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Chapitre 28  Les équations différentielles résolubles

28.1  Équation linéaire à coefficients constant du 2ième ordre

Ce sont les équations de la forme ay″+by′+cy=f(x)

28.2  Équation linéaire en y et y′ du 1ier ordre

La solution générale de l’équation complète est égale à la somme solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution particulière.

28.3  Équation du 1ier ordre avec facteur intégrant

Ce sont les équations différentielles qui peuvent être multipliées par f(x) de façon à obtenir une différentielle totale.

28.4  Équation homogène du premier ordre résoluble en y

Pour les équations homogènes du premier ordre non résoluble en y voir 28.7.
Les équations homogènes du premier ordre résoluble en y sont de la forme a(x,y)*y′=b(x,y) où a(x,y) et b(x,y) sont des fonctions homogènes de même degré p (a(t*x,t*y)=tp*a(x,y) et b(t*x,t*y)=tp*b(x,y)).
Pour résoudre les équations homogènes on pose y/x=t.

28.5  Équation de Bernoulli

Les équations de Bernoulli sont de la forme a(x)y′+b(x)y=c(x)yn et se résolvent en posant u=1/yn−1

28.6  Équation à variables séparées

Les équations à variables séparées sont de la forme a(y)dy=b(x)dx et se résolvent en intégrant chaque membre.

28.7  Équation non résoluble en y

On sait résoudre si l’équation est :

On sait résoudre ces équations à condition de trouver un paramétrage de de la courbe F(X,Y)=0 par X=f(t),Y=g(t).
On pose alors :

28.8  Équation de Clairaut

C’est une équation de la forme y=x*y′+f(y′) que l’on résout en posant y′=dy/dx=t. On a donc y=t*x+f(t),(x+f′(t))*dt=0.
Donc l’intégrale générale est t=m=cste et x=−f′(t),y=−t*f′(t)+f(t).
Cela définit une infinité de droites Dm d’équation y=mx+f(m) (m∈ ℝ) et l’intégrale singulière x=−f′(t),y=−t*f′(t)+f(t) qui est l’enveloppe des droites Dm.
Résoudre :
yxy′=√a2+b2*y2
On pose y′=dy/dx=t et f(t)=√a2+b2*t2.
On a :
f′(t)=b2*t/√a2+b2*t2
donc comme solution les droites : y=m*x+√a2+b2*m2
et comme intégrale singulière :
x=−b2*t/√a2+b2*t2,y=−b2*t2/√a2+b2*t2+√a2+b2*t2
Avec Xcas
On tape :
desolve(y-x*diff(y)=sqrt(a^2+b^2*diff(y)^2),y)
On obtient :
[c_0*x+sqrt(a^2+b^2*c_0^2), [-((sqrt(a^2+b^2*‘ t‘^2)*‘ t‘*b^2)/(‘ t‘^2*b^2+a^2)), (sqrt(a^2+b^2*‘ t‘^2)*a^2)/(‘ t‘^2*b^2+a^2)]]
On peut dessiner les solutions avec Xcas, on tape :

assume(a=[1,0,5]);
assume(b=[1,0,5]);
assume(m=[1,-5,5]);
droite(y=m*x+sqrt(a^2+b^2*m^2));
plotparam(-b^2*t/sqrt(a^2+b^2*t^2)+
  i*(-b^2*t^2/sqrt(a^2+b^2*t^2)+sqrt(a^2+b^2*t^2)),t);
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