee
$\omega=M dx+Ndy$ est la diff\'erentielle, on r\'esoud d'abord par exemple 
$ M = \partial_x V $
en int\'egrant $M$ par rapport \`a $x$, $y$ \'etant consid\'er\'e
comme un param\`etre, on obtient $V$ \`a une constante d'int\'egration
pr\`es, cette constante d'int\'egration en $x$ peut d\'ependre
de $y$, c'est donc une fonction $C(y)$, 
on remplace dans $N=\partial_y V$ et on int\`egre
en $y$ pour trouver la valeur de $C(y)$ (\`a une constante pr\`es).
Cette op\'eration est execut\'ee par la commande \verb|potential()|
de Xcas.

Exemple~:
$$ \omega= \cos(x) \cos(y) dx + (\cos(y) - \sin(y)(\sin(x)+y)) dy$$
Cette forme est bien ferm\'ee~:
$$ \partial_y(\cos(x) \cos(y) )=-\cos(x) \sin(y)
= \partial_x(\cos(y) - \sin(y)(\sin(x)+y)) $$
La forme est d\'efinie dans $\mathbb{R}^2$ tout entier, donc est exacte, on
int\`egre $\cos(x)\cos(y)$ par rapport \`a $x$, on trouve
$\sin(x)\cos(y)+$ une constante d'int\'egration, qui est
donc constante par rapport \`a $x$ donc est une fonction $C(y)$
d\'ependant de $y$. On d\'etermine ensuite $C$ en d\'erivant
par rapport \`a $y$~
$$ -\sin(x)\sin(y)+C'(y)=\cos(y) - \sin(y)(\sin(x)+y)$$
qui se simplifie en~
$$ C'(y)=\cos(y)-y\sin(y)$$
donc $C(y)=y\cos(y)+$ une constante, que l'on peut prendre nulle~:
$$V=\sin(x)\cos(y)+C(y)=\sin(x)\cos(y)+y\cos(y)$$

Si une forme n'est pas ferm\'ee, elle n'est pas exacte, et on ne peut
pas calculer une int\'egrale curviligne par diff\'erence de potentiel,
il faut utiliser la d\'efinition et un param\'etrage de $\gamma$,
ce qui n'est pas forc\'ement plus couteux en calcul et a des
applications au calcul d'int\'egrale double si $\gamma$ est
un chemin ferm\'e d\'elimitant le domaine d'int\'egration.

Les formes exactes ont une autre application (anticipant sur le
chapitre suivant)~: la recherche
d'int\'egrales premi\`eres d'\'equations diff\'erentielles. En effet
si $Mdx+Ndy=0$ le long d'un arc $\gamma$ param\'etrable par $x$
alors $M+Ny'=0$ et $\gamma$ est le graphe d'une
solution de cette \'equation diff\'erentielle.
\begin{defn}
On dit que $\gamma$ est une courbe int\'egrale de la forme
diff\'erentielle $\omega$ si $\omega(\frac{d\gamma}{dt})=0$.
Si $\omega$ est exacte, une courbe int\'egrale de $\omega$ est
une courbe de niveau du potentiel $V$ tel que $dV=\omega$.
\end{defn}
Si $\omega$ n'est pas exacte, il n'y a pas de potentiel $V$ mais
il peut arriver qu'en multipliant la forme par une fonction, on trouve
une nouvelle forme qui elle est ferm\'ee, on parle alors de facteur
int\'egrant. (On limite en g\'en\'eral la recherche \`a
des fonctions ne d\'ependant que de $x$ ou de $y$).

La notion de facteur int\'egrant ne se limite pas \`a la r\'esolution
d'\'equations diff\'erentielles.
Par exemple en thermodynamique, la forme chaleur
n'est pas ferm\'ee, mais en divisant par la temp\'erature on
obtient une forme ferm\'ee dont le potentiel est l'entropie.

\section{Int\'egrale curviligne et int\'egrales doubles.}
Terminons ce chapitre par le lien entre int\'egrale curviligne
sur un lacet (chemin ferm\'e) et int\'egrale double \`a l'int\'erieur 
du lacet. C'est \'evidemment surtout int\'eressant pour les
formes non exactes, car si $\gamma$ est un lacet et $\omega$
une forme exacte, alors $\int_\gamma \omega=0$.
On a le th\'eor\`eme de Stokes\index{Stokes}, 
aussi appel\'e en dimension 2 
formule de Green-Riemann\index{Green-Riemann}~:
\begin{thm}
Si $U$ est un domaine de fronti\`ere orient\'ee
$\gamma$ continument d\'erivable par morceaux
($\gamma$ est donc un chemin ferm\'e parcouru une fois que
l'on oriente dans le sens trigonom\'etrique), et si 
$\omega=Mdx + N dy$ est une forme
diff\'erentielle continument d\'erivable dans $U$ alors~:
$$ \int_\gamma \omega = \iint_U d\omega := 
\iint_U (\partial_x N -\partial_y M) \ dx dy$$
\end{thm}
Id\'ee de la preuve~: on commence par le cas o\`u $U$ est un
rectangle $[a,b] \times [\alpha,\beta]$, on peut alors calculer 
$$ \iint_U \partial_x N  \ dx dy 
= \int_\alpha^\beta (\int_a^b \partial_x N  \ dx) dy
= \int_\alpha^\beta (N(b,y)-N(a,y)) dy $$
on compare avec les int\'egrales curvilignes sur les segments verticaux
orient\'es $\{(b,y), y \in [\alpha,\beta]\}$ et $\{(a,y), y \in [\beta,\alpha]\}$.
De m\^eme pour $M$ et les segments horizontaux.

Pour le cas d'un domaine d'int\'egration $U$ plus g\'en\'eral, on approche $U$
par une r\'eunion disjointe de petits rectangles.

{\bf Application~}: pour calculer l'aire d'un domaine $U$ de fronti\`ere
$\gamma$,  il suffit de
calculer l'une des int\'egrales curvilignes~:
$$ \int_\gamma x dy = -\int_\gamma y dx= \int_\gamma \frac{x dy - y
  dx}{2}$$
Par exemple, l'aire \`a l'int\'erieur de l'ellipse $x=a\cos(t),
y=b\sin(t)$ vaut
$$ \int_0^{2\pi} \frac{a\cos(t) d(b\sin(t)) -b \sin(t) d(a\cos(t))}{2} 
= ab\pi $$

On peut aussi calculer des moments d'inertie\index{inertie, moment} 
ou la position d'un centre de gravit\'e\index{gravit\'e, centre}
en se ramenant \`a une int\'egrale curviligne.\\
{\bf Exemple~}: Calculer la position du centre d'inertie d'un quart
de cercle $C=\{(\cos(t),\sin(t)), \ t \in [0,\pi/2]\}$.\\
On a donc $U$ d\'elimit\'e par $\gamma$, r\'eunion de $\{(x,0), \ x
\in [0,1]\} $, $C$ et $\{(0,y), y \in [1,0]\}$.
Pour trouver la position du centre
d'inertie en $x$ (en $y$ c'est identique), on doit calculer
$$ \iint_U x \ dx dy = \int_\gamma \frac{1}{2} x^2 \ dy
= 0 + \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(t)^2 \cos(t) \ dt + 0= \frac{1}{3}$$
et on divise par $\pi/4$ l'aire du quart de cercle, on trouve
donc $(\frac{4}{3\pi},\frac{4}{3\pi})$, on peut visualiser avec
la commande 
\giacinput{gl_x=-0.5..1.5;gl_y=-0.1..1.1;
plotparam(exp(i*t),t,0,pi/2,affichage=arrow_line); 
segment(0,1);segment(0,i);
G:=point(4/(3*pi),4/(3*pi))}

{\bf Remarque}\\
En dimension 2, 
si on calcule l'int\'egrale curviligne du produit scalaire 
$\vec{E}.\vec{n}$ entre un champ $\vec{E}$
et le vecteur normal sortant
au contour d'int\'egration,
alors $\vec{n}=(dy/ds,-dx/ds)$ o\`u $(x(s),y(s))$
d\'esigne un param\'etrage de la courbe par la longueur d'arc $s$
dans le sens trigonom\'etrique, 
donc on int\'egre par rapport \`a $s$ la fonction $E_xdy/ds-E_ydx/ds$,
la forme diff\'erentielle est $ \omega=E_x dy-E_y dx$,
le th\'eor\`eme de Stokes nous donne
l'\'egalit\'e de l'int\'egrale de contour avec
l'int\'egrale double \`a l'int\'erieur
$$ \int \vec{E}.\vec{n}=
\iint \partial_x E_x - (-\partial_y E_y) = \iint \mbox{div}\vec{E}$$
La formule analogue en dimension 3 et la relation entre la divergence
du champ électrique et charge permet de montrer que le flux du champ 
à travers une surface est proportionnel à la charge intérieure.

\pagebreak
\section{Formulaire courbe et int\'egrale curviligne}
\subsection{Courbes param\'etriques}
\begin{itemize}
\item Recherche d'asymptote~: si $x$ ou $y$ tend vers l'infini, si un seul
tend vers l'infini, asymptote horizontale ou verticale, sinon $a=\lim
\frac{y}{x}$, si $a\neq 0$ et $\lim y-ax=b$ asymptote oblique
\item Point singulier~: si $x'=y'=0$. Si l'acc\'eration est non nulle, 
elle dirige la tangente, si de plus la d\'eriv\'ee troisi\`eme est 
non colin\'eaire on a un rebroussement de premi\`ere esp\`ece. 
En g\'en\'eral, discuter sur la premi\`ere d\'eriv\'ee $p$i\`eme non nulle
et la premi\`ere d\'eriv\'ee $q$i\`eme non colin'\'eaire.
\item Convexit\'e~: pente de la tangente $m=y'/x'$, 
chercher le signe de $m'$ ou de  $x'y'{'}-x'{'}y'$
\item longueur $ds=v dt$, $v=\sqrt{x'^2+y'^2}$ la vitesse,
\item courbure $\kappa=\frac{x'y'{'}-x'{'}y'}{v^3}$
\item rep\`ere de Frenet form\'e de $M$, 
$\overrightarrow{T}=\overrightarrow{v}/v$ et
$\overrightarrow{N}$ tel que
$\{\overrightarrow{T},\overrightarrow{N}\}$ soit orthonorm\'e direct,
$\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}=\kappa \overrightarrow{N}$
\item rayon de courbure $R=1/|\kappa|=\frac{v^3}{|x'y'{'}-x'{'}y'|}$
\item acc\'el\'eration tangentielle et normale
$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}_T+
\overrightarrow{a}_N$ avec $a_T=dv/dt$ et $a_N=v^2/R$
\item cercle osculateur de centre $M+1/\kappa \overrightarrow{N}$, 
parcout la d\'evelopp\'ee de la courbe.
\end{itemize}

\subsection{Coniques}
\begin{itemize}
\item D\'efinition par directrice $D$, foyer $F$ et excentricit\'e $e$, 
$d(M,F)=ed(M,D)$,\\ 
\'Equation polaire (origine en $F$, $D$ d'\'equation $x=d$)
$r = ed/(1+e\cos(\theta))$ 
\item D\'efinition par \'equation du second degr\'e
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$, le signe de $b^2-4ac$
discrimine entre ellipse (-), parabole (nul) ou hyperbole (+).
\item Ellipse: $MF+MF'=2a$, $FF'=2c$, $e=c/a<1$, $a^2=b^2+c^2$.\\
\'Equation cart\'esienne r\'eduite $x^2/a^2+y^2/b^2=1$.\\
Param\'etrique r\'eduite $x=a\cos(t), y=b\sin(t)$\\
\'Equation polaire (origine en $F$) $r=a(1-e^2)/(1+e\cos(\theta))$\\
Tangente et normale: bissectrices ext\'erieure et int\'erieure au point
des directions issues des foyers.
\item Hyperbole $|MF-MF'|=2a$, $FF'=2c$, $e=c/a>1$, $c^2=b^2+a^2$\\
\'Equation cart\'esienne r\'eduite $x^2/a^2-y^2/b^2=1$.\\
Param\'etrique r\'eduite $x=\pm a \cosh(t), y=b\sinh(t)$\\
\'Equation polaire (origine en $F$) $r=a(1-e^2)/(1+e\cos(\theta))$\\
Tangente et normale: bissectrices int\'erieure et ext\'erieure au point
des directions issues des foyers.
\item Tangente et normale \`a la parabole~: bissectrices
de la direction issue du foyer et de la perpendiculaire \`a la directrice.
\end{itemize}

\subsection{Courbes en polaires}
\begin{itemize}
\item vitesse $\overrightarrow{v}=r'e_r+re_\theta$, d'affixe 
$z=(r'+ir)e^{i\theta}$ dirige
la tangente, sauf si $r(\theta_0)=r'(\theta_0)=0$ (point singulier), 
dans ce cas la tangente fait un angle de $\theta_0$ avec l'axe des $x$
et on a un rebroussement de premi\`ere esp\`ece si $r$ 
ne change pas de signe.
\item recherche d'asymptote si $r(\theta) \rightarrow \infty$ pour $\theta
  \rightarrow \theta_0$, si $\lim r(\theta) \sin(\theta-\theta_0)=l$
  existe, asymptote $Y=l$ dans le rep\`ere tourn\'e de $\theta_0$
\item convexit\'e~: \'etude du signe de $1/r+(1/r)'{'}$ ou de 
$r^2+2r'^2-rr'{'}$ 
\item courbure $\kappa=(r^2+2r'^2-rr'{'})/\sqrt{r^2+r'^2}^3$
\end{itemize}

\subsection{Int\'egrales curvilignes}
\begin{itemize}
\item $\omega=M(x,y) dx+N(x,y)dy$ forme diff\'erentielle
\item $\omega$ est exacte si $\omega=dV$, $M=\partial_x V$, 
$N=\partial_yV$ et $(M,N)=\nabla V$ le gradient de $V$. 
\item $\omega$ est ferm\'ee si $\partial_y M=\partial_x N$.
\item exact entraine ferm\'e, la r\'eciproque est vraie
si le domaine de d\'efinition n'a pas de trous.
\item calcul d'une int\'egrale curviligne~:
$\int_\gamma \omega = \int_{t_A}^{t_B} (M \frac{dx}{dt} + N
  \frac{dy}{dt})dt$
\item si $\omega=dV$ est exacte, $\int_\gamma \omega=V(B)-V(A)$.
Les lignes de niveau de $V$ ont leur tangente orthogonale au
gradient de $V$ et sont solutions de $M+Ny'=0$.
\item Si $\gamma$ est un lacet orient\'e dans le sens
  trigonom\'etrique\\
$\int_\gamma Mdx+Ndy=\iint_{\mbox{interieur de}
  \gamma} (\partial_x N - \partial_y M) \ dx \ dy$
\end{itemize}

%\pagebreak

\chapter{\'Equations et syst\`emes diff\'erentiels.}

\section{Introduction et repr\'esentation graphique.}
On s'int\'eresse \`a l'\'equation diff\'erentielle
\begin{equation} \label{eq:diff}
 y'=\frac{dy}{dt}=f(y,t)
\end{equation}
o\`u $y(t) \in \mathbb{R}^n$ et $f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$.
Si $n=1$, c'est une \'equation diff\'erentielle, si $n>1$ c'est
un syst\`eme diff\'erentiel.

Exemple~: en dimension $n=1$, $y'=f(y,t)=ay$. On sait r\'esoudre cette
\'equation, les solutions sont de la forme $y(t)=Ce^{at}$. Si on trace
la courbe repr\'esentative de ces solutions (appel\'ee
courbe int\'egrale), on observe que par
tout point du plan, il passe une solution unique. La tangente
\`a une courbe int\'egrale a pour pente $y'=ay$ donc pour
vecteur directeur le vecteur de composantes $(1,ay)$.

C'est vrai de mani\`ere plus g\'en\'erale, le vecteur directeur
de la tangente \`a une courbe int\'egrale est $(1,f(y,t))$. Si
on repr\'esente dans le plan selon un quadrillage r\'egulier
les vecteurs $(1,f(y,t))$, une courbe int\'egrale doit \^etre
tangente \`a ces vecteurs chaque fois qu'elle passe en un point
du quadrillage, (et \`a peu pr\`es tangente si elle passe \`a
proximit\'e). Un tel quadrillage est appel\'e champ des tangentes
(commande \verb|plotfield| en Xcas, mode \'egalement disponible
sur certaines calculatrices).

Exercice~: tracer le champ des tangentes et quelques solutions
pour quelques exemples de fonction $f(y,t)$, avec Xcas cr\'eer
une figure 2d, puis choisir le mode Champ des tangentes
du menu Geo, Graphe, entrer la fonction, puis cliquer en quelques
points pour faire tracer la solution passant par ces points.\\
Par exemple pour $y'=-y+\cos(t)$\\
\giacinput{purge(t,y)}\\
\giacslider{y0}{-5}{5}{0.1}{1.0}{
gl_x=-2..10; gl_y=-3..3;
plotfield(-y+cos(t),[t=-2..10,y=-5..5],xstep=0.6,ystep=0.6,normalize);
plotode(-y+cos(t),[t=-2..10,y],[0,y0],tstep=0.1,color=red)
}

L'\'equation (\(\ref{eq:diff}\)) est d'ordre 1, or certaines \'equations
diff\'erentielles se pr\'esentent naturellement comme des
\'equations d'ordre 2, par exemple l'\'equation fondementale
de la dynamique (acc\'el\'eration=somme des forces divis\'ee par
la masse). Mais on peut facilement se ramener \`a un
syst\`eme diff\'erentiel d'ordre
1, en augmentant la dimension de $y$. Par exemple, si
on pose $y=(x(t),v(t))$, o\`u $x(t)$ est la position
et $v(t)$ la vitesse, alors l'\'equation devient un syst\`eme d'ordre 1
$$ \frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} x(t) \\ v(t) \end{array}
\right) 
= \left(\begin{array}{c} v(t) \\ \frac{F}{m} \end{array} \right) $$
o\`u $F$ est la force, qui d\'epend de la position $x(t)$ 
(champ \'electrique, gravitation...) et
\'eventuellement de la vitesse (force de frottement, champ magn\'etique...).
On utilise aussi assez fr\'equemment $y=(q(t),p(t))$
o\`u $q(t)$ est la position, et $p(t)$ la quantit\'e de mouvement
(qui d\'epend de la vitesse, lin\'eairement en m\'ecanique classique).

Repr\'esentation graphique~: comme pr\'ec\'edemment,
on peut se placer dans l'espace
des $(t,x,v)$ (si $x$ est en dimension 1), mais il est souvent
plus difficile d'observer des ph\'enom\`enes sur un graphe
en 3-d que dans le plan, on pr\'ef\`ere ne pas repr\'esenter explicitement le
temps $t$, mais uniquement $(x,v)$, on est donc naturellement
ramen\'e \`a repr\'esenter une solution (une courbe int\'egrale)
par une courbe param\'etrique en $(x,v)$ (ou en position
impulsion). On a encore la notion de champ des tangentes
si $f(y,t)=f(y)$ ne d\'epend pas explicitement du temps
(on dit que le syst\`eme est {\em autonome}), dans ce
cas une courbe int\'egrale a pour tangente en $y\in \mathbb{R}^2$ 
de direction port\'ee par le vecteur $f(y) \in \mathbb{R}^2$.\\
{\bf Exemple}~: $(x,v)'=5(-v,x)$. La commande \\
\giacinput{purge(v,x);plotfield(5*[-v,x],[x=-1..1,v=-1..1],normalize)}
%\verb|plotfield(5*[-v,x],[x=-1..1,v=-1..1],normalize)|
permet d'en repr\'esenter le champ des tangentes
et d'avoir une id\'ee approximative de l'allure des solutions
(\verb|normalize| affiche des vecteur tangents de norme 1, si
on n'utilise pas cette option, la taille des vecteurs tangents donne
la ``vitesse'' de d\'eplacement).
On sait r\'esoudre ce syst\`eme diff\'erentiel, soit en appliquant
une technique matricielle pr\'esent\'ee ci-dessous, 
soit en se ramenant \`a une \'equation
lin\'eaire d'ordre 2 \`a coefficients constants:
$$ x'{'}=-5v'=-25x$$
donc $x(t)=A\cos(5t)+B\sin(5t)$, $A, B$ \'etant d\'etermin\'es
par les conditions initiales sur $(x,v)$.

Une \'equation donn\'ee sous la forme (\(\ref{eq:diff}\))
est appel\'ee une \'equation r\'esolue en $y$,
car on a exprim\'e la d\'eriv\'ee en fonction de $y$ et de $t$. Il
existe (plus fr\'equemment en math\'ematiques) d'autres formes d'\'equations
diff\'erentielles (non r\'esolues) o\`u le premier travail de r\'esolution
peut consister \`a exprimer
$y'$ en fonction de $y$ et $t$ (ce qui n'est pas toujours possible 
explicitement).

Exemple~: en dimension 1, $ty'=y$, on sait r\'esoudre exactement
cette \'equation \`a variables s\'eparables, les solutions sont de la 
forme $Ct$.\\
\giacinput[style="width:400px;height:100px;font-size:large"]{purge(x,y);gl_x=-1..1;gl_y=-5..5;
purge(x,y);gl_x=-5..5;gl_y=-5..5;
plotfield(y/t,[t=-5..5,y=-5..5],xstep=0.75,ystep=0.75,normalize);
seq(line(y=k*x,color=red),k,-5,5,0.5)
}
On observe que contrairement \`a $y'=ay$
o\`u passe une solution et une seule par chaque point du plan,
ici toutes les solutions valent 0 en $t=0$~: il passe une
infinit\'e de solutions par le point $(0,0)$ et il n'en passe aucune
par $(0,a), \ a \neq 0$. Ce ph\'enom\`ene de non unicit\'e/non
existence vient de la mise sous forme r\'esolue $y'=y/t$ qui
fait apparaitre une singularit\'e de $f(y,t)$ en $t=0$.

On pr\'esente dans la suite de cette section 
des r\'esultats qualitatifs sur les \'equations sous forme r\'esolue
lorsqu'on ne sait pas les r\'esoudre, ainsi que 
quelques m\'ethodes explicites
pour certaines \'equations diff\'erentielles que l'on sait
r\'esoudre.

\section{Existence et unicit\'e} \label{sec:existence}
Il s'agit ici de pr\'eciser dans quelles conditions le r\'esultat
intuitif suivant est vrai~: \'etant donn\'e une condition initiale
$y(t_0)=y_0$, il y a une et une seule \'evolution possible, donc
une solution unique $y(t)$ de l'\'equation ou du syst\`eme
(\(\ref{eq:diff}\)).

On a le~:
\begin{thm} \label{thm:eqdiff} (Cauchy-Lipschitz)
Si $f$ est continument d\'erivable en $y$ et $t$ sur $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}$
ou sur un domaine ouvert $D$ inclus dans $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}$, alors l'\'equation
(ou le syst\`eme) r\'esolu (\(\ref{eq:diff}\)) admet pour toute condition
initiale $y(t_0)=y_0$ une solution unique
sur un intervalle maximal ouvert en temps contenant $t_0$.
\end{thm}
{\bf Remarques}
\begin{itemize}
\item
Attention, l'existence d'une solution ne signifie absolument pas que
l'on sait calculer explicitement $y(t)$.
\item
L'existence et l'unicit\'e d'une solution permet d'affirmer le
caract\`ere d\'eterministe de l'\'equation. Mais la m\'econnaissance
pr\'ecise de la condition initiale peut au cours du temps
provoquer une erreur tellement grande sur $y(t)$
que celle-ci devient impr\'edictible.
\item Le th\'eor\`eme ne dit rien sur la taille de l'intervalle
d'existence de la solution (en temps). Certaines solutions
peuvent exploser en temps fini, par exemple\\
\verb|desolve(y'=y^2 and y(0)=1)|\\
Bien entendu, si on mod\'elise une quantit\'e physique par $y$, dire
que $y$ explose (en temps fini ou infini du reste)
signifie que les approximations utilis\'ees pour la mod\'elisation
ne sont plus valable bien avant.
\end{itemize}
On admettra ce th\'eor\`eme, voici quelques id\'ees heuristiques
de la preuve. L'\'equation $y'=f(y,t)$ peut se r\'e\'ecrire sous la forme
int\'egrale \'equivalente 
$$y(t)=y(t_0)+\int_{t_0}^t y'(u) \ du =
 y(t_0)+\int_{t_0}^t f(y(u),u)\ du $$ 
Si $t$ est assez proche de $t_0$, on peut approcher l'int\'egrale par 
$$ y(t) = y(t_0) + (t-t_0) f(y(t_0),t_0) + \mbox{petite erreur}$$
C'est exactement ce qu'on fait en suivant le champ des tangentes
pour approcher une courbe int\'egrale graphiquement, et si on
discr\'etise le temps avec un pas petit, cette m\'ethode
d'approximation est appel\'ee m\'ethode d'Euler. On peut
bien sur utiliser d'autres approximations (meilleures) de
l'int\'egrale pour avoir une meilleure approximation de la solution,
et les m\'ethodes dites de Runge-Kutta utilisent cette id\'ee. D'un
point de vue th\'eorique, la preuve repose plut\^ot sur ce qu'on
appelle le th\'eor\`eme du point fixe, on met la valeur approch\'ee
de $y(t)$ trouv\'ee dans l'\'equation int\'egrale pour avoir
une nouvelle valeur approch\'ee de $y(t)$, on recommence,
ainsi de suite, et on montre que
le processus converge (il s'agit math\'ematiquement parlant
d'une suite r\'ecurrente de fonctions, la preuve rigoureuse
de la convergence n\'ecessite des outils math\'ematiques 
de niveau L3-M1 de maths, c'est l'analogue des suites
r\'ecurrentes de r\'eels qui permettent de r\'esoudre
num\'eriquement des \'equations comme $x=\cos(x)$
abord\'ees en mat406).

{\bf Cons\'equence du th\'eor\`eme \ref{thm:eqdiff}}~: 
deux courbes int\'egrales de la m\^eme \'equation
diff\'erentielle ne peuvent se couper dans $D$. Donc si on connait
une courbe int\'egrale $C$ de $D$ et qu'on prend une condition initiale
en-dehors de cette courbe, la courbe int\'egrale unique passant
par cette condition initiale restera du m\^eme cot\'e de $D$. Si on
connait deux courbes int\'egrales de $D$, une courbe int\'egrale
passant par une condition initiale entre les deux courbes restera
entre les deux courbes.

{\bf Exemple}~: $y'=y(1-y)$ (\'equation logistique). 
\giacslider{y0}{-0.5}{1.5}{0.05}{0.5}{
gl_x=-5..5;gl_y=-1..2;
plotfield(y*(1-y),[t=-5..5,y=-1..2],xstep=0.4,ystep=0.2);
plotode(y*(1-y),[t=-5..5,y],[0,y0],tstep=0.1,color=red)
}
Cette \'equation autonome admet deux solutions
\'evidentes $y=0$ et $y=1$. Donc pour toute condition initiale $y(t_0)
\in ]0,1[$, on a $y(t) \in ]0,1[$\footnote{En toute rigueur,
il faut prouver que la solution maximale est bien d\'efinie sur
$\mathbb{R}$ tout entier. Soit $]t_m,t_M[$ l'intervalle maximal de
d\'efinition de la solution. Si $t_M \neq +\infty$,
alors en int\'egrant $y'$ qui est born\'e sur $[t_0,t_M[$ 
on obtient une valeur finie pour la limite en $t_M$ de $y(t)$,
on peut alors prolonger $y(t)$ autour de $t_M$
en appliquant le th\'eor\`eme de Cauchy-Lipschitz en $t=t_M$,
ce qui est contradictoire avec l'hypoth\`ese de maximalit\'e. 
Donc $t_M=+\infty$ et de m\^eme $t_m=-\infty$}. 
On en d\'eduit que $y'=y(1-y)>0$
donc la solution $y$ est strictement croissante, comme elle est
born\'ee par 0 et 1, elle admet une limite pour $t \rightarrow \pm
\infty$, donc $y'$ tend vers 0 pour $t \rightarrow \pm
\infty$, donc $y$ tend vers 0 ou 1, et comme $y$ croit, 
$y \rightarrow 0$ en $t=-\infty$ et $y \rightarrow 1$ en $t=+\infty$.
Le comportement \`a l'infini est donc ind\'ependant de la valeur
pr\'ecise de la condition initiale, pourvu qu'elle soit dans $]0,1[$.

{\bf Exercice~}: toujours pour $y'=y(1-y)$ que se passe-t-il pour une
condition initiale $y(t_0)>1$~?

\section{Quelques m\'ethodes de r\'esolution explicite.}

\subsection{\'Equations \`a variables
  s\'eparables}\index{s\'eparables, variables}\index{variables s\'eparables}
Si on peut factoriser $f(y,t)$ en termes ne d\'ependant que
de $y$ ou ne d\'ependant que de $t$, on dit que l'\'equation
est \`a variable s\'eparable $$y'=f(y,t)=g(t)h(y)$$
Cette \'equation admet des solutions constantes $y=y_0$ lorsque
$h(y_0)=0$. Si $h(y(t_0)) \neq 0$, par le th\'eor\`eme de
Cauchy-Lipschitz $h(y(t))$ ne s'annule nulle part sur son domaine
de d\'efinition. On peut donc diviser par $h(y)$ et 
int\'egrer~:
$$ \Rightarrow \int \frac{dy}{h(y)} = \int g(t) \ 
dt$$
On obtient une \'equation implicite de la forme $H(y)=G(t)+C$ o\`u
$G$ est une primitive de $g$, $H$ de $1/h$ et $C$ une constante
arbitraire. Dans les cas favorables, on peut exprimer $y$ en fonction
de $t$ (par exemple si l'\'equation est lin\'eaire sans second membre,
on a $h(y)=y$ donc $H$ est le log que l'on sait
inverser). Dans les cas moins favorables, on peut exprimer $y$ et
$t$ en fonction d'un param\`etre $u$~: la courbe int\'egrale est
une courbe param\'etr\'ee. Dans les cas d\'efavorables, on reste
sous forme implicite.

{\bf Exercice~}: r\'esoudre explicitement l'\'equation $y'=y(1-y)$
et retrouver les r\'esultats qualitatifs de la section pr\'ec\'edente. \\
\giacinputbigmath{desolve(y'=y*(1-y))}

\subsection{\'Equations lin\'eaires}\index{lin\'eaire,
  \'equation}\index{\'equation lin\'eaire}
On commence par r\'esoudre l'\'equation sans second membre
(aussi appel\'ee homog\`ene)
$$ a_n(t) y^{[n]} +...+a_1(t)y'+a_0(t)y=0$$
sur un intervalle ouvert sur lequel $a_n(t) \neq 0$. 
L'ensemble des solutions est un espace vectoriel (car l'\'equation
est lin\'eaire) et de dimension l'ordre de
l'\'equation~: pour le prouver on peut appliquer le th\'eor\`eme
de Cauchy-Lipschitz au syst\`eme d'ordre 1 \'equivalent, ce
syst\`eme est tel que $y$ est un vecteur de $\mathbb{R}^n$, on a ensuite
un isomorphisme entre les solutions et la condition initiale.

Si l'ordre est 1, on a une \'equation \`a variables s\'eparables
$ y'/y=-a_0(t)/a_1(t)$ et la solution est une exponentielle~:
$$ y(t)=Ce^{-\int \frac{a_0}{a_1} \ dt}$$
{\bf Exemple}~: $y'-ty=0$, on a $y(t)=Ce^{\int t \ dt}=Ce^{t^2/2}$

Si l'ordre est plus grand que 1, on n'a en g\'en\'eral pas de solution
explicitable avec les fonctions usuelles et des primitives\footnote{On peut
d'ailleurs d\'emontrer que certaines \'equations ne sont pas r\'esolubles de
cette mani\`ere, cf. la th\'eorie de Galois diff\'erentielle}, 
pour certaines \'equations importantes en physique, 
des fonctions sp\'eciales
ont \'et\'e cr\'e\'ees pour exprimer les solutions, par
exemple les fonctions de Bessel. Il existe quelques
cas particuliers o\`u le calcul explicite est possible, dont
le cas o\`u les coefficients sont constants (section suivante).
Si on connait une solution $w$ d'une \'equation lin\'eaire, alors 
en posant $y=wz$, la fonction $z'$ v\'erifie une \'equation lin\'eaire
d'ordre un de moins, ainsi si on connait une solution d'une \'equation
lin\'eaire d'ordre 2, on peut la r\'esoudre compl\`etement.

Le calcul d'une solution particuli\`ere 
d'une \'equation lin\'eaire avec second
membre se fait en faisant varier les constantes d'int\'egration~:
on prend la forme g\'en\'erale de la solution de l'\'equation
homog\`ene,
on remplace les constantes d'int\'egration par des fonctions inconnues,
on remplace dans l'\'equation avec second membre et on
r\'esoud en les fonctions inconnues, la m\'ethode d\'etaill\'ee
dans le cas des coefficients constants s'applique \`a l'identique.
La solution g\'en\'erale est la somme d'une solution particuli\`ere
et de la solution g\'en\'erale de l'\'equation sans second membre.

{\bf Exemple~}: $y'-ty=-t$, solution g\'en\'erale de l'\'equation
homog\`ene $y(t)=Ce^{t^2/2}$, variation de la constante
on remplace $y(t)=C(t)e^{t^2/2}$ dans $y'-ty=-t$ et on obtient
$C' e^{t^2/2}=-t$, donc $C'=-te^{-t^2/2}$ et $C=e^{-t^2/2}+K$,
d'o\`u la solution g\'en\'erale $y(t)=(e^{-t^2/2}+K)e^{t^2/2}=1+Ke^{t^2/2}$.

\subsection{\'Equations lin\'eaires \`a coefficients constants}
On peut chercher des solutions de l'\'equation sans second membre
sous la forme d'exponentielles
$e^{rt}$, $r$ doit alors v\'erifier une \'equation polynomiale $P(r)=0$
appel\'ee {\bf \'equation caract\'eristique}\index{caract\'eristique,
  \'equation}\index{\'equation caract\'eristique},
de degr\'e le degr\'e de l'\'equation diff\'erentielle. 
Plus pr\'ecis\'ement, si on remplace $e^{rt}$ dans
$$ a_n y^{[n]}+...+a_1 y'+a_0y=0$$ alors
$$ a_n r^n +...+a_1r +a_0=P(r)=0$$
\begin{thm}
Si  $P$ n'a que des racines simples $r_1,...,r_n \in \mathbb{C}$, 
l'ensemble des solutions
est alors l'espace vectoriel engendr\'e par 
$\{ e^{r_1t}, ... , e^{r_nt} \}$
\end{thm}
En effet, on a le bon nombre
d'\'el\'ements ($n$), il suffit donc de montrer 
qu'il s'agit d'une famille libre. 

Pour cela, il suffit de faire tendre $t$ vers l'infini
si toutes les parties r\'eelles des $r_j$ sont distinctes. Si
certaines sont \'egales, on peut faire tendre $t$ vers l'infini
sur une demi-droite du plan complexe, 
on pose $t=Te^{i\alpha}, T \in \mathbb{R}^+$ 
o\`u $\alpha$ est un petit angle
choisi pour que les parties r\'eelles de $r_je^{i\alpha}$ 
soient toutes distinctes (ceci revient \`a choisir $\alpha$
tel que les projections des racines $r_j$ 
sur l'axe $Ox$ tourn\'e de $-\alpha$ soient toutes distinctes,
on brise ainsi une sym\'etrie sur les racines de $P$).

On peut aussi faire une r\'ecurrence. Au rang $n=1$ c'est \'evident.
Si $n>1$ et si $(\lambda_1,...,\lambda_n)$ v\'erifient~:
$$ \sum_{j=1}^n \lambda_j e^{r_jt} = 0$$
on factorise $e^{r_n t}$ et on d\'erive, on a
$$ \sum_{j=1}^{n-1} \lambda_j (r_j-r_n) e^{(r_j-r_n)t} =0 $$
on est ramen\'e \`a l'identit\'e pr\'ec\'edente au rang $n-1$
donc par r\'ecurrence, $\lambda_j (r_j-r_n)=0$ et $\lambda_j=0$
si $j \neq n$, puis $\lambda_n=0$ avec la relation du d\'epart.

Dans le cas g\'en\'eral, on a~:
\begin{thm}
Si $P$ a des racines multiples, il faut modifier la base
de l'\'enonc\'e pr\'ec\'edent~: pour chaque
racine $r_k$ de multiplicit\'e $m>1$, on remplace $e^{r_kt}$
r\'ep\'et\'e $m$ fois par
$\{ e^{r_kt}, te^{r_kt}, ..., t^{m-1} e^{r_kt} \}$
\end{thm}
En effet, on a~:
$$ (ty)^{[j]} = t y^{[j]} + j y^{[j-1]}$$
Supposons que $y$ est solution de l'\'equation, 
alors $ty$ est encore solution si~:
$$na_n y^{[n-1]} + (n-1)a_{n-1} y^{[n-2]}+...+a_1y=0$$
et on reconnait une \'equation diff\'erentielle lin\'eaire \`a coefficients
constants dont l'\'equation caract\'eristique est $P'=0$, on a donc
montr\'e la~:
\begin{prop}
Si $y$ est solution des deux \'equations diff\'erentielles \`a coefficients
constants de polynomes caract\'eristiques respectifs $P$ et $P'$ alors
$ty$ est solution de l'\'equation diff\'erentielle \`a coefficients
constants de polynome caract\'eristique $P$.
\end{prop}
Pour prouver le th\'eor\`eme, il faut encore se convaincre que la
famille est une base, ce qui revient
\`a prouver l'ind\'ependance lin\'eaire de ces fonctions.
Cela se fait comme pr\'ec\'edemment. Si toutes les parties r\'eelles
des racines sont distinctes, en faisant tendre $t$ vers
l'infini on se ram\`ene \`a un \'equivalent polyn\^omial nul.
Si certaines parties r\'eelles sont \'egales, on peut \`a nouveau
faire tendre $t$ vers l'infini dans le plan complexe en
tournant d'un petit angle. On peut aussi adapter la r\'ecurrence,
sur le nombre de racines. S'il y
en a une, on a un polyn\^ome. Sinon, on factorise $e^{r_nt}$,
et on d\'erive la multiplicit\'e de $r_n$ pour appliquer
le r\'esultat au cran $n-1$, on a alors un syst\`eme triangulaire
sur le groupe d'inconnues de la m\^eme exponentielle. On peut aussi
se ramener \`a des polyn\^omes en posant comme ci-dessus
$t=Te^{i\alpha}$ et en faisant tendre $T$ vers l'infini.

Si $P$ est \`a coefficients r\'eels et admet une racine non r\'eelle
$z$ alors $\overline{z}$ est encore racine, on peut r\'e\'ecrire 
la base d'exponentielles complexes en une base
de fonctions r\'eelles en utilisant des fonctions trigonom\'etriques.
En effet les combinaisons lin\'eaires r\'eelles
de $e^{zt}$ et $e^{\overline{z}t}$ ont des coefficients conjugu\'es~:
$$ (\alpha + i \beta) e^{(a+ib)t} + (\alpha - i \beta)  e^{(a-ib)t}
=  e^{at} ( 2 \alpha \cos(bt) - 2 \beta \sin(bt) )$$

{\bf Exemples~}: 
\begin{itemize}
\item $y'{'}+3y'-4y=0$, \'equation caract\'eristique $r^2+3r-4=0$,
deux racines distinctes $r=1, r=-4$, donc $y(t)=\alpha e^t+\beta e^{-4t}$
\item $y'{'}+2y'+y=0$, \'equation caract\'eristique $r^2+2r+1=0$,
a une racine double $r=-1$, donc $y(t)=\alpha e^{-t}+\beta t e^{-t}$
\item $y'{'}+2y'+2y=0$, \'equation caract\'eristique $r^2+2r+2=0$,
deux racines conjugu\'ees $r=-1\pm i$, donc
$y(t)=e^{-t}(\alpha \cos(t)+\beta \sin(t))$
\end{itemize}
\giacinputbigmath{desolve(y''+2y'+2y=0)}

On peut trouver une solution particuli\`ere de l'\'equation avec
second membre $s(t)$ par la m\'ethode de variation
des constantes, qui s'applique d'ailleurs
\'egalement lorsque l'\'equation est lin\'eaire \`a coefficients
variables. Si la solution g\'en\'erale est engendr\'ee par
$y_1,...,y_n$, on pose~:
$$ y=\sum_{i=1}^n \lambda_i y_i$$
On pose
$$ \sum_{i=1}^n \lambda_i' y_i=0 \ \Rightarrow \ 
y'=\sum_{i=1}^n \lambda_i y_i'$$
et ainsi de suite jusqu'\`a la d\'eriv\'ee d'ordre $n$ de $y$, ces
$n-1$ \'equations et l'\'equation diff\'erentielle donnent 
alors un syst\`eme lin\'eaire $n,n$ en
les $\lambda_i'$. 
$$ \left\{ \begin{array}{ccc}
\sum_{i=1}^n \lambda_i' y_i &=&0\\
\sum_{i=1}^n \lambda_i' y_i' &=&0\\
...\\
\sum_{i=1}^n \lambda_i' y_i^{[n-2]} &=&0\\
\sum_{i=1}^n \lambda_i' y_i^{[n-1]} &=& \frac{s(t)}{a_n}\\
\end{array} \right. $$
Ce syst\`eme a pour d\'eterminant $d$ la matrice
de $i$-i\`eme ligne la d\'eriv\'ee d'ordre $i-1$ de $y_1,...,y_n$.
Si on calcule la d\'eriv\'ee de $d$, il faut faire
porter la d\'eriv\'ee sur la derni\`ere ligne pour avoir une
contribution non nulle, on peut alors utiliser l'\'equation
diff\'erentielle pour montrer que $d$ v\'erifie une
\'equation lin\'eaire d'ordre 1 $a_nd'=(-1)^na_{n-1}d$ donc il est soit 
identiquement nul soit jamais nul. 
On montre alors par r\'ecurrence que l'ind\'ependance lin\'eaire
de $y_1,...,y_n$ entraine alors
que le d\'eterminant est non nul.
En effet s'il est nul au rang $n$, alors l'une
des colonnes est combinaison lin\'eaire des autres, par exemple
la derni\`ere, on a donc~:
$$y_n= \sum_{j=1}^{n-1} c_j y_j, \quad y_n'=\sum_{j=1}^{n-1} c_j y_j', ...
\quad y_n^{[k]}=\sum_{j=1}^{n-1} c_j y_j^{[k]}, ...$$
en d\'erivant on en d\'eduit que
$$ \sum_{j=1}^{n-1} c_j' y_j=0, ..., \sum_{j=1}^{n-1} c_j' y_j^{[k-1]}=0,... $$
on est ramen\'e \`a un syst\`eme lin\'eaire homog\`ene en $n-1$ inconnues
(les $c_j'$) \`a qui on applique l'hypoth\`ese de r\'ecurrence, 
on en d\'eduit que
les $c_j'$ sont nuls donc les $c_j$ sont des constantes ce qui contredit
l'ind\'ependance lin\'eaire des $y_j$.

Pour des second membre combinaison lin\'eaire
de termes $b(t)e^{rt}$ avec $b$ polyn\^ome,
il est plus simple de chercher directement une solution particuli\`ere
combinaison lin\'eaire de $a(t)e^{rt}$ o\`u $a$ est de m\^eme
degr\'e que $b$ si $r$ n'est pas racine de $P$, ou de degr\'e le
degr\'e de $b$ plus la multiplicit\'e de $r$ comme racine de $P$.
On peut aussi utiliser la transformation de Laplace et son inverse.

\subsection{Syst\`emes diff\'erentiels lin\'eaires \`a coefficients
constants d'ordre 1.}\index{lin\'eaire, syst\`eme diff\'erentiel}
Il s'agit donc de syst\`emes de la forme
$$ y'=Ay+b(t)$$
o\`u $y(t)\in \mathbb{R}^n$, $A$ est une matrice carr\'ee de taille $n$ 
ind\'ependante du temps, et $b(t) \in \mathbb{R}^n$.

On commence par r\'esoudre l'\'equation homog\`ene $y'=Ay$.
Si la matrice $A$ est diagonalisable, alors $A=PDP^{-1}$ o\`u
$D$=diag$(d_1,...,d_n)$ est diagonale et $P$ inversible, le syst\`eme devient~:
$$ y'=PDP^{-1} y$$
donc en posant $y=Pz$, on a (puisque $P$ est ind\'ependant du temps)~:
$$ z'=Dz \quad \Leftrightarrow \quad z_k'=d_kz_k, \ k=1..n$$
donc $z_k=c_k e^{d_kt}$, puis la solution g\'en\'erale
$$y(t)=P\left( \begin{array}{c} c_1 e^{d_1t} \\ ... \\c_n e^{d_nt}
\end{array} \right)$$
Le calcul avec Xcas se fait en utilisant la commande \verb|desolve|,
par exemple\\
\verb|desolve(y'=[[1,2],[2,1]]*y)|\\
\giacinputbigmath{desolve(y'=[[1,2],[2,1]]*y)}\\
ou avec conditions initiales\\
\verb|desolve(y'=[[1,2],[2,1]]*y and y(0)=[1,2])|\\
\giacinputbigmath{desolve([y'=[[1,2],[2,1]]*y,y(0)=[1,2]])}\\
On peut aussi utiliser la fonction \verb|exp|
avec comme argument $At$ (on g\'en\'eralise ainsi 
la notation $e^{at}$ 
de la dimension 1), multipli\'e par la condition initiale~:\\
\verb|exp([[1,2],[2,1]]*t)*[1,2]|\\
Les calculs interm\'ediaires pour diagonaliser la matrice $A$ sont
ex\'ecut\'es par les commandes \verb|eigenvals|, \verb|eigenvects|,
\verb|jordan|.

On peut ensuite calculer une solution particuli\`ere par la m\'ethode
de variation des constantes, ou encore en r\'esolvant 
$z'=Dz+P^{-1}b(t)$ composante par composante (ou par transformation
de Laplace). Avec Xcas,
il suffit d'ajouter le second membre dans la commande \verb|desolve|\\
\verb|desolve(y'=[[1,2],[2,1]]*y+[x,x+1])|

Si la matrice $A$ n'est pas diagonalisable (ce qui entraine
qu'elle a au moins une valeur propre de
multiplicit\'e plus grande que 1), on peut alors
la trigonaliser, on se ramene \`a r\'esoudre un syst\`eme
triangulaire, ce qui revient \`a r\'esoudre pour chaque
composante une \'equation
diff\'erentielle lin\'eaire d'ordre 1 avec un \'eventuel 
second membre. 

\subsection{Syst\`emes et \'equations}
Il y a un lien entre syst\`emes diff\'erentiels lin\'eaires
et \'equations lin\'eaires. En effet une \'equation d'ordre $n$ peut
s'\'ecrire comme un syst\`eme diff\'erentiel d'ordre 1,
on peut calculer le polyn\^ome caract\'eristique de la matrice
on retrouve alors l'\'equation caract\'eristique. Inversement,
toute matrice $A$ admet un polyn\^ome $P$
annulateur tel que $P(A)=0$\footnote{Cela vient du fait que
les puissances de $A$ forment une famille d'un
espace vectoriel de dimension finie $n^2$, donc la famille est li\'ee
\`a partir de $n^2+1$ \'el\'ements, en fait on peut montrer
que c'est le cas si on consid\`ere $I,A,...,A^n$.},
le polyn\^ome caract\'eristique de $A$ est un polyn\^ome annulateur
(th\'eor\`eme de Cayley-Hamilton).
Les composantes des solutions du syst\`eme diff\'erentiel sont des 
solutions de l'\'equation diff\'erentielle dont l'\'equation
caract\'eristique est $P(x)=0$. En effet~:
$$0=P(A)y=\sum_{k=0}^n p_k A^k y = \sum_{k=0}^n p_k y^{[k]}$$

{\bf Exemple en dimension 2.}
Soit $$A=\left(\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}\right) $$
Si $b=0$ alors $y_1'=ay_1$ on en d\'eduit
$y_1$ puis $y_2$. Supposons donc $b\neq 0$, alors
$$ P(x)=x^{2} - x (a+d) +a d-b c$$
(on peut v\'erifier que $P(A)=0$)
donc si $y'=Ay$ alors 
$$ y_1'{'}-(a+d)y_1'+ad-bc=0$$
et $y_2$ s'en d\'eduit avec $y_1'-ay_1=by_2$ (on peut du reste
partir de cette relation pour \'etablir l'\'equation d'ordre 2
v\'erifi\'ee par $y_1$). On peut ainsi
r\'esoudre tous les syst\`emes de dimension 2, m\^eme
si la matrice $A$ n'est pas diagonalisable.

{\bf Exercice~}: R\'esoudre de cette mani\`ere le syst\`eme\\
\verb|desolve(y'=[[1,2],[2,1]]*y and y(0)=[1,2])|\\
\giacinputbigmath{desolve([y'=[[1,2],[2,1]]*y,y(0)=[1,2]])}

{\bf Autre exemple~}: syst\`eme d'ordre 2 se ramenant \`a une \'equation
d'ordre 2 \`a coefficients complexes. Les \'equations pour une particule
charg\'ee dans un champ magn\'etique constant port\'e par l'axe $Oz$ et
un champ \'electrique constant perpendiculaire (donc dans le plan $Oxy$),
avec vitesse initiale nulle ou contenue dans le plan $Oxy$ donnent une 
trajectoire plane
$$ \left\{ \begin{array}{ccc} m\ddot{x}&=&qB\dot{y} +qE_x\\
m\ddot{y}&=& -qB\dot{x} +qE_y
\end{array} \right.$$
Si on pose $z=x+iy$ alors $z$ v\'erifie l'\'equation
$$ \ddot{z}=-i\frac{qB}{m} \dot{z}+\frac{qE}{m}, \quad E=E_x+iE_y$$
Le polyn\^ome caract\'eristique de cette \'equation 
$$r^2=-i\frac{qB}{m}r$$
poss\`ede deux racines distinctes 0 et $-i\frac{qB}{m}$ (mais pas le
conjugu\'e, l'\'equation n'est pas \`a coefficients r\'eels!) donc
la solution homog\`ene est 
$$z=\alpha + \beta e^{-i\frac{qB}{m}t}, \quad \alpha,\beta \in \mathbb{C}$$
Le champ \'electrique joue ici le r\^ole de second membre, comme 0
est solution de l'\'equation caract\'eristique, la forme de la 
solution particuli\`ere est $z=At$, en rempla\c{c}ant on obtient 
$ A=iE/B$ donc
$$z=\alpha + \beta e^{-i\frac{qB}{m}t}+i\frac{E}{B}t $$
La forme g\'en\'erale des solutions est un cercle si $E=0$
parcouru une infinit\'e de fois, qui se d\'eforme sous l'effet
du champ \'electrique en une sorte de spirale de ressort, pour
une vitesse initialle nulle, on obtient une cyclo\"ide.

\subsection{Allure des courbes en dimension 2.}
Si on se place dans le rep\`ere propre (en prenant les vecteurs
propres comme vecteurs de base), et si $A$ a deux valeurs
propres distinctes ($A$ est alors diagonalisable),
alors chaque coordonn\'ee suit une exponentielle, dans ce rep\`ere
$y(t)=(\alpha e^{at}, \beta e^{bt})$ avec $a \neq b$. Si $a$ et $b$
sont r\'eels, l'une des exponentielles domine l'autre lorsque
$t\rightarrow +\infty$ et c'est l'inverse lorsque $t\rightarrow
-\infty$, la courbe a pour asymptote les directions propres 
si $a$ et $b$ sont de signes contraires, ou
tend vers 0 et poss\`ede une branche parabolique de
direction asymptotique l'une des directions propres sinon.
Si $a$ et $b$ sont complexes conjugu\'es de partie r\'eelle non nulle, 
on a une spirale qui
tend vers 0 d'un cot\'e et vers l'infini de l'autre (selon le signe
de la partie r\'eelle). Si $A$ est
sym\'etrique, alors $a$ et $b$ sont r\'eels, ce cas ne peut
pas se produire, de plus on peut choisir un rep\`ere propre
orthonorm\'e, les courbes ressemblent \`a des hyperboles.
Ce sont des hyperboles si trace$(A)=0$ (la somme des valeurs
propres vaut 0 donc le produit des coordonn\'ees dans
le rep\`ere propre vaut une constante),
ces hyperboles sont \'equilat\`eres si $A$ est sym\'etrique.
Quelques exemples~:
\giacinputbigmath{A:=[[-1,1],[1,2]];p,d:=jordan(A)}
\giacinputbigmath{A:=[[1,-1],[2,4]];p,d:=jordan(A)}
\giacinputbigmath{A:=[[0,1],[-1,0]];p,d:=jordan(A)}
\giacinputmath{A:=[[1,1],[-1,1]];p,d:=jordan(A)}
\giacinputbig{seq(seq(
plotparam(exp(A*t)*[a/5,b/5],t=-1..1,affichage=arrow_line),
a,-3,3),b,-3,3)}
%\giaclink{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\%7eparisse/xcasfr.html#+A:=[[-1,1],[1,2]]&+A:=[[1,-1],[2,4]]&+A:=[[0,1],[-1,0]]&+A:=[[1,1],[-1,1]]&+p,d:=jordan(A)&+seq(seq(plotparam(exp(A*t)*[a/5,b/5],t=-1..1),a,-3,3),b,-3,3)&}

{\bf Remarque~:}pour un syst\`eme diff\'erentiel \`a coefficients
non constants, il n'existe pas de m\'ethode g\'en\'erale de
r\'esolution. Il arrive que dans certains cas particuliers,
on puisse r\'esoudre le syst\`eme, par exemple si on trouve
une matrice de passage ind\'ependante du temps ramenant
le syst\`eme \`a un syst\`eme diagonal ou triangulaire~:
un exemple avec
$$A=\left(\begin{array}{cc} 1+t & -t \\ -t & 1+t\end{array}\right)$$
Ou si $\int A(t) \ dt$ commute avec $A$, on peut prendre 
$\exp(\int A(t))$ comme solution.

\subsection{Syst\`emes d'ordre plus grand que 1}
On se ram\`ene \`a un syst\`eme d'ordre 1.
Par exemple deux ressorts coupl\'es
$$ 
\left\{ 
\begin{array}{ccc}
\ddot{x_1}&=&-2\omega^2 x_1+\omega^2 x_2\\
\ddot{x_2}&=&\omega^2 x_1-2\omega^2x_2
\end{array}
\right. $$
on pose $Y=(x_1,x_2,\dot{x_1},\dot{x_2})$, on a
$$\dot{Y}=\left(
\begin{array}{c}\dot{x_1}\\\dot{x_2}\\\ddot{x_1}\\\ddot{x_2}\end{array}
\right)
=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
-2\cdot \omega^{2} & \omega^{2} & 0 & 0 \\
\omega^{2} & -2\cdot \omega^{2} & 0 & 0
\end{array}\right) 
\left(
\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\dot{x_1}\\\dot{x_2}\end{array}
\right)
$$ 
On d\'el\`egue le calcul des valeurs propres \`a la machine~:
\giacinputbigmath{assume(omega>0);a:=omega^2*[[-2,1],[1,-2]]}
\giacinputbigmath{A:=blockmatrix(2,2,[0*idn(2),idn(2),a,0*idn(2)])}
\giacinputbigmath{p,d:=jordan(A)}
%&+normal(inv(p)*A*p)}
%desolve(y'=A*y,t,y)}
Les valeurs propres sont $\pm i \omega, \pm i\sqrt{3} \omega$ imaginaires
pures, donc les solutions du syst\`eme sont p\'eriodiques
de fr\'equence $\omega$ et $\sqrt{3}\omega$, qui sont des fr\'equences
intrins\`eques du syst\`eme. Si on ajoute un second membre
p\'eriodique de p\'eriode $\Omega$, lorsque $\Omega \neq \omega$ et 
$\Omega \neq \sqrt{3}\omega$, il y a une solution particuli\`ere
de fr\'equence $\Omega$ et les solutions sont born\'ees (3 fr\'equences),
par contre si $\Omega=\omega$ ou $\Omega=\sqrt{3}\omega$, il y a r\'esonance.

\subsection{Int\'egrales premi\`eres.}\index{premi\`ere,
  int\'egrale}\index{int\'egrale premi\`ere}
Lorsqu'on ne sait pas r\'esoudre explicitement une \'equation
ou un syst\`eme diff\'erentiel, il peut arriver qu'on connaisse
une ou des constantes du mouvement en cin\'ematique, appel\'ees
aussi int\'egrales premi\`eres. 

C'est le cas par exemple de
l'\'energie totale (m\'ecanique plus cin\'etique) pour des forces
conservatives.  En dimension un, la connaissance de l'int\'egrale 
premi\`ere \'energie
totale permet de ramener l'\'equation fondamentale de la
dynamique d'ordre 2 \`a une \'equation
du premier ordre \`a variables s\'eparables~:
$$ \frac{1}{2} m x'^2+ V(x) = E $$
soit
$$ \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2(E-V(x))}{m}}$$
donc 
$$ \frac{dx}{\sqrt{\frac{2(E-V(x))}{m}}}=dt$$
on peut ainsi calculer le temps en fonction de $x$ et tracer
le graphe de $t$ en fonction de $x$ puis le graphe de $x$ en fonction
de $t$  par sym\'etrie
par rapport \`a la premi\`ere bissectrice.

Exemple~: calcul de la p\'eriode d'un pendule, on rep\`ere
une masse reli\'ee \`a un fil de longueur $l$ \`a un point fixe
par l'angle $\theta$ form\'e avec la verticale (orient\'e vers le
bas), de sorte que
l'\'energie potentielle de la masse est $-mgl\cos(\theta)$
on a donc 
$$ \frac{1}{2} m l^2\dot{\theta}^2-mgl\cos(\theta)=E$$
puis
$$ \dot{\theta}=\sqrt{\frac{2(E+mgl\cos(\theta))}{ml^2}}$$
Si on lache sans vitesse initiale la masse avec un angle 
$\theta_0 \in ]-\pi,\pi[$ alors
$E=-mgl\cos(\theta_0)$ donc
$$ \dot{\theta}=\sqrt{2\frac{g}{l}(\cos(\theta)-\cos(\theta_0))}$$
puis
$$ \frac{d\theta}{\sqrt{2\frac{g}{l}(\cos(\theta)-\cos(\theta_0))}}
= dt $$
Pour des raisons de sym\'etrie, la p\'eriode du pendule est donc
$$ T=4\int_{t/\theta(t)=0}^{t/\theta(t)=\theta_0} dt 
=4 \int_0^{\theta_0} \frac{d\theta}{\sqrt{2\frac{g}{l}(\cos(\theta)-\cos(\theta_0))}} $$
L'expression \`a int\'egrer n'admet pas de primitive avec les fonctions
usuelles, on l'appelle int\'egrale elliptique (il y a un lien avec
la longueur d'un arc d'ellipse). On peut calculer une valeur num\'erique
approch\'ee de cette int\'egrale si $\theta_0$ est donn\'e.
\giacinputmath{theta0:=0.78; 4/sqrt(g/l)*int(1/sqrt(2*(cos(theta)-cos(theta0))),theta,0,theta0)}
Pour de petites valeurs de $\theta_0$, on peut approcher 
$\cos(\theta)$ par $1-\theta^2/2$ et calculer l'int\'egrale
\giacinputmath{assume(theta0>0); 4/sqrt(g/l)*int(1/sqrt(theta0^2-theta^2),theta,0,theta0)}
qui ne d\'epend pas de $\theta_0$. On observe que cette approximation 
est encore assez bonne pour $\theta_0<\pi/4$ (erreur<4\%).

En dimension plus grande, l'existence d'int\'egrales
premi\`eres peut permettre de 
connaitre la forme de la courbe int\'egrale et m\^eme
parfois de r\'esoudre compl\`etement l'\'equation (cas du probl\`eme
\`a deux corps ci-dessous).
 
Autre exemple, la d\'ecouverte d'un facteur 
int\'egrant pour la forme diff\'erentielle $Mdx+Ndy$
donne une int\'egrale premi\`ere pour l'\'equation $dy/dx=M/N$,
en effet $\omega=\phi(Mdx+Ndy)=dV(x,y)$ est nul
sur une courbe int\'egrale, donc $V(x,y)$
est constant, les courbes int\'egrales sont donc 
les courbes de niveau de $V(x,y)$. Une \'equation \`a variables
s\'eparables est un cas particulier, avec $M$ ne d\'ependant que de
$x$ et $N$ de $y$.

Pour un syst\`eme autonome, $V$ est une int\'egrale premi\`ere si
grad$(V).f=0$, en effet
$$ \frac{d}{dt} V(y(t))= \sum_{j=1}^n \frac{\partial V}{\partial y_j} f_j$$

{\bf Probl\`eme \`a deux corps~} 
Cas d'un point de $\mathbb{R}^3$
soumis \`a une force centrale\index{centrale, force}\index{force centrale}
comme la gravit\'e ou la force coulombienne~:
$$\frac{d^2 {\mathbf r}}{dt^2}=-\mu \frac{{\mathbf r}}{r^3}$$ 
on montre
\begin{itemize}
\item  la conservation du moment cin\'etique 
$${\bf L}=
{\mathbf r} \wedge \frac{d {\mathbf r}}{dt}$$
(v\'erification imm\'ediate en d\'erivant).
Ceci entraine que
le mouvement est dans un plan orthogonal \`a 
${\mathbf L}=L \overrightarrow{k}$
et la loi des aires (o\`u $\theta$ est l'angle form\'e par 
${\mathbf r}$ avec une direction fixe du plan)~:
$$r^2 \frac{d\theta}{dt}=L$$
(ceci est vrai d\`es que la force est centrale, ind\'ependamment
de la norme de la force)
\item la conservation du vecteur excentricit\'e d\'efini par~:
\[ {\mathbf E}= \frac{1}{\mu} \frac{d{\mathbf r}}{dt} \wedge 
{\mathbf L} - \frac{{\mathbf r}}{r} 
= \frac{L }{\mu} \frac{d{\mathbf r}}{dt} \wedge 
\overrightarrow{k} - \overrightarrow{e_r} \]
En effet $d \overrightarrow{e_r}/dt=d\theta/dt
\overrightarrow{e_\theta}$ o\`u $\{ \overrightarrow{e_r},
\overrightarrow{e_\theta}, \overrightarrow{k} \}$ est orthonorm\'e direct
et $L=r^2 d\theta/dt$.
\end{itemize}
Si on prend l'axe des $x$ port\'e par ${\mathbf E}$,
en faisant le produit scalaire avec ${\mathbf r}$~:
$$rE \cos(\theta)={\mathbf r}.{\mathbf E}
= \frac{1}{\mu} 
(\frac{d{\mathbf r}}{dt} \wedge {\mathbf L}) . {\mathbf r} - r$$
on obtient en appliquant les propri\'et\'es du produit mixte et la
d\'efinition de ${\mathbf L}$~:
\[ r = \frac{L^2}{\mu(1+E \cos(\theta))}\]
la courbe int\'egrale est donc une conique d'excentricit\'e $E$
ayant l'origine pour foyer et parcourue selon la loi des aires
(l'aire balay\'ee par le segment origine-point mobile est
proportionnelle au temps).

\subsection{Le mod\`ele proie-pr\'edateur}
\index{proie-pr\'edateur, mod\`ele}
\index{mod\`ele proie-pr\'edateur}
C'est un syst\`eme autonome en dimension 2 pour lequel on sait
calculer une int\'egrale premi\`ere. Il se pr\'esente sous la forme
\begin{eqnarray*}
\dot{x}&=&x(a-by)\\
\dot{y}&=&-y(c-dx)
\end{eqnarray*}
avec $a,b,c,d$ des constantes positives, $x$ l'effectif des proies,
$y$ celui des pr\'edateurs,
$a$ correspond \`a la reproduction naturelle des proies, 
$b$ \`a la mortalit\'e par
rencontre d'un pr\'edateur, $c$ \`a la mortalit\'e naturelle
des pr\'edateurs et $d$ \`a la natalit\'e d\'ependant du nombre de
proies.
On peut d\'eterminer les points d'\'equilibre et leur stabilit\'e
comme pour n'importe quel syst\`eme autonome (exercice),
on trouve $(0,0)$  qui est instable et $(c/d,a/b)$, les valeurs propres
du lin\'earis\'e 
sont 2 imaginaires purs conjugu\'es, donc on ne peut pas conclure sur
la stabilit\'e \`a ce stade.

On peut d\'eterminer une int\'egrale premi\`ere en faisant apparaitre
des d\'eriv\'ees logarthmiques
$$ \frac{d}{dt}(\ln(x))=a-by, \quad \frac{d}{dt}(\ln(y))=-c+dx $$
donc en posant $X=\ln(x), Y=\ln(y)$ on a
$$ \dot{X}=a-be^Y, \quad \dot{Y}=-c+de^X$$
d'o\`u~:
$$ \dot{X} (de^X-c) + \dot{Y}(be^Y-a)=0$$
donc~:
$$ f(X,Y)=de^X-cX+be^Y-aY$$
est une int\'egrale premi\`ere du mouvement, qui se passe donc sur
les courbes de niveau de $f$ en $(X,Y)$ ou de $dx-c\ln(x)+by-a\ln(y)$
en $(x,y)$. On observe que ces courbes de niveau sont ferm\'ees, 
impliquant un mouvement p\'eriodique, si on exprime $y$ en fonction
de $x$ par le th\'eor\`eme des fonctions implicites donc sur toute la
courbe \`a l'exception des deux points $x_\pm$ o\`u la tangente est verticale
$$dx-c\ln(x)+by-a\ln(y)=K \Rightarrow y=y_{\pm}(x)$$
alors on peut calculer la p\'eriode du mouvement en appliquant~:
$$ \frac{dx}{x(a-by(x))}=dt$$
donc
$$ T=\int dt = \int_{x_-}^{x_+}  \frac{dx}{x(a-by_+(x))}
+ \int_{x_+}^{x_-}  \frac{dx}{x(a-by_-(x))}
$$

\subsection{Quelques autres m\'ethodes}
On peut encore citer~: 
changement de fonction, changement de variables, 
\'equation homog\`ene, \'equations de Bernoulli,
de Clairault, de Ricatti, d\'eveloppements en s\'eries
enti\`eres..., certaines de ces m\'ethodes sont
impl\'ement\'ees par les logiciels de calcul formel.

\section{Comportement asymptotique des solutions}
Les \'equations de la physique sont souvent des \'equations
autonomes sans second membre (pas de d\'ependance explicite en temps) 
ou avec un second membre
qui est le seul terme de l'\'equation d\'ependant du temps (il
s'agit d'un for\c{c}age ext\'erieur). Dans le premier cas,
les solutions doivent rester born\'ees (par exemple en \'energie), donc
ne peuvent pas tendre vers l'infini. Dans le second cas,
une question naturelle
est alors la suivante~: le syst\`eme atteint-il un \'equilibre,
peut-on d\'ecomposer la solution en deux parties~: un r\'egime
permanent et un r\'egime transitoire~?

On a d\'ej\`a fait une \'etude de comportement asymptotique
pour l'\'equation $y'=y(1-y)$, la solution $y=0$ se comporte
comme un point d\'equilibre instable, si on en d\'evie m\^eme
l\'eg\`erement, on s'en \'eloigne d\'efinitivement, alors que $y=1$ se
comporte comme un point d\'equilibre stable.
Nous allons g\'en\'eraliser cette \'etude, pour les \'equations
lin\'eaires \`a coefficients constants (avec ou sans second membre,
perturbation d\'ependant du temps),
les \'equations autonomes sans second membre,
et dans le cas de syst\`emes diff\'erentiels lin\'eaires \`a
coefficients constants.

\subsection{\'Equations lin\'eaires \`a coefficients constants 
d'ordre 1 et 2}
Pour les \'equations homog\`enes d'ordre 1 $y'+ay=0$, 
la solution g\'en\'erale est $y(t)=Ce^{-at}$, le comportement
asymptotique lorsque $t \rightarrow +\infty$ d\'epend du signe
de $a$, si $a>0$ la limite est 0 et la solution d\'ecroit
exponentiellement vite. Donc si $a>0$, quelle
que soit la condition initiale, toutes les solutions de 
l'\'equation avec second membre $y'+ay=f(t)$ ont
le m\^eme comportement asymptotique, celui
d'une solution particuli\`ere de l'\'equation~:on a donc
un r\'egime transitoire exponentiellement d\'ecroissant
et un r\'egime permanent.

Pour les \'equations homog\`enes d'ordre 2 $ay'{'}+by'+cy=0$,
la solution g\'en\'erale est $y(t)=Ae^{r_1t}+Be^{r_2t}$
si $r_1$ et $r_2$ sont les deux racines simples de $ar^2+br+c=0$
ou $y(t)=e^{r_1t}(A+Bt)$ si l'\'equation caract\'eristique admet
une racine double. Le comportement \`a l'infini d\'epend
du signe de la partie r\'eelle de $r_1$ et $r_2$. Il faut que
les deux parties r\'eelles soient strictement n\'egatives pour que 
la solution tende vers 0, \`a vitesse exponentielle, si l'une au moins
des parties r\'eelles est positive ou nulle, alors il n'y a pas
convergence vers 0. Plus pr\'ecis\'ement
\begin{itemize}
\item Si $\Delta=b^2-4ac<0$, il y a deux racines complexes
conjugu\'ees distinctes de partie r\'eelle $-b/(2a)$, donc la
solution d\'ecroit exponentiellement vers 0 si $b/a>0$,
comme $e^{-b/(2a)t}$, avec des oscillations p\'eriodiques
en $e^{i\sqrt{-\Delta}/(2a)t}$, de p\'eriode $T=4\pi
a/\sqrt{-\Delta}$ (r\'egime oscillatoire amorti envelopp\'e
par $e^{-b/(2a)t}$). 
Si $b=0$, la solution ne tend pas vers 0, reste de taille born\'ee,
elle est p\'eriodique de p\'eriode $T=4\pi a/\sqrt{-\Delta}$
(r\'egime oscillatoire)
\item Si $\Delta=b^2-4ac>0$, on a deux racines r\'eelles distinctes,
qui sont toutes les deux strictement n\'egatives si l'oppos\'e de
leur somme et leur produit sont positifs~: $b/a>0, c/a>0$
(r\'egime amorti \'equivalent \`a la plus grande des deux
exponentielles)
\item Si $\Delta=b^2-4ac=0$, on a une racine double $-b/(2a)$,
il y a convergence vers 0 si $b/a>0$.
\item Dans tous les autres cas, la partie r\'eelle d'une
des racines est positive ou nulle et il n'y a pas de convergence
vers 0 de la solution g\'en\'erale. Si on a deux racines
imaginaires pures conjugu\'ees, la solution est p\'eriodique,
sinon la solution tend vers l'infini pour une condition initiale
g\'en\'erique.
\end{itemize}

{\bf Exemples~}
\begin{itemize}
\item $y'{'}+y=0$, deux racines imaginaires pures conjugu\'ees,
solution g\'en\'erale $a\sin(x)+b\cos(x)$ p\'eriodique
\item $y'{'}+y'+y=0$, deux racines complexes conjugu\'ees de partie
r\'eelle n\'egative, il y a convergence exponentielle vers 0 avec
des oscillations, la
solution g\'en\'erale est $e^{-x/2}(a \cos(\sqrt{3}x/2) + b
\sin(\sqrt{3}x/2))$.
\item $y'{'}-2y'-3y=0$, deux racines r\'eelles, une positive, une
  n\'egative. La solution g\'en\'erale est $ae^x+be^{-3x}$, elle
tend g\'en\'eriquement vers l'infini (sauf condition initiale annulant
$a$).
\item ...
\end{itemize}

On peut g\'en\'eraliser \`a un ordre quelconque.
Si toutes les racines de l'\'equation caract\'eristique sont
de partie r\'eelle n\'egative, la solution g\'en\'erale
de l'\'equation homog\`ene tend vers 0 \`a l'infini,
elle est appel\'ee r\'egime transitoire. Quelle que
soit la condition initiale, on tend vers la solution particuli\`ere
appel\'ee r\'egime permanent.

\subsection{For\c{c}age p\'eriodique}\index{for\c{c}age}
Il arrive souvent qu'un syst\`eme physique soit soumis \`a
un for\c{c}age ext\'erieur p\'eriodique, par exemple
pour la temp\'erature \`a \'echelle fine, l'alternance jour-nuit,
ou \`a grande \'echelle, l'alternance des saisons, ou
circuit RCL soumis \`a un courant p\'eriodique. Il est donc
utile de d\'eterminer les caract\'eristiques de la solution
en r\'egime permanent.

Exemple~: ordre 1
$$ ay'+y=A e^{i\omega t}, \quad a>0$$
On sait qu'une solution particuli\`ere est donn\'ee par
$ B e^{i \omega t}$, on remplace et on obtient
$$ B(i\omega a+1)=A \Rightarrow 
B=\frac{A}{1+i\omega a}==\frac{A}{\sqrt{1+\omega^2 a^2}} e^{-i\arctan(\omega a)}$$
L'amplitude de la solution particuli\`ere est donc l'amplitude
du second membre divis\'ee par le module 
$|1+i\omega a|=\sqrt{1+\omega^2 a^2}$, et l'exponentielle est en retard
d'un d\'ephasage donn\'e par l'argument de $B$ soit
$\arctan(\omega a) \in ]0,\pi/2[$. La solution
particuli\`ere suit donc le second membre, avec un d\'ephasage
compris entre 0 et un quart de p\'eriode, selon la valeur de $a$.
Si le syst\`eme a une forte inertie intrins\`eque ($a$ grand
pour avoir une solution de l'homogène associée en
exponentielle d\'ecroissant lentement), on s'approche
du quart de p\'eriode, c'est pour cette raison que la temp\'erature
pr\`es de la mer atteint son maximum en \'et\'e environ 2 mois
apr\`es le solstice, alors que dans les terres, c'est plutot 3
semaines apr\`es (le maximum d'un quart de p\'eriode
\'etant presque r\'ealis\'e par la banquise qui atteint son
minimum d'extend presque 3 mois apr\`es le solstice).

\`A l'ordre 2, on peut faire la m\^eme \'etude pour 
$ay'{'}+by'+cy=Ae^{i\omega t}$, 
cette fois l'amplitude est divis\'ee par
$$|-a\omega^2+ib\omega+c|
=\sqrt{ b^2\omega^2+(a\omega^2-c)^2}
=\omega^2 \sqrt{ b^2+(a\omega-\frac{c}{\omega})^2}$$
Si $b=0$ (pas de frottements) 
et si $i\omega$ est solution de l'\'equation caract\'eristique,
la solution particuli\`ere est en $ A t e^{i\omega t}$,
il y a r\'esonance (c'est pour \'eviter d'entrer en r\'esonance
avec une fr\'equence propre d'un pont qu'on ne doit pas le traverser
\`a plusieurs en marchant au m\^eme pas cadenc\'e).

\subsection{\'Equation autonome sans second membre}\index{autonome}
Il s'agit d'une \'equation de la forme $y'=f(y)$ o\`u on
suppose $f$ continument d\'erivable. Les solutions
stationnaires sont donn\'ees par les racines de $f$ (les
$r$ telles que $f(r)=0$). Pour toute condition initiale entre
deux racines cons\'ecutive de $f$, la solution va rester entre
ces deux racines cons\'ecutives. Comme $f$ ne s'annule pas
entre deux racines cons\'ecutives, $f$ est de signe constant
donc la solution est monotone majorée ou minorée donc convergente,
donc $y'=f(y)$  converge, donc $y'$ converge vers 0 (sinon
$y$ ne convergerait pas), donc
$y$ tend vers une des racines lorsque $t \rightarrow \pm \infty$
\footnote{On peut prouver l'existence globale de la solution
exactement comme pour l'exemple $y'=y(1-y)$ de la section 
\ref{sec:existence}}.
Si $f>0$, on tend vers la plus grande des racines lorsque $t
\rightarrow +\infty$, sinon vers la plus petite. Si la condition 
initiale est au-del\`a de la plus grande racine ou en-de\c{c}a
de la plus petite racine, on tend soit vers l'infini, soit vers la racines.

On peut pr\'eciser
la vitesse de convergence. Si $f(y)=c(y-r), c<0$, ($f$ lin\'eaire)
la convergence vers $r$ se fait comme $e^{ct}$ pour $t \rightarrow
+\infty$. Dans le cas
g\'en\'eral, si $f'(r) \neq 0$, 
ce r\'esultat est encore valable, heuristiquement~:
$$ f(y)=(y-r)(f'(r)+o(1)) \Rightarrow \frac{1}{f(y)}=
\frac{1}{f'(r)(y-r)} \frac{1}{1+o(1)}
=\frac{1}{f'(r)(y-r)}(1 + o(1))$$
o\`u $o(1)$ est une fonction qui tend vers 0 lorsque $y$ tend vers
$r$, donc~:
$$ \int \frac{dy}{f(y)} = \int \frac{dy}{f'(r)(y-r)}(1 + o(1)) dy 
= \frac{\ln|y-r|}{f'(r)} (1 + o(1)) = \int \ dt = t+K  $$
d'o\`u le r\'esultat (pour une justification plus rigoureuse
il faut appliquer le th\'eor\`eme des fonctions implicites
pour d\'eterminer $y$ et v\'erifier que $o(1)$ s'int\`egre).

\begin{thm}
On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle $y'=f(y)$ o\`u
$f$ est continument d\'erivable, et a des racines r\'eelles
class\'ees par ordre croissant $...,r_k,...$. Si la condition
initiale $y(t_0)$ est
situ\'ee entre deux racines, la solution est monotone entre
ces deux racines et tend vers une des racines lorsque $t\rightarrow
\pm \infty$. Si $y(t_0)$ est situ\'e au-del\`a de la derni\`ere racine
ou en-dec\`a de la premi\`ere racine (si elles existent), 
la solution est monotone et
tend vers cette racine lorsque $t\rightarrow \pm \infty$
ou diverge (en temps fini ou infini).

Si $f'(r_k) < 0$, la solution $y=r_k$ est appel\'ee \'equilibre
stable~: pour toute condition initiale situ\'e entre $r_{k-1}$ et $r_{k+1}$
la solution tend vers $r_k$ lorsque $t \rightarrow +\infty$ 
et la convergence se fait \`a vitesse
exponentielle, comme $Ce^{f'(r_k)t(1+o(1))}$.
\end{thm}

{\bf Exemple~}: pour l'\'equation logistique $y'=y(1-y)$,
$f(r)=r(1-r)=r-r^2, f'(r)=1-2r$, 
il y a deux \'equilibres $r_0=0$ et $r_1=1$, avec $f'(r_0)=1>0$
et $f'(r_1)=-1<0$ donc un \'equilibre stable en 1, et un \'equilibre
instable en 0.

\subsection{Syst\`emes lin\'eaires}\index{lin\'eaire, syst\`eme diff\'erentiel}
{\bf Cas lin\'eaire}\\
L'\'evolution du syst\`eme est gouvern\'ee par les valeurs propres
de la matrice $A$ du syst\`eme, exactement comme pour les \'equations
lin\'eaires o\`u ce sont les racines de l'\'equation
caract\'eristique.
La solution g\'en\'erale tend vers 0 si toutes les valeurs propres
ont une partie r\'eelle strictement n\'egative. S'il y a des paires
de valeurs propres conjugu\'ees de partie r\'eelle n\'egative,
des ph\'enom\`enes cycliques amortis apparaissent.
Si les valeurs propres sont n\'egatives ou nulles mais distinctes, la solution
reste born\'ee (avec des composantes qui peuvent \^etre
p\'eriodiques).
Si une des valeurs propres a une partie r\'eelle strictement positive,
alors pour une condition initiale g\'en\'erique, la solution tend vers
l'infini.

{\bf Exemples }
\begin{itemize}
\item
\verb|[Y]:=desolve(y'=A*y and y(0)=[1,0,0])| pour\\
\verb|A:=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]|, 
puis \verb|plot(Y[0],x=0..4)| la solution tend vers l'infini,
\`a vitesse exponentielle comme on peut
le voir avec \verb|plot(ln(Y[0]),x=0..4)|.
En effet 16.12... est valeur propre de $A$
(\verb|eigenvalues(approx(A))|). On observe le m\^eme
comportement en rempla\c{c}ant $A$ par $-A$ (ceci
diff\`ere de la dimension 1, o\`u en changeant le sens
du temps une solution divergente devient convergente).
On peut repr\'esenter le graphe de la courbe d\'ecrite
dans l'espace par exemple avec \verb|plotparam(Y,x=0..2)|
\item \verb|[Y]:=desolve(y'=A*y and y(0)=[1,0])| pour 
\verb|A:=[[-3,1],[1,-5]]|, la courbe dans le plan est
obtenue par \verb|plotparam(Y,x=0..10)|, en faisant
plusieurs zoom out, on voit la courbe partir de la condition
initiale le point $(1,0)$ et aboutir (presque) en l'origine.
Les valeurs propres sont en effet $-4\pm \sqrt{2}<0$.
\item M\^eme chose avec \verb|A:=[[-1,2],[-2,-1]];|.
La courbe part toujours du point $(1,0)$ pour
aboutir presque en l'origine, cette fois en spiralant
(car les valeurs propres sont complexes conjugu\'ees)
\item Pour \verb|A:=[[0,2],[-2,0]];|, les valeurs
propres sont imaginaires pures, la courbe est un cercle
d\'ecrite de mani\`ere p\'eriodique.
\end{itemize}

{\bf Cas autonome}\index{autonome}\\
On ne sait pas int\'egrer un syst\`eme $y'=f(y)$ sans plus
de pr\'ecision sur $f$ (ce n'est plus une \'equation \`a
variables s\'eparables et il n'y a pas d'ordre dans $\mathbb{R}^n$,
donc pas de monotonie des solutions \`a attendre).
On ne peut donc
esp\'erer un r\'esultat g\'en\'eral que si la condition initiale 
est proche d'un point d'\'equilibre (une solution de $f(r)=0$).
Dans la plupart des cas, on peut conclure sur la stabilit\'e
ou l'instabilit\'e du point d\'equilibre en fonction de la partie
r\'eelle des valeurs propres de $f'(r)$, un peu comme en dimension 1.
Si toutes les valeurs propres ont des parties strictement n\'egative
on peut montrer que
le syst\`eme revient \`a l'\'equilibre exponentiellement vite, si
l'une des parties r\'eelles est strictement positive,
pour une condition initiale g\'en\'erique, le syst\`eme s'en
\'eloigne, et s'il y a des parties r\'eelles nulles, on ne peut pas conclure/

\subsection{For\c{c}age pr\`es d'un point d'\'equilibre de syst\`eme.}
Si on ajoute un terme d\'ependant du temps $y'=f(y)+g(t)$,
on ne sait plus r\'esoudre l'\'equation ni d\'ecrire
son comportement qualitatif en toute g\'en\'eralit\'e. Si
la condition initiale est proche d'un \'equilibre stable, et si
la perturbation est ``petite'' (en tenant compte de l'\'echelle
de temps des exponentielles du syst\`eme lin\'earis\'e)
on peut alors lin\'eariser et esp\'erer que
la solution se comporte comme la solution de
$$y'=f'(r_k)(y-r_k) + g(t)$$
au moins pendant un certain intervalle de temps.
Si $g(t)=g$ est petit et constant, le point d'\'equilibre est d\'eplac\'e
au premier ordre de
$$ y-r_k=-f'(r_k)^{-1}g$$

{\bf Exemple}~: mod\`ele d'\'evolution temp\'erature puis temp\'erature-CO2.

Le mod\`ele le plus simple ne tient compte que des radiations venues du Soleil
et r\'e\'emises par la Terre, consid\'er\'ee comme un corps noir
\[ \frac{dT}{dt} = k \left( S - \sigma T^4 \right)\]
o\`u $k$ mod\'elise l'inertie thermique, $S$ est la constante solaire 
(environ 1364/4$W/m^2$) et
$\sigma$ est reli\'e \`a la constante de Stefan-Boltzmann (5.67e-8 S.I.).
On a alors un \'equilibre pour $T_e=(S/\sigma)^{1/4}$, 
et cet \'equilibre est stable.

Si on perturbe par un effet de serre additionnel du CO2,
on mod\'elise l'\'evolution de la temp\'erature
$T$ de la Terre par
\[ \frac{dT}{dt} = k \left( 6 \ln (\frac{CO2}{280}) - \sigma (T^4-T_e^4) \right)\]
o\`u $T_e=288K$ est la temp\'erature d'\'equiibre de la Terre et 
$CO2(t)$ la concentration en ppm de gaz carbonique, $k$ mod\'elise
la capacit\'e calorifique de la Terre (on peut estimer $k=0.0025K/yr$),
$\sigma$ la constante de Stefan-Boltzmann (5.67e-8 S.I.).
Par exemple avec un taux de CO2 stabilis\'e \`a 450ppm, le nouvel
\'equilibre est donn\'e \`a l'ordre 1 par
$$ T-T_e=(4\sigma T_e^3)^{-1}(6 \ln (\frac{450}{280})) $$

Le taux de CO2 de l'atmosph\`ere peut \^etre consid\'er\'e comme
un for\c{c}age ext\'erieur (d\'ependant de sc\'enarios d'\'emissions
de CO2) mais il d\'epend aussi de la temp\'erature de l'oc\'ean,
on peut donc mod\'eliser l'\'evolution conjointe des deux
variables par un syst\`eme diff\'erentiel autonome auquel on
ajoute une composante d\'ependant du temps (\'emissions
anthropiques). Par exemple un syst\`eme 2 par 2 avec un second
membre constant dans un sc\'enario avec \'emissions de CO2 constantes.
\[ \frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c}
T \\
C
\end{array}\right) =
F(T,C) = \left(\begin{array}{c}
k (\sigma(T_0^4-T^4)+6 \ln(\frac{C}{280})  ) \\
g(T,C) + a
\end{array}\right)
\]
o\`u  $\partial_C g$ est n\'egatif (l'oc\'ean
absorbe l'exc\'edent de CO2 \'emis par rapport \`a la valeur 
avec laquelle il est en \'equilibre, on peut 
estimer $\partial_C g=-2.5/120$ par les observations~: \'emissions 
4.5 ppm par an, hausse de CO2 2ppm/an, donc $g(400)=-2.5=\partial_Cg(400-280)$),
et $a$ repr\'esente la perturbation anthropique (par exemple $a=5ppm/an$
si stabilisation des \'emissions de CO2 \`a ce niveau).
Dans un mod\`ele simplifi\'e $g$ ne d\'epend que de $C$,
la d\'eriv\'ee $F'$ a des coefficients n\'egatifs sur la diagonale et
un coefficient nul sous la diagonale, donc les valeurs propres de $F'$
sont n\'egatives, le climat est stable. On atteint alors un nouvel 
\'equilibre avec une temp\'erature $T$ et un taux de CO2 $C$ donn\'es
par
$$\left(\begin{array}{c} \Delta T_e\\ \Delta C_e \end{array}\right)= -F'(T_e,C_e)^{-1}\left(\begin{array}{c}0\\ a \end{array}\right), \quad
F'=\left(\begin{array}{cc}-4k\sigma T_e^3 & 6k/C_e\\ 0 & \partial_C g
\end{array}\right)$$
La valeur de la constante de couplage entre CO2 et T affecte \'evidemment
le calcul de $F'^{-1}$ donc des valeurs \`a l'\'equilibre.
Ici avec nos estimations~:
\giacinputbigmath{k:=0.0025; s:=5.67e-8;Fp:=[[-4*k*s*288^3,6*k/280],[0,-2.5/120]]; -Fp^-1*[0,5]}
on obtient une hausse de temp\'erature de 1 degr\'e et de CO2 de 240ppm.
Cela semble inf\'erieur \`a la hausse de temp\'erature observ\'ee,
car on n'a pas tenu compte d'autres r\'etroactions, en particulier
la glace et l'eau.
De plus dans un mod\`ele plus r\'ealiste, $g$ d\'epend aussi de $T$, 
en effet si l'oc\'ean
se r\'echauffe il d\'egaze du CO2. La matrice $F'$ n'est plus triangulaire
sup\'erieure, mais a 2 coefficients n\'egatifs sur la diagonale et
2 positifs en-dehors. Si les valeurs propres restent n\'egatives,
le climat est stable, mais si le couplage \'etait suffisamment
fort pour que l'une des valeurs propres d\'epasse 0, 
le climat pourrait devenir instable! Ici on peut estimer grossi\`erement
$\partial_T g=0.42$ en tenant compte des cycles climatiques du pass\'e,
pour une hausse de 5 degr\'es on observe
une hausse de 100ppm \`a l'\'equilibre (on doit avoir $F'*[5,100]=[x,0]$,
$x$ correspondant au for\c{c}age astronomique sur la temp\'erature).
Cette estimation laisse les valeurs propres n\'egatives,
augmente de 10\% environ la hausse de temp\'erature et de CO2 \`a
l'\'equilibre.

On peut raffiner ce mod\`ele en ajoutant par exemple la glace
et ses interactions avec la temp\'erature (si la temp\'erature
monte, la glace fond, si la glace fond, l'alb\'edo de la Terre diminue
ce qui va faire monter la temp\'erature), ce qui am\`ene \`a un
syst\`eme diff\'erentiel en dimension 3
\[ \frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c}
T \\
G \\
C
\end{array}\right) =
F(T,G,C) = \left(\begin{array}{c}
k (\sigma(T_0^4-T^4)+6 \ln(\frac{C}{280}) - \beta G^{2/3} ) \\
f(T) \\
g(T,C) + a(t)
\end{array}\right)
\]
o\`u $f$ est une fonction d\'ecroissante, $\partial_T g$ est positif,
et $a(t)$ repr\'esente la perturbation anthropique (la puissance deux
tiers appliqu\'ee \`a la masse de glace sert \`a passer d'un volume
\`a une surface pour repr\'esenter l'effet de la variation de volume
de glace sur l'alb\'edo).

%\pagebreak

\chapter{Introduction au calcul variationnel}
La recherche de minimas/maximas est une des application 
du calcul diff\'erentiel~: en dimension 1, la d\'eriv\'ee s'annule
lorsque la fonction est maximale ou minimale, en dimension plus
grande c'est le gradient qui s'annule. Le calcul variationnel
est une g\'en\'eralisation du principe pr\'ec\'edent lorsque
l'inconnue n'est pas l'endroit $x$ o\`u l'extr\^emum est atteint
(un r\'eel ou un point), mais une fonction $\gamma(t)$. 
Par exemple, si on recherche
le plus court chemin entre 2 points de l'espace, ou entre 2 points
situ\'e sur une sph\`ere ou une surface~: dans ce cas l'inconnue
est le chemin, que l'on peut repr\'esenter par une courbe 
param\'etr\'ee. On obtient alors une \'equation diff\'erentielle
qui permet de d\'eterminer le chemin, de m\^eme que l'\'equation
$f'(x)=0$ ou $\nabla f=0$ permettait de trouver la position
d'un extr\^emum. R\'eciproquement, certaines \'equations
diff\'erentielles de la physique peuvent se mettre sous la forme minimiser une
fonction d\'ependant d'un chemin, le chemin \'etant la courbe
int\'egrale de l'\'equation diff\'erentielle. C'est le cas par
exemple des \'equations de la dynamique en m\'ecanique
classique aussi bien qu'en relativit\'e. Un des int\'er\^ets d'une
formulation variationnelle de ces \'equations, c'est que ce type
de formulation est plus intrins\`eque (plus g\'eom\'etrique) 
elle ne d\'epend pas des coordonn\'ees.

Dans le cas g\'en\'eral on se donne~:
\begin{itemize}
\item $L$ une fonction deux fois continument d\'erivable
d\'ependant de la position $x$ dans un
syst\`eme de coordonn\'ees, de la d\'eriv\'ee de $x$ par rapport au 
temps $\dot{x}$ et du temps $t$ appel\'e
{\bf lagrangien}\index{lagrangien}~:
$$(x,\dot{x},t) \rightarrow L(x,\dot{x},t) \in \mathbb{R} $$ 
En coordonn\'ees cart\'esiennes $x=(x_1,...,x_n)\in \mathbb{R}^n$,
en coordonn\'ees polaires $x=(r,\theta)$, etc.
En coordonn\'ees cart\'esienne, 
$\dot{x}\in \mathbb{R}^n$ est la vitesse\footnote{on appelle espace
des configurations l'espace des positions, vitesses,
$(x,\dot{x}) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$ en coordonn\'ees cart\'esiennes,
espace que l'on a d\'ej\`a utilis\'e implicitement pour passer d'une
\'equation diff\'erentielle d'ordre 2 \`a un syst\`eme diff\'erentiel
d'ordre 1}, alors qu'en polaires la vitesse n'est pas 
$(\dot{r},\dot{\theta})$.
\item $A$ et $B \in \mathbb{R}^n$ deux points
\end{itemize}
et on cherche parmi les courbes param\'etr\'ees
deux fois continument d\'erivables
$\gamma(t)$ d'origine $\gamma(t_0)=A$ 
et extr\'emit\'e $\gamma(t_1)=B$ le(s) chemin(s) r\'ealisant le
minimum (s'il existe) de l'{\bf action}\index{action}\footnote{On
pourrait bien sur avoir une action d\'ependant de d\'eriv\'ees
d'ordre sup\'erieur de $\gamma(t)$}~:
$$ S=\int_{t_0}^{t_1} L(\gamma(t),\frac{d\gamma(t)}{dt},t) dt $$
En coordonn\'ees cart\'esiennes, $\gamma(t)$ est une courbe
param\'etrique (mais en coordonn\'ees polaires, $(r(t),\theta(t))$
n'est pas une courbe en polaires).

Exemples~: 
\begin{itemize}
\item
longueur minimale dans le plan, en coordonn\'ees cart\'esiennes $n=2$ 
et $x=(x_1,x_2)$
$$L(x,\dot{x},t)=\| \dot{x} \|=\sqrt{\dot{x_1}^2+\dot{x_2}^2}$$
En relativit\'e g\'en\'erale, la longueur d\'epend du point (la
structure de l'espace(-temps)
est d\'eform\'e par les masses), $L$ d\'epend de $x$
\item lagrangien de la m\'ecanique classique ($n=1,2$ ou 3, dans un
  r\'ef\'erentiel galil\'een en coordonn\'ees cart\'esiennes)~: 
\'energie cin\'etique 
{\bf moins}\footnote{Le signe moins vient de la convention adopt\'ee
en physique pour le lien entre potentiel et force}
\'energie potentielle~:
$$L(x,\dot{x},t)=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x,t)$$
\item lagrangien en relativit\'e restreinte~:
$$ L(x,\dot{x},t)=-mc^2\sqrt{1-\frac{\dot{x}^2}{c^2}}-V(x,t)$$
le premier terme est proportionnel \`a l'oppos\'e du temps propre.
\item si on consid\`ere une particule charg\'ee de charge $q$
dans un champ \'electrique alors $V(x,t)=q\phi(x,t)$
(dans un champ \'electro-magn\'etrique $V$ d\'epend
de la vitesse, $V(x,\dot{x},t)=q\phi(x,t)-q
\dot{x}.\overrightarrow{A(x,t)}$), o\`u $\phi(x,t)$ est le potentiel
scalaire (et o\`u $\overrightarrow{A(x)}$ est
le potentiel vecteur, 
on a rot$(\overrightarrow{A})=\overrightarrow{B}$).
Les champs $\phi$ et $A$ peuvent d\'ependre du temps ou non.
\end{itemize}

\begin{prop}
\'Equations d'Euler-Lagrange\index{Euler-Lagrange}~: 
ce sont des conditions n\'ecessaires
pour que $\gamma(t)$ soit un extr\^emum, si
$x=(x_1,...,x_n)$ est un syst\`eme de coordonn\'ees (pas
forc\'ement cart\'esiennes),
elles sont donn\'ees par~:
$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} = 
\frac{\partial L}{\partial x_i} \quad \mbox{ pour }\quad  i=1,...,n$$
(On v\'erifie que cette \'equation a la bonne homog\'en\'eit\'e.)
\end{prop}

Sur les exemples, on obtient
\begin{itemize}
\item pour la longueur minimale dans le plan, on a 
$$\frac{\partial L}{\partial x_1}=0, \quad
\frac{\partial L} {\partial \dot{x_1}}=\frac{\dot{x_1}} {\sqrt{\dot{x_1}^2+\dot{x_2}^2}}
$$
qui est la premi\`ere composante du vecteur tangent,
de m\^eme pour la deuxi\`eme composante, 
donc le long de la courbe le vecteur tangent a sa d\'eriv\'ee
nulle, donc est constant. Une
courbe r\'ealisant un extr\^emum de la distance entre deux points
dans le plan est donc port\'ee par une droite, c'est le segment
reliant ces deux points.
\item Pour le deuxi\`eme exemple
$$ \frac{\partial L}{\partial x_1}=-\frac{\partial V}{\partial x_1},
\quad \frac{\partial L}{\partial \dot{x_1}}=m\dot{x_1}
$$
c'est-\`a-dire la composante sur $x_1$ de la force et
de la quantit\'e de mouvement, donc l'\'equation d'Euler-Lagrange
donne l'\'equation fondamentale de la dynamique.
\item
Pour le troisi\`eme exemple, on a
$$ \frac{\partial L}{\partial x_1}=-\frac{\partial V}{\partial x_1},
\quad \frac{\partial L}{\partial \dot{x_1}}=m\frac{\dot{x_1}}{\sqrt{1- 
\frac{\dot{x}^2}{c^2}}}
$$
c'est-\`a-dire la composante sur $x$ de la force et
de la quantit\'e de mouvement en relativit\'e restreinte,
on retrouve donc l'\'equation fondamentale de la dynamique.
\end{itemize}

{\bf D\'emonstration (id\'ee)~:}\\
On fait varier le chemin en ajoutant \`a 
$\gamma(t)=(x_1(t),...,x_n(t))$
un vecteur $u \Delta(t)$ avec $\Delta(t_0)=\Delta(t_1)=0$, on obtient
une action $S(u)$, on calcule la d\'eriv\'ee en $u=0$
de $S(u)$, elle doit s'annuler pour avoir un extr\^emum, et
ce quel que soit la valeur de la fonction $\Delta$ 
telle que $\Delta(t_0)=\Delta(t_1)=0$. Prenons pour commencer $\Delta$
uniquement sur la premi\`ere composante
$\Delta(t)=(\delta(t),0,...,0)$, on a~:
$$ S(u) = \int_{t_0}^{t_1}
L(x_1(t)+u\delta(t),x_2(t),...,x_n,\dot{x_1}+u\dot{\delta},\dot{x_2},...,x_n',t)  \ dt$$
on d\'erive par rapport \`a $u$ sous le signe int\'egrale (on peut
intervertir d\'eriv\'ee et int\'egrale car $\gamma, \delta, L$ sont
deux fois continument d\'erivables). Comme $u$ intervient dans deux
composantes de $L$, il y a deux d\'eriv\'ees partielles qui
interviennent~:
$$ S'(0) =\int_{t_0}^{t_1} \left(\frac{\partial L}{\partial x_1} \delta + 
\frac{\partial L}{\partial \dot{x_1}} \dot{\delta} \right) \ dt$$
On int\`egre par parties le deuxi\`eme terme ($\dot{\delta}=\frac{d
  \delta}{dt}$), le terme tout int\'egr\'e est nul 
car $\delta(t_0)=\delta(t_1)=0$, d'o\`u~:
$$ 0=S'(0)=\int_{t_0}^{t_1} \left( \frac{\partial L}{\partial x_1} \delta 
-\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x_1}} \delta \right) \ 
dt
=\int_{t_0}^{t_1} \left( \frac{\partial L}{\partial x_1} 
-\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x_1}} \right) \delta \ 
dt$$
Comme le r\'esultat doit \^etre nul
pour toute valeur de $\delta$, on en d\'eduit la premi\`ere
\'equation d'Euler-Lagrange (en prenant
$\delta=(t-t_0)(t_1-t) (\frac{\partial L}{\partial x_1} 
-\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x_1}})$ si la r\'egularit\'e
est suffisante, ou sinon en raisonnant par l'absurde~:
si l'\'equation n'est pas v\'erifi\'ee
en un point, alors on prend $\delta$ non nulle seulement
au voisinage de ce point et nulle ailleurs, et on choisit $\delta$
de m\^eme signe que l'autre facteur, l'int\'egrale est alors
strictement positive, absurde).

Un des int\'er\^ets de cette \'ecriture des \'equations de la
m\'ecanique, c'est de pouvoir effectuer un changement de coordonn\'ees
plus facilement, car la propri\'et\'e de rendre l'action extr\^emale pour un
chemin est ind\'ependant du choix des coordonn\'ees.\\
{\bf Exemple~:} si $n=2$, on peut utiliser les coordonn\'ees polaires 
$(r,\theta)$, on a alors
$$ L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2 \dot{\theta}^2) - V(r,\theta)$$
Si le potentiel d\'epend seulement de $r$ (en dimension 2), alors $L$ ne
d\'epend pas de $\theta$ (seulement de $\dot{\theta}$) donc
$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = 0$$
on a donc une int\'egrale premi\`ere, qui est le moment cin\'etique
$mr^2 \dot{\theta}=\mathcal{L}$. L'autre \'equation est
$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\ddot{r}
= \frac{\partial L}{\partial r} = m r \dot{\theta}^2 - V'(r)$$
et s'exprime uniquement en fonction de $r$
$$ m\ddot{r} = \frac{\mathcal{L}^2}{mr^3} - V'(r)$$
tout se passe comme si on \'etait en dimension 1 avec un potentiel
effectif $V(r)+ \frac{\mathcal{L}^2}{2mr^2}$.

{\bf Exercice}~: Calculer le lagrangien en coordonn\'ees sph\'eriques
et donner les \'equations d'Euler-Lagrange si le potentiel
$V$ est radial ($V=V(r)$).\\
{\bf Solution abr\'eg\'ee}
$$ L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\sin(\theta)^2
\dot{\phi}^2)-V$$
$L$ ne d\'epend pas explicitement de $\phi$, il y a donc une constante
du mouvement 
$$p_\phi=\partial L/\partial{\dot{\phi}} = m r^2 \sin(\theta)^2 
\dot{\phi}, \quad \dot{p_\phi}=0$$ 
c'est le moment cin\'etique par rapport \`a $Oz$.
$V$ ne d\'epend pas de $\theta$ mais $L$ en d\'epend, donc
$p_\theta=\partial L/\partial{\dot{\theta}}$ 
n'est pas conserv\'e~:
$$ p_\theta=mr^2\dot{\theta}, 
\quad \dot{p_\theta}=mr^2\sin(\theta)\cos(\theta)\dot{\phi}^2$$
Toutefois, pour des raisons de sym\'etrie, les moments par rapport \`a
$Ox$ et $Oy$ sont aussi conserv\'es, on a donc d'autres constantes
du mouvement. On peut continuer de deux mani\`eres, soit choisir
le rep\`ere pour avoir $\dot{\phi}=0$ \`a la condition initiale, alors
$\dot{\phi}$ reste nul pendant tout le mouvement qui se passe dans
le plan $\phi$ constant, on est ramen\'e \`a un lagrangien en
coordonn\'ees polaires, qui ne d\'epend plus de $\theta$.
Ou bien on montre que $p_\theta^2+p_\phi^2/\sin^2(\theta)$
est constant.

Plus g\'en\'eralement, si $L$ ne d\'epend pas explicitement du temps,
alors le {\bf hamiltonien}\index{hamiltonien} d\'efini par~:
$$ H = \sum_i \dot{x}_i \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} - L$$
est une int\'egrale premi\`ere, en effet
\begin{eqnarray*}
\frac{dH}{dt} &= &\sum_i \ddot{x}_i \frac{\partial L}{\partial
  \dot{x}_i} + \sum_i \dot{x}_i \frac{d}{dt}\frac{\partial
  L}{\partial \dot{x}_i}
- \left(\sum_i \frac{\partial L}{\partial x_i} \frac{dx_i}{dt}
+\sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \frac{d\dot{x}_i}{dt}
\right)\\
& =& 
\sum_i \ddot{x}_i \frac{\partial L}{\partial
  \dot{x}_i} + \sum_i \dot{x}_i \frac{\partial  L}{\partial x_i}
- \left(\sum_i \frac{\partial L}{\partial x_i} \dot{x}_i
+\sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \ddot{x}_i
\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}

{\bf Exercice}~: calculer $H$ pour le lagrangien de la m\'ecanique
classique et de la relativit\'e restreinte.

{\bf Exemple~}: On cherche la forme d'un toboggan qui permette
de se rendre le plus rapidement possible d'un point $A$ (origine
du rep\`ere) \`a un point $B$ situ\'e \`a une altitude plus basse 
sous l'action de la gravit\'e (en n\'egligeant les frottements). 
Si cette courbe est un graphe de fonction $y(x)$ alors la vitesse
est donn\'ee par 
$\overrightarrow{v}=(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})=\frac{dx}{dt}(1,y')$.
D'autre part $v=\sqrt{-2gy}$. Donc
$$ \frac{dx}{dt}\sqrt{1+y'^2}=\sqrt{-2gy}$$
on en d\'eduit~:
$$ dt = dx \frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{-2gy}}$$
donc le temps \`a minimiser est
$$ \int_{x_A=0}^{x_B} dt = \int_0^{x_B}
\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{-2gy}} dx$$
Pour se ramener au probl\`eme pr\'ec\'edent, 
on change de notations, $x$ devient un ``temps virtuel''
$\tau$ et $y'=\dot{y}$ est la d\'eriv\'ee de $y$ par
rapport \`a ce temps virtuel, il faut minimiser
$$ \int_0^{\tau_B} L(y,\dot{y},\tau) d\tau, \quad 
L(y,\dot{y},\tau)=\frac{\sqrt{1+\dot{y}^2}}{\sqrt{-2gy}} $$
le lagrangien ne d\'epend pas explicitement de $\tau$, donc le
hamiltonient correspondant
$$ H=\dot{y} \frac{\partial L}{\partial\dot{y}}  - L $$
est conserv\'e, donc ind\'ependant de $\tau$ donc en revenant
\`a la notation $x$ pour l'abscisse on a
\begin{eqnarray*}
 H&=&y'  \frac{ \partial{ \left( \frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{-2gy}}
    \right)} }{\partial y'}- 
\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{-2gy}}\\
&=& \frac1 {\sqrt{-2gy}} \left( y' \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} -
  \sqrt{1+y'^2} \right)\\
&=&\frac1 {\sqrt{-2gy} \sqrt{1+y'^2}} 
\end{eqnarray*}
Apr\`es simplification, on obtient l'\'equation diff\'erentielle~:
$$ -2gH^2y (1+y'^2) = 1$$
soit 
$$ y'^2=\frac{-2c}{y}-1, \quad c=gH^2\quad $$
Comme $y\leq 0$ et $y'(0)=0$, on en d\'eduit que $y'$ est n\'egatif~:
$$ -dy = \sqrt{\frac{-2c}{y}-1} \ dx$$
Il s'agit d'une \'equation \`a variables s\'eparables. En posant
$y=-c+cY, x=cX$
on obtient une \'equation ind\'ependante de $c$~:
$$ -dY=\sqrt{\frac{2}{1-Y}-1} \ dX=\sqrt{\frac{1+Y}{1-Y}} dX$$
Donc
$$ -\int \sqrt{\frac{1-Y}{1+Y}} dY = \int dX $$
puis (pour trouver la constante d'int\'egration, on observe que
$Y=1$ pour $X=0$)~:
$$ -\sqrt{1-Y^2}+\arccos(Y)=X$$
Si on pose $Y=\cos(t), t \in [0,\pi]$, on a $X=t - \sin(t)$,
la solution est donc une cyclo\"ide\index{cyclo\"ide} renvers\'ee.
On peut aussi le v\'erifier directement
en rempla\c{c}ant dans l'\'equation $x$ et $y$
par les \'equations param\'etriques de la cyclo\"ide renvers\'ee
$$x=c(t-\sin(t)), \ y=-c+c\cos(t), \ t \in [0,\pi]$$
on trouve pour le membre de droite~:
\begin{eqnarray*}
\sqrt{\frac{-2c}{y}-1} \ dx &=& c \sqrt{\frac{2}{1-\cos(t)}-1} \ 
(1-\cos(t)) \ dt\\
&=& c \sqrt{\frac{1+\cos(t)}{1-\cos(t)}} \  (1-\cos(t)) \ dt \\
&=& c \sqrt{1-\cos(t)^2} \ dt\\
&=& c \sin(t) \ dt \\
&=& -dy
\end{eqnarray*}

{\bf Pour aller plus loin}~:
\begin{itemize}
\item le th\'eor\`eme de Noether permet de d\'eduire une
constante du mouvement lorsque le lagrangien est invariant
par un groupe continu de transformations (par exemple
translation ou rotation dans l'espace).
\item les \'equations de la m\'ecanique peuvent se r\'e\'ecrire
en terme du hamiltonien, en utilisant 
les coordonn\'ees $(q=x,p=\partial L/\partial \dot{x})$
de l'espace des phases, sous la forme
$$ \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}, \quad
\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}$$
On obtient un syst\`eme {\em symplectique}
qui poss\`ede des propri\'et\'es g\'eom\'etriques et permet
de calculer des solutions num\'eriques de meilleure qualit\'e en en tenant
compte (int\'egration symplectique). La formulation
hamiltonienne de la m\'ecanique est aussi tr\`es li\'ee \`a la 
m\'ecanique quantique (principe de correspondance).
\end{itemize}

\pagebreak

\section{R\'esum\'e \'equations diff\'erentielles et calcul
  variationnel}

\subsection{\'Equations et syst\`emes diff\'erentiels}
\begin{itemize}
\item {\bf Cauchy-Lipschitz}~: $y'=f(y,t)$ avec $f$ continument d\'erivable,
alors par toute condition initiale passe une courbe int\'egrale
maximale et une seule.
\item {\bf ordre 1, \`a variables s\'eparables} $y'=f(y)g(t)$, la solution
s'obtient sous forme implicite
en int\'egrant $dy/f(y)=g(t)dt$.\\ Cas particulier les
\'equations autonomes $y'=f(y)$.
\item {\bf ordre 1, lin\'eaire} $y'=a(t)y+b(t)$, solution sans second
membre $y=C\exp(\int a(t) \ dt)$ puis variation de la constante $C(t)$
pour solution particuli\`ere
\item {\bf \'Equation lin\'eaire \`a coefficients constants}
\\ 
Base de solutions de l'\'equation sans second membre les $\exp(rt)$
o\`u $r$ racine du polyn\^ome caract\'eristique. Si $r$ est racine
multiplicit\'e $m$, il faut ajouter 
\`a la base $t\exp(rt), ..., t^{m-1}\exp(rt)$.
\\
Avec second membre~: si du type $P(t)\exp(\alpha t)$ avec $P$
polyn\^ome et $\alpha$ r\'eel ou complexe, 
il existe une solution du m\^eme type $Q(t)\exp(\alpha t)$
avec $Q$ de m\^eme degr\'e en g\'en\'eral (ajouter au degr\'e la multiplicit\'e
de $\alpha$ comme racine du polyn\^ome caract\'eristique).
Pour un second membre g\'en\'eral, 
utiliser la m\'ethode de variation des constantes
poser $\sum c_i'(t) \exp(r_i t)=0$
(si l'ordre est $n>2$, poser $\sum c_i'(t) r_i^k \exp(r_i t)=0$
pour $k=0,...,n-2$), remplacer $y=\sum c_i(t) \exp(r_it)$
dans l'\'equation diff\'erentielle puis r\'esoudre le syst\`eme en les $c_i'$.
\item {\bf Syst\`emes diff\'erentiels lin\'eaires \`a coefficients
  constants} $Y'=AY+b(t)$.\\
Sans second membre, si la matrice $A$ est diagonalisable \\
$P^{-1}AP=D=$diag$(\lambda_1,...,\lambda_n)$ \\
alors $Y=P(\alpha_1 \exp(\lambda_1 t),...\alpha_n \exp(\lambda_n
t))$.\\
Avec second membre, faire varier les constantes
$\alpha_1(t),...,\alpha_n(t)$.
\end{itemize}

\subsection{Comportement asymptotique des solutions}
\begin{itemize}
\item \'Equations lin\'eaires \`a coefficients constants\\
Sans second membre~: la
solution tend vers 0 en l'infini si toutes les racines de l'\'equation
caract\'eristique ont une partie r\'eelle strictement n\'egative.
La d\'ecroissance est exponentielle (racine r\'eelle de partie
r\'eelle maximale) ou exponentielle oscillante (paire de racines
conjugu\'ees de partie r\'eelle maximale)\\
Avec second membre~: un r\'egime permanent s'\'etablit,
(r\'egime transitoire exponentiellement d\'ecroissant ap\'eriodique
ou oscillant). Si le second membre est p\'eriodique, le r\'egime
permanent est p\'eriodique de m\^eme p\'eriode sauf s'il y a
r\'esonance avec une fr\'equence propre $\omega$
de l'\'equation ($\pm i\omega$
racine du polyn\^ome caract\'eristique).
\item \'Equation autonome $y'=f(y)$ de solutions stationnaires $y=r$
avec $f(r)=0$. Si une condition initiale est entre 2 solutions
stationnaires cons\'ecutives, elle y reste et tend vers l'une
en $-\infty$ et vers l'autre en $+\infty$. Si $f'(r)<0$, $r$
est un \'equilibre stable, si la condition initiale est proche de $r$,
alors $y$ tend vers $r$ pour $t \rightarrow +\infty$
\item Syst\`emes diff\'erentels lin\'eaires \`a coefficients
  constants de matrice $A$\\
Sans second membre~: la solution tend vers 0 en l'infini
si toutes les valeurs propres de $A$ ont une partie r\'eelle strictement
n\'egative. D\'ecroissance exponentielle ap\'eriodique 
(valeur propre r\'eelle de partie r\'eelle maximale)
ou oscillante (paire de valeurs propres conjugu\'ees de partie
r\'eelle maximale).\\
Avec second membre~: r\'egime permanent, 
de m\^eme p\'eriode si le second membre est p\'eriodique,
sauf s'il y a r\'esonance avec une fr\'equence propre
du syst\`eme ($\pm i\omega$ valeur propre de $A$).
\item Syst\`eme autonome $Y'=f(Y)$~: si $Y_e$ est point
d'\'equilibre (solution de $f(Y_e)=0$), et si les valeurs
propres du lin\'earis\'e $Y'=f'(Y_e)(Y-Y_e)$ sont de partie
r\'eelle strictement n\'egative, alors on montre que l'\'equilibre 
est stable.
\end{itemize}

\subsection{Calcul variationnel}
\begin{itemize}
\item $L(x,\dot{x},t)$ lagrangien, $x =(x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}^n$ syst\`eme
de coordonn\'ees, pas forc\'ement cart\'esien on peut par exemple
prendre $(r,\theta)$ (coordonn\'ees polaires) ou $(r,\theta,\phi)$
(coordonn\'ees sph\'eriques)
\item action le long d'un chemin (courbe param\'etr\'ee) 
d'extr\'emit\'es $A$ et $B$
$$S=\int_{t_A}^{t_B} L(x,\dot{x},t) \ dt $$
\item condition n\'ecessaire pour minimiser l'action, la courbe
param\'etr\'ee $x(t)$ doit v\'erfier les \'equations 
d'Euler-Lagrange
$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \right)= 
\frac{\partial L}{\partial x_i} \quad \mbox{pour } i=1,...,n$$
\item Si $L$ ne d\'epend pas explicitement d'une des coordonn\'ees
$x_i$ alors $\frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}}$ est une constante
du mouvement.
\item Si $L$ ne d\'epend pas explicitement du temps alors
le hamiltonien 
$$H=\sum_k \dot{x_i} \frac{\partial L}{\partial  \dot{x_i}} -L $$ 
est une constante du mouvement
\item En m\'ecanique classique pour des forces conservatives
$L=T-V$, $T$ \'energie
cin\'etique, $V$ potentiel. \\
Si $V$ ne d\'epend pas d'une
coordonn\'ee cart\'esienne, la composante correspondante
de la quantit\'e de mouvement est conserv\'ee, si $V$ ne
d\'epend que de $r$, c'est le moment cin\'etique qui est
conserv\'e. \\
Le hamiltonien $H$ est l'\'energie totale.\\
En relativit\'e restreinte, $T$ est proportionnel au temps
propre $T=-mc^2\sqrt{1-\dot{x}^2/c^2}$.
\end{itemize}


\chapter{Utilisation de la calculatrice.}
On pr\'esente ici un r\'esum\'e des commandes utiles dans ce module
pour les calculatrices empruntables au DLST 
(Casio Graph 90+e), ainsi que
quelques pistes de documentation pour les \'etudiants poss\'edant
d'autres calculatrices (Numworks, HP Prime, 
TI Nspire, 89/92/Voyage 200, Casio Classpad, etc.).

\section{Emprunt ou achat}
Le DLST propose un emprunt de Casio Graph 90 aux \'etudiants pour le semestre ou l'ann\'ee.
Quelques informations pour les \'etudiants souhaitant acheter leur propre calculatrice parmi
les mod\`eles compatibles Xcas~: la Casio Graph 35eii est la moins ch\`ere en monochrome
(se trouve à moins de 50 euros \`a la rentr\'ee avec l'offre de remboursement différé de Casio),
la Casio Graph 90+e la moins ch\`ere en couleurs
(peut se trouver 60 euros \`a cette rentr\'ee), vient ensuite la Numworks (83 euros, calculatrice
plus rapide). La HP Prime est la plus performante mais presque deux fois plus chère. 
En occasion, les TI Nspire CX
et Numworks N0110 non verrouill\'ees sont de bonnes affaires. 
%% {\em {\bf Attention}, si vous achetez une Numworks, v\'erifiez qu'il s'agit
%% bien d'une N0110 et essayez de vous procurer une   
%% version 18.2 au plus. Faites tr\`es attention \`a ne pas la mettre
%% \`a jour sur le site de Numworks, car \`a partir de la version 18.2.3, le 
%% constructeur verrouille les calculatrices, rendant l'installation de
%% Xcas impossible et ce de mani\`ere irr\'eversible. M\^eme remarque
%% pour les TI Nspire, l'OS doit \^etre au plus 4.5.4 pour les CX et 5.3
%% pour les CX2. Ne faites pas de mise \`a jour sur le site de TI.}

\section{Reset}
Aucun logiciel de calcul formel n'est exempt de bugs, surtout s'il
n'a pas \'et\'e beaucoup test\'e (cas des calculatrices couleurs
r\'ecentes). Cela peut se 
traduire par un calcul qui n'en finit pas ou un plantage de la 
calculatrice. Localisez l'emplacement du bouton Reset
qui permet de r\'einitialiser
votre calculatrice : Casio Graph 90+e/35eii/Numworks/TI Nspire activable avec une pointe de stylo,
HP Prime, activable avec une pointe de trombone ou une \'epingle.

\section{Casio Graph 90+e/35eii}
Si vous ne voyez pas l'icone de Xcas depuis MENU, installez-le en
suivant la documentation de
\ahref{https://www-fourier.univ-grenoble-alpes.fr/\home{parisse}/casio/khicasio.html}{$\chi$CAS}
Le lien pr\'ec\'edent explique plus en d\'etails comment utiliser Xcas sur
cette calculatrice, on en donne ici un petit r\'esum\'e. 
%Dans la section Installation on trouve deux liens pour charger une version
%limit\'ee en temps de l'\'emulateur Casio ainsi que la proc\'edure
%pour installer $\chi$CAS sur l'\'emulateur.

\subsection{Lancement}
Taper sur la touche MENU, puis d\'eplacez le curseur jusqu'\`a voir 
l'icone de Xcas et la l\'egende Khicas ou Khicas90, puis tapez EXE.
Khicas est l'ancienne version, plus test\'ee, Khicas90 est
la nouvelle version, plus compl\`ete.

Pour \'eteindre la calculatrice, tapez sur la touche MENU puis shift
ON.


\subsection{Interruption, nettoyage.}
Pour interrompre un long calcul, tapez sur AC/ON.

En cas de crash (affichage SYSTEM ERROR...),
essayez de taper sur la touche MENU puis ouvrez une autre
application. Assez souvent, cela permet de sauvegarder la session
en cours, on tape alors MENU, on relance $\chi$CAS et on
peut reprendre le travail sans perdre de donn\'ees ni devoir
r\'einitialiser la calculatrice.

En cas de crash persistant, il est conseill\'e 
d'effacer les donn\'ees de session de Xcas. Tapez sur la touche
MENU, puis Memoire, puis F2 (Memoire de stockage), effacez
le fichier  \verb|session.xw|.

\subsection{Remarques}
Pour saisir une commande, cherchez-la dans les menus rapides (F1, F2,
shift ou alpha F1 \`a F6) ou depuis le catalogue (touche F4).
On peut aussi taper la commande en toutes lettres en bloquant le clavier
en minuscules (F5). Avec Khicas90, vous pouvez taper shift INS pour saisir
un caract\`ere non pr\'esent sur le clavier.

L'unit\'e d'angle par d\'efaut est le radian, on peut le v\'erifier dans la
ligne d'\'etat (RAD). Si ce n'est pas le cas, faire F6, 7, EXIT. V\'erifiez
aussi que vous \^etes en mode Xcas, si Python apparait
dans la ligne d'\'etat, faire shift, SETUP, 2, 1.

Pour obtenir une approximation num\'erique d'une expression, on
peut utiliser
la commande \verb|approx(|, raccourci clavier touches shift F2 2.

\subsection{Courbes}
Pour tracer la repr\'esentation graphique d'une courbe, on
peut utiliser l'application int\'egr\'ee de Casio
(cf. le \ahref{https://support.casio.com/storage/fr/manual/pdf/FR/004/GRAPH90+E_Soft_FR.pdf}{manuel du constructeur}), mais
il n'est alors pas possible de faire l'\'etude analytique de la courbe
On conseille donc de rester dans $\chi$CAS et d'utiliser
\begin{itemize}
\item pour un graphe de fonction la commande
\verb|plot|, 
\item pour une courbe en param\'etriques la commande
\verb|plotparam|, 
\item pour une courbe en polaires la commande \verb|plotpolar|.
\end{itemize}
Ces commandes se trouvent dans le menu rapide shift F4
ou depuis le menu complet dans le sous-menu Graphiques : touches F4 puis 7
s\'electionner la commande avec le curseur haut ou bas.
Taper ensuite F2 pour recopier un exemple en ligne de commande, 
vous pouvez ensuite modifier cet exemple et l'ex\'ecuter.

La touche $X,\theta,t$ permet de saisir $t$ ou $x$ selon le r\'eglage 
du menu shift-SETUP.

Par exemple 
\verb|X:=sin(2t);|
\verb|Y:=cos(3t);|
\verb|plotparam([X,Y],t,0,2*pi)|.
Pour saisir \verb|X|,  taper ALPHA puis la touche + (l\'egende X en rouge) ;
pour saisir \verb|:=|, taper shift INS, , etc.
Pour d\'efinir une variable, on peut omettre le \verb|:|, i.e. \'ecrire \verb|=| \`a la place de \verb|:=|

Utilisez les touches de d\'eplacement du Pad pour bouger le graphique,
les touches + et - pour faire un zoom in ou out et EXIT pour quitter.

Pour faire les calculs n\'ecessaires \`a l'\'etude de la courbe,
vous pouvez utiliser les fonctions de calcul formel (\verb|factor|,
\verb|simplify|, \verb|solve|, \verb|diff|, \verb|limit|,
\verb|int|, etc.) qui se trouvent dans les menus rapides F1/F2 ou
par le menu complet (F4, puis Algebre
ou Analyse ou Resoudre) ou via des raccourcis claviers
($\rightarrow$* pour factoriser, $\rightarrow$+ pour d\'evelopper).

Si vous tracez une courbe, les variables \verb|X1, X2, Y1, Y2|
contiendront automatiquement les composantes de la vitesse et de l'accélération.
Par exemple \verb|X1| contient \verb|diff(X,t)|.
Vous pouvez aussi avec le raccourci (F2, 2) calculer la d\'eriv\'ee de $X$
par rapport \`a $t$.
\verb|X1=>*| factorise la d\'eriv\'ee
(touche $\rightarrow$ pour saisir \verb|=>|),
\verb|solve(X1=0,t)| cherche les z\'eros de la d\'eriv\'ee, etc.

Pour \'etudier une courbe en polaire, on peut utiliser les complexes, par
exemple {\tt F:=R(x)*exp(i*x)} stocke dans \verb|F|
l'expression de l'affixe du point, on peut ensuite calculer {\tt F(x=$\pi/4$)}
pour avoir l'affixe du point d'angle $\pi/4$ ou 
{\tt F'(x=$\pi/4$)} pour l'affixe du vecteur directeur
de la tangente en ce point.

Les calculs d'int\'egrales (F4 Analyse integrate) se font par d\'efaut en
cherchant une primitive ce qui peut \^etre long ou/et ne pas aboutir,
vous pouvez forcer le calcul approch\'e d'une int\'egrale
d\'efinie en mettant une des bornes sous forme d'un nombre approch\'e
par exemple \verb|1.0| au lieu de \verb|1|.

Sur les Graph 90, la commande \verb|integrate| permet de calculer une intégrale curviligne
(cf. la section \ref{sec:defcurv}).

% $\chi$CAS ne contient pas la commande \verb|plotimplicit| pour tracer
% le graphe d'une courbe donn\'ee par une \'equation cart\'esienne
% (il n'y a pas assez d'espace disponible en m\'emoire), 
% mais on peut la remplacer par la commande \verb|plotcontour| 
% qui permet de tracer
% des courbes de niveaux d'une fonction de 2 variables,
% en tra\c{c}ant la courbe de niveau 0 d'une expression.

\subsection{\'Equations diff\'erentielles}
Pour r\'esoudre une \'equation ou un syst\`eme diff\'erentiel lin\'eaire,
ouvrez le catalogue F4 puis Resoudre puis la commande 
\verb|desolve(|, puis ses arguments comme dans Xcas, par
exemple \verb|desolve(Y'=x*Y-x,x,Y)| ou avec condition
initiale \verb|desolve([Y'=x*Y-x,Y(0)=2],x,Y)|.
Pour saisir le caract\`ere prime de d\'erivation, taper F2 1.

Pour les syst\`emes diff\'erentiels lin\'eaires \`a coefficients
constants, la syntaxe est similaire
par exemple \verb|desolve(Y'=[[1,-1],[2,4]]*Y,x,Y)| ou avec condition
initiale \verb|desolve([Y'=[[1,-1],[2,4]]*Y,Y(0)=[1,2]],x,Y)|.

Pour saisir une matrice, vous pouvez l'entrer directement comme
liste de listes en ligne de commande ou utiliser le menu F6, Editer
matrice (ou le raccourci shift-Mat).

Pour v\'erifier des \'etapes interm\'ediaires des calculs, 
vous pouvez utiliser, depuis les menus rapides shift-Mat ou shift-3 ou depuis
le sous-menu \verb|Algebre (bi)lineaire|, les commandes \verb|det|
(d\'eterminant), \verb|charpoly| (polyn\^ome caract\'eristique),
\verb|eigenvals| (valeurs propres), \verb|eigenvects| (vecteurs
propres), \verb|jordan| (diagonalisation). Par exemple\\
\verb|A:=[[1,-1],[2,4]]|\\
\verb|factor(det(A-x*idn(2)))|\\
\verb|eigenvals(A)|\\
\verb|eigenvects(A)|\\
\verb|P,D:=jordan(A); P*D*inv(P)|

Pour tracer un champ des tangentes, choisissez \verb|plotfield|
dans le sous-menu \verb|Graphique|. Par exemple 
\verb|plotfield(sin(t*Y),[t=-3..3,Y=-3..3],plotode=[[0,1],[0,-1]])|
trace le champ des tangentes pour l'\'equation diff\'erentielle
$y'=\sin(ty)$  avec les solutions passant par les conditions initiales
$y(0)=1$ et $y(0)=-1$.

\section{Numworks N0110/N0115/N0120, TI Nspire CX et CX II}
Vous pouvez installer $\chi$CAS sur les calculatrices~:
\begin{itemize}
\item 
{\bf Installation Numworks :} \ahref{https://xcas.univ-grenoble-alpes.fr/nw/nws.html}{Page
  d'installation et kit de connexion Numworks}
\item TI Nspire CX et CX2, avec l'OS 4.5.0 ou
4.5.3 ou 4.5.4 (Nspire CX) ou bien 5.2 ou 5.3 (Nspire CX 2). Tapez sur
la touche Home puis 4 et 5 pour connaitre votre num\'ero de version.
{\em {\bf Attention} ne faites pas de mise \`a jour sur le site de TI, cela
  rendrait votre calculatrice irr\'eversiblement incompatible avec
  Xcas}.\\
{\bf Installation :}  Si vous devez installer une version de l'OS compatible, suivez les
instructions du d\'ebut du tutoriel d'installation de ndless pour
\ahref{https://tiplanet.org/forum/viewtopic.php?f=57&t=24267}{CX}
ou \ahref{https://tiplanet.org/forum/viewtopic.php?t=24264}{CX 2}.\\ 
Ensuite t\'el\'echargez et d\'esarchivez le fichier
\ahref{https://www-fourier.univ-grenoble-alpes.fr/\home{parisse}/ti/khicas.zip}{CX} ou
\ahref{https://www-fourier.univ-grenoble-alpes.fr/\home{parisse}/ti/khicas52.zip}{CX
  II}.  Envoyez le dossier \verb|ndless| de l'archive avec le logiciel de
connexion sur votre calculatrice, puis installez Ndless en lan\c{c}ant
dans le dossier \verb|ndless| l'installeur correspondant \`a votre OS,
puis lancez \verb|khicas|.
\end{itemize}
Le mode de fonctionnement est tr\`es proche de celui des Casio Graph
90, il y a quelques diff\'erences pour les raccourcis clavier (les 
menus rapides se lancent en tapant shift suivi de 1 \`a 9, ou 0
ou les parenth\`eses, le point d\'ecimal,...).

\section{HP Prime}
Pour un guide plus complet, vous pouvez consulter pour le calcul formel\\
\verb|http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/calc/hprime.pdf|\\
pour le reste le guide du constructeur\\
\verb|https://tiplanet.org/forum/archives_voir.php?id=19716|\\
Emulateur gratuit disponible sur \ahref{https://www.hpcalc.org/prime/beta/}{hpcalc.org}, choisir ``HP Prime Virtual Calculator Emulator'' pour son syst\`eme
d'exploitation.

\subsection{Nettoyage.}
Pour effacer les variables de CAS, tapez la commande \verb|restart|
(disponible depuis la touche boite \`a outils, catalog).

En cas d'anomalies persistantes apr\`es la commande \verb|restart|,
vous pouvez tout effacer. Pour cela \'eteindre la calculatrice. Appuyez 
simultan\'ement sur les touches F, O et C, laissez ces 3 touches
enfonc\'ees et appuyer sur ON, relachez ON en laissant F, O et C 
enfonc\'ees. Relachez F, O et C quelques secondes plus tard.
S\'electionnez \verb|4. FLS Utilities|,  puis \verb|FORMAT C:|,
tapez ensuite sur la touche Esc puis sur \verb|9 RESET|.


\subsection{Remarques}
{\bf V\'erifiez que les angles sont en radians (touche Settings)}.

Pour acc\'eder \`a une commande depuis \verb|CAS|, 
on peut utiliser l'arborescence des
menus depuis la touche repr\'esentant une boite \`a outils, 
ou la liste des commandes
(\verb|Ctlg|) ou taper la commande en toutes lettres. La touche Help
affiche de l'aide sur la commande saisie.

Pour taper un caract\`ere alphab\'etique, taper auparavant sur
la touche \verb|ALPHA| orange. En tapant deux fois sur \verb|ALPHA|
on verrouille le mode alphab\'etique (taper une troisi\`eme fois pour
d\'everouiller). Pour obtenir un caract\`ere majuscule dans CAS, faire
pr\'ec\'eder la touche du caract\`ere souhait\'e de la touche
\verb|Shift|.

Attention pour faire du calcul formel, tapez sur la touche CAS,
et utilisez des noms de
variables en minuscules, {\bf n'utilisez pas les variables
\verb|A| \`a \verb|Z| ni {\tt $\theta$}}.

Laissez le mode de calcul par d\'efaut en mode exact (touche CAS Settings), 
si vous voulez
une approximation num\'erique, il suffit de saisir une des donn\'ees
avec un point d\'ecimal (par exemple \verb|sin(1.0)| au lieu 
de \verb|sin(1)|).

Pour commencer un nouvel exercice, vous pouvez faire le m\'enage en
utilisant la commande \verb|restart| dans l'\'ecran \verb|CAS|.

\subsection{Courbes.}
Appuyer sur la touche Apps, s\'electionner sur l'\'ecran tactile 
Param\'etrique ou Polaire (ou Fonction). 
Entrez \verb|X1(T)| et \verb|Y1(T)| ou 
{\tt  R1($\theta$)}, vous pouvez vous aider de la touche 
\framebox{$x t \theta n$}\footnote{Attention, 
$\theta$ a toujours une valeur approch\'ee, 
n'utilisez pas cette touche pour faire du calcul
formel si l'application Polaire est active.} 
pour taper la variable et de la touche \`a sa gauche pour entrer des
fractions, racines carr\'ees ... Pour voir le graphe, appuyer sur la
touche \verb|Plot|. Pour changer le zoom ou le cadrage, utiliser les doigts sur
l'\'ecran tactile comme sur un smartphone ou une tablette. 
Pour revenir \`a la d\'efinition de fonction
appuyer sur la touche \verb|Symb|. Pour changer la discr\'etisation,
appuyer sur \verb|Shift| puis \verb|Plot_Setup|.

Pour faire les calculs n\'ecessaires \`a l'\'etude d'une courbe, 
{\bf tapez sur la touche CAS}. Les
fonctions de calcul formel (\verb|factor|,
\verb|simplify|, \verb|solve|, \verb|diff|, \verb|limit|,
\verb|int|, etc.) se trouvent dans le menu
qu'on ouvre en tapant sur la touche boite \`a outils (B en orange),
puis appuyer sur le mot CAS en bas de l'\'ecran tactile.
Par exemple, si vous avez entr\'e un graphe en param\'etriques dans
$X1, Y1$, vous pouvez stocker la d\'eriv\'ee de $X1(t)$ dans la
variable \verb|v1| en tapant
\verb|diff(X1(t),t)| (pour saisir \verb|X| en majuscules,
il faut taper la touche
alpha puis la touche shift puis la touche X orange)
puis Sto sur l'\'ecran tactile (ou touches
\verb|Shift| puis \verb|EEX_Sto|) 
puis \verb|v1|, puis \verb|factor(v1)| ou \verb|solve(v1=0,t)|
(attention \`a bien pr\'eciser la variable recherch\'ee dans \verb|solve|
si ce n'est pas \verb|x|), 
de m\^eme pour \verb|dy1|, etc.
Pour une courbe en polaires, on peut utiliser les complexes, par
exemple {\tt r:=R1(x)*exp(i*x)} stocke dans \verb|r|
l'expression de l'affixe du point, on peut ensuite calculer {\tt r(x=$\pi/4$)}
pour avoir l'affixe du point d'angle $\pi/4$ ou 
 {\tt r'(x=$\pi/4$)} pour l'affixe du vecteur directeur
de la tangente en ce point.

Les calculs d'int\'egrales se font par d\'efaut en
cherchant une primitive ce qui peut \^etre long ou/et ne pas aboutir,
vous pouvez forcer le calcul approch\'e d'une int\'egrale
d\'efinie en mettant une des bornes sous forme d'un nombre approch\'e
par exemple \verb|1.0| au lieu de \verb|1|.

Pour visualiser des courbes implicites, on peut utiliser l'App
Graphique Avanc\'e ou l'App G\'eom\'etrie (Trac\'e avanc\'e) 
ou directement dans CAS, instruction
\verb|plotimplicit|. Pour les courbes
de niveau, utiliser dans CAS ou l'App G\'eom\'etrie la
commande \verb|plotcontour|.


\subsection{\'Equations diff\'erentielles}
Pour r\'esoudre une \'equation ou un syst\`eme diff\'erentiel lin\'eaire,
appuyer sur la touche CAS si vous n'\^etes pas dans la vue CAS, 
puis touche boite \`a outils, menu CAS, R\'esoudre,
E\'quation diff\'erentielle, ou taper directement la commande
\verb|desolve(|, puis ses arguments comme dans Xcas, par
exemple \verb|desolve(y'=x*y-x,x,y)| ou avec condition
initiale \verb|desolve(y'=x*y-x and y(0)=2,x,y)|.
Pour saisir le caract\`ere prime de d\'erivation, vous pouvez taper
sur shift () et supprimer un des 2 primes. 

Pour les syst\`emes diff\'erentiels lin\'eaires \`a coefficients
constants, la syntaxe est similaire
par exemple \verb|desolve(y'=[[1,-1],[2,4]]*y)| ou avec condition
initiale \verb|desolve(y'=[[1,-1],[2,4]]*y and y(0)=[1,2])|.
Pour avoir des d\'etails, vous pouvez utiliser les commandes \verb|det|
(d\'eterminant), \verb|charpoly| (polyn\^ome caract\'eristique),
\verb|eigenvals| (valeurs propres), \verb|eigenvects| (vecteurs
propres), \verb|jordan| (diagonalisation). Par exemple
\verb|a:=[[1,-1],[2,4]]|\\
\verb|factor(det(a-x*identity(a)))|\\
\verb|eigenvals(a)|\\
\verb|eigenvects(a)|\\
\verb|p,d:=jordan(a); p*d*inv(p)|

Pour tracer un champ des tangentes, v\'erifiez que \verb|x| et \verb|y|
ne sont pas affect\'ees (\verb|purge(x,y)| si n\'ecessaire), 
ouvrir l'application
G\'eom\'etrie, puis dans la vue par d\'efaut Plot, menu Cmds,
Trac\'e, puis champ de directions.

Pour tracer la solution approch\'ee d'une \'equation diff\'erentielle
avec condition initiale, d\'eplacez le curseur dans la
fen\^etre \verb|Plot| au point de coordonn\'ees 
la condition initiale et tapez Entree. Attention, le calcul
est \`a nouveau effectu\'e \`a chaque rafraichissement de l'\'ecran
graphique, ce calcul peut devenir tr\`es long d\`es qu'on trace 
plus de 2 courbes. Vous pouvez effacer une courbe int\'egrale
depuis \verb|Symb|.
On peut aussi choisir ODE au lieu de champ de directions
mais faut alors saisir
les arguments de la commande \verb|plotode|, pour vous aider \`a le faire,
tapez sur la touche \verb|Help|, recopiez un exemple (touche menu Ex) 
et adaptez-le.

\section{TI 89, 92, Voyage 200}
Guide complet du constructeur\\
\verb|https://tiplanet.org/forum/archives_voir.php?id=609|

\subsection{Nettoyage.}
Pour nettoyer, depuis HOME, taper sur la touche F6 Cleanup, 
vous pouvez effacer soit les variables \`a 1 lettre (\verb|a| \`a \verb|z|)
soit tout effacer (\verb|NewProb|)

\subsection{Remarques}
{\bf V\'erifiez que les angles sont en radians (touche MODE)}.

Pour saisir une commande dans l'\'ecran \verb|HOME|,
on peut utiliser les menus F2, etc.
ou la liste des commandes par ordre alphab\'etique
touche \verb|CATALOG|, la syntaxe des commandes s'y affiche, ou
taper la commande en toutes lettres. 

Pour taper un caract\`ere alphab\'etique sur les TI89, taper auparavant sur
la touche \verb|ALPHA| violette. En tapant deux fois sur \verb|ALPHA|
on verrouille le mode alphab\'etique (taper une troisi\`eme fois pour
d\'everouiller).

Attention, les calculatrices TI font la distinction entre le \verb|-|
binaire de la soustraction et le \verb|-| unaire de changement de signe,
ceci peut engendrer des erreurs.

Il est conseill\'e de conserver le \verb|MODE| de calcul \verb|AUTO|,
les calculs se feront par d\'efaut en mode exact, si vous voulez
une approximation num\'erique, il suffit de saisir une des donn\'ees
avec un point d\'ecimal (par exemple \verb|sin(1.0)| au lieu 
de \verb|sin(1)|).

Pour commencer un nouvel exercice, vous pouvez faire le m\'enage en 
utilisant le menu \verb|F6| de \verb|HOME|.

\subsection{Courbes}
Touche MODE, s\'electionnez le type de trac\'e param\'etrique ou
polaire (ou fonction). Puis touche verte, F1 (Y=), d\'efinir les
fonctions \verb|xt1| et \verb|yt1| (attention les TI font la
diff\'erence entre le \verb|-| unaire oppos\'e et le \verb|-|
binaire soustraction et il faut explicitement fermer les parenth\`eses ouvertes).
Puis touche verte, F2 (WINDOW) pour d\'efinir la discr\'etisation
et le cadrage graphique, puis touche verte, F3 (GRAPH) pour avoir le
trac\'e. On peut ensuite zoomer avec le menu F2.

Pour faire les calculs n\'ecessaires \`a l'\'etude d'une courbe, 
tapez sur la touche HOME.
Les fonctions de calcul formel (\verb|factor|,
\verb|solve|, \verb|d|, \verb|limit| (par exemple
\verb|limit(1/x,x,0,1)| pour la limite de $1/x$ en $x=0^+$),
{\tt$\int$}, etc.) se trouvent dans les menus F2 et F3.
Par exemple, si vous avez entr\'e un graphe en param\'etriques dans
$xt1, yt1$, vous pouvez stocker la d\'eriv\'ee de $xt1(t)$ dans la
variable \verb|v1| en tapant
$d$\verb|(xt1(t),t)| touche \verb|Sto| puis
\verb|v1|, puis \verb|factor(v1)| ou \verb|solve(v1=0,t)|, de m\^eme
pour \verb|dy1|, etc.

Pour une courbe en polaires, on peut utiliser les complexes, par
exemple {\tt r:=r1(x)*exp(i*x)} stocke dans \verb|r|
l'expression de l'affixe du point, on peut ensuite calculer {\tt r|x=$\pi/4$}
pour avoir l'affixe du point d'angle $\pi/4$ ou 
 {\tt $d$(r,x)|x=$\pi/4$} pour l'affixe du vecteur directeur
de la tangente en ce point.

Les calculs d'int\'egrales se font par d\'efaut en commen\c{c}ant
par chercher une primitive ce qui peut \^etre long ou/et ne pas aboutir,
vous pouvez forcer le calcul approch\'e d'une int\'egrale
d\'efinie en mettant une des bornes sous forme d'un nombre approch\'e
par exemple \verb|1.0| au lieu de \verb|1|.

Pour visualiser des courbes de niveau ou implicite, touche MODE puis
3d, Enter puis touche verte, \verb|Y=|, puis menu F1, puis 9, puis Style.


\subsection{\'Equations diff\'erentielles}
Pour r\'esoudre une \'equation diff\'erentielle, vous pouvez utiliser
la commande \verb|deSolve| (menu F3-Calc de HOME), par exemple
\verb|deSolve(y'=x*y-x,x,y)|. Pour taper le prime de d\'erivation,
utiliser la touche 2nd puis = sur les 89 ou B sur les 92/V200.
S'il y a une condition initiale, on utilise \verb|and|, par exemple
\verb|deSolve(y'=x*y-x and y(0)=2,x,y)|.

Il n'y a pas de commande permettant de r\'esoudre directement un
syst\`eme diff\'erentiel. Mais on peut calculer le polyn\^ome
caract\'eristique d'une matrice avec la commande \verb|det|, par
exemple
\verb|[[1,-1][2,4]]| sto$>$ \verb|a|\\
\verb|det(a-x*identity(2))| sto$>$ \verb|p|\\
\verb|solve(p=0,x)|\\
Les commandes \verb|eigVc(a)| et \verb|eigVl(a)| renvoient les
valeurs approch\'ees des vecteurs propres et valeurs propres d'une
matrice num\'erique \verb|a|, mais elles ne fonctionnent pas pour
une matrice \`a coefficients symboliques ou si on veut un r\'esultat
exact. Pour chaque valeur propre
renvoy\'ee (ici on prend 2) par la commande \verb|solve|,
on peut utiliser  la commande 
\verb?rref(a-2*identity(a))? pour r\'eduire sous forme
\'echelonn\'ee le syst\`eme lin\'eaire \`a r\'esoudre pour trouver
les vecteurs propres. La r\'esolution du syst\`eme est alors triviale.

Pour repr\'senter un champ de tangentes, taper sur la touche MODE
et s\'electionner DIFF EQUATION pour Graph. Ensuite, touche verte
Y= pour entrer l'\'equation diff\'erentielle (\verb|t0| est l'instant de la
condition initiale, 0 par d\'efaut, \verb|yi1| est la valeur de \verb|y1| \`a
l'instant \verb|t0|), touche verte WINDOW
pour r\'egler la fen\^etre, touche verte GRAPH pour tracer
le champ des tangentes et la solution de l'\'equation diff\'erentielle
passant par la condition initiale donn\'ee. On peut tracer plusieurs
solutions simultan\'ement en donnant une liste pour \verb|yi1|,
par exemple \verb|{1,2}| tracera les deux solutions passant par les
deux conditions initiales $y_1(t_0)=1$ et $y_1(t_0)=2$.

\section{Autres calculatrices}
D'autres mod\`eles graphiques formels sont partiellement document\'es sur\\
\verb|http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/calc/calc.html|
\begin{itemize}
\item Casio Classpad, voir aussi\\
\verb|https://tiplanet.org/forum/archives_cat.php|\\
ou \verb|http://www.casio-education.fr|
\item TI Nspire (CX) CAS, voir aussi\\
\verb|https://tiplanet.org/forum/archives_list.php?cat=Manuels+Nspire|
\begin{itemize}
\item Trac\'e de courbes~: lancer Graphes depuis le menu de d\'epart 
puis touche Menu,
3. Graph puis 3. Parametric. On peut aussi r\'egler le zoom depuis Menu.
\item Repr\'esentation d'\'equations diff\'erentielles~:
lancer Graphes depuis le menu de d\'epart 
puis touche Menu, 7. Equa diffs. Donner ensuite \verb|y1'|
en fonction de \verb|x| et \verb|y1|. Si vous ne pr\'ecisez
pas de condition initiale, le champ des tangentes est trac\'e,
sinon la solution passant par la condition initiale.
\item Calcul formel~: revenir \`a l'\'ecran de d\'epart (touche ON/home sur
les CX), puis A Calculate. Utiliser la touche Menu pour saisir des commandes
de calcul formel ou taper directement au clavier, les commandes
sont les m\^emes que pour les TI89/92 d\'ecrites ci-dessus.
\end{itemize}
\item HP40G, HP49G, HP50G, voir\\
\verb|http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/#calc|
\end{itemize}
La Casio Graph 100 dispose aussi d'un module de calcul formel 
(un peu moins performant), vous pouvez t\'el\'echarger son manuel 
depuis\\
\verb|www.support.casio-europe.com/fr/download/manuals/calc/GRAPH100_MAN1_Fr.pdf|

Mod\`eles graphiques sur lesquels on peut ajouter un logiciel
de calcul formel (moins performant)~:
\begin{itemize}
\item Casio Graph 75, 85, 95 (fx9860G*)~: on peut installer Algebra Eigenmath\\
\verb|https://tiplanet.org/forum/archives_voir.php?id=448883|
\item Casio Graph 35+USB (fx9750Gii, ceci ne concerne pas les
Graph 35+eii o\`u on peut installer KhiCAS)~:
il faut d'abord transformer la calculatrice en Casio Graph 75 ou 85 ce qui
est un peu compliqu\'e mais bien expliqu\'e ici~:\\
\verb|https://tiplanet.org/forum/archives_voir.php?id=4489|\\
puis on peut installer Eigenmath fx (item pr\'ec\'edent).
\item TI Nspire (non CAS)~: on peut installer Ndless puis $\chi$CAS 
(prononcer Khicas, le portage de Xcas pour TI Nspire)~:\\
\verb|http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/install_fr.html#ti|
\end{itemize}

\end{giacjshere}
\end{document}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
