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Chapitre 3  Fonctions et équations en terminale scientifique

3.1  Étude de f(x)=ln(x2−4x+3/1−x2)

  1. Domaine de définition
    On tape :
    solve(x^2-4x+3)
    On obtient :
    [1,3]
    On tape :
    solve(x^2-1)
    On obtient :
    [-1,1]
    On tape :
    normal((x^2-4x+3)/(1-x^2))
    On obtient :
    (-x+3)/(x+1)
    On tape :
    solve((x^2-4x+3)*(1-x^2)>0)
    On obtient :
    [((x>-1) && (x<1)),((x>1) && (x<3))]
    Donc f est définie sur ]−1;1[∪]1;3[ Mais on peut prolonger f par continuité en 1 en posant f(1)=ln(1)=0
  2. Dérivée
    On tape :
    factor(diff(ln((x^2-4x+3)/(1-x^2))))
    On obtient :
    4/((x-3)*(x+1))
    Or (x−3)*(x+1)<0 sur ]−1; 3[ donc f est :
    décroissante sur ]−1; 3[
    On cherche si f est dérivable en x=1, on tape :
    limit(ln((x^2-4x+3)/(1-x^2))/(x-1),x=1)
    On obtient :
    -1
    Donc f est dérivable en x=1 et sa dérivée vaut -1.
  3. Branches infinies
    On tape :
    limit(ln((x^2-4x+3)/(1-x^2)),x=-1,1)
    On obtient :
    +ininity
    On tape :
    limit(ln((x^2-4x+3)/(1-x^2)),x=3,-1)
    On obtient :
    -ininity
    Donc x=−1 et x=3 sont asymptotes.
    On tape :
    limit((2x^2-1)/(6x^2+x-2),x=-2/3,-1)
    On obtient :
    -infinity
  4. Graphe
    On tape :
    plotfunc(ln((x^2-4x+3)/(1-x^2)))
    affichage(droite(x=-1),droite(x=3),1), affichage(droite(y=-x+1),2)
    On obtient :

3.2  Calcul de dérivée n-ième

3.2.1  Dérivée n-ième de cos(x)3+sin(x)3

Calculer la derivée n-ième de la fonction f(x)=cos(x)3+sin(x)3 en fonction de n.
On va faire cet exercice de deux façons :

On vérifie :
On tape :
k(x,n):=(q(n)*cos(x)^3+p(n)*sin(x)^3)*(3^(n+1)*1/12+(-1)^n*3*1/4)-(p(n)*cos(x)^2*sin(x)+q(n)*cos(x)*sin(x)^2)*(3^(n+1)*1/4-(-1)^n*3*1/4)
h(x,n):=1/4*(3(cos(x+n*pi/2)+sin(x+n*pi/2))+3^n*(cos(3x+n*pi/2)-sin(3x+n*pi/2)))
simplify(k(x,n)-h(x,n))$(n=0..15)
On obtient :
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0

3.2.2  Dérivée n-ième de exp(−x2)

On veut calculer la derivée n-ième de la fonction f(x)=exp(−x2) en fonction de n.

3.2.3  Dérivée n-ième de g(x)=exp(−1/x2)

Soit g la fonction définie par :
g(0)=0 et pour x≠ 0, g(x)=exp(−1/x2).
Montrer que g est indéfiniment dérivable. Puis, à l’aide de l’exercice précédent et de l’exercice suivant calculer la dérivée n-ième de g(x).
g est indéfiniment dérivable sur ℝ*.
On tape :
g(x):=exp(-1/x^2)
diff(g(x),x,n)$(n=1..3)
diff(g(x),x,4)
On obtient :
2*exp(-1/x^2)/x^3,(4*exp(-1/x^2)-6*x^2*exp(-1/x^2))/x^6,
(8*exp(-1/x^2)-36*x^2*exp(-1/x^2)+24*x^4*exp(-1/x^2))/x^9
(16*exp(-1/x^2)-144*x^2*exp(-1/x^2)+300*x^4*exp(-1/x^2)-120*x^6*exp(-1/x^2))/x^12
Montrons par récurrence que :

g(x)(n)=
Qn(x)
x3n
*exp(−1/x2)

Qn(x) est un polynôme de degré 2(n−1).
On a d’après les calculs précédents :
Q1(x)=−2
Q2(x)=4−6*x2
Q3(x)=8−36*x2+24*x4
Q4(x)=16−144*x2+300*x4−120*x6
On calcule g(x)(n+1) en fonction de g(x)(n) :
si g(x)(n)=Qn(x)/x3n*exp(−1/x2) on a
g(x)(n+1)=2Qn(x)/x3(n+1)*exp(−1/x2)+Qn(x)′/x3n*exp(−1/x2)−3nQn(x)/x3n+1*exp(−1/x2)
Donc :
g(x)(n+1)=Qn+1(x)/x3(n+1)*exp(−1/x2) avec
Qn+1(x)=−2Qn(x)+x3Qn(x)′−3nx2Qn(x)=x3Qn(x)′+(2−3nx2)Qn(x) Qn+1(x) est donc bien un polynôme de degré 2+2(n−1)=2n Montrons que g est indéfiniment dérivable en 0 et que g(n)(0)=0.
On tape :
limite(g(x),x=0)
On obtient :
0 g est donc continue en 0.
On tape :
limite(g(x)/x,x=0,1)
On obtient :
0
On tape :
limite(g(x)/x,x=0,1)
On obtient :
0
g est donc dérivable en 0.
On a g(n)/x=Qn(x)/x3n+1*exp(−1/x2).
Donc limx−>0g(n)/x=0
On tape :
assume(k,integer)
limite(g(x)/x^k,x=0,1)
On obtient :
0
On tape :
limite(g(x)/x^k,x=0,1)
On obtient :
0
Donc g est indéfiniment dérivable en 0 et g(n)(0)=0.
On a :
x3*g′(x)=2g(x) On dérive n fois x3*g′(x) en utilisant la formule de Leibniz.
Les dérivées n-ième de x3 sont nulles pour n>3 donc :
2g(x)(n)=(x3*g′(x))(n)=∑k=03comb(n,k)*(x3)(k)(g(x))(nk+1)
donc
2g(x)(n)=x3g(x)(n+1)+3nx2g(x)(n)+3n(n−1)xg(x)(n−1)+3n(n−1)(n−2)g(x)(n−2)
On en déduit que :
Qn+1(x)+(3nx2−2)Qn(x)+3n(n−1)x4Qn−1(x)+3n(n−1)(n−2)x6Qn−2(x)=0
Pour déterminer Qn(x) on va utiliser l’exercice précédent et l’exercice qui suit !

3.2.4  Dérivée n-ième de g(x)=f(1/x)

Soit f une fonction indéfiniment dérivable. On cherche à exprimer la dérivée n-ième de g(x)=f(1/x) en fonction de la dérivée n-ième de f.
Puis en utilisant la valeur de la dérivée n-ième de f(x)=exp(−x2), on pourra par exemple trouver les dérivées n-ième de la fonction g définie par g(0)=0 et pour x≠ 0, g(x)=exp(−1/x2).
Pour cela on cherche à exprimer la dérivée n-ième de g(x)=f(1/x) en fonction de la dérivée n-ième de f.
On tape :
g(x):=f(1/x)
diff(g(x),x,n)$(n=1..3)
On obtient :
-f’(1/x)/x^2,(2*f’(1/x)+f’’(1/x))/x^3,(-6*x^2*f’(1/x)-6*x*f’’(1/x)-f’’’(1/x))/x^6
On tape :
diff(g(x),x,4)
On obtient :
(24*x^3*f’(1/x)+36*x^2*f’’(1/x)+12*x*f’’’(1/x)+f’’’’(1/x))/x^8
On va montrer que :
g(n)(x)=∑k=1na(k,n)xnkf(k)(1/x) avec a(1,n)=(−1)nn!
a(k,n)=(−1)nn!(n−1)!/k!(k−1)!(nk)!
a(n,n)=(−1)n
On a :
g(n+1)(x)=−∑k=1na(k,n)xnk−2f(k+1)(1/x)−∑k=1na(k,n)(n+k)xnk−1f(k)(1/x)
Donc :
a(1,n+1)=−a(1,n)(n+1),
Comme a(1,1)=−1 on en déduit que a(1,n)=(−1)nn!
a(n+1,n+1)=−a(n,n),
Comme a(1,1)=−1 on en déduit que a(n,n)=(−1)n
En posant j=k-1 dans la 2ième somme:
k=1na(k,n)(n+k)xnk−1f(k)(1/x)=∑j=0n−1a(j+1,n)n(n+j+1)xnj−2f(j+1)(1/x)
Donc pour k=1..n−1 :
a(k+1,n+1)=−a(k,n)−a(k+1,n)n(n+k+1)
ou encore j=k+1:
a(j,n+1)=−a(j−1,n)−a(j,n)n(n+j) pour j=2..n
Si a(k,n)=(−1)nn!(n−1)!/k!(k−1)!(nk)! pour k=1..n
a(k,n+1)=−(−1)nn!(n−1)!/(k−2)!(k−1)!(nk+1)!+(−1)nn!(n−1)!n(n+k)/k!(k−1)!(nk)! a(k,n+1)=(−1)n+1n!(n−1)!/(k−2)!(k−1)!(nk)!*(1/nk+1+n+k/k(k−1)) On tape :
factor(1/(n-k+1)+(n+k)/(k*(k-1)))
On obtient :
n*(n+1)/(k*(k-1)*(n-k+1))
Donc pour k=2..n :
a(k,n+1)=(−1)n+1n!(n+1)!/k!(k−1)!(nk+1)!
On a donc montré par récurrence que :

g(n)(x)=
n
k=1
(−1)nn!(n−1)!
k!(k−1)!(nk)!
xnkf(k)(1/x)

Si f(x)=exp(−x2), on sait que :
f(k)(1/x)=Pk(1/x)*exp(−1/x2) donc si g(x)=exp(−1/x2)=f(1/x), on a :
g(n)(x)=∑k=1n(−1)nn!(n−1)!/k!(k−1)!(nk)!xnkPk(1/x)exp(−1/x2)
Pk(x)=(−1)nj=0iquo(k,2)(−1)j*k!/j!*(k−2j)!*2k−2j*xk−2j
Or Pk(1/x)=(−1)nj=0iquo(k,2)(−1)j*k!/j!*(k−2j)!*2k−2j*x2jk= Rk(x)/xk donc
Rk(x)=(−1)nj=0iquo(k,2)(−1)j*k!/j!*(k−2j)!*2k−2j*x2j
j=0kc(j,k)xkj=∑j=0kc(kj,k)xj
donc xnkPk(1/x)= Rk(x)/xn+2k.
x3ng(n)(x)=(∑k=1n(−1)nn!(n−1)!/k!(k−1)!(nk)!Rk(x)*x2*n−2k)exp(−1/x2)
Donc :
Qn(x)=∑k=1n(−1)nn!(n−1)!/k!(k−1)!(nk)!Rk(x)*x2*n−2k avec
Rk(x)=(−1)nj=0iquo(k,2)(−1)j*k!/j!*(k−2j)!*2k−2j*x2j
On vérifie que :
Q1(x)=−2
Q2(x)=4−6*x2
Q3(x)=8−36*x2+24*x4
Q4(x)=16−144*x2+300*x4−120*x6
On tape :
R(n,x):=(-1)^n*sum((-1)^j*n!/(j!*(n-2j)!)*2^(n-2j)*x^(2j),j=0..iquo(n,2)
Q(n,x):=sum((-1)^n*(n!*(n-1)!)/(k!*(k-1)!*(n-k)!)*R(k,x)*x^(2*n-2k),k=1..n)
Q(3,x)
On obtient :
24*x^4-36*x^2+8
On tape :
Q(3,x)
On obtient :
-120*x^6+300*x^4-144*x^2+16
Ouf ! c’est correct!

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