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Chapitre 27  Utilisation des sommes de Riemann avec Xcas

27.1  Sommes de Riemann et définition de l’intégrale

27.1.1  Deux théorèmes

Soit [a,b] un segment de ℝ.

Rappel : Intégrale d’une fonction en escalier φ sur [a,b]
L’intégrale d’une fonction en escalier φ de [a,b] dans ℝ ou ∑(1./n,n=1..20000)mathbb C notée ∫ab φn est égale à :
j=1n (ajaj−1)*λj
où λj est la valeur constante prise par φj sur ]aj−1,aj[.
Soit f une application continue par morceaux de [a,b] dans ℝ ou ℂ.

Théorème 1
f est la limite uniforme d’une suite φn de fonctions en escalier sur [a,b].
Théorème 2 et définition de l’intégrale
Si φn est une suite de fonctions en escalier sur [a,b] qui converge uniformément vers f sur [a,b], alors la suite ∫ab φn converge et cette limite ne depend pas de la suite φn choisie pourvu que cette suite φn converge uniformément vers f sur [a,b].
Cette limite est appelée intégrale de f sur [a,b] et est notée ∫ab f ou encore ∫ab f(t) dt.

27.1.2  Sommes de Riemann

Soit (aj)j ∈ [0,n] une subdivision de [a,b].

Définition
On appelle sommes de Riemann de f associée à la subdivision (aj)j ∈ [0,n] toutes les sommes de la forme :
j=1n f(tj)*(ajaj−1)
tj est un élément de [aj−1,aj] pour tout j ∈ [1,n].
Soit (aj)j ∈ [0,n] une subdivision régulière de [a,b] c’est à dire aj=a+j*ba/n pour j ∈ [0,n] .

Propriété
On a :
ajaj−1=ba/n pour j ∈ [1,n].
et donc
ab f(t) dt=limn → +∞ba/nj=1n f(tj)=limn → +∞ba/nj=1n−1 f(tj)
tj est un élément de [aj−1,aj] pour tout j ∈ [1,n] (par ex tj=aj−1 ou tj= aj).

27.2  Les fonctions de Xcas utilisées

Voici les fonctions de Xcas qui vous seront utiles dans ces exercices.
sum_riemann(xpr(n,k),[n,k]) renvoie au voisinage de n=+∞ un équivalent de k=1n xpr(n,k) ou de k=0n-1 xpr(n,k) ou de k=1n-1 xpr(n,k) lorsque la somme considérée est une somme de Riemann associée à une fonction continue sur [0,1] ou répond "ce n’est probablement pas une somme de Riemann" quand la recherche a été infructueuse.
Remarque : lorsque la fonction f est seulement continue sur ]0,1] (resp sur [0,1[ ou sur ]0,1[) et que int01f(x)dx converge on a encore ∑k=1n 1/n*f(k/n) (resp ∑k=0n−1 1/n*f(k/n) ou ∑k=1n−1 1/n*f(k/n)) tend vers int01f(x)dx quand n−>+∞.
integrate(xpr(x),x,a,b) calcule l’intégrale de l’expression xpr(x) entre a et b.
partfrac(n(x)/d(x)) décompose en éléments simples la fraction rationnelle n(x)/d(x).

27.3  Exercices

  1. Soit Sn=∑k=1n k2/n3.
    Calculer limn → +∞ Sn.
  2. Soit Sn=∑k=1n k3/n4.
    Calculer limn → +∞ Sn.
  3. Calculer limn → +∞(1/n+1+1/n+2+...+1/n+n).
    Déterminer un équivalent de Sn==∑k=n+12*n 1/kp lorsque p∈ ℝ−{1}
  4. Calculer limn → +∞(n/n2+12+n/n2+22+...+n/n2+n2).
  5. Soit Sn=∑k=1n n+k/n2+k2.
    Calculer limn → +∞ Sn.
  6. Soit Sn=∑k=1n 32n3/16n4k4.
    Calculer limn → +∞ Sn.

27.4  Corrections des exercices

  1. Sn=∑k=1n k2/n3=1/nk=1n (k/n)2
    Sn est une somme de Riemann de la fonction f(x)=x2 sur [0,1].
    On a :
    limn → +∞ Sn=∫01 x2 dx
    On tape :
    sum_riemann(k2/n3,[n,k])
    On obtient :
    1/3
    Donc
     
     
    lim
    n → +∞
     Sn=
    1
    3
    Pour vérifier on tape :
    integrate(x2,x,0,1)
    On obtient :
    1/3
  2. Sn=∑k=1n k3/n4=1/nk=1n (k/n)3.
    Sn est une somme de Riemann de la fonction f(x)=x3 sur [0,1].
    On a :
    limn → +∞ Sn=∫01 x3 dx
    On tape :
    sum_riemann(k3/n4,[n,k])
    On obtient :
    1/4
    Donc
     
     
    lim
    n → +∞
     Sn=
    1
    4
    Pour vérifier on tape :
    integrate(x3,x,0,1)
    On obtient :
    1/4
  3. Soit Un=(1/n+1+1/n+2+...+1/n+n)=∑k=n+12*n 1/k=∑k=1n 1/n+k=1/nk=1n 1/1+k/n
    Un est une somme de Riemann de la fonction f(x)=1/1+x sur [0,1] (ou de la fonction g(x)=1/x sur [1,2]).
    On a :
    limn → +∞ Sn=∫011/1+x dx= ∫121/x dx.
    On tape :
    sum_riemann(1/(n+k),[n,k])
    On obtient :
    log(2)
    Donc
     
     
    lim
    n → +∞
     Un=ln(2)
    Pour vérifier on tape :
    integrate(1/(1+x),x,0,1) ou integrate(1/x,x,1,2)
    On obtient :
    log(2)
    Pour avoir un équivalent de Sn=∑k=n+12*n 1/kp on tape :
    sum_riemann(1/(n+k)p,[n,k])
    on obtient "ce n’est probablement pas une somme de riemann"
    car le paramètre p n’est pas bien géré.
    On tape alors :
    sum_riemann(1/(n+k)2,[n,k])
    on obtient 1/2/n
    sum_riemann(1/(n+k)3,[n,k])
    on obtient 3*1/8/n2 (ou encore 3/4/(2*n2))
    sum_riemann(1/(n+k)4,[n,k])
    on obtient 7*1/24/n3 (ou encore 7/8/(3*n3))
    L’équivalent de Sn=∑k=n+12*n 1/kp semble donc être 2p−1−1/2p−1*(p−1)*np−1
  4. Soit Sn=(n/n2+12+n/n2+22+...+n/n2+n2)=∑k=1n n/n2+k2=1/nk=1n 1/1+(k/n)2
    Sn est une somme de Riemann de la fonction f(x)=1/1+x2 sur [0,1].
    On a :
    limn → +∞ Sn=∫011/1+x2 dx.
    On tape :
    sum_riemann(n/(n2+k2),[n,k])
    On obtient :
    π/4
    Donc
     
     
    lim
    n → +∞
     Sn=
    π
    4
    Pour vérifier on tape :
    integrate(1/(1+x2),x,0,1)
    On obtient :
    π/4
  5. Sn=∑k=1n n+k/n2+k2=1/nk=1n 1+k/n/1+(k/n)2.
    Sn est une somme de Riemann de la fonction f(x)=1+x/1+x2 sur [0,1].
    On a :
    limn → +∞ Sn=∫011+x/1+x2 dx.
    On tape :
    sum_riemann((n+k)/(n2+k2),[n,k])
    On obtient :
    2*log(2)+ π/4
    Donc
     
     
    lim
    n → +∞
     Sn=
    2*ln(2)+ π
    4
    Pour vérifier on tape :
    integrate((1+x)/(1+x2),x,0,1)
    On obtient :
    2*log(2)+ π/4
  6. Sn=∑k=1n 32n3/16n4k4=1/nk=1n 32/16−(k/n)4.
    Sn est une somme de Riemann de la fonction f(x)=32/16−x4 sur [0,1].
    On a :
    limn → +∞ Sn=∫0132/16−x4 dx.
    On tape :
    sum_riemann(32*n3/(16*n4-k4),[n,k])
    On obtient :
    2*atan(1/2)+log(3)
    Donc
     
     
    lim
    n → +∞
     Sn=2*arctan(1/2)+ln(3)
    Pour vérifier on tape :
    integrate(32/(16-x4),x,0,1)
    On obtient :
    2*atan(1/2)+log(3)
    Si on veut savoir comment cette intégrale a été calculée on décompose en éléments simples 32/16−X2 en posant X=x2- on tape :
    I>X=+fm.n>- on tape :
    I>X=+fm.//TT>4-ki/SU-P>-k/TT>
    Pouison tape :<integrate(3/SUP><
    2)I>kx,0,1) oet n obtient <:2*atan(1/2)+/TT>
    Pouison tape :<integrate(3/SUx4)I>kx,0,1) oet n obtient <:2I>log
    (3)
    S/LI>

27.45/A>  CAutrs exercices

  1. oit Sn=∑k=1n k<n2+simnk//4I>n)<
    Calculer limn → +∞ Sn. BR> On tape :< TABLE CLASS="display dcenter">TT>sum_riemann(k<n
    2 TT>2aimn/I>(k<api/I>/n)<[n,k])
    PO obtient <:TTBLE CLASS="display">&TT>1//TT> &TT>1 BTD> PEn effet ’intégrale d 01 xx<dx qvaut 1/π
    On tape a< TABLE CLASS="display dcenter">TT>snt<
    <aimn/I>(kpi/I>/*<>x),x,0,1) BTD> PO obtient <:TTBLE CLASS="display">&TT>1//TT> &TT>1 BTD> P/LI>
  2. Soit Sn=∑k=1n 3/nsimnk/*<>x)4I>n)<
    Calculer limn → +∞ Sn. BR> On tape :< TABLE CLASS="display dcenter">TT>sum_riemann(n*fimn/I>(k<ax/I>/n)<[n,k]) PO obtient <:TTBLE CLASS="display">&TT>1xcos/I>(x)=+//TT> &TT>1I>x BTD> PEn effet 01 k<*x<dx< = cosk<*I>x)/(I>x)|SUB>nt/I>=1< +cosk<*I>x)/(I>x)|SUB>nt/I>=10/SUB>=∑cosk)=+/(I>x)
    On tape a< TABLE CLASS="display dcenter">TT>snt(k<*I>x)/,I>k<0,1) BTD> PO obtient <:TTBLE CLASS="display">VALIGN="middle">TTBLE CLASS="display">&TT>1xcos/I>(x)=/TT> &TT>1I>x BTD>TT><+/TT>TTBLE CLASS="display">&TT>1//TT> &TT>1I>x BTD> BTD> P/LI>
  3. Soit Sn=∑k=1n 3<>k2=n2+simnk//4I>n)<
    CTrouvr un euivalent de Sn=quand n→ +∞< BR> On tape :< TABLE CLASS="display dcenter">TT>sum_riemann(k2 TT>2n2 TT>2aimn/I>(k<api/I>/n)<[n,k]) PO obtient <:TTBLE CLASS="display">&TT>1I>xpi/I>//TT>2 TT>2a,-4n &TT>1I>xpi/I>//TT>2 BTD> PEn effet ’intégrale d 01 x2+simn<πx<dx qvaut 2+4/2 Sn=qst la priodui de Sar ene somme e Riemann de lette intégrale
    On tape a< TABLE CLASS="display dcenter">TT>snormal/I>(knt<2 TT>2aimn/I>(kpi/I>/*<>x),x,0,1)< PO obtient <:TTBLE CLASS="display">&TT>12 TT>2-4/TT> &TT>12 BTD> PI>Sn=qst lonc êquivalent à uS*2+4/2 uand n→ +∞< P/LI>
  4. Soit Sn=∑k=1n 3imn<πn)k//4I>n)<
    Calculer limn → +∞ Sn. BR> On tape :< TABLE CLASS="display dcenter">TT>sum_riemann(kimn/I>(kpi/I>/n)xcos/I>(x<api/I>/n)<<[n,k]) PO obtient <:TTT>0/TT> PEn effet ’intégrale d 01 <1/2+cos<πx<dx qvaut 1/πSn=qst la priodui de Simn<πn) On tape a< TABLE CLASS="display dcenter">TT>sntxcos/I>(xpi/I>/*<>x),,x,0,1) BTD> PO obtient <:TTT>0/TT> Pn tape a< TABLE CLASS="display dcenter">TT>simite/I>(x*fimn/I>(kpi/I>/n)<[I>n)=+I>sntinitiy/I>)=/TT> PO obtient <:TTT>I>xpi/I>//TT> PL limite ue Sn=qst lonc 0 (0*<=0)quand n→ +∞< P/LI>
  5. Soit Sn=∑k=1n 3/<√k<2/TSPAN<+I>n<2/TSPAN<
    Calculer limn → +∞ Sn. BR> On tape :< TABLE CLASS="display dcenter">TT>sum_riemann(xsqre/I>(x2 TT>2+I>n
    I>X[n,k]) PO obtient <:TTBLE CLASS="display">VALIGN="middle">TT>1xog(3/TT>TT>√/TT>TTBLE Cborder=0 ell"spacing=1 ell"padding=0 BTD>TT><-) BTD> BTD> PEn effet ’intégrale d 01 xx <√<+x<2/TSPAN<2/TSPAN<1)*)π
    On tape a< TABLE CLASS="display dcenter">TT>sntxsqre/I>(<+x2),x,0,1) PO obtient <:TTBLE CLASS="display">VALIGN="middle">TT>1<(I>xog(3/TT>TT>√/TT>TTBLE Cborder=0 ell"spacing=1 ell"padding=0 BTD>TT><-)< BTD> BTD> P/LI>
  6. Soit Sn=∑k=1n n+n2+k2=<>t2.
    Calculer limn → +∞ Sn. BR> On tape :< TABLE CLASS="display dcenter">TT>sum_riemann(k+<x2 TT>2*<>t2 TT>2+I>n
    I>X[n,k]) PO obtient <:TT>stan(1<>t2 TT>2nabs/I>(1<>t<))nabs/I>(1<>t<)/TT> PEn effet ’intégrale d 01 xx x2+*<>t2.+1qvaut rctan(1|<>t<|)/|<>t<|
    On tape a< TABLE CLASS="display dcenter">TT>snt<2 TT>2a2 TT>2+1,x,0,1) PO obtient <:TTBLE CLASS="display">&TTBLE CLASS="display">VALIGN="middle">TT>1I>stan(1TTBLE CLASS="display">&TT>1I>a2 TTD> &TT>1I>xabs/I>(1<>t<)/TT> BTD>TT>< BTD> BTD> &TT>1I>xabs/I>(1<>t<)/TT> BTD> BTL>

27.46/A>  Sommes
  1. oit Sn=∑k=1n<1 1/<√k<(I>n<1T>k<)/TSPAN<
    Calculer limn → +∞ Sn. BR> On tape :< TABLE CLASS="display dcenter">TT>sum_riemann(xsqre/I>(x<*(I>n<k<<<[n,k]) PO obtient <:TTT>I>xpi/I>//TT> PEn effet ’intégrale d 01 xx <√x,*(1x<)/TSPAN n tape a< TABLE CLASS="display dcenter">TT>snt(x,*(1x<),,x,0,1) BTD> PO obtient <:TTBLE CLASS="display">VALIGN="middle">TTBLE CLASS="display">&TT>1I>xpi/I>//TT>
    &TT>1R> BTD>TT><+/TT>TTBLE CLASS="display">&TT>1I>xpi/I>//TT> &TT>1R> BTD> BTD> P/LI>
  2. Soit SP/I>n=/n*(∏SUB>k=1n <x<n)=41/I>n
    Calculer limn → +∞ SP/I>n=
    On a :
    lnkP/I>n==∑lnk)=+/nk=1n lnx<n)=1/nk=1n ln<+k/n/)BR> On tape :< TABLE CLASS="display dcenter">TT>sum_riemann(n*2lnITT>2<+k/n/)[n,k]) PO obtient <:TTT>*log(2)+-//TT> Ponc n → +∞ SP/I>n==exp(*ln(2)+1)*=/n(S/LI>

27.4  U alculed’une sntégrale d lauaid d’une summe de Riemann /H2>

Voit SP/I>n=∏SUB>k=1n k//4n<<
C1/ Motre rque <:BR> ∫SUB>k=1n<1 (1k
/*πn)<)n+2p<1
C2/ En déduireque <:BR> ∫SUB>k=1n<1 (imnk/*/4n<<=∑xp<1
C3/ Dèerminer ul limite ue < /4n<k=1n<1 1n(2imnk/*/4n<<=quand nend vers <∞< BR> O4/ Motre rque <’intégrale dI>nI/I>=101/4 lnk<),I>xx qst lonverge t t celculer s valeur lauaid ds sommes de Riemann BR> O5/ Retrouvr ucerépsultaten ponsidérnt XJ/I>=101/4 lnk)=,I>xx qsten pmotrent pI/I>=1I>XJ/I>=1I>pI/I>=+I>XJ/I>=4 OC1/ n a :
lSUB>k=112I>n<1 (I>nz/I><1exp(I>sn/I>*k/*πn)<)nz/I>2n
1<=BR> l(I>nz/I><11)(I>nz/I><1exp(I>sn/I>*<π))SUB>k=1n<1 (I>nz/I><1exp(I>sn/I>*k/*πn)<)(I>nz/I><1exp(I>sn/I>*<2*n<1T>k<)*πn)<)donc
∫SUB>k=1n<1 (I>nz/I><1exp(I>sn/I>*k/*πn)<)(I>nz/I><1exp(I>sn/I>*<2*n<1T>k<)*πn)<)=BR> lI>nz/I>2n 1nz/I><11)(I>nz/I><1exp(I>sn/I>*<π))=(I>nz/I>2 )SUP>n 1nz/I>2+1=1+xz/I>=+I>Xz/I>2+...+I>nz/I>2n<
nz/I> ∫SUB>k=1
n<1 (1sn/I>*k/*πn)<)(1sn/I>*<2*n<1T>k<)*πn)<)=B>n On a : 1sn/I>*<2*n<1T>k<)*πn)<=1kn/I>*k/*πn) (1sn/I>*k/*πn)<)(1kn/I>*k/*πn)<)=2k/*πn)
Donc <:BR> ∫SUB>k=1
n<1 2k/*πn)<=B>n Ou encore 7:BR> ∫SUB>k=1n<1 1k/*πn)<n+2p<1 BR> On a :
l2imnk/*/4n<<=/UP>2+1/<2(1k/*πn)<)BR> Donc <:BR> ∫SUB>k=1n<1 2imnk/*/4n<<=/UP>2+1/<2SUP>n<1 *I>n+2p<1 BR> On encore 7puique k/*/4n<j=1<..(I>n<11)<:BR> ∫SUB>k=1n<1 imnk/*/4n<<∑xp<1 BR> On a :
l/4n<k=1n<1 1n(2imnk/*/4n<<== /4nk=1n<1 imnk/*/4n<<== /4nxp<1 )BR> On tape

TT>simite/I>(xpi/I>/<2n*fln/I>(xsqre/I>(x<2I>x<1 <[I>n)=+I>sntinitiy/I>)=/TT> P> VO obtient <:TTBLE CLASS="display">VALIGN="middle">TT>1<(ITT>TTBLE CLASS="display">&TT>1I>xpi/I>/log(2)+/TT> &TT>1R> BTD> BTD> P> V4/ 01/4 lnk<),I>xx qst lonverge t tn 0 ar l
0<lnk<),</<√knx/I><1gt;+0/SUB><√kk<),=0)qste01 xx <√x,/TUPAN Onr l/4n<k=1n<1 1n(2imnk/*/4n<<= st laasomme de Riemann associée à u<>pI/I>= dnc <:BR> ∫01/4 lnk<),I>xx =( O5/ <>XJ/I>=qst lonverge t tn /4< ar , avecla pchangeent de variblems I>k<=/4<1T>ku/I><,on a e:BR> ∫01<>a lnk)=,I>xx 10/4<1T>k1/4 lnk<),I>xx BR> onc
<>pI/I>=1I>XJ/I>=1(<>pI/I>=+I>XJ/I>=)2)1/<201/4 lnk<)*cosk)=,I>xx 1BR> /<201/4 (lnx),,ln<2=,I>xx 1BR> <>pI/I>=4<1/<201/4 ln<2,I>xx 1B>pI/I>=4<1ln(2)24BR> en effetBR> ∫01/4 lnx),,I>xx 1/<201/ISUP> lnku/I>),,I>xxu/I>)= /<2(01/4 lnku/I>),,I>xxu/I>)+0/41/ISUP> lnku/I>),,I>xxu/I>))= /<2(01/4 lnku/I>),,I>xxu/I>)10/410ISUP> lnkt/I>),,I>xxt/I>)<=1<2(<>pI/I>=+I>XI/I>)<nI/I> BR> onc T>nI/I>=1STD>TTBLE CLASS="display">& 42> BTD>n(2) Retor laa pge dpersnnelle . T>MG SRC="previous_motif.gif ALIT="Previous><T>MG SRC="ontints _motif.gif ALIT="Up><T>MG SRC="nxt/_motif.gif ALIT="Nxt/><