\documentclass[a4paper,11pt]{article} %\textwidth 11,8 cm %\textheight 17 cm \textheight 23 cm %\usepackage{graphicx} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{makeidx} \usepackage{times} %\usepackage{mathptmx} %Uncomment next line for pdflatex and use includegraphics with eps file % for latex2html don't use the option [width=\textwidth] % check that xfig files are exported magnif 100% %\usepackage{graphicx} \usepackage{pst-plot} \usepackage{ifpdf} \ifpdf \usepackage[pdftex,colorlinks]{hyperref} \else \usepackage[ps2pdf, breaklinks=true, colorlinks=true, linkcolor=red, citecolor=green ]{hyperref} \fi %HEVEA\htmlfoot{Retour \`a la page principale de \ahref{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\~parisse/giac_fr.html}{Giac/Xcas}.} %HEVEA\htmlhead{Retour \`a la page principale de \ahref{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\~parisse/giac_fr.html}{Giac/Xcas}.} %\def\@evenhead{\thepage\hfill{\footnotesize\textit{\leftmark}}} %\def\@oddhead{\footnotesize{\textit{\rightmark}}\hfill\thepage} %\usepackage{hp} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[francais]{babel} \usepackage{latexsym} \newtheorem{thm}{Théorème} \newtheorem{defn}{D\'efinition} \newtheorem{lemma}{Lemme} \newtheorem{example}{Exemple} \newcommand{\R}{{\mathbb{R}}} \newcommand{\C}{{\mathbb{C}}} \newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}} \newcommand{\N}{{\mathbb{N}}} \newcommand{\Q}{{\mathbb{Q}}} \newcommand{\tr}{\mbox{tr\,}} \title {Algorithmes de calcul formel} \author{B. Parisse\\Institut Fourier\\UMR 5582 du CNRS \\Université de Grenoble I} \date{} \makeindex \begin{document} \maketitle \begin{abstract} Ce document d\'ecrit une partie des algorithmes de calcul formel utilis\'es pour le logiciel de calcul formel Giac/Xcas, cf.\\ \verb|http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html| \end{abstract} \tableofcontents %\printindex \pagebreak \section{Calculer sur ordinateur} \subsection{Problèmes spécifiques au calcul formel} \subsubsection{Calcul exact et approché, types, évaluation.} Dans les langages de programmation traditionnel (C, Pascal,...), il existe déjà des types permettant une représentation exacte des données (type entier) ou une représentation approchée (type flottant). Mais ces types de donnée de base occupent une taille fixe en mémoire, le type entier est donc limité à un intervalle d'entiers (par exemple $[0,2^{32}-1]$ pour un entier non signé sur une machine utilisant un processeur 32 bits) alors que le type flottant peut représenter des nombres réels, mais est limité à une précision en nombre de digits de la mantisse et de l'exposant (par exemple 12 chiffres significatifs et un exposant compris entre -499 et 499). En calcul formel, on souhaite pouvoir calculer rigoureusement d'une part, et avec des param\`etres dont la valeur n'est pas connue d'autre part ; il faut donc s'affranchir de ces limites~: \begin{itemize} \item pour les entiers relatifs, on utilise des entiers de {\em précision arbitraire} dont la taille en mémoire est dynamique (déterminée pendant l'exécution et non à la compilation), \item pour les nombres complexes, on utilise un couple de nombres réels, \item pour les rationnels, on utilise un couple d'entiers relatifs, \item pour les irrationnels algébriques (par exemple $\sqrt{2}$), on utilise un polyn\^ome irréductible dont ils sont racines, \item pour les param\`etres ($x,y,z,t...$), on utilise un type structuré contenant un champ de type chaine de caract\`eres pour repr\'esenter le nom du param\`etre et un champ pour attribuer une valeur à (ou une hypoth\`ese sur) ce param\`etre, \item pour les nombres transcendants (par exemple $\pi$), on est obligé d'introduire un paramètre auquel on attribue une valeur numérique, qui ne sera utilisée qu'au moment où on veut une approximation numérique d'une expression contenant ce nombre transcendant, on parle de constante, \item lorsqu'on a besoin d'une approximation numérique d'un nombre, on peut utiliser des conversions de ces types en un type flottant. On peut aussi pour lutter contre les erreurs d'arrondi utiliser des nombres flottants étendus dont la précision est dynamique ou même des intervalles de flottants étendus, \item il faut aussi un nouveau type, appelé expression ou symbolique, permettant d'appliquer une fonction qu'on ne peut évaluer directement sur les objets pr\'ec\'edents, par exemple $\sin(x)$. Il doit s'agir d'une op\'eration de clôture, au sens où appliquer une fonction \`a un objet symbolique ne nécessite pas la création d'un nouveau type (en général on renvoie un objet symbolique). \end{itemize} Enfin, il faut pouvoir \'evaluer un objet (en particulier symbolique)~: par exemple évaluer $\sin(x)$ lorsqu'on assigne une valeur \`a $x$. Dans cet exemple, on voit qu'il faut d'abord remplacer $x$ par sa valeur avant de lui appliquer la fonction sinus. C'est le mécanisme général de l'évaluation, mais il y a quelques exceptions où on souhaite empêcher l'évaluation d'un ou plusieurs arguments d'une fonction avant l'évaluation de la fonction. Par exemple si on veut calculer la valeur numérique d'une intégrale par des méthodes de quadrature, on ne souhaitera pas rechercher une primitive de la fonction à intégrer. Dans le jargon, on parle alors de ``quoter'' un argument (l'origine du terme vient probablement de la notation \verb|'| du langage Lisp). Certaines fonctions doivent toujours quoter leurs arguments (par exemple la fonction qui permet de purger le contenu d'un paramètre), on parle parfois d'autoquotation. \subsubsection{Forme normale et reconnaissance du 0.} Une fois défini ces types de base représentant les nombres d'un système de calcul formel, il faut pouvoir comparer ces nombres, en particulier décider si deux représentations distinctes correspondent au m\^eme nombre ou, ce qui revient au m\^eme, par soustraction décider quand un nombre est nul. Par exemple $4/2$ et 2 représentent le m\^eme nombre. Lorsqu'on dispose d'un algorithme permettant de représenter un nombre d'une manière unique, on parle de forme normale. C'est par exemple le cas pour les nombres rationnels, la forme normale usuelle est la fraction irréductible de dénominateur positif. C'est aussi le cas pour les fractions rationnelles de polynômes à coefficients entiers représentées par une fraction irréductible, avec au dénominateur un coefficient de plus haut degré positif. Malheureusement, il n'est pas toujours possible de trouver une forme normale pour diverses raisons théoriques ou pratiques~: \begin{itemize} \item on ne connaît pas toujours le statut de certaines constantes (par exemple la constante d'Euler), \item il n'existe pas d'algorithmes permettant de déterminer s'il existe des relations algébriques entre constantes, \item il n'existe pas forcément une seule forme plus simple, par exemple~: \[ \frac{(\sqrt{2}+1)x+1}{x+\sqrt{2}+1}=\frac{x+\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}-1)x+1} \] Ce cas se présente fréquemment avec les extensions algébriques. \item en pratique il peut être trop coûteux d'utiliser une forme normale, par exemple le polynôme $\frac{x^{1000}-1}{x-1}$ possède 1000 monômes \end{itemize} En résumé, au mieux on a une forme normale, au pire on risque de ne pas reconnaître un zéro, entre les deux on peut ne pas avoir de forme normale mais être capable de reconnaître à coup sûr une expression nulle (par contre, si le système de calcul formel détermine qu'une expression est nulle, alors elle l'est). Il n'existe pas d'algorithme solution pour le problème de la reconnaissance du zéro pour une classe d'expressions "assez générale". Heureusement, dans la plupart des cas pratiques on sait résoudre ce problème, en se ramenant le plus souvent au cas des polynômes et fractions rationnelles. Par exemple, pour simplifier une expression trigonométrique, on remplace les fonctions trigonométriques $\sin(x), \cos(x), \tan(x)$ par leur expression en fonction de $t=\tan(x/2)$, on est ainsi ramené à une fraction rationnelle en $t$ que l'on écrit sous forme normale. Les polynômes ont un r\^ole central dans tout syst\`eme de calcul formel puisque sauf dans les cas les plus simples (fractions d'entiers par exemple), la simplification d'expressions fait appel \`a un moment ou \`a un autre \`a des calculs de PGCD de polyn\^omes. Le PGCD de polynômes est un algorithme très sollicité auquel nous consacrerons une section. En effet, l'application brutale de l'algorithme d'Euclide pose des problèmes d'efficacité ce qui a obligé à inventer des méthodes plus efficaces. Anticipons rapidement sur un exemple qui montre l'un des problèmes majeurs des algorithmes de calcul formel, l'explosion en taille (ici des coefficients des restes successifs). Voici donc les restes successifs lorsqu'on applique l'algorithme d'Euclide pour calculer le PGCD de $P(x)=(x+1)^{7}-(x-1)^{6}$ avec sa d\'eriv\'ee (les deux polyn\^omes sont premiers entre eux)~: \begin{eqnarray*} 7\* (x+1)^{6}-6\* (x-1)^{5} &&\\ \frac{162}{49} \* x^{5}+\frac{-390}{49} \* x^{4}+\frac{1060}{49} \* x^{3}+\frac{-780}{49} \* x^{2}+\frac{474}{49} \* x+\frac{-78}{49}&&\\ \frac{157780}{729} \* x^{4}+\frac{-507640}{2187} \* x^{3}+\frac{290864}{729} \* x^{2}+\frac{-101528}{729} \* x+\frac{28028}{729}&&\\ \frac{1}{49} \* (\frac{1400328}{2645} \* x^{3}+\frac{-732888}{2645} \* x^{2}+\frac{1133352}{3703} \* x+\frac{-732888}{18515})&&\\ \frac{1}{2187} \* (\frac{2161816376832}{4669921} \* x^{2}+\frac{-555436846944}{4669921} \* x+\frac{301917024864}{4669921})&&\\ \frac{1}{907235} \* (\frac{469345063045455}{129411872} \* x+\frac{-47641670106615}{129411872})&&\\ \frac{5497465490623352995840}{209648836272383412129} \end{eqnarray*} Le lecteur voulant tester d'autres exemples pourra utiliser le programme \verb|Xcas| (cf. l'appendice) suivant~: \begin{verbatim} pgcd(a):={ local b,r,res; b:=diff(a,x); res:=NULL; for (;b!=0;){ res:=res,b; r:=rem(a,b); a:=b; b:=r; } return(res); } \end{verbatim} \subsubsection{Valeur générique des variables et hypothèses} Lorsqu'on utilise un symbole sans lui affecter de valeurs en mathématiques on s'attend à une discussion en fonction du paramètre représenté par ce symbole. Ce qui nécessiterait de créer un arborescence de calculs (on retrouve ici les problèmes d'explosion évoqués dans la section précédente). La plupart des systèmes de calcul formel contournent la difficulté en supposant que le paramètre possède une valeur générique (par exemple la solution de $(t^2-1)x=t-1$ sera $x=1/(t+1)$) ou choisissent une branche pour les fonctions possédant un point de branchement (par exemple pour résoudre $x^2=t$ en fonction de $t$). Certains systèmes demandent de manière interactive à l'utilisateur si la variable est par exemple positive ou différente de 1 mais cela s'oppose à un traitement automatique. On peut aussi anticiper ce type de décision en faisant des hypothèses sur une paramètre, la plupart des systèmes de calcul formel actuel proposent cette possibilité. \subsection{Structures de données} On a vu plus haut qu'on souhaitait manipuler des entiers de taille non fixe, des réels de précision fixe ou non, des fractions, des nombres complexes, des extensions algébriques, des paramètres, des expressions symboliques. La plupart des syst\`emes proposent un type générique qui recouvre ces divers types de scalaire. On peut par exemple utiliser un type structuré comportant un champ type et la donnée ou un pointeur sur la donnée (avec dans ce cas un pointeur sur un compteur de références de la donnée pour pouvoir la détruire dès qu'elle n'est plus référencée\footnote{Certains systèmes de calcul formel (calculatrices par exemple) utilisent d'ailleurs des méthodes spécifiques pour gérer le problème de la fragmentation de la mémoire, appelés ``garbage collector''. Ce type de méthode est intégré dans des langages comme Lisp ou Java, en C/C++ on trouve des libraries pour cela, par exemple GC de Boehm, incluse dans la distribution de GCC.}). En programmation orientée objet, on utiliserait plutôt un type abstrait dont dérivent ces différents scalaires et le polymorphisme. Il faut aussi un type pour les vecteurs, les matrices et les listes. Il faut prendre garde \`a la m\'ethode utilis\'ee par le syst\`eme lorsqu'on modifie un \'el\'ement d'un vecteur, matrice ou liste~: soit on effectue une copie de tout l'objet en modifiant l'\'el\'ement, soit on modifie l'\'el\'ement de l'objet original. La premi\`ere m\'ethode (par valeur) est plus ais\'ee \`a comprendre pour un d\'ebutant mais la seconde m\'ethode (par r\'ef\'erence) est bien plus efficace. On peut se poser la question de savoir s'il faut inclure ces types dans le type générique ; en général la réponse est affirmative, une des raisons étant que les interpréteurs qui permettront de lire des données dans un fichier texte sont en général basé sur le couple de logiciels \verb|lex(flex)/yacc(bison)| qui ne peut compiler qu'à destination d'un seul type. Ceci permet également d'unifier en un seul type symbolique les fonctions ayant un ou plusieurs arguments en voyant plusieurs arguments comme un vecteur d'arguments. Les fonctions sont le plus souvent elle-même incluses dans le type générique permettant ainsi à l'utilisateur de saisir des commandes ou programmes fonctionnels (on peut utiliser une fonction comme argument d'une commande). Pour des raisons d'efficacit\'e, les syst\`emes de calcul formel utilisent souvent des repr\'esentations particuli\`eres pour les polyn\^omes dont on a dit qu'ils jouaient un r\^ole central. Pour les polyn\^omes \`a une variable, on peut utiliser la liste des coefficients du polyn\^ome, on parle alors de repr\'esentation dense. On peut aussi d\'ecider de ne stocker que les coefficients non nuls, on parle alors de repr\'esentation creuse (on stocke alors un couple form\'e par le coefficient et le degr\'e du mon\^ome correspondant). Pour les polyn\^omes \`a plusieurs variables, on peut les consid\'erer comme des polyn\^omes \`a une variable \`a coefficients polynomiaux, on parle alors de repr\'esentation r\'ecursive. On peut aussi d\'ecider de ne pas briser la sym\'etrie entre les variables (pas de variable principale), on parle alors de repr\'esentation distribu\'ee, le plus souvent les repr\'esentation distribu\'ees sont creuses car les repr\'esentations denses n\'ecessitent tr\`es vite beaucoup de coefficients. Les m\'ethodes de repr\'esentation creuses sont parfois aussi utilis\'ees pour les matrices ayant beaucoup de coefficients nuls. Voyons maintenant plus précisément sur quelques exemples de logiciels de calcul formel r\'epandus quelles structures de données sont utilisées. Plusieurs \'el\'ements entrent en compte dans les choix faits~: \begin{itemize} \item le(s) profil(s) d'utilisation (enseignement, ing\'eni\'erie, calcul intensif, recherche) \item les ressources disponibles (m\'emoire, puissance du processeur...) \item la facilit\'e d'impl\'ementation (choix du langage, outils disponibles en particulier d\'ebuggueurs, ...) \item l'histoire du syst\`eme (un syst\`eme conçu avec les outils disponibles aujourd'hui est forc\'ement diff\'erent d'un syst\`eme conçu il y a 20 ans) \end{itemize} Nous allons d'abord parler des calculatrices formelles HP et TI (le lecteur pourra facilement les tester grâce aux \'emulateurs gratuits pour PC). Ce sont des systèmes plutôt destinés à l'enseignement, soumis \`a de fortes contraintes en termes de taille m\'emoire, et destinés à traiter des petits problèmes. Puis nous pr\'esenterons des syst\`emes pour ordinateur où les ressources (par exemple m\'emoire) sont moins limit\'ees ce qui permet d'utiliser des langages de programmation de plus haut niveau. \subsubsection{Calculatrices formelles HP} Les langages utilis\'es pour programmer ces calculateurs sont l'assembleur et le RPL (Reverse Polish Lisp) adapt\'e \`a l'\'ecriture de code en m\'emoire morte tr\`es compact. Le type générique est implémenté avec un champ type appelé prologue (qui est en fait un pointeur sur la fonction chargée d'évaluer ce type d'objet) suivi de la donnée elle-même (et non d'un pointeur sur la donnée, on économise ainsi la place mémoire du compteur de référence). Le type entier en précision arbitraire est codé par le nombre de digits (sur 5 quartets\footnote{un quartet=un demi octet}) suivi du signe sur un quartet et de la représentation BCD (en base 10) de la valeur absolue de l'entier. Le choix de la représentation BCD a été fait pour optimiser les temps de conversion en chaîne de caractères pour l'affichage. La mémoire vive disponible est de 256K, c'est elle qui limite la taille des entiers et non le champ longueur de l'entier. Il n'y a pas de type spécifique pour les rationnels (on utilise un objet symbolique normal). Les fonctions internes des HP49/50/40 utilisent le type programme pour représenter les entiers de Gau\ss\ (complexes dont la partie réelle et imaginaire est entière). Les nombres algébriques ne sont pas implémentés, sauf les racines carrées (représentée de manière interne par le type programme). Il y a un type spécifique prévu pour les flottants en précision arbitraire, mais l'implémentation des opérations sur ces types n'a pas été intégrée en ROM à ce jour. Les types listes, programmes et objet symbolique sont composés du prologue (champ type) suivi par la succession d'objets situés en mémoire vive ou de pointeurs sur des objets situés en mémoire en lecture seule (ROM) et se terminent par un pointeur sur une adresse fixe (appelée \verb|SEMI|). Ces types sont eux-m\^emes des objets et peuvent donc \^etre utilis\'es de mani\`ere r\'ecursive. La longueur des types listes, programmes, symboliques n'est stockée nulle part, c'est le délimiteur final qui permet de la connaître, ce qui est parfois source d'inefficacité. On utilise de manière interne les listes pour représenter les polyn\^omes denses (avec représentation récursive pour les polyn\^omes à plusieurs variables). Les calculatrices HP4xG utilisent une pile\footnote{Plus pr\'ecis\'ement deux piles, la pile de donn\'ee et la pile g\'erant le flux d'ex\'ecution. Cette derni\`ere n'est pas visible par l'utilisateur}, c'est-à-dire une liste de taille non fixée d'objets. On place les objets sur la pile, l'exécution d'une fonction prend ces arguments sur la pile et renvoie un ou plusieurs résultats sur la pile (ce qui est une souplesse du RPN comparé aux langages où on ne peut renvoyer qu'une valeur de retour). Il faut donc donner les arguments avant d'appeler la fonction correspondante. Par exemple pour calculer $a+b$ on tapera \verb|a b +|. C'est la syntaxe dite polonaise inversée (RPN). Un avantage de cette syntaxe est que le codage d'un objet symbolique par cette syntaxe est évidente, il suffit de stocker la liste précédente \verb|{a b +}|. Les objets symboliques sont donc représenté par une suite d'objets écrit en syntaxe polonaise inversée. L'\'evaluation d'un objet symbolique se fait dans l'ordre polonaise invers\'e~: les arguments sont \'evalu\'es puis les fonctions leur sont appliqu\'es. Pour des raisons d'efficacit\'e, on repr\'esente souvent les objets composites (listes, symboliques) par leurs composants plac\'es sur la pile (appel\'e meta-objets). Une rigidité de la syntaxe polonaise est que les fonctions ont toujours un nombre fixe d'arguments\footnote{Sauf si on utilise comme dernier argument le nombre d'arguments de la fonction ou si on utilise (cf. infra) un tag de début de liste d'arguments}, par exemple l'addition a toujours 2 arguments, ainsi $a+b+c$ est obtenu par $(a+b)+c$ ou par $a+(b+c)$ c'est-à-dire respectivement \verb|a b + c +| ou \verb|a b c + +| ce qui brise parfois artificiellement la symétrie de certaines opérations. En polonaise inversée, le système doit de plus jongler avec l'autoquote puisque les arguments sont évalués avant l'opérateur qui éventuellement demanderait à ne pas évaluer ses arguments. \`A noter l'existence d'une commande \verb|QUOTE| permettant \`a l'utilisateur de quoter une sous-expression. Les hypothèses sur des variables réelles sont regroupées dans une liste stockée dans la variable globale \verb|REALASSUME|, on peut supposer qu'une variable est dans un intervalle. Il n'y a pas à ce jour de possibilité de supposer qu'une variable est entière (ni à fortiori qu'une variable à une valeur modulo un entier fixé), bien qu'il ait été décidé de réserver la variable globale \verb|INTEGERASSUME| à cet effet. Il n'y a pas de possibilité de faire des hypothèses ayant une portée locale. \subsubsection{Calculatrices formelles TI} Le langage utilis\'e pour programmer ces calculatrices est le langage C (on peut aussi \'ecrire du code en assembleur pour ces calculatrices). On retrouve ici les diff\'erents types de donn\'ees regroup\'e en un type g\'en\'erique qui est un tableau d'octets (aussi appelé quantum). Le champ type est appel\'e tag dans la documentation TI. Contrairement \`a ce qui pr\'ec\`ede, ce champ type est plac\'e en m\'emoire \`a la fin de l'objet, ce qui est possible car la longueur d'un objet est toujours indiqu\'ee au d\'ebut de l'objet. Ceci est fait afin de faciliter l'évaluation (cf. infra). Les entiers en précision arbitraire sont codés par un tag parmi deux (pour différencier le signe), un octet pour la longueur, puis la valeur absolue de l'entier (en base 256). Ils sont donc limités par le champ longueur à 255 octets, le plus grand entier représentable est \footnote{Toutefois une adaptation du logiciel utilisant comme quantum de base par exemple 32 bits porterait cette limite à $65536^{65535}-1$} $(256^{255}-1)$. Il existe un tag spécifique pour les rationnels, pour les constantes réelles et entières qui apparaissent par exemple en r\'esolvant une \'equation. Il existe des tags utilisés de manière interne, par exemple pour les nombres complexes. Il n'y a pas de tag prévu pour les flottants en précision arbitraire. ni pour les nombres algébriques (racines carrées par exemple). Les listes sont codées par la succession de leurs éléments. En principe elles ne peuvent pas contenir des listes (sauf pour repr\'esenter une matrice). Quelques fonctions utilisent les listes pour représenter des polynômes denses à une variable, mais probablement pas pour représenter de manière récursive des polynômes à plusieurs variables (puisque le type liste n'est en principe pas récursif). Comme les HP, les TI utilisent une pile (non visible par l'utilisateur) appelée expression stack afin de traduire un expression math\'ematique sous forme d'un texte en un objet symbolique cod\'e exactement comme ci-dessus en syntaxe polonaise. Toutefois, la pr\'esence du champ longueur permet d'\'evaluer un objet symbolique sans perdre en efficacit\'e en partant de l'op\'erateur final et en redescendant ensuite sur ces arguments, c'est la stratégie adoptée. C'est pour cela que le tag d'identification se trouve à la fin de l'objet. L'utilisation de cette méthode facilite grandement l'autoquotation (on peut toutefois regretter que le système n'ait pas prévu d'instruction permettant à l'utilisateur d'emp\^echer l'évaluation d'une sous-expression). On ne peut pas faire d'hypothèse globale sur un paramètre par contre on peut faire des hypothèses de type appartenance à un intervalle ayant une portée locale. \subsubsection{Maple, MuPAD, Mathematica, ...} Ces syst\`emes ont un noyau ferm\'e, au sens o\`u l'utilisateur n'a pas acc\`es du tout, ou en tout cas pas facilement, aux structures de donn\'ees de base. Je ne dispose donc pas d'information sur les structures de donn\'ees utilis\'ees par le noyau (pour MuPAD, on pourrait sans doute en savoir plus en achetant de la documentation sur la programmation des modules dynamiques). L'interaction système-utilisateur se fait quasiment toujours en utilisant le langage de programmation propre au syst\`eme, langage interpr\'et\'e par le noyau du syst\`eme (ce qui ralentit l'exécution). Ces langages utilisateurs sont essentiellement non typ\'es~: on travaille avec des variables du type générique sans pouvoir accéder aux types sous-jacents. On ne bénéficie en g\'en\'eral pas des v\'erifications faites lors de la compilation avec un langage typé, de plus ces systèmes ne sont pas toujours fourni avec de bon outils de mise au point. Enfin ces langages ne sont pas standardisés d'un système à l'autre et il est en général impossible d'utiliser ces systèmes comme des librairies depuis un langage de programmation traditionnel. Leur intérêt principal réside donc dans une utilisation interactive en profitant de la librairie de fonctions accessibles. \subsubsection{Giac/xcas} Il s'agit du système de calcul formel que j'implémente actuellement sous forme d'une biblioth\`eque C++ (ce qui permettra aux programmes tiers d'utiliser beaucoup plus facilement du calcul formel qu'avec les syst\`emes pr\'ec\'edents). L'objectif est d'avoir un syst\`eme facile \`a programmer directement en C++, proche du langage utilisateur, lui-m\^eme compatible avec Maple ou MuPAD, tout cela sans trop perdre en performances comparativement aux librairies sp\'ecialis\'ees \'ecrites en C/C++. Ce qui explique un choix de type g\'en\'erique (\verb=gen=) non orient\'e objet, avec un champ type et soit une donn\'ee imm\'ediate (pour les nombres flottants par exemple), soit un pointeur vers un objet du type correspondant au champ type pour les donn\'ees de taille non fixe (on pourrait donc se contenter du langage C, mais le langage C++ permet de red\'efinir les op\'erateurs sur des types utilisateurs ce qui am\'eliore consid\'erablement la lisibilit\'e du code source). Les donn\'ees dynamiques ne sont pas dupliqu\'ees, Giac utilise un pointeur sur un compteur de r\'ef\'erence pour d\'etruire ces donn\'ees lorsqu'elles ne sont plus r\'ef\'erenc\'ees. Les entiers en pr\'ecision arbitraire sont h\'erit\'es de la biblioth\`que GMP (\'ecrite en C) du projet GNU. Les flottants en pr\'ecision arbitraire utiliseront aussi GMP (plus précisément MPFR). Il y a un type fraction, structure C compos\'e d'un champ num\'erateur et d'un champ d\'enominateur, et un type nombre complexe. Les listes, vecteurs, matrices utilisent le type paramétré \verb|vector<>| de la librairie standard C++ (Standard Template Library). Les objets symboliques sont des structures compos\'es d'un champ sommet qui est une fonction prenant un argument de type \verb|gen| et renvoyant un r\'esultat de type \verb|gen|, et d'un champ feuille qui est de type \verb|gen|. Lorsqu'une fonction poss\`ede plusieurs arguments, ils sont rassembl\'es en une liste formant le champ feuille de l'objet symbolique. Les programmes sont aussi des objets symboliques, dont le champ sommet est la fonction évaluation d'un programme. Les listes sont aussi utilis\'ees pour repr\'esenter vecteurs, matrices et polyn\^omes en une variable en repr\'esentation dense, on peut y acc\'eder par valeur (\verb|:=|) ou par r\'ef\'erence (\verb|=<|). Les polyn\^omes en repr\'esentation creuse ou en plusieurs ind\'etermin\'ees sont \'egalement disponibles. L'évaluation d'un objet symbolique se fait en regardant d'abord si la fonction au sommet doit évaluer ou non ses arguments (autoquote), on évalue les arguments si nécessaire puis on applique la fonction. Une hypthèse sur un paramètre est une valeur spéciale affectée au paramètre, valeur ignorée par la routine d'évaluation. \subsection{Algorithmes et complexité.} On va présenter dans la suite quelques algorithmes que l'on peut considérer comme classiques dans le domaine du calcul formel. Avant d'implémenter ce type d'algorithmes, on a besoin des algorithmes de base en arithmétique. Le lecteur trouvera en appendice une brève présentation de certains de ces algorithmes, mes références en la matière sont le livre de Henri Cohen, et les livres de Donald Knuth (cf. appendice). La plupart des problèmes posés en calcul formel nécessitent des calculs dont la taille croit de manière exponentielle voire doublement exponentielle en fonction de la taille des données et ce même si le résultat est lui aussi de taille petite. Un exemple est la réduction des systèmes de plusieurs équations polynomiales (bases de Groebner). Dans certains cas, l'application de théories mathématiques parfois sophistiquées permet de réduire la complexité (par exemple, M. Van Hoeij a découvert récemment qu'un algorithme très utilisé en théorie des nombres, l'algorithme LLL, permettait d'améliorer la complexité d'une des étapes de la factorisation des polynomes à coefficients entiers sur les entiers). Heureusement, dans de nombreux cas, on peut r\'eduire la complexit\'e (donc le temps de calcul) par des adaptations au probl\`eme d'une m\^eme id\'ee \`a condition de faire des hypoth\`eses sur les donn\'ees (autrement dit en abandonnant la volont\'e d'impl\'ementer un algorithme tr\`es g\'en\'erique, ou tout au moins en sp\'ecialisant des algorithmes g\'en\'eriques). Par exemple lorsqu'on travaille avec des entiers (ou des polyn\^omes \`a coefficients entiers, ou des matrices \`a coefficients entiers...) on utilise souvent des algorithmes modulaires et $p$-adiques. Comme le calcul exact n\'ecessite presque toujours de calculer avec des entiers, ces m\'ethodes ont un r\^ole central en calcul formel, nous les pr\'esentons donc maintenant bri\`evement. Dans les prochaines sections, nous utiliserons ce type de m\'ethode, par exemple pour le calcul de PGCD ou la factorisation de polyn\^omes \`a coefficients entiers. Les m\'ethodes modulaires consistent \`a r\'eduire un probl\`eme dans $\Z$ \`a son \'equivalent dans $Z/n\Z$ pour une ou plusieurs valeurs de $n$, nombre premier. Le calcul dans $\Z/n\Z$ a l'avantage de se faire avec des entiers dont la taille est bornée. Ensuite \`a l'aide d'estimations \`a priori sur la taille des solutions \'eventuelles du probl\`eme initial, on reconstruit la solution au problème initial avec le th\'eor\`eme des restes chinois. Par exemple, on peut calculer un d\'eterminant d'une matrice \`a coefficients entiers en cherchant ce d\'eterminant dans $\Z/n\Z$ pour plusieurs premiers $n$, dont le produit est plus grand qu'une estimation \`a priori de la taille du d\'eterminant (donnée par exemple par l'inégalité d'Hadamard, cf. Cohen, p. 50). Les m\'ethodes $p$-adiques commencent de mani\`ere identique par un calcul dans $\Z/n\Z$, on augmente ensuite la pr\'ecision de la solution en la \og liftant\fg de $\Z/n^k \Z$ vers $\Z/n^{k+1}\Z$ ou vers $\Z/n^{2k}\Z$ (lift lin\'eaire ou lift quadratique), on s'arr\^ete lorsque $k$ est assez grand (\`a l'aide d'estimations \`a priori) et on reconstruit alors la solution initiale. L'\'etape de \og lift\fg est en g\'en\'eral un lemme de Hensel dont on verra quelques exemples dans les prochains articles. L'algorithme commun au lemme de Hensel et au th\'eor\`eme des restes chinois est l'identit\'e de B\'ezout, que l'on retrouve d'ailleurs un peu partout (par exemple pour le calcul de primitives). Illustrons cette méthode sur un exemple simple, la recherche de racines rationnelles d'un polyn\^ome $P(X)=a_d X^d + \cdots + a_0$ \`a coefficients entiers ou polynomiaux, avec $a_d$ et $a_0$ non nuls. L'algorithme g\'en\'erique (assez connu) consiste \`a chercher les diviseurs de $a_0$ et de $a_d$ et \`a tester toutes les fractions de ces diviseurs, on montre en effet ais\'ement que si $X=p/q$ fraction irr\'eductible est racine de $P$ alors $q$ divise $a_d$ et $p$ divise $a_0$. Cet algorithme est tr\`es inefficace si $a_d$ ou $a_0$ est un grand entier (car on ne sait pas forc\'ement le factoriser) ou s'il a beaucoup de facteurs premiers (la liste des diviseurs \`a tester est alors tr\`es grande). Lorsque les coefficients de $P$ sont entiers, la recherche pr\'ec\'edente revient \`a trouver un facteur \`a coefficients entiers $qX-p$ de $P$, on peut donc r\'eduire le probl\`eme modulo un entier premier $n$ qui ne divise pas $a_d$~: si un tel facteur existe dans $\Z$ alors ce facteur (r\'eduit modulo $n$) est un facteur de $P$ dans $\Z/n\Z$ donc $P$ admet une racine dans $\Z/n\Z$ (puisque $q$ est inversible modulo $n$ car on a choisi $n$ premier ne divisant pas $a_d$). On \'evalue maintenant $P$ en les $n$ \'el\'ements de $\Z/n\Z$. S'il n'y a pas de 0, alors $P$ n'a pas de racine rationnelle. S'il y a des racines, on va les lifter de $\Z/n^k\Z$ dans $\Z/n^{2k}\Z$. On suppose donc que pour $k\geq 1$, il existe un entier $p_k$ tel que \[ P(p_k)=0 \pmod{n^k} \] Il s'agit de trouver un entier $x$ tel que $p_{k+1}=p_k+n^k \* x$ vérifie \[ P(p_{k+1})=0 \pmod{n^{2k}} \] On applique la formule de Taylor \`a l'ordre 1 pour $P$ en $p_k$, le reste est nul modulo $n^{2k}$, donc~: \[ P(p_k)+ n^k \* x P'(p_k)=0 \pmod{n^{2k}} \] soit finalement~: \[ x=-\frac{P(p_k)}{n^k} \* ( P'(p_k) \pmod{n^k}) ^{-1} \] On reconnaît au passage la méthode de Newton, pour qu'elle fonctionne il suffit que $P'(p_k) \neq 0 \pmod n$ ce qui permet de l'inverser modulo $n^k$ (et c'est ici qu'intervient l'identit\'e de B\'ezout). En pratique quand on factorise un polyn\^ome, on commence par retirer les multiplicités, on peut donc supposer que $P$ est sans facteur multiple dans $\Z$. Ceci n'entraîne pas forcément qu'il le reste dans $\Z/n\Z$ ce qui crée une contrainte supplémentaire sur le choix de $n$, à savoir que $P$ et $P'$ restent premier entre eux dans $\Z/n\Z$ (il existe forcément de tels $n$, par exemple $n$ premier plus grand que le plus grand entier intervenant dans le calcul du PGCD de $P$ et $P'$ dans $\Z$). Reste donc à revenir dans $\Z$ à partir d'une racine $p_k$ dans $\Z/(n^k \Z)$ (où on peut choisir $k$). On va maintenant utiliser la repr\'esentation modulaire sym\'etrique~: on prend comme représentant modulaire d'un entier $z$ dans $\Z/n^k\Z$ l'unique entier congru \`a $z$ modulo $n$ qui est strictement compris entre $-n^k/2$ et $n^k/2$ (si $n$ est pair, la deuxi\`eme in\'egalit\'e est choisie large). Si $qX-p$ est un facteur de $P$, alors $a_dX-\frac{a_d}{q}p$ est encore un facteur de $P$ (le quotient de $P$ par $a_dX-\frac{a_d}{q}p$ est \`a coefficients rationnels mais le facteur est \`a coefficients entiers). Si on a choisi $k$ tel que $n^k>2|a_d a_0|$, l'\'ecriture en représentation modulaire symétrique de $a_dX-\frac{a_d}{q}p$ est inchang\'ee, en effet on a des estimations à priori sur les entiers $p$ et $q$~: $|q|\leq |a_d|$ et $|p| \leq |a_0|$ puisque $q$ divise $a_d$ et $p$ divise $a_0$. Comme $a_dX-\frac{a_d}{q}p$ est \'egal \`a $a_d(X-p_k)$ dans $\Z/(n^k \Z)$, il nous suffit d'écrire en repr\'esentation modulaire sym\'etrique $a_d(X-p_k)=a_d X-p'$. Pour conclure, on sait que $a_d X-p'$ est un multiple entier de $qX-p$. On divise donc le facteur $a_d X-p'$ par le pgcd de $a_d$ et $p'$ et on teste la divisibilité de $P$ par ce facteur réduit. {\bf Exemple}\\ Consid\'erons le polyn\^ome $2 X^3-X^2-X-3$ qui est sans facteur carr\'e. On ne peut pas choisir $n=2$ car on r\'eduirait le degr\'e, pour $n=3$, on a $P'=X-1$ qui est facteur de $P$, pour $n=5$, $P'=6X^2-2X-1$, on v\'erifie que $P$ et $P'$ sont premiers entre eux (par exemple avec \verb|GCDMOD| sur une HP49 o\`u on aura fix\'e la variable \verb|MODULO| \`a 5). On teste ensuite les entiers de -2 \`a 2 sur $P$. Seul -1 est racine modulo 5 ($P(-1)=-5$), on va maintenant lifter $p_1=-1$. L'estimation \`a priori est $2|a_d||a_0|=12$ donc $k=2$ ($5^2=25>12$), une it\'eration suffira. On a $P'(-1)=7$, l'inverse de $P'(-1) \pmod 5$ est -2 donc: \[ x= -\frac{P(-1)}{5} (-2) = -(-1) \* (-2)=-2 \] et $p_2=-1+5\times(-2)=-11$ est racine de $P$ dans $\Z/25\Z$. On calcule ensuite $a_d(X-p_k)=2(X+11)=2X+22=2X-3$ en repr\'esentation sym\'etrique, le PGCD de 2 et -3 est 1 donc on teste le facteur $2X-3$, ici il divise $P$ donc $P$ admet un unique facteur entier de degr\'e 1 qui est $2X-3$. \section{Quelques algorithmes d'arithmétique de base.} \begin{itemize} \item Les algorithmes de multiplication et division dit rapides des entiers et polyn\^omes (Karatsuba, FFT, ...). Cf. par exemple Knuth. ou pour les entiers la documentation de GMP. \item Au lieu de la division euclidienne, on utilise très souvent la pseudo-division pour les polynômes~: étant donné deux polyn\^omes $A$ et $B$ de degrés $a$ et $b$ à coefficients dans un anneau contenu dans un corps (par exemple $\Z$), on multiplie $A$ par une puissance du coefficient dominant $B_b$ de $B$, plus précisément par $B_b^{a-b+1}$, ce qui permet d'effectuer la division par $B$ sans que les coefficients sortent de l'anneau. \[ B_b^{a-b+1} A= B Q + R \] On utilise cette méthode lorsqu'on peut multiplier les polyn\^omes par des constantes sans changer le problème (par exemple pour l'algorithme d'Euclide). \item L'algorithme d'Euclide est un algorithme \og générique\fg de calcul de PGCD. Il n'est en général pas utilisé tel quel. Pour les entiers on utilise une variation adaptée à la représentation binaire des entiers (cf. Cohen ou le manuel de GMP version 4 pour plus de détails). Nous décrirons des algorithmes de PGCD plus efficaces pour les polynômes dans le prochain article. \item l'identité de Bézout, aussi appelée PGCD étendu. \'Etant donné deux entiers ou deux polyn\^omes $a$ et $b$ on calcule $u$, $v$ et $d$ tels que $au+bv=d$. On écrit la matrice~: \[ \left( \begin{array}{lll} a & 1 & 0 \\ b & 0 & 1 \end{array} \right) \] où on remarque que pour chaque ligne le coefficient de la 1ère colonne est égal à $a$ multiplié par le coefficient de la 2ème colonne additionné à $b$ multiplié par le coefficient de la 3ème colonne. Ce qui reste vrai si on effectue des combinaisons linéaires de lignes (type réduction de Gau\ss). Comme on travaille dans les entiers ou les polyn\^omes, on remplace la réduction de Gau\ss\ des matrices à coefficients réels par une combinaison linéaire utilisant le quotient {\em euclidien\/} $q$ de $a$ par $b$. On obtient alors le reste $r$ en 1ère colonne~: \[ L_3=L_1-qL_2 \quad \left( \begin{array}{lll} a & 1 & 0 \\ b & 0 & 1 \\ r & 1 & -q \end{array} \right) \] et on recommence jusqu'à obtenir 0 en 1ère colonne. L'avant-dernière ligne obtenue est l'identité de Bézout (la dernière ligne donne le PPCM de $a$ et $b$). Si l'on veut l'inverse de $a$ modulo $b$ on remarque qu'il n'est pas utile de calculer les coefficients appartenant à la 3ème colonne. Enfin, les lignes intermédiaires peuvent servir à reconstruire une fraction d'entier représentée par un entier de $\Z/n\Z$ lorsque le numérateur et le dénominateur sont de valeur absolue inférieure à $\sqrt{n/2}$. \item Le théorème des restes chinois. Si on connaît $x=a \pmod m$ et $x= b \pmod n $ avec $m$ et $n$ premiers entre eux, on détermine $c$ tel que $x=c \pmod{m\times n}$ ($c=a+mu=b+nv$ et on applique Bézout pour trouver $u$ et $v$, on en d\'eduit $c$). \item Les tests de pseudo-primalité. Il est essentiel d'avoir une méthode rapide permettant de générer des nombres premiers pour appliquer des méthodes modulaires et $p$-adiques. On utilise par exemple le test de Miller-Rabin, qui prolonge le petit théorème de Fermat (si $p$ est premier, alors $a^p=a \pmod p$). \end{itemize} \subsection{Pour en savoir plus.} Sur des aspects plus th\'eoriques~: \begin{itemize} \item Knuth: TAOCP (The Art of Computer Programming), volumes 1 et suivants \item Henri Cohen: A Course in Computational Algebraic Number Theory \item Davenport, Siret, Tournier: Calcul formel: Syst\`emes et algorithmes de manipulations alg\'ebriques %\item quelques articles en ligne dont un article sur l'\'evaluation:\\ %\verb|http://www.cs.berkeley.edu/~fateman/algebra.html| \end{itemize} Sur des aspects plus pratiques, quelques r\'ef\'erences en ligne, la plupart sont accessibles gratuitement~: \begin{itemize} \item le code source de Giac disponible à l'URL~:\\ \verb|http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac.html| \item le code source de GiNaC, cf.~: \verb|http://www.ginac.de| \item le site \verb|http://www.hpcalc.org| pour les calculatrices HP, on y trouve tout, de la documentation, des \'emulateurs de calculatrices HP, des outils de d\'eveloppement pour Windows et Unix/Linux, ... Pour ce qui concerne cet article, je conseille de lire\\ \verb|http://www.hpcalc.org/hp48/docs/programming/rplman.zip| \item le site \verb|http://www.ticalc.org|, on y trouve le portage tigcc du compilateur C de GNU, des \'emulateurs, etc. Des informations de cet article ont leur source dans le guide du d\'eveloppeur TI89/92\\ \verb|http://education.ti.com/| \item la librairie du système \verb|MuPAD| (archivée dans le fichier \verb|lib.tar| des distributions Unix, pour une installation par d\'efaut, ce fichier se trouve dans le r\'erpertoire \verb|/usr/local/MuPAD/share/lib|), cf. \verb|www.sciface.com| pour obtenir une licence d'utilisation. \item en Maple, il est possible de décompiler une instruction \verb|Maple| avec la commande\\ \verb|eval(instruction);|\\ après avoir tapé\\ \verb|interface(verboseproc=2);| \item le source du plus ancien système de calcul formel \verb|maxima| (devenu logiciel libre) pour les personnes famili\`eres du langage Lisp\\ \verb|http://sourceforge.net/projects/maxima|\\ de m\^eme pour le syst\`eme Axiom \item le source de librairies plus spécialisées (GMP, GP-PARI, Singular, NTL, Zen, ALP, GAP, CoCoA, ...), rechercher ces moms sur google. \end{itemize} \pagebreak \section{Exercices sur types, calcul exact et approch\'e, algorithmes de bases} Pour t\'el\'echarger et installer Xcas sur votre ordinateur, suivre les instructions donn\'ees sur\\ \verb|http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html|\\ Pour lancer {\tt xcas} sous Unix, ouvrir un fen\^etre terminal et taper la commande\\ \verb| xcas & |\\ Lors de la premi\`ere ex\'ecution, vous devrez choisir entre diff\'erents types de syntaxe (compatible C, maple ou TI89). Vous pouvez changer ce choix \`a tout moment en utilisant le menu Configuration->mode (syntaxe). %Pour lancer maple, taper {\tt xmaple} \`a la place de {\tt xcas}. L'aide en ligne est accessible en tapant \verb|?nom_de_commande|. Dans Xcas, vous pouvez aussi taper le d\'ebut d'un nom de commande puis la touche de tabulation (\`a gauche du A sur un clavier francais), s\'electionner la commande dans la boite de dialogues puis cliquer sur Details pour avoir une aide plus compl\`ete dans votre navigateur. Pour plus de d\'etails sur l'interface de Xcas, consultez le manuel (Aide->Interface). Si vous n'avez jamais utilis\'e de logiciel de calcul formel, vous pouvez commencer par lire le tutoriel (menu Aide->Debuter en calcul formel->tutoriel) et faire certains des exercices propos\'es (des corrig\'es sous forme de sessions Xcas sont dans Aide->Debuter en calcul formel->solutions) Il peut \^etre interessant de tester ces exercices en parall\`ele avec Xcas et des calculatrices formelles.... \begin{enumerate} \item Utiliser la commande {\tt type} ou {\tt whattype} ou \'equivalent pour déterminer la représentation utilisée par le logiciel pour représenter une fraction, un nombre complexe, un flottant en précision machine, un flottant avec 100 décimales, la variable $x$, l'expression $\sin(x)+2$, la fonction {\tt x->sin(x)}, une liste, une séquence, un vecteur, une matrice. Essayez d'accéder aux parties de l'objet pour les objets composites (en utilisant {\tt op} par exemple). \item Comparer le type de l'objet \verb|t| si on effectue la commande \verb|t[2]:=0;| apr\`es avoir purg\'e \verb|t| ou apr\`es avoir affect\'e \verb|t:=[1,2,3]|~? \item Comparer l'effet de l'affectation dans une liste et dans un vecteur ou une matrice sur votre logiciel (en Xcas, on peut utiliser \verb|=<| au lieu de \verb|:=| pour stocker par r\'ef\'erence). \item Voici un programme \'ecrit en syntaxe compatible maple (menu Cfg->Mode->maple dans Xcas) qui calcule la base utilis\'ee pour repr\'esenter les flottants. \begin{verbatim} Base:=proc() local A,B; A:=1.0; B:=1.0; while evalf(evalf(A+1.0)-A)-1.0=0.0 do A:=2*A; od; while evalf(evalf(A+B)-A)-B<>0 do B:=B+1; od; B; end; \end{verbatim} Testez-le et expliquez. \item Déterminer le plus grand r\'eel positif $x$ de la forme $2^{-n}$ ($n$ entier) tel que $(1.0+x)-1.0$ renvoie 0 sur PC avec la pr\'ecision par d\'efaut puis avec \verb|Digits:=30|. \item Calculer la valeur de $a:=\exp(\pi \sqrt{163})$ avec 30 chiffres significatifs, puis sa partie fractionnaire. Proposez une commande permettant de décider si $a$ est un entier. \item D\'eterminer la valeur et le signe de la fraction rationnelle \[ F(x,y)= \frac{1335}{4} y^6 + x^2 (11x^2 y^2-y^6 -121y^4-2) + \frac{11}{2} y^8 + \frac{x}{2y}\] en $x=77617$ et $y=33096$ en faisant deux calculs, l'un en mode approché et l'autre en mode exact. Que pensez-vous de ces résultats? Combien de chiffres significatifs faut-il pour obtenir un r\'esultat raisonnable en mode approch\'e? \item \`A quelle vitesse votre logiciel multiplie-t-il des grands entiers (en fonction du nombre de chiffres)? On pourra tester le temps de calcul du produit de $a(a+1)$ o\`u $a=10 000!$, $a=15000!$, etc. \item Comparer le temps de calcul de $a^n \pmod m$ par la fonction \verb|powmod| et la méthode prendre le reste modulo $m$ après avoir calculé $a^n$.\\ Programmez la méthode rapide et la méthode lente.\\ Que se passe-t-il si on essaie d'appliquer l'algorithme de la puissance rapide pour calculer $(x+y+z+1)^{32}$~? Calculer le nombre de termes dans le d\'eveloppement de $(x+y+z+1)^n$ et expliquez. \item D\'eterminer un entier $c$ tel que $c=1 \pmod 3$, $c=3 \pmod 5$, $c=5 \pmod 7$ et $c=2 \pmod 11$. \item Programmation de la m\'ethode de Horner\\ Il s'agit d'évaluer efficacement un polynôme \[ P(X) = a_n X^n + ... + a_0 \] en un point. On pose $b_0=P(\alpha )$ et on \'ecrit~: \[ P(X)-b_0=(X-\alpha )Q(X) \] o\`u~: \[ Q(X) = b_n X^{n-1} + ... +b_2 X + b_1 \] On calcule alors par ordre d\'ecroissant $b_n$, $b_{n-1}$, ..., $b_0$. \begin{enumerate} \item Donner $b_n$ en fonction de $a_n$ puis pour $i\leq n-1$, $b_i$ en fonction de $a_i$ et $b_{i+1}$. Indiquez le d\'etail des calculs pour $P(X)=X^3-2X+5$ et une valeur de $\alpha $ non nulle. \item \'Ecrire un fonction \verb|horn| effectuant ce calcul: on donnera en arguments le polyn\^ome sous forme de la liste de ces coefficients (dans l'exemple \verb|[1,0,-2,5]|) et la valeur de $\alpha $ et le programme renverra $P(\alpha )$. (On pourra aussi renvoyer les coefficients de $Q$). \item En utilisant cette fonction, écrire une fonction qui calcule le développement de Taylor complet d'un polynôme en un point. \end{enumerate} \item Algorithmes de base~: \'ecrire des programmes impl\'ementant \begin{enumerate} \item le pgcd de 2 entiers \item l'algorithme de B\'ezout \item l'inverse modulaire en ne calculant que ce qui est n\'ecessaire dans l'algorithme de B\'ezout \item les restes chinois \end{enumerate} \end{enumerate} \pagebreak \section{Le PGCD} Comme on l'a remarqué dans le premier article, l'algorithme d'Euclide est inefficace pour calculer le pgcd de deux polynômes à coefficients entiers. On va présenter ici les algorithmes utilisés habituellement par les systèmes de calcul formel: sous-résultant (PRS), modulaire (GCDMOD), $p$-adique (EEZGD) et heuristique (GCDHEU). Le premier est une adaptation de l'algorithme d'Euclide et s'adapte à des coefficients assez génériques. Les trois autres ont en commun d'évaluer une ou plusieurs variables du polynôme (dans ce dernier cas il est nécessaire de bien distinguer le cas de polynômes à plusieurs variables) et de reconstruire le pgcd par des techniques distinctes, la plupart du temps ces algorithmes fonctionnent seulement si les coefficients sont entiers. Soit donc $ P$ et $Q$ deux polynômes à coefficients dans un corps. Le pgcd de $P$ et $Q$ n'est défini qu'à une constante près. Mais lorsque les coefficients de $P$ et $Q$ sont dans un anneau euclidien comme par exemple $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{Z}[ i ]$, on appelle pgcd de $P$ et $Q$ un polynôme $D$ tel que $P / D$ et $Q / D$ soient encore à coefficients dans l'anneau, et que $D$ soit optimal, c'est-à-dire que si un multiple $\mu D$ de $D$ vérifie $P / \mu D$ et $Q / \mu D$ sont à coefficients dans l'anneau, alors $\mu$ est inversible. La première étape d'un algorithme de calcul de pgcd consiste donc à diviser par le pgcd des coefficients entiers de chaque polynôme. {\bf{Exemple}}: $P = 4 X^2 - 4$ et $Q = 6 X^2 + 12 X + 6$. Le polynôme $X + 1$ est un pgcd de $P$ et $Q$ puisqu'il est de degré maximal divisant $P$ et $Q$ mais le pgcd de $P$ et $Q$ est $2 ( X + 1 )$. Remarquons qu'avec notre définition $- 2 ( X + 1 )$ convient aussi. Par convention on appelera pgcd le polynôme ayant un coefficient dominant positif. {\bf{Définition}}: On appelle contenu $c ( P )$ d'un polynôme $P$ le pgcd des coefficients de $P$. On définit alors la partie primitive de $P$: pp$( P ) = P / c ( P )$. Si $c(P)=1$, on dit que $P$ est primitif. On montre que~: \[ D = \mbox{pgcd} ( P, Q ) = \mbox{pgcd} ( c ( P ), c ( Q )) \mbox{pgcd} ( \mbox{pp} ( P ), \mbox{pp} ( Q )) \] \subsection{Le sous-résultant.} La première idée qui vient à l'esprit pour améliorer l'efficacité de l'algorithme d'Euclide consiste à éviter les fractions qui sont créées par les divisions euclidiennes. On utilise à cet effet la pseudo-division: au lieu de prendre le reste $R$ de la division euclidienne du polynôme $P$ par $Q$, on prend le reste de la division de $P q^{\delta + 1}$ par $Q$, où $q$ désigne le coefficient dominant de $Q$ et $\delta$ la différence entre le degré de $P$ et de $Q$. {\bf{Exercice:}} En utilisant votre système de calcul formel préféré, calculez les restes intermédiaires générés dans l'algorithme d'Euclide lorsqu'on utilise la pseudo-division par exemple pour les polynômes $P ( x ) = ( x + 1 )^7 - ( x - 1 )^6$ et sa dérivée. {\bf{Une solution avec giac/xcas}}: \begin{verbatim} // -*- mode:C++ -*- a,b 2 polynomes -> pgcd de a et b pgcd(a,b):={ local P,p,Q,q,R,g,h,d; // convertit a et b en polynomes listes et extrait la partie primitive P:=symb2poly1(a); p:=lgcd(P); // pgcd des elements de la liste P:=P/p; Q:=symb2poly1(b); q:=lgcd(Q); Q:=Q/q; if (size(P) \left( \frac{| z |}{2} \right)^n \] qui contredit notre majoration de $| C ( z ) |$. \begin{thm} Soit $P$ et Q deux polynômes à coefficients entiers. On choisit un entier z tel que $| z | \geqslant 2 \min ( | P |, | Q | ) + 2$, si la partie primitive du polynôme $G$ reconstruit à partir du pgcd de $P ( z ) \mbox{et}$Q(z) par écriture en base $z$ (avec comme reste euclidien le reste symétrique) divise $P$ et $Q$ alors c'est le pgcd de $P$ et $Q$. \end{thm} Pour finir la démonstration du théorème, il nous faut encore montrer le lemme. On a \[ - a_n x^n = a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots . + a_0 \] Donc \[ | a_n | | x |^n \leqslant | P | ( 1 + \ldots . + | x |^{n - 1} ) = | P | \frac{| x |^n - 1}{| x | - 1} \] Ici on peut supposer que $| x | \geqslant 1$, sinon le lemme est démontré, donc $| x | - 1$ est positif et \[ | a_n | ( | x | - 1 ) \leqslant | P | \frac{| x |^n - 1}{| x |^n} \Rightarrow | x | - 1 < \frac{| P |}{| a_n |} \] Remarques \begin{itemize} \item Le théorème publié par Char, Geddes et Gonnet porte sur des coefficients entiers et c'est comme cela qu'il est utilisé par les systèmes de calcul formel (en commençant historiquement par Maple). Peu de systèmes l'utilisent pour les polynômes à coefficients entiers de Gauss. On peut d'ailleurs généraliser le théorème à d'autres types de coefficients, à condition d'avoir un anneau euclidien plongé dans $\mathbb{C}$ avec une minoration sur la valeur absolue des élements non nuls de l'anneau. \item Nous n'avons jusqu'à présent aucune certitude qu'il existe des entiers $z$ tels que la partie primitive de $G$ divise $P$ et $Q$. Nous allons montrer en utilisant l'identité de Bézout que pour $z$ assez grand c'est toujours le cas. Plus précisément, on sait qu'il existe deux polynômes $U$ et $V$ tels que \[ P U + Q V = D \] Attention toutefois, $U$ et $V$ sont à coefficients rationnels, pour avoir des coefficients entiers, on doit multiplier par une constante entière $\alpha$, donc en évaluant en $z$ on obtient l'existence d'une égalité à coefficients entiers \[ P ( z ) u + Q ( z ) v = \alpha D ( z ) \] Donc le pgcd $g$ de $P ( z )$ et $Q ( z )$ divise $\alpha D ( z ) = \alpha d$. Comme $g$ est un multiple de $d$, on en déduit que $g = \beta d$, où $\beta$ est un diviseur de $\alpha$. Si on a choisi $z$ tel que \[ | z | > \text{ $2 | D | | \alpha |$} \] alors $| z | > 2 | D | | \beta |$ donc l'écriture symétrique en base $z$ de $g$ est $G = \beta D$. Donc la partie primitive de $G$ est $D$, le pgcd de $P$ et $Q$. \end{itemize} \begin{example} Si $P_0 = 6 ( X^2 - 1 )$ et $Q_0 = 4 ( X^3 - 1 )$. Le contenu de $P_0$ est 6, celui de $Q_0$ est 4.\\ On a donc pgcd des contenus = 2, $P = X^2 - 1, Q = X^3 - 1$. La valeur initiale de $z$ est donc $2 \ast 1 + 2 = 4$. On trouve $P ( 4 ) = 15, Q ( 4 ) = 63$. Le pgcd entier de 15 et 63 est 3 que nous écrivons symétriquement en base 4 sous la forme $3 = 1 \ast 4 - 1$, donc $G = X - 1$, sa partie primitive est $X - 1$. On teste si $X - 1$ divise $P$ et $Q$, c'est le cas, donc c'est le pgcd de $P$ et $Q$ et le pgcd de $P_0$ et $Q_0$ est $2 ( X - 1 )$. \end{example} {\bf Algorithme gcdheu}\\ En arguments deux polynômes $P_0$ et $Q_0$ à coefficients entiers ou entiers de Gauss. Retourne le pgcd de $P_0$ et $Q_0$ ou faux en cas d'échec. \begin{enumerate} \item Calculer le contenu de $P_0$ et $Q_0$. Vérifier que les coefficients sont entiers de Gauss sinon retourner faux. \item Extraire la partie primitive $P$ de $P_0$ et $Q$ de $Q_0$, calculer le pgcd $c$ des contenus de $P_0$ et $Q_0$ \item Déterminer $z = 2 \min ( | P |, | Q | ) + 2$. \item Début de boucle: initialisation du nombre d'essais à 1, test d'arrêt sur un nombre maximal d'essais, avec changement de $z$ entre deux itérations (par exemple $z \leftarrow 2 z$). \item Calculer le pgcd $g$ de $P ( z )$ et $Q ( z )$ puis son écriture symétrique en base $z$ dont on extrait la partie primitive $G$. \item Si $G \mbox{ne} \mbox{divise} \mbox{pas}$$P$ passer à l'itération suivante. De même pour $Q$. \item Retourner $c G$ \item Fin de la boucle \item Retourner faux. \end{enumerate} On remarque au passage qu'on a calculé le quotient de $P$ par $G$ et le quotient de $Q$ par $G$ lorsque la procédure réussit. On peut donc passer à la procédure gcdheu deux paramètres supplémentaires par référence, les deux polynômes que l'on affectera en cas de succès, ce qui optimise la simplification d'une fraction de 2 polynômes. \subsubsection{Le pgcd modulaire} On part du fait que si $D$ est le pgcd de $P$ et $Q$ dans $\mathbb{Z}$ (ou $\mathbb{Z} [ i ] )$ alors après réduction modulo un nombre premier $n$ qui ne divise pas les coefficients dominants de $P$ et $Q$, $D$ divise le pgcd $G$ de $P$ et $Q$ dans $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ (par convention, le pgcd dans $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ est normalisé pour que son coefficient dominant vaille 1). Comme on calcule $G$ dans $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$, les coefficients des restes intermédiaires de l'algorithme d'Euclide sont bornés, on évite ainsi la croissance exponentielle des coefficients. Il faudra ensuite reconstruire $D$ à partir de $G$. On remarque d'abord que si on trouve $G = 1,$ alors $P$ et $Q$ sont premiers entre eux. En général, on peut seulement dire que le degré de $G$ est supérieur ou égal au degré de $D$. En fait, le degré de $G$ est égal au degré de $D$ lorsque les restes de l'algorithme d'Euclide (calculé en effectuant des pseudo-divisions, cf. l'exercice 1) ont leur coefficient dominant non divisible par $n$. Donc plus $n$ est grand, plus la probabilité est grande de trouver $G$ du bon degré. Dans la suite, nous allons déterminer une borne $b$ à priori majorant les coefficients de $D$. On utilisera ensuite la même méthode que dans l'algorithme modulaire de recherche de racines évidentes: on multiplie $G$ dans $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ par le pgcd dans $\mathbb{Z}$ des coefficients dominants $p$ et $q$ de $P$ et $Q$. Soit $\tilde{D} = \mbox{pgcd} ( p, q ) G$ le résultat écrit en représentation symétrique. Si $n \geqslant b \mbox{pgcd} ( p, q )$ et si $G$ est du bon degré, on montre de la même manière que $D = \tilde{D}$. Comme on ne connait pas le degré de $D$, on est obligé de tester si $\tilde{D}$ divise $P$ et $Q$. Si c'est le cas, alors $\tilde{D}$ divise $D$ donc $\tilde{D} = D$ puisque $\mbox{degre} ( \tilde{D} ) = \mbox{degre} ( G ) \geqslant \mbox{degre} ( D )$. Sinon, $n$ est un nombre premier malchanceux pour ce calcul de pgcd ($\mbox{degre} ( G ) \geqslant \mbox{degre} ( D )$), il faut essayer un autre premier. {\bf{Remarque:}} On serait tenté de dire que les coefficients de $D$ sont bornés par le plus grand coefficient de $P$. C'est malheureusement faux, par exemple $( X + 1 )^2$ dont le plus grand coefficient est 2 divise $( X + 1 )^2 ( X - 1 )$ dont le plus grand coefficient (en valeur absolue) est 1. Soit $P = \sum p_i X^i$ un polynôme à coefficients entiers. On utilise la norme euclidienne \begin{equation} | P |^2 = \sum | p_i |^2 \end{equation} On établit d'abord une majoration du produit des racines de norme supérieure à 1 de $P$ à l'aide de $| P |^{}$. Ensuite si $D$ est un diviseur de $P$, le coefficient dominant $d$ de $D$ divise le coefficient dominant $p$ de $P$ et les racines de $D$ sont aussi des racines de $P$. On pourra donc déterminer une majoration des polynômes symétriques des racines de $D$ et donc des coefficients de $D$. \begin{lemma} \label{lemme:A} Soit $A = \sum_{j = 0}^a a_j X^j$ un polynôme et $\alpha \in \mathbb{C}$. Alors \[ \text{$| ( X - \alpha ) A | = | ( \overline{\alpha} X - 1 ) A |$} \] \end{lemma} Pour prouver le lemme \ref{lemme:A}, on développe les produits de polynômes. On pose $a_{-1} = a_{a + 1} = 0$ et on note $\Re$ la partie réelle. \[ \text{$| ( X - \alpha ) A |^2 = \sum_{j = 0}^{a + 1}$} | a_{j - 1} - \alpha a_j |^2 = \sum_{j = 0}^{a + 1} | a_{j - 1} |^2 + | \alpha |^2 | a_j |^2 - 2 \Re ( a_{j - 1} \overline{\alpha a_j} ) \] \[ \text{$| ( \overline{\alpha} X - 1 ) A |$}^2 = \sum_{j = 0}^{a + 1} | \overline{\alpha} a_{j - 1} - a_j |^2 = \sum_{j = 0}^{a + 1} | \alpha |^2 | a_{j - 1} |^2 + | a_j |^2 - 2 \Re ( \overline{\alpha} a_{j - 1} \overline{a_j} ) \] Les deux donnent bien le même résultat. Soit $P ( X ) = p \prod ( X - \alpha_j )$ la factorisation de $P$ sur $\mathbb{C}$. On introduit le polynôme \[ \tilde{P} = p \prod_{j / | \alpha_j | \geqslant 1} ( X - \alpha_j ) \prod_{j / | \alpha_j | < 1} ( \overline{\alpha_j} X - 1 ) \] qui d'après le lemme a la même norme que $P$. La norme de $P$ majore donc le coefficient constant de $\tilde{P} $ d'où: \begin{equation} \label{mignotte} \text{$ \prod_{j / | \alpha_j | \geqslant 1} | \alpha_j | \leqslant \frac{| P |}{| p |}$} \end{equation} On remarque que (\ref{mignotte}) reste vraie si on considère les racines $\delta_j$ de norme plus grande que 1 d'un diviseur $D$ de $P$ puisque le produit porte alors sur un sous-ensemble. On écrit maintenant l'expression des coefficients $d_j$ de $D$ à l'aide des racines $\delta_j$ de $D$: \[ | d_{m - j} | = | d | \left| \sum_{\mbox{choix} \mbox{de} j \mbox{racines} \mbox{parmi} \mbox{les} m \mbox{racines} \mbox{de} D} \quad \prod_{\delta_k \in \mbox{racines} \mbox{choisies}} \delta_k \right| \] Pour majorer $| d_{m - j} |$, on commence par majorer $| \delta_k |$ par $\beta_k = \max ( 1, | \delta_k | )$. On est donc ramené à majorer \[ \sigma_{j, m} ( \beta ) = \sum_{\mbox{choix} \mbox{de} j \mbox{parmi} m \mbox{valeurs} \beta_k} \quad \prod_{\beta_k \in \mbox{choix}} \beta_k \] avec pour hypothèse une majoration de $M = \prod_{k = 1}^m \beta_k$ donnée par la relation (\ref{mignotte}). Pour cela, on cherche le maximum de $\sigma_{j, m} ( \beta )$ sous les contraintes $M$ fixé et $\beta_k \geqslant 1$. On va montrer que le maximum ne peut être atteint que si l'un des $\beta_k = M$ (et tous les autres $\beta_k = 1 )$. Sinon, quitte à réordonner supposons que les $\beta_k$ sont classés par ordre croissant. On a donc $\beta_{m - 1} \neq 1$, on pose $\widetilde{\beta_k} = \beta_k$ pour $k \leqslant m - 2$, $\tilde{\beta}_{m - 1} = 1$ et $\tilde{\beta}_m = \beta_{m - 1} \beta_m$. Comparons $\sigma_{j, m} ( \beta )$ et $\sigma_{j, \mbox{nm}} ( \tilde{\beta} )$. Si le choix de $j$ parmi $m$ comporte $k = m - 1$ et $k = m$, le produit est inchangé. Sinon on a la somme de deux produits, l'un contenant $k = m - 1$ et l'autre $k = m$. On compare donc $B ( \beta_{m - 1} + \beta_m )$ et $B ( 1 + \beta_{m - 1} \beta_m )$ avec $B = \prod_{\beta_k \in \mbox{reste} \mbox{du} \mbox{choix}} \beta_k$. Comme \[ \text{$1 + \beta_{m - 1} \beta_m \geqslant \beta_{m - 1} + \beta_m$} \] puisque la différence est le produit $(1-\beta_m)(1-\beta_{m-1})$ de deux nombres positifs, on arrive à la contradiction souhaitée. Ensuite on décompose les choix de $\sigma_{m, j}$ en ceux contenant $M$ et des 1 et ceux ne contenant que des 1, d'où la majoration \[ \sigma_{j, m} ( \beta ) \leqslant \left(\begin{array}{c} m - 1\\ j - 1 \end{array}\right) M + \left(\begin{array}{c} m - 1\\ j \end{array}\right) \] et finalement \begin{equation} | d_{m - j} | \leqslant | d | \left( \left(\begin{array}{c} m - 1\\ j - 1 \end{array}\right) \frac{| P |}{| p |} + \left(\begin{array}{c} m - 1\\ j \end{array}\right) \right) \label{pgcdd} \end{equation} On peut en déduire une majoration indépendante de $j$ sur les coefficients de $D$, en majorant $| d |$ par $| p |$ (puisque $d$ divise $p$) et les coefficients binomiaux par $2^{m - 1}$ (obtenue en développant $( 1 + 1 )^{m - 1}$). D'où le \begin{thm} (Landau-Mignotte) Soit $P$ un polynôme à coefficients entiers (ou entiers de Gauss) et $D$ un diviseur de $P$ de degré $m$. Si $| P |$ désigne la norme euclidienne du vecteur des coefficients de $P$ et $p$ le coefficient dominant de $P$ alors les coefficients $d_j$ de $D$ satisfont l'inégalité \begin{equation} | d_j | \leqslant 2^{m - 1} ( | P | + | p | ) \end{equation} \end{thm} Avec cette estimation, on en déduit que si $n$ est un premier plus grand que \begin{equation} \text{$\min \left( 2^{\mbox{degre} ( P ) - 1} ( | P | + | p | ), 2^{\mbox{degre} ( Q ) - 1} ( | Q | + | q | ) \right)$}, \label{pgcdbound} \end{equation} alors le pgcd trouvé dans $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ va se reconstruire en un pgcd dans $\mathbb{Z}$ si son degré est le bon. Malheureusement la borne précédente est souvent très grande par rapport aux coefficients du pgcd et calculer dans $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ s'avèrera encore inefficace (surtout si le pgcd est 1). Cela reste vrai même si on optimise un peu la majoration (\ref{pgcdbound}) en repartant de (\ref{pgcdd}). L'idée est donc de travailler modulo plusieurs nombres premiers plus petits et reconstruire le pgcd des 2 polynômes à coefficients entiers à partir des pgcd des polynômes dans $\text{$\mathbb{Z}$} / n \text{$\mathbb{Z}$}$ et du théorème des restes chinois. En pratique on prend des nombres premiers inférieurs à la racine carrée du plus grand entier hardware de la machine (donc plus petits que $2^{16}$ sur une machine 32 bits) ce qui permet d'utiliser l'arithmétique hardware du processeur sans risque de débordement. {\bf{Algorithme du PGCD modulaire en 1 variable:}} En argument: 2 polynômes primitifs $P$ et $Q$ à coefficients entiers. Le résultat renvoyé sera le polynôme pgcd. Variable auxiliaire: un entier $N$ initialisé à 1 qui représente le produit des nombres premiers utilisés jusqu'ici et un polynôme $H$ initialisé à 0 qui représente le pgcd dans $\mathbb{Z} / N \mathbb{Z}$. Boucle infinie : \begin{enumerate} \item Chercher un nouveau nombre premier $n$ qui ne divise pas les coefficients dominants $p$ et $q$ de $P$ et $Q$ \item Calculer le pgcd $G$ de $P$ et $Q$ dans $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$. Si $G$=1, renvoyer 1. \item Si $H = 0$ ou si le degré de $G$ est plus petit que le degré de $H$, recopier $G$ dans $H$ et $n$ dans $N$, passer à la 6ème étape \item Si le degré de $G$ est plus grand que celui de $H$ passer à l'itération suivante \item Si le degré de $G$ est égal au degré de $H$, en utilisant le théorème des restes chinois, calculer un polynôme $\tilde{H}$ tel que $\tilde{H} = H$ modulo $N$ et $\tilde{H} = G$ modulo $n$. Recopier $\tilde{H}$ dans $H$ et $n N$ dans $N$. \item Ecrire $\mbox{pgcd} ( p, q ) H$ en représentation symétrique. Soit $\tilde{H}$ le résultat rendu primitif. Tester si $\tilde{H}$ divise $P$ et $Q$. Si c'est le cas, renvoyer $\tilde{H}$, sinon passer à l'itération suivante. \end{enumerate} Finalement on n'a pas utilisé $b$, la borne de Landau-Mignotte. On peut penser que l'étape 6 ne devrait être effectuée que lorsque $N$ est plus grand que $\mbox{pgcd} ( p, q ) b$. En pratique, on effectue le test de l'étape 6 plus tôt parce que les coefficients du pgcd sont rarement aussi grand que $b$. Mais pour éviter de faire le test trop tôt, on introduit une variable auxiliaire $H'$ qui contient la valeur de $H$ de l'itération précédente et on ne fait le test que si $H' = H$ (ou bien sûr si on a dépassé la borne). {\bf{Remarque}}: L'algorithme ci-dessus fonctionne également pour des polynômes à plusieurs variables. {\bf{Exemple 1:}} Calcul du pgcd de $( X + 1 )^3 ( X - 1 )^4$ et $( X^4 - 1 )^{}$. Prenons pour commencer $n = 2$. On trouve comme pgcd $X^4 + 1$ (en effet $- 1 = 1$ donc on cherchait le pgcd de $( X + 1 )^7$ et de $X^4 + 1 = ( X + 1 )^4$). On teste si $X^4 + 1$ divise $P$ et $Q$, ce n'est pas le cas donc on passe au nombre premier suivant. Pour $n = 3$, on trouve $X^2 - 1$. Donc $n = 2$ n'était pas un bon nombre premier pour ce calcul de pgcd puisqu'on a trouvé un pgcd de degré plus petit. On teste si $X^2 - 1$ divise $P$ et $Q$, c'est le cas ici donc on peut arrêter, le pgcd cherché est $X^2-1$. {\bf{Exemple} 2 :} Calcul du pgcd de $( X + 1 )^3 ( X - 1 )^4$ et $( X^4 - 1 )^3$. Pour $n = 2$, on trouve un polynôme de degré 7. Pour $n = 3$, on trouve $X^6 - 1$ donc $n = 2$ était une mauvaise réduction. Comme $X^6 - 1$ ne divise pas $P$ et $Q$, on passe à $n = 5$. On trouve $X^6 + 2 X^4 - 2 X^2 - 1$. On applique le théorème des restes chinois qui va nous donner un polynôme dans $\mathbb{Z} / 15 \mathbb{Z}$. On cherche donc un entier congru à 2 modulo 5 et à 0 modulo 3, -3 est la solution (écrite en représentation symétrique), donc le polynôme modulo 15 est $X^6 - 3 X^4 + 3 X^2 - 1 = ( X^2 - 1 )^3$. Ce polynôme divise $P$ et $Q$, c'est donc le pgcd de $P$ et de $Q$. \subsection{Le pgcd à plusieurs variables.} \subsubsection{Le pgcd heuristique.} On suppose comme dans le cas à une variable que les polynômes sont primitifs, donc qu'on a simplifié les polynômes par le pgcd entier de leurs coefficients entiers. Le principe est identique à celui du PGCD à 1 variable, on évalue les deux polynômes $P$ et $Q$ de $k$ variables $X_1, \ldots ., X_k$ en un $X_k = z$ et on calcule le pgcd $g$ des 2 polynômes $P ( z )$ et $Q ( z )$ de $k - 1$ variables. On remonte ensuite à un polynôme $G$ par écriture symétrique en base $z$ de $g$ et on teste si $\mbox{pp} ( G )$ divise $P$ et $Q$. Il s'agit à nouveau de montrer que si $z$ est assez grand, alors $\mbox{pp} ( G )$ est le pgcd cherché. On sait que $d = D ( z )$ divise $g$. Il existe donc un polynôme $a$ de $k - 1$ variables tel que $g = a d$. On sait aussi que $\mbox{pp} ( G )$ divise $D$, donc il existe un polynôme $C$ de $k$ variables tel que $D = C \ast \mbox{pp} ( G ) .$ On évalue en $z$ et on obtient $d = C ( z ) g / c ( G )$, où $c ( G )$ est un entier, donc \[ c ( G ) = a \ast C ( z ) \] Comme $c ( G )$ est un entier, $a$ et $C ( z )$ sont des polynômes constants. Comme précédemment, on a aussi $| C ( z ) | \leqslant | z | / 2$ puisque $| c ( G ) | \leqslant | z | / 2$. \begin{itemize} \item Premier cas: si $C$ ne dépend que de la variable $X_k$. On continue le raisonnement comme dans le cas unidimensionnel. \item Deuxième cas: si $C$ dépend d'une autre variable, par exemple $X_1$. On regarde le coefficient de plus haut degre de $C$ par rapport a $X_1$. Ce coefficient divise le coefficient de plus haut degre de $P$ et de $Q$ par rapport a $X_1$. Comme $C ( z )$ est constant, on en deduit que le coefficient de plus haut degre de $P$ et $Q$ par rapport a $X_1$ est divisible par $X_k - z$ donc le coefficient de plus bas degre en $X_k$ de ces coefficients de plus haut degre est divisible par $z$, ce qui contredit la majoration de ce coefficient. \end{itemize} En pratique, cet algorithme nécessite le calcul récursif de pgcd sans garantie de réussite. On l'évite donc s'il y a beaucoup de variables (la limite est par exemple de 5 pour MuPAD). \subsubsection{Le pgcd modulaire multivariables.} Ici, on travaille modulo $X_n - \alpha_{}$, où $X_1, \ldots ., X_n$ désignent les variables des polynômes. On considère donc deux polynômes $P$ et $Q$ comme polynômes de la variables $X_n$ avec des coefficients dans $\mathbb{Z} [ X_1, \ldots ., X_{n - 1} ]$. On évalue en $X_n = \alpha$, on obtient deux polynômes en $n - 1$ variables dont on calcule le pgcd (récursivement). Il s'agit de reconstruire le pgcd par interpolation. Tout d'abord, on a une borne évidente sur le degré du pgcd par rapport à la variable $X_n$, c'est le minimum $\delta$ des degrés par rapport à $X_n$ des polynômes $P$ et $Q$. A première vue, il suffit donc d'évaluer les polynômes en $\delta + 1$ points $\alpha$. Il faut toutefois prendre garde aux mauvaises évaluations et à la normalisation des pgcd avant d'interpoler. En effet, si $D ( X_1, \ldots ., X_n )$ désigne le pgcd de $P$ et $Q$ et $G ( X_1, \ldots ., X_{n - 1} )$ le pgcd de $P ( X_1, \ldots ., X_{n - 1}, \alpha )$ et de $Q ( X_1, \ldots ., X_{n - 1}, \alpha )$, on peut seulement dire $D ( X_1, \ldots ., X_{n - 1}, \alpha )$ divise $G$. Plusieurs cas sont donc possibles lorsqu'on évalue en un nouveau point $\alpha$: \begin{itemize} \item l'un des degrés de $G$ est plus petit que le degré du polynôme $D'$ reconstruit par interpolation jusque là. Dans ce cas, toutes les évaluations qui ont conduit à reconstruire $D'$ étaient mauvaises. Il faut recommencer l'interpolation à zéro ou à partir de $G$ (si tous les degrés de $G$ sont inférieurs ou égaux aux degrés du $D'$ reconstruit). \item l'un des degrés de $G$ est plus grand que le degré du $D'$ reconstruit jusque là. Il faut alors ignorer $\alpha$. \item Tous les degrés de $G$ sont égaux aux degrés du $D'$ reconstruit jusque là. Dans ce cas, $G$ est un multiple entier du polynôme $D'$ reconstruit jusque là et évalué en $X_n = \alpha$. Si on suppose qu'on a pu s'arranger pour que ce multiple soit 1, on ajoute le point $\alpha$ aux points d'évaluation précédents $\alpha_j$ en posant: \[ D' = D' + ( G - D' ) \frac{\prod_{\alpha_j} ( X_n - \alpha_j )}{\prod_{\alpha_j} ( \alpha - \alpha_j )} \] \end{itemize} On voit que les mauvaises évaluations se détectent simplement par les degrés. Pour la normalisation, on utilise une petite astuce: au lieu de reconstruire $\mbox{le} \mbox{pgcd} D$, on va reconstruire un multiple du pgcd $D$ (ce multiple appartiendra à $\mathbb{Z} [ X_n ] )$. On voit maintenant $P$ et $Q$ comme des polynômes en $n - 1$ variables $X_1, \ldots ., X_{n - 1}$ à coefficients dans $\mathbb{Z} [ X_n ]$. Alors lcoeff$(D)$, le coefficient dominant de $D$ (relativement à l'ordre lexicographique sur les variables $X_1,...,X_{n-1}$), est un polynôme en $X_n$ qui divise le coefficient dominant de $P$ et de $Q$ donc divise le coefficient dominant du pgcd des coefficients dominants de $P$ et de $Q$. On va donc reconstruire le polynôme~: \[ D' = D \frac{\Delta ( X_n )}{\mbox{lcoeff} ( D ) ( X_n )}, \Delta ( X_n ) = \mbox{pgcd} ( \mbox{lcoeff} ( P ) ( X_n ), \mbox{lcoeff} ( Q ) ( X_n )) \] c'est-à-dire $D$ multiplié par un polynôme qui ne dépend que de $X_n$. Revenons à $G$ en un point $\alpha$ de bonne évaluation. C'est un multiple entier de $D ( X_1, \ldots ., X_{n - 1}, \alpha )$: \[ G = \beta D ( X_1, \ldots ., X_{n - 1}, \alpha ) \] Donc, comme polynômes de $X_1,...,X_{n-1}$ à coefficients dans $\mathbb{Z}[X_n]$ ou dans $\mathbb{Z}$, $\mbox{lcoeff} ( G ) = \beta \mbox{lcoeff} ( D )_{| X_n = \alpha}$. Comme $\mbox{lcoeff} ( D )$ divise $\Delta ( X_n )$, il en est de même en $X_n = \alpha$ donc lcoeff$(G)$ divise $\beta \Delta(\alpha)$. On en déduit que $ \Delta ( \alpha) G$ qui est divisible par $ \Delta (\alpha) \beta$ est divisible par $\mbox{lcoeff} ( G )$. On va donc considérer le polynôme $ \Delta (\alpha) G / \mbox{lcoeff} ( G )$ : ses coefficients sont entiers et son coefficient dominant est $$\Delta ( \alpha) = \mbox{lcoeff}(D'( X_1, \ldots ., X_{n - 1}, \alpha ))$$ donc \[ \Delta (\alpha) G / \mbox{lcoeff} ( G )= D'( X_1, \ldots ., X_{n - 1}, \alpha )\] {\bf{Algorithme du pgcd modulaire à plusieurs variables (interpolation dense)}}: Arguments: 2 polynômes primitifs $P$ et $Q$ de $n$ variables $X_1, \ldots ., X_n$ à coefficients entiers. Renvoie le pgcd de $P$ et $Q$. \begin{enumerate} \item Si $n = 1$, renvoyer le pgcd de $P$ et $Q$ en une variable. \item Test rapide de pgcd trivial par rapport à $X_n$. On cherche des $n - 1$-uplets $\alpha$ tels que $P ( \alpha, X_n )$ et $Q ( \alpha, X_n )$ soient de même degré que $P$ et $Q$ par rapport à la variable $X_n$. On calcule le pgcd $G$ de ces 2 polynômes en une variable. Si le pgcd est constant, alors on retourne le pgcd des coefficients de $P$ et $Q$. \item On divise $P$ et $Q$ par leur contenu respectifs vu comme polynômes en $X_1, \ldots ., X_{n - 1}$ à coefficients dans $\mathbb{Z} [ X_n ]$, on note $C ( X_n )$ le pgcd des contenus. On calcule aussi le pgcd $\Delta ( X_n )$ des coefficients dominants de $P$ et de $Q$. \item On initialise $D'$ le pgcd reconstruit à 0, $I ( X_n )$ le polynôme d'interpolation à 1, $\delta=(\delta_1,...,\delta_{n-1})$ la liste des degrés partiels du pgcd par rapport à $X_1, \ldots ., X_{n - 1}$ au minimum des degrés partiels de $P$ et $Q$ par rapport à $X_1, \ldots ., X_{n - 1}$, $e$ le nombre d'évaluation à 0 et $E$ l'ensemble des points d'interpolation à la liste vide. \item Boucle infinie: \begin{itemize} \item Faire $\alpha$=entier aléatoire n'appartenant pas à $E$ jusqu'à ce que \begin{eqnarray*} \text{degre($P ( X_1, \ldots ., X_{n - 1}, \alpha ))$=$\mbox{degre}_{X_n} ( P ( X_1, \ldots ., X_n )$} & & \\ \mbox{degre} ( Q ( X_1, \ldots ., X_{n - 1}, \alpha )) = \mbox{degre}_{X_n} ( Q ( X_1, \ldots ., X_n )) & & \end{eqnarray*} \item Calculer le pgcd $G ( X_1, \ldots ., X_{n - 1} )$ en $n - 1$ variables de $P ( X_1, \ldots ., X_{n - 1}, \alpha )$ et $Q ( X_1, \ldots ., X_{n - 1}, \alpha )$. \item Si $\mbox{degre}_{} ( G )_i < \delta_i$ pour un indice au moins. Si $\mbox{degre} ( G ) \leqslant \delta$, on pose $\delta = \mbox{degre} ( G )$, $D' = G \frac{\Delta ( \alpha )}{\mbox{lcoeff} ( G )}$, $I = X_n - \alpha$, $e = 1$ et $E = [ \alpha ]$, sinon on pose $\delta = \min ( \delta, \mbox{degre} ( G )), D' = 0, I = 1, e = 0, E = [ ]$. On passe à l'itération suivante. \item Si $\mbox{degre} ( G ) > \delta$, on passe à l'itération suivante. \item Si $\mbox{degre} ( G ) = \delta$, on interpole: \begin{itemize} \item $G := G \frac{\Delta ( \alpha )}{\mbox{lcoeff} ( G )}$ \item $D' := D' + \frac{I ( X_n )}{\prod_{\alpha_j \in E} ( \alpha - \alpha_j )} ( G - D' ( X_1, \ldots ., X_{n - 1}, \alpha ))$ \item $I := I \ast ( X_n - \alpha )$ \item $e := e + 1$ et ajouter $\alpha$ à $E$ \item Si $e$ est strictement plus grand que le minimum des degrés partiels de $P$ et $Q$ par rapport à $X_n$, on pose $\tilde{D}$ la partie primitive de $D' $(vu comme polynôme à coefficients dans $\mathbb{Z} [ X_n ]$), on teste si $P$ et $Q$ sont divisibles par $\tilde{D}$, si c'est le cas, on renvoie $D = C ( X_n ) \tilde{D}$ \end{itemize} \end{itemize} \end{enumerate} On observe que dans cet algorithme, on fait le test de divisibilite de $\tilde{D}$ par $P$ et $Q$. En effet, même après avoir évalué en suffisamment de points, rien n'indique que tous ces points sont des points de bonne évaluation. En pratique cela reste extrêmement improbable. En pratique, on teste la divisibilité plus tôt, dès que $D'$ n'est pas modifié par l'ajout d'un nouveau point à la liste des $\alpha_j$. Il existe une variation de cet algorithme, appelé SPMOD (sparse modular), qui suppose que seuls les coefficients non nuls du pgcd en $n - 1$ variables sont encore non nuls en $n$ variables (ce qui a de fortes chances d'être le cas). L'étape d'interpolation est alors remplacée par la résolution d'un sous-système d'un système de Vandermonde. Cette variation est intéressante si le nombre de coefficients non nuls en $n - 1$ variables est petit devant le degré. Si elle échoue, on revient à l'interpolation dense. Notons enfin qu'on peut appliquer cette méthode lorsque les coefficients de $P$ et $Q$ sont dans $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ mais il faut alors vérifier qu'on dispose de suffisamment de points d'interpolation. Ce qui en combinant avec l'algorithme modulaire à une variable donne un algorithme doublement modulaire pour calculer le pgcd de 2 polynômes à coefficients entiers. C'est cette méthode qu'utilise par exemple MuPAD (en essayant d'abord SPMOD puis l'interpolation dense). {\bf{Exemple:}} Dans cet exemple, on donne $F$ et $G$ sous forme factorisée, le but étant de faire comprendre l'algorithme. En utilisation normale, on n'exécuterait cet algorithme que si $F$ et $G$ étaient développés. $P = (( x + 1 ) y + x^2 + 1 ) ( y^2 + x y + 1 ), Q = (( x + 1 ) y + x^2 + 1 ) ( y^2 - x y - 1 )$. Prenons $x$ comme variable $X_1$ et $y$ comme variable $X_2$. Les coefficients dominants de $P$ et $Q$ sont respectivement $y$ et $- y$ donc $\Delta = y$. En $y = 0$, $P ( x, 0 ) = x^2 + 1$ n'est pas du bon degré. En $y = 1$, $P ( x, 1 ) = ( x + x^2 + 2 ) ( x + 2 )$ et $Q ( x, 1 ) = ( x + x^2 + 2 ) ( - x )$ sont du bon degré. Leur pgcd est $G = x^2 + x + 2$, $\Delta ( 1 ) = 1$, donc $D' = x^2 + x + 1$. On teste la divisibilité de $P$ par $D'$, le teste échoue. En $y = 2$, $P ( x, 2 ) = ( x^2 + 2 x + 3 ) ( 2 x + 5 )$ et $Q ( x, 2 ) = ( x^2 + 2 x + 3 ) ( - 2 x + 3 )$ donc $G = x^2 + 2 x + 3$, $\Delta ( 2 ) = 2$. On interpole: \[ D' = x^2 + x + 2 + \frac{y - 1}{2 - 1} ( 2 ( x^2 + 2 x + 3 ) - ( x^2 + x + 2 )) = y ( x^2 + 3 x + 4 ) - ( 2 x + 2 ) \] On teste la divisibilité de $P$ par $D'$, le test échoue. En $y = 3$, $P ( x, 3 ) = ( x^2 + 3 x + 4 ) ( 3 x + 10 )$ et $Q ( x, 3 ) = ( x^2 + 3 x + 4 ) ( - 3 x + 8 )$ donc $G = x^2 + 3 x + 4$, $\Delta ( 3 ) = 3$. On interpole: \begin{eqnarray*} D' &= &y ( x^2 + 3 x + 4 ) - ( 2 x + 2 ) + \\ & & \frac{( y - 2 ) ( y - 1 )}{( 3 - 2 ) ( 3 - 1 )} \left( 3 ( x^2 + 3 x + 4 ) - ( 3 ( x^2 + 3 x + 4 ) - ( 2 x + 2 )) \right) \end{eqnarray*} donc \[ D' = y ( x^2 + 3 x + 4 ) - ( 2 x + 2 ) + \frac{( y - 2 ) ( y - 1 )}{2} ( - 2 x - 2 ) = x^2 y + x y^2 + y^2 + y \] On divise $D'$ par son contenu et on trouve $x^2 + x y + y + 1$ qui est bien le pgcd de $P$ et $Q$. \subsubsection{EZGCD.} Il s'agit d'une méthode $p$-adique. On évalue toutes les variables sauf une, on calcule le pgcd en une variable et on remonte au pgcd variable par variable (EEZGCD) ou toutes les variables simultanément (EZGCD) par un lemme de Hensel. Il semble qu'il est plus efficace de remonter les variables séparément. Soit donc $F$ et $G$ deux polynômes primitifs dépendant des variables $X_1, \ldots, X_n$ de pgcd $D$, on fixe une des variables qu'on appelera $X_1$ dans la suite. Soient $\mbox{lcoeff} ( F )$ et $\mbox{lcoeff} ( G )$ les coefficients dominants de $F$ et $G$ par rapport à $X_1$. On évalue $F$ et $G$ en un $n - 1$ uplet $b$ tel que le degré de $F$ et $G$ par rapport à $X_1$ soit conservé après evaluation en $b$. On suppose que $D_b ( X_1 ) = \mbox{pgcd} ( F ( b ), G ( b ))$ a le même degré que $D ( b )$. On a donc l'égalité: \[ ( F \ast \mbox{lcoeff} ( F )) ( b ) = \left( D_b \frac{\mbox{lcoeff} ( F ( b ))}{\mbox{lcoeff} ( D_b )} \right) \ast \left( \frac{F ( b )}{D_b} \frac{\mbox{lcoeff} ( F ) ( b )}{\mbox{lcoeff} ( \frac{F ( b )}{D_b} )} \right) \] et de même en remplaçant $F$ par $G$. Pour pouvoir lifter cette égalité (c'est-à-dire généraliser à plusieurs variables), il faut que $D_b$ et $\frac{F ( b )}{D_b}$ soient premiers entre eux. Sinon, on peut essayer de lifter l'égalité analogue avec $G$. En général, on montre qu'il existe un entier $j$ tel que $D_b$ et $\frac{F ( b ) + j G ( b )}{D_b}$ soient premiers entre eux. En effet, sinon au moins un des facteurs irréductibles de $D_b$ va diviser $\frac{F ( b ) + j G ( b )}{D_b}$ pour deux valeurs distinctes de $j$ et va donc diviser à la fois $\frac{F ( b )}{D_b}$ et $\frac{G ( b )}{D_b}$ en contradiction avec la définition de $D_b = \mbox{pgcd} ( F ( b ), G ( b ))$. On lifte alors l'égalité obtenue en remplaçant $F$ par $( F + k G )$ ci-dessus. Dans la suite, on suppose qu'on peut prendre $j = 0$ pour alléger les notations. On va aussi supposer que $b = 0$. Sinon, on fait un changement d'origine sur les polynômes $F$ et $G$ pour que $b = 0$ convienne, on calcule le pgcd et on lui applique la translation d'origine opposée. On adopte ensuite la notation suivante: si $k$ est un entier, on dit qu'un polynôme $P$ est un $O ( k )$ si la valuation de $P$ vu comme polynôme en $X_2, \ldots ., X_n$ à coefficients dans $\mathbb{Z} [ X_1 ]$ est supérieure ou égale à $k^{}$, ou de manière équivalente si \[ P ( X_1, h X_2, \ldots ., h X_n ) = O_{h \rightarrow 0} ( h^k ) \] L'égalité à lifter se réécrit donc: \[ F \mbox{lcoeff} ( F ) = P_0 Q_0 + O ( 1 ) \] où $P_0 =$$D_b \frac{\mbox{lcoeff} ( F ( b ))}{\mbox{lcoeff} ( D_b )}$ et $Q_0 = \frac{F ( b )}{D_b} \frac{\mbox{lcoeff} ( F ) ( b )}{\mbox{lcoeff} ( \frac{F ( b )}{D_b} )}$ sont premiers entre eux et de degré 0 par rapport aux variables $X_2, \ldots ., X_n$. Cherchons $P_1 = O ( 1 )$ et $Q_1 = O ( 1 )$ de degré 1 par rapport aux variables $X_2, \ldots ., X_n$ tels que \[ F \mbox{lcoeff} ( F ) = ( P_0 + P_1 ) ( Q_0 + Q_1 ) + O ( 2 ) \] Il faut donc résoudre \[ F \mbox{lcoeff} ( F ) - P_0 Q_0 = P_0 Q_1 + Q_0 P_1 + O ( 2 ) \] On peut alors appliquer l'identité de Bézout qui permet de déterminer des polynômes $P_1$ et $Q_1$ satisfaisant l'égalité ci-dessus (avec comme reste $O ( 2 )$ nul) puisque $P_0$ et $Q_0$ sont premiers entre eux. De plus, on choisit $P_1$ et $Q_1$ tels que $\mbox{degre}_{X_1} P_1 \leqslant \mbox{degre}_{X_1} ( F ) - \mbox{degre}_{} ( Q_0 ) = \mbox{degre} ( P_0 )$ et $\mbox{degre}_{X_1} ( Q_1 ) \leqslant \mbox{degre} ( Q_0 )$ et $\mbox{lcoeff}_{X_1} ( P_0 + P_1 ) + O ( 2 ) = \mbox{lcoeff}_{X_1} ( Q_0 + Q_1 ) + O ( 2 ) = \mbox{lcoeff}_{X_1} ( F )$. On tronque ensuite $P_1$ et $Q_1$ en ne conservant que les termes de degré 1 par rapport à $X_2, \ldots ., X_n$. On trouve de la même manière par récurrence $P_k$ et $Q_k$ homogènes de degré $k$ par rapport à $X_2, \ldots ., X_k$, de degré par rapport à $X_1$ respectivement inférieur aux degrés de $Q_0$ et de $P_0$ et tels que \begin{equation} F \mbox{lcoeff} ( F ) = ( P_0 + \ldots . + P_k ) ( Q_0 + \ldots . + Q_k ) + O ( k + 1 ) \label{ezgcd} \end{equation} et $\mbox{lcoeff} ( F ) = \mbox{lcoeff}_{X_1} ( P_0 + \ldots . + P_k ) + O ( k + 1 ) = \mbox{lcoeff}_{X_1} ( Q_0 + \ldots . + Q_k ) + O ( k + 1 )$. Si on est bien en un point de bonne évaluation et si $k$ est plus grand que le degré total (par rapport aux variables $X_2, \ldots ., X_n$) du polynôme $F \mbox{lcoeff} ( F )$ on va vérifier que $P_0 + \ldots . + P_k = D \frac{\mbox{lcoeff} ( F )}{\mbox{lcoeff} ( D )}$. En effet, si on a deux suites de polynômes $P$ et $P'$ et $Q$ et $Q'$ satisfaisant (\ref{ezgcd}) avec les même termes de degré zéro $P_0$ et $Q_0$, alors en prenant la différence, on obtient: \[ ( P_0 + P_1 \ldots + P_k ) ( Q_0 + Q_1 \ldots + Q_k ) = ( P_0 + P_1' \ldots + P_k' ) ( Q_0 + Q_1' \ldots + Q_k' ) + O ( k + 1 ) \] On égale alors les termes homogènes de degré $j$, pour $j = 1$, on obtient $P_0 ( Q_1 - Q_1' ) = Q_0 ( P_1 - P_1' )$, donc $Q_0$ divise $Q_1 - Q_1'$ qui est de degré strictement inférieur au degré de $Q_0$ par rapport à $X_1$ (car on a l'inégalité large et les termes de plus haut degré sont égaux), donc $Q_1 = Q_1'$ et $P_1 = P_1'$. On montre de la même manière que $Q_j = Q_j'$ et $P_j = P_j'$. L'écriture est donc unique, c'est donc l'écriture en polynôme homogène de degré croissant de $D \frac{\mbox{lcoeff} ( F )}{\mbox{lcoeff} ( D )}$ que l'on reconstruit. Cet algorithme permet donc de reconstruire $D$, il suffit de tester à chaque étape si $P_0 + \ldots . + P_k$ divise $F \mbox{lcoeff} ( F )$. On appelle cette méthode de remontée lemme de Hensel linéaire. Il existe une variante dite lemme de Hensel quadratique qui consiste à passer de $O ( k )$ à $O ( 2 k )$. Elle nécessite toutefois un calcul supplémentaire, celui de l'identité de Bézout à $O ( 2 k )$ près pour les polynômes $P_0 + \ldots . + P_{k - 1}$ et $Q_0 + \ldots . + Q_{k - 1}$. Ce calcul se fait également par lifting. {\bf{Algorithme EZGCD (Hensel linéaire)}} Arguments: 2 polynômes $F$ et $G$ à coefficients entiers et primitifs. Renvoie le pgcd de $F$ et $G$ ou false. \begin{enumerate} \item Evaluer $F$ et $G$ en $( X_2, \ldots ., X_n ) = ( 0, \ldots ., 0 )$, vérifier que les coefficients dominants de $F$ et de $G$ ne s'annulent pas. Calculer le pgcd $D_b$ de $F ( 0 )$ et de $G ( 0 )$. Prendre un autre point d'évaluation au hasard qui n'annule pas les coefficients dominants de $F$ et de $G$ et vérifier que le pgcd a le même degré que $D_b$. Sinon, renvoyer false (on peut aussi faire une translation d'origine de $F$ et de $G$ en un autre point mais cela diminue l'efficacité de l'algorithme). \item On note $\mbox{lcF}$ et $\mbox{lcG}$ les coefficients dominants de $F$ et de $G$ par rapport à $X_1$. \item Si $\mbox{degre} ( F ) \leqslant \mbox{degre} ( G )$ et $\mbox{degre} ( D_b ) = \mbox{degre} ( G )$ et $F$ divise $G$ renvoyer $F$ \item Si $\mbox{degre} ( G ) < \mbox{degre} ( F )$ et $\mbox{degre} ( D_b ) = \mbox{degre} ( F )$ et $G$ divise $F$ renvoyer $G$ \item Si $\mbox{degre} ( F ) = \mbox{degre} ( D_b )$ ou si $\mbox{degre} ( G ) = \mbox{degre} ( D_b )$ renvoyer false \item Boucle infinie sur $j$ entier initialisé à 0, incrémenté de 1 à chaque itération: si $\mbox{pgcd} ( D_b, \frac{F ( 0 ) + j G ( 0 )}{D_b} ) = C$ constant, alors arrêter la boucle \item Lifter l'égalité $( F + j G ) ( \mbox{lcF} + j \mbox{lcG} ) ( 0 ) = \left( D_b \frac{( \mbox{lcF} + j \mbox{lcG} ) ( 0 )}{\mbox{lcoeff} ( D_{b )}} \right) \ast \ldots .$ par remontée de Hensel linéaire ou quadratique. Si le résultat est false, renvoyer false. Sinon renvoyer le premier polynôme du résultat divisé par son contenu vu comme polynôme en $X_1$ à coefficients dans $\mathbb{Z} [ X_2, \ldots ., X_n ]$. \end{enumerate} {\bf{Remontée de Hensel linéaire}}: Arguments: $F$ un polynôme, $\mbox{lcF}$=lcoeff$(F)$ son coefficient dominant, $P_0$ un facteur de $F ( 0 )$ ayant comme coefficient dominant $\mbox{lcF} ( 0 )$ et dont le cofacteur $Q_0$ est premier avec $P_0$. Renvoie deux polynômes $P$ et $Q$ tels que $F \mbox{lcF} = P Q$ et $P ( 0 ) = P_0$ et $\mbox{lcoeff} ( P ) = \mbox{lcoeff} ( Q ) = \mbox{lcF}$. \begin{enumerate} \item Soit $G = F \mbox{lcF}$, , $Q_0 = G ( 0 ) / P_0$, $P = P_0$, $Q = Q_0$. \item Déterminer les deux polynômes $U$ et $V$ de l'identité de Bézout (tels que $P_0 U + Q_0 V = d$ où $d$ est un entier). \item Boucle infinie avec un compteur $k$ initialisé à 1, incrémenté de 1 à chaque itération \begin{itemize} \item Si $k > \mbox{degre}_{X_2, \ldots ., X_n} ( G )$, renvoyer false. \item Si $P$ divise $G$, renvoyer $P$ et $G / P$. \item Soit $H = G - P Q = O ( k )$. Soit $u = U \frac{H}{d}$ et $v = V \frac{H}{d}$, on a $P_0 u + Q_0 v = H$ \item Remplacer $v$ par le reste de la division euclidienne de $v$ par $P_0$ et $u$ par le reste de la division euclidienne de $u$ par $Q_0$. La somme des deux quotients est égale au quotient euclidien de $H$ par $P_0 Q_0$, c'est-à-dire au coefficient dominant de $H$ divisé par le produit des coefficients dominants de $P_0$ et $Q_0$ (qui sont égaux) donc on a l'égalité: \[ P_0 u + Q_0 v = H - \frac{\mbox{lcoeff} ( H )}{\mbox{lcoeff} ( P_0 )^2} P_0 Q_0 \] \item Soit $\alpha = ( \mbox{lcoeff} ( F ) - \mbox{lcoeff} ( P )) / \mbox{lcoeff} ( P_0 )$ et $\beta = ( \mbox{lcoeff} ( F ) - \mbox{lcoeff} ( Q )) / \mbox{lcoeff} ( P_0 )$. On ajoute $\alpha P_0$ à $v$, ainsi $\mbox{lcoeff} ( P_{} + v ) = \mbox{lcoeff} ( F ) + O ( k + 1 )$ et $\beta Q_0$ à $u$, ainsi $\mbox{lcoeff} ( Q_{} + u ) = \mbox{lcoeff} ( F ) + O ( k + 1 )$ Remarque: on montre alors que $\alpha + \beta = \frac{\mbox{lcoeff} ( H )}{\mbox{lcoeff} ( P_0 Q_0 )} + O ( k + 1 )$ donc $P_0 u + Q_0 v = H + O ( k + 1 )$ en utilisant les propriétés : \[ \text{$\mbox{lcoeff} ( F ) = \mbox{lcoeff} ( P ) + O ( k ) = \mbox{lcoeff} ( Q ) + O ( k ) = \mbox{lcoeff} ( P_0 ) + O ( 1 )$} \] \item Réduire $u$ et $v$ en éliminant les termes de degré strictement supérieur à $k$ par rapport à $X_2, \ldots ., X_n$. S'il reste un coefficient non entier, renvoyer false \item Remplacer $P$ par $P + v$ et $Q$ par $Q + u$, passer à l'itération suivante. \end{itemize} \end{enumerate} {\bf{Exemple}}: $F = (( x + 1 ) y + x^2 + 1 ) ( y^2 + x y + 1 ), G = (( x + 1 ) y + x^2 + 1 ) ( y^2 - x y - 1 )$ On a $F ( 0, y ) = ( y + 1 ) ( y^2 + 1 )$ et $G ( 0, y ) = ( y + 1 ) ( y^2 - 1 )$, le pgcd est donc $D_b = ( y + 1 )$. On remarque que $D_b$ est premier avec le cofacteur de $F$ mais pas avec le cofacteur de $G$. Si on évalue en un autre point, par exemple $x = 1$, on trouve un pgcd $D_1$ de même degré, donc 0 est vraissemblablement un bon point d'évaluation (ici on en est sûr puisque le pgcd de $F$ et $G$ se calcule à vue...). On a $\mbox{lcoeff} ( F ) = x + 1$, on va donc lifter $G = (( x + 1 ) y + x^2 + 1 ) ( y^2 + x y + 1 ) ( x + 1 ) = P Q$ où $P_0 = ( y + 1 )$ et $Q_0 = ( y^2 + 1 )$. On calcule les polynômes de l'identité de Bézout $U = ( 1 - y )$ et $V = 1$ avec $d = 2$, puis à l'ordre $k = 1$: \[ H = G - P_0 Q_0 = ( 2 y^3 + 2 y^2 + 3 y + 1 ) x + O ( 2 ) \] donc $u = \mbox{reste} ( U H / d, Q_0 ) = x y$ et $v = \mbox{reste} ( V H / d, P_0 ) = - x$. Donc $Q_1 = x y + \alpha Q_0$ avec $\alpha = ( x + 1 - 1 ) / \mbox{lcoeff} ( P_0 ) = x$ et $Q_0 + Q_1 = ( y^2 + 1 ) ( x + 1 ) + x y$. De même, $P_1 = - x + \beta P_0$, avec $\beta = ( x + 1 - 1 ) / \mbox{lcoeff} ( P_0 ) = x$ donc $P_0 + P_1 = ( y + 1 ) ( x + 1 ) - x$. On remarque que $P_0 + P_1$ et $Q_0 + Q_1$ sont bien à $O ( 2 )$ près les facteurs de $F \mbox{lcoeff} ( F )$: \[ P = ( x + 1 ) y + x^2 + 1 = P_0 + P_1 + O ( 2 ), \ Q = ( x + 1 ) ( y^2 + x y + 1 ) = Q_0 + Q_1 + O ( 2 ) \] Une deuxième itération est nécessaire. On calcule \[ \text{$H = G - ( P_0 + P_1 ) ( Q_0 + Q_1 ) = ( 2 y^2 + y + 1 ) x^2 + O ( 3 )$} \] puis $\mbox{reste} ( U H / d, Q_0 ) = y x^2$ et $\mbox{reste} ( V H / d, P_0 ) = x^2$. Ici les coefficients $\alpha$ et $\beta$ sont nuls car $\mbox{lcoeff} ( F )$ n'a pas de partie homogène de degré 2. On trouve alors $P = P_0 + P_1 + P_2$ et $Q = Q_0 + Q_1 + Q_2$. Pour calculer le pgcd, il suffit de calculer la partie primitive de $P$ vu comme polynôme en $y$, ici c'est encore $P$ car le contenu de $P$ est 1 (remarque: pour $Q$ le contenu est $x + 1$).\\ On trouve donc $P$ comme pgcd. \subsection{Quel algorithme choisir?} Il est toujours judicieux de faire une évaluation en quelques $n - 1$ uplets pour traquer les pgcd triviaux. (E)EZGCD sera efficace si (0,...,0) est un point de bonne évaluation et si le nombre de remontées nécessaires pour le lemme de Hensel est petit donc pour les pgcd de petit degré, GCDMOD est aussi efficace si le degré du pgcd est petit. Le sous-résultant est efficace pour les pgcd de grand degré car il y a alors peu de divisions euclidiennes à effectuer et les coefficients n'ont pas trop le temps de croitre. SPMOD est intéressant pour les polynômes creux de pgcd non trivial creux. GCDHEU est intéressant pour les problèmes relativement petits. Avec des machines multiprocesseurs, on a probablement intérêt à lancer en parallèle plusieurs algorithmes et à s'arrêter dès que l'un deux recontre le succès. \subsection{Pour en savoir plus.} Parmi les références citées dans le premier article, ce sont les livres de Knuth, H. Cohen, et Davenport-Siret-Tournier qui traitent des algorithmes de pgcd. On peut bien sûr consulter le source de son système de calcul formel lorsqu'il est disponible~: \begin{itemize} \item pour MuPAD sur un système Unix, depuis le répertoire d'installation de MuPAD (en général {\tt /usr/local/MuPAD}) après avoir désarchivé le fichier {\tt lib.tar} du répertoire {\tt share/lib} par la commande \\{\tt cd share/lib \&\& tar xvf lib.tar}\\ on trouve les algorithmes de calcul de PGCD dans le répertoire \\ {\tt share/lib/lib/POLYLIB/GCD} \item Pour l'algorithme EZGCD, je me suis inspiré de l'implémentation de Singular (logiciel libre disponible à {\tt www.singular.uni-kl.de}) \end{itemize} Sur le web on trouve quelques articles en lignes sur le sujet en cherchant les mots clefs GCDHEU, EZGCD, SPMOD sur un moteur de recherche, il y a par exemple une description un peu différente du pgcd heuristique sur:\\ {\tt www.inf.ethz.ch/personal/gonnet/CAII/HeuristicAlgorithms/node1.html}\\ et un article de comparaison de ces algorithmes par Fateman et Liao (dont la référence bibliographique est Evaluation of the heuristic polynomial GCD. in: ISSAC pages 240--247, 1995). Quelques autres références~: \begin{itemize} \item K.O.Geddes et al "Alg. for Computer Algebra", Kluwer 1992. \item pour GCDHEU Char, Geddes, Gonnet, Gcdheu: Heuristic polynomial gcd algorithm based on integer gcd computation, in: Journal of Symbolic Computation, 7:31--48, 1989. \item pour SPMOD "Probabilistic Algorithms for Sparse Polynomials", in: Symbolic \& Algebraic Comp. (Ed E.W.Ng), Springer 1979, pp216, \end{itemize} \section{Le résultant} Il s'agit d'un point de vue d'algèbre linéaire sur le PGCD. Considérons deux polynômes $A$ et $B$ de degrés $p$ et $q$ et de pgcd $D$ et l'identité de Bézout correspondante~: \begin{equation} \label{eq:bezout} A U + B V =D \end{equation} avec degré$(U)Integer et Cmds->Polynomes de \verb|Xcas|. Certaines de ces instructions sont dans la librairie \verb|numtheory| (en maple) ou \verb|numlib| (en MuPAD) (utilisez \verb|?numtheory| ou \verb|?numlib| pour avoir la liste des fonctions de ces librairies), pour \'eviter de taper \verb|numlib::| ou \verb|numtheory::| \`a chaque fois, on peut lancer en maple la commande \verb|with(numtheory);| ou en MuPAD \verb|export(numlib);|. \subsubsection{Entiers} \begin{itemize} \item \verb|chrem| (en MuPAD \verb|numlib::ichrem|)~: restes chinois (entier) \item \verb|divisors| (en maple \verb|numtheory::divisors|, en MuPAD \verb|numlib::divisors|)~: liste des diviseurs d'un entier \item \verb|gcd, lcm|~: PGCD et PPCM \item \verb|igcdex|: Bézout pour des entiers \item \verb|iquo| et \verb|irem| quotient et reste de la division euclidienne de deux entiers \item \verb|isprime| test de primalit\'e. En maple et MuPAD, il s'agit d'un test de pseudo-primalit\'e. En Xcas, utiliser \verb|is_pseudoprime| pour effectuer un test plus rapide de pseudo-primalit\'e. \item \verb|mods|: reste euclidien symétrique \item \verb|nextprime| et \verb|prevprime| (en MuPAD \verb|numlib::prevprime|): nombre premier suivant ou pr\'ec\'edent \item \verb|powmod(a,b,n)| (Xcas), \verb|a &^ b mod n| (Maple), \verb|powermod(a,b,n)| (Mupad): calcul de $a^b \pmod n$ par l'algorithme de la puissance rapide \end{itemize} \subsubsection{Polyn\^omes} On peut repr\'esenter les polyn\^omes par leur \'ecriture symbolique (par exemple \verb|x^2+1|), ou par des listes (repr\'esentation dense ou creuse, r\'ecursive ou distribu\'ee). Xcas, Maple et MuPAD acceptent la repr\'esentation symbolique. Xcas propose deux types de repr\'esentation, dense \`a une variable (\verb|poly1[ ]|), ou distribu\'ee (\verb|%%%{ }%%%|) et des instructions de conversion (\verb|poly2symb| et \verb|symb2poly|) entre repr\'esentations. MuPAD propose \'egalement une repr\'esentation non symbolique, cf. la documentation \verb|?poly|. L'int\'er\^et d'une repr\'esentation non symbolique est l'efficacit\'e des op\'erations polynomiales, (et la possibilit\'e de chronom\'etrer des op\'erations comme le produit de 2 polyn\^omes). Les instructions qui suivent utilisent la repr\'esentation symbolique, certaines acceptent les autres repr\'esentations. \begin{itemize} \item \verb|coeff| coefficient(s) d'un polyn\^ome, \item \verb|coeffs| liste des coefficients d'un polyn\^ome (\`a d\'evelopper auparavant, en mupad on utilise \verb|coeff|) \item \verb|content| contenu (pgcd des coefficients) \item \verb|degree| degré \item \verb|divide| division euclidienne, \item \verb|gcd, lcm| PGCD et PPCM \item \verb|gcdex| B\'ezout, \item \verb|genpoly| (en MuPAD \verb|numlib::genpoly|): crée un polynôme à partir de la représentation $z$-adique d'un entier (utile pour le PGCD heuristique) \item \verb|icontent|: contenu entier pour un polyn\^ome \`a plusieurs variables \item \verb|indets|: liste des noms de variables d'une expression \item \verb|lcoeff|: coefficient dominant d'un polyn\^ome \item \verb|ldegree|: valuation \item (MuPAD) \verb|multcoeffs| multiplie les coefficients d'un polynôme \item (MuPAD) \verb|pdivide| pseudo-division \item (MuPAD) \verb|poly(expr,[var],coeff)| crée un polynôme à partir de l'expression symbolique \verb|expr| par rapport une variable ou à une liste de variables \verb|var|, on peut indiquer dans quel anneau vivent les coefficients (par exemple dans $\Z/13\Z$ avec comme 3ème argument \verb|IntMod(13)|) \item \verb|primpart|: partie primitive d'un polyn\^ome \item \verb|quo|, \verb|rem| (xcas et Maple) quotient et reste euclidien (en MuPAD utiliser les options Quo et Rem de \verb|divide|) \item \verb|tcoeff|: coefficient de plus bas degr\'e d'un polyn\^ome \item \verb|interp| (MuPAD \verb|interpolate|)~: interpolation de Lagrange \item \verb|convert(.,sqrfree)| (MuPAD \verb|polylib::sqrfree|)~: d\'ecomposition en facteurs n'ayant pas de racine multiples \item \verb|convert(.,parfrac)| (MuPAD \verb|polylib::partfrac|)~: d\'ecomposition en \'el\'ements simples \item \verb|resultant| (MuPAD \verb|polylib::resultant|)~: calcule le r\'esultant de 2 polyn\^omes par rapport \`a une variable. \end{itemize} Notez aussi que le menu \verb|Exemples->poly->pgcd.xws| de Xcas contient des exemples de programmes de calcul de pgcd de type Euclide. \subsubsection{Calculs modulo $n$} Pour travailler dans $\Z/n\Z[X]$~: \begin{itemize} \item avec \verb|Xcas| on utilise la notation \% comme en C, par exemple {\tt gcd(P \% 3, Q \% 3)}. On peut aussi utiliser la notation Maple en mode ``syntaxe Maple'' (cf. ci-dessous) \item avec Maple, on utilise les formes inertes des instructions (qui renvoient l'instruction non \'evalu\'ee), dont le nom est le m\^eme que le nom de commande habituel mais pr\'ec\'ed\'e par une majuscule, puis on indique \verb|mod n|, par exemple \verb|Gcd(P,Q) mod 11|. \item avec MuPAD, on d\'esigne le type des coefficients par exemple par \verb|IntMod(13)| puis on construit des objets ayant des coefficients de ce type (par exemple des polyn\^omes, cf. infra). Par exemple \verb|poly(x^2+1,[x],IntMod(13))|. \end{itemize} \subsection{Exercices PGCD} \begin{enumerate} \item Calculez le pgcd de $x^{202}+x^{101}+1$ et sa dérivée modulo 3 et modulo 5. Conclusion? \item $P=51x^3-35x^2+39x-115$ et $Q=17x^4-23x^3+34x^2+39x-115$. Calculez le pgcd de $P$ et $Q$ modulo 5, 7 et 11. En déduire le pgcd de $P$ et $Q$ par le théorème des restes chinois. Pourquoi ne doit-on pas essayer modulo 17? \item \'Ecrire un programme qui d\'etermine le degr\'e probable du pgcd de 2 polyn\^omes en une variable en utilisant le pgcd modulaire (on consid\`ere le degr\'e probable d\'etermin\'e lorsqu'on trouve deux nombres premiers r\'ealisant le minimum des degr\'es trouv\'es) \item Détaillez l'algorithme du PGCD heuristique pour les polynômes $P=(x+1)^7-(x-1)^6$ et sa dérivée. Comparez avec l'algorithme d'Euclide naïf. \item \'Ecrire un programme mettant en oeuvre le pgcd heuristique pour des polyn\^omes \`a une variable. \item On veut comprendre comment un logiciel de calcul formel calcule \[ \int \frac{x^6+2}{(x^3+1)^2} \ dx \] On se ramène d'abord à une fraction propre (num\'erateur $N$ de degr\'e inf\'erieur au d\'enominateur), Soit $P=X^3+1$, calculez le PGCD de $P$ et $P'$, puis deux polyn\^omes $U$ et $V$ tels que: \[ N=UP+VP' \] On d\'ecompose alors l'int\'egrale en deux morceaux~:\\ \[ \int \frac{N}{P^2}=\int \frac{U}{P} + \int V \frac{P'}{P^2} \] Faites une int\'egration par parties sur le deuxi\`eme terme et en d\'eduire la valeur de l'int\'egrale du d\'epart. \item \'Ecrire un programme mettant en oeuvre l'algorithme modulaire de calcul du PGCD. \item \'Ecrire un programme qui d\'etermine le degr\'e probable du PGCD par rapport \`a toutes les variables de 2 polyn\^ome \`a plusieurs variables en utilisant l'\'evaluation en toutes les variables sauf une. \item Calculer le pgcd par une m\'ethode modulaire de $(xy-x+1)(xy+x^2+1)$ et $(xy-x-y)(xy-x+1)$ \end{enumerate} \subsection{Exercices (r\'esultant)} \begin{enumerate} \item Pour quelles valeurs de $p$ le polyn\^ome $X^5+X^3-pX+1$ admet-il une racine multiple? \item R\'esoudre le syst\`eme en \'eliminant successivement les variables gr\^ace au r\'esultant~: \[ \left\{\begin{array}{rcl} a^{3}+b^{3}+c^{3} & = & 8 \\ a^{2}+b^{2}+c^{2} & = & 6 \\ a+b+2c & = & 4 \end{array}\right. \] \item Donner le d\'etail des calculs avec B\'ezout de la d\'ecomposition en \'el\'ements simples de~: \[ \frac{1}{(x^2-1)^2(x+2)}\] puis calculer le coefficient de $x^n$ du d\'eveloppement en s\'eries enti\`eres de cette fraction en 0. \item Calculer \[ \int \frac{1-x^2}{1+x^4} \ dx \] en utilisant le r\'esultant pour calculer les logarithmes. \item En utilisant uniquement l'instruction de calcul de PGCD d\'eterminer la multiplicit\'e maximale d'un facteur irr\'eductible de $x^{14}-x^{13}-14x^{12}+12x^{11}+78x^{10}-54x^9-224x^8+116x^7+361x^6-129x^5-330x^4+72x^3+160x^2-16x-32$ \end{enumerate} \subsection{Exercice (Bézout modulaire)} Soit $A$ et $B$ deux polynômes à coefficients entiers et premiers entre eux. Soit $c \in \Z^* $ le résultant de $A$ et $B$, on va calculer les polynômes $U$ et $V$ de l'identité de Bézout \begin{equation} \label{eq:bezoutmod} A U + B V = c , \quad \mbox{deg}(U)<\mbox{deg}(B), \mbox{deg}(V)<\mbox{deg}(A) \end{equation} par une méthode modulaire. \begin{enumerate} \item Montrer, en utilisant les formules de Cramer, que les coefficients de $U$ et $V$ sont des entiers de valeur absolue inférieure ou égale à la borne de Hadamard $h$ de la matrice de Sylvester de $A$ et $B$ (dont le déterminant est $c$, le résultant de $A$ et $B$). Calculer $h$ en fonction de la norme euclidienne de $A$, $B$ et de leurs degr\'es. \item On calcule $c \in \Z^*$ puis on résoud (\ref{eq:bezoutmod}) dans $\Z/p_i Z[X]$ pour plusieurs nombres premiers $p_i$ (choisis si possible inférieurs à $\sqrt{2^{31}}$ pour des raisons d'efficacité), puis on calcule par le théorème des restes chinois (\ref{eq:bezoutmod}) dans $\Z/\prod p_i Z[X]$. Donner une minoration de $\prod_i p_i$ faisant intervenir $h$ qui permette de garantir que l'écriture en représentation symétrique de (\ref{eq:bezoutmod}) dans $\Z/\prod p_i Z[X]$ est identique \`a (\ref{eq:bezoutmod}) dans $\Z[X]$. \item Application~: résoudre de cette manière l'équation de Bézout pour \[ A=(X+1)^4(X-3), \quad B=(X-1)^4(X+2)\] (vous pouvez utiliser sans justifications l'instruction de calcul de r\'esultant, des coefficients de Bézout dans $\Z/p_iZ[X]$ et de reste chinois de votre logiciel). \item \'Ecrire une fonction mettant en oeuvre cet algorithme. \item Que pensez-vous de l'intérêt de cet algorithme par rapport à l'algorithme d'Euclide étendu dans $\Z[X]$? \end{enumerate} \subsection{Exercice (G\'eom\'etrie et r\'esultants).} On cherche une relation alg\'ebrique entre les coordonn\'ees de 4 points $A,B,C,D$ qui traduise le fait que ces 4 points sont cocycliques. Cette condition \'etant invariante par translation, on cherche une relation entre les 6 coordonn\'ees des 3 vecteurs $v_1=(x_1,y_1)$, $v_2=(x_2,y_2)$ et $v_3=(x_3,y_3)$ d'origine $A$ et d'extr\'emit\'e $B$, $C$ et $D$. On peut supposer quitte \`a translater que le centre du cercle est l'origine, on a donc 5 param\`etres~: le rayon du cercle $R$ et les 4 angles des points sur le cercle $\theta_0$, $\theta_1$, $\theta_2$ et $\theta_3$. La relation cherch\'ee va s'obtenir en \'eliminant les 5 param\`etres des expressions des 6 coordonn\'ees en fonction de ces param\`etres. \begin{enumerate} \item Exprimer les 6 coordonn\'ees en fonction de $R$ et $a=\tan(\theta_0/2)$, $b=\tan(\theta_1/2)$, $c=\tan(\theta_2/2)$ et $d=\tan(\theta_3/2)$. On obtient ainsi 6 \'equations, par exemple les deux premi\`eres sont de la forme \[ x_1- F(R,a,b)= 0, \quad y_1- G(R,a,b)= 0 \] o\`u $F$ et $G$ sont deux fractions rationnelles. \item En r\'eduisant au m\^eme d\'enominateur, calculer 6 polyn\^omes, fonction de $x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3,R,a,b,c,d$, qui doivent s'annuler pour que les points soient cocycliques (Vous pouvez utiliser l'instruction \verb|numer| pour obtenir le num\'erateur d'une fraction rationnelle). \item \'Eliminer $b$ des polyn\^omes contenant $x_1$ et $y_1$ et factoriser le polyn\^ome obtenu, faire de m\^eme avec $c$, $x_2$ et $y_2$ et $d$, $x_3$ et $y_3$, en d\'eduire (en supposant que les points sont tous distincts) 3 polyn\^omes en $x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3,R,a$ qui s'annulent. \item \'Eliminer $R$ et $a$, en d\'eduire la relation cherch\'ee. \item V\'erifier que cette relation est \'equivalente \`a la nullit\'e de la partie imaginaire du birapport des affixes $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ des 4 points~: \[ \Im \left( \frac{\alpha-\beta}{\alpha-\gamma} \frac{\delta-\gamma}{\delta-\beta} \right) = 0\] \end{enumerate} \subsection{Décalage entier entre racines.} Soit $P$ un polynôme à coefficients entiers sans racines multiples. On dira que $P$ a la propriété ${\mathcal I}$ si deux des racines de $P$ sont d\'ecal\'ees d'un entier. En d'autres termes, si $r_1,...,r_n$ d\'esignent les racines complexes distinctes de $P$, $P$ poss\`ede la propri\'et\'e ${\mathcal I}$ s'il existe au moins un entier parmi les différences $r_i-r_j$ pour $i \neq j$. \begin{enumerate} \item Soit \[ R(t)=\mbox{resultant}_x(P(x),P(x+t)) \] Montrer que $R$ est à coefficients entiers. Montrer que la propriété ${\mathcal I}$ est équivalente à la propriété ``$R$ possède une racine entière non nulle''. On va maintenant construire un algorithme d\'eterminant les racines enti\`eres du polyn\^ome $R$. \item Apr\`es division de $R$ par une puissance de $t$, on peut supposer que $R$ a un coefficient constant non nul. Apr\`es division de $R$ par son contenu, on peut aussi supposer que le contenu de $R$ est 1. En effectuant ensuite une factorisation square-free de $R$, on peut se ramener au cas o\`u $R$ et $R'$ sont premiers entre eux. Soit $a$ une racine de $R$. \begin{enumerate} \item Donner une majoration de $|a|$ en fonction du coefficient constant de $R$. \item Soit $p$ un nombre premier ne divisant pas le coefficient dominant de $R$ et tel que $R$ et $R'$ soient premiers entre eux modulo $p$. On peut calculer $a$ à partir d'une racine de $R$ modulo $p$ en la ``remontant'' modulo $p^k$ pour $k$ assez grand (algorithme p-adique). Pour quelle valeur de $k$ peut-on reconstruire toutes les racines enti\`eres de $R$~? \item Comparer l'algorithme ci-dessus avec les algorithmes suivants~: la factorisation de $R$ sur $\Z$, la recherche num\'erique des racines complexes de $R$, la recherche des racines enti\`eres de $R$ parmi les diviseurs entiers du coefficient constant de $R$ et leurs oppos\'es. \end{enumerate} \item Une fois les racines entières de $R$ connues, comment peut-on en déduire les facteurs de $P$ dont les racines diffèrent de cet(ces) entier(s)? \item Soit \[P(x)=x^6+9x^5+29x^4+41x^3+37 x^2+59x+31\] Montrer que $P$ a la propriété ${\mathcal I}$. Calculer la ou les racines entières de $R$ et donner la factorisation correspondante de $P$. \item \'Ecrire un programme qui effectue cet algorithme sur un polyn\^ome quelconque. On pourra utiliser la fonction \verb|rationalroot| de Xcas pour d\'eterminer les racines enti\`eres de $R$. \item Application~: on cherche \`a calculer \begin{equation} \label{eq} \sum_{k=1}^n \frac{-9x^2-27x-30}{P(x)} \end{equation} D\'ecomposer cette fraction en \'el\'ements simples (donner le d\'etail des calculs en utilisant la factorisation pr\'ec\'edente et l'identit\'e de Bezout \verb|abcuv| en Xcas). \item Calculer la somme pr\'ec\'edente (\ref{eq}). On pourra remarquer que pour $k$ entier strictement positif, $\frac{1}{f(x+k)}-\frac{1}{f(x)}$ s'exprime comme une somme de diff\'erences $\frac{1}{f(x+j+1)}-\frac{1}{f(x+j)}$. \item \'Ecrire un programme effectuant ce calcul avec une fraction quelconque, lorsque cela est possible. \end{enumerate} \pagebreak \section{Factorisation} On présente ici quelques algorithmes utilisés pour factoriser un polynôme à coefficients entiers. Pour un polynôme en une variable, cele se fait en plusieurs étapes~: on commence par se ramener à un polynôme $P$ dont tous les facteurs sont de multiplicité un, ensuite on factorise $P$ dans $\Z/p\Z$ (par la méthode de Berlekamp ou Cantor-Zassenhauss), puis on remonte à $\Z/p^k Z$ pour $k$ suffisamment grand (en fonction de la borne de Landau sur les facteurs de $P$), et on recombine enfin les facteurs modulaires pour trouver les facteurs de $P$. Lorsque $P$ à plusieurs variables, on utilise une méthode analogue à celle permettant de trouver le pgcd de polynômes à plusieurs variables. %On présentera ensuite une méthode simple permettant %de calculer la factorisation d'un polynôme à coefficients dans une %extension algébrique de $\Z$ (par exemple $\Z[i]$). {\bf Rappel}\\ Le pgcd des coefficients d'un polynôme est appelé contenu de ce polynôme. Un polynôme est dit primitif si son contenu est égal à 1. \subsection{Les facteurs multiples} \'Etant donné un polynôme $P$ à coefficients entiers, on cherche à écrire~: \[ P=\Pi_{k=1}^n P_k^k \] où les $P_k$ n'ont pas de facteurs multiples et sont premiers entre eux deux à deux. Comme on est en caractéristique 0, cela revient à dire que pgcd$(P_k,P_k')=1$ et pgcd$(P_k,P_j)=1$. Bien entendu on va utiliser la dérivée de $P$ dans l'algorithme de recherche des $P_k$~: \[ P'=\sum_{k=1}^n kP_k' P_k^{k-1} \Pi_{j\neq k} P_j^j \] Soit $G$ le pgcd de $P$ et de $P'$. On a~: \[ G=\Pi_{k=1}^n P_k^{k-1}, \] en effet $G$ divise $P$ et $P'$~: \[ W_1=\frac{P}{G}=\Pi_{k=1}^n P_k, \quad Z_1=\frac{P'}{G}=\sum_{k=1}^n kP_k'\Pi_{j\neq k} P_j \] il s'agit de vérifier que $W_1$ et $Z_1$ sont premiers entre eux. Soit $F$ un facteur irréductible du pgcd de $W_1$ et $Z_1$, alors $F$ divise l'un des $P_k$, appelons $P_l$ ce facteur. Comme $F$ divise $\Pi_{j\neq k} P_j$ si $k\neq l$, on en déduit que $F$ divise le dernier terme de la somme de $Z_1$, c'est-à-dire que $F$ divise $lP_l'\Pi_{j\neq l} P_j$ donc $F$ divise $P_l'$ puisque les $P_k$ sont premiers entre eux. Donc $P_l$ et $P_l'$ ont un facteur en commun, ce qui est contraire aux hypothèses. On pose alors~: \[ Y_1=Z_1-W_1'=\sum_{k>1} (k-1)P_k' \Pi_{j\neq k} P_j \] On définit alors par récurrence des suites de polynômes $W_n$, $Y_n$ et $G_m$ par~: \begin{itemize} \item $G_m=\mbox{pgcd}(W_m,Y_m)$ \item $W_{m+1}=W_m/G_m$ et $Y_{m+1}=Y_m/G_m-W_m'$ \end{itemize} On va montrer que $P_m=G_m$. Commençons au rang $n=1$, on voit que $P_1$ divise $Y_1$ (puisqu'il est commun à tous les $\Pi_{j\neq k} P_j$ car $k>1$) et divise $W_1$. Et c'est le seul facteur commun, car tout autre facteur irréductible serait un diviseur d'un $P_l$ pour $l>1$, donc diviserait $(l-1)P_l'\Pi_{j\neq l,j>1} P_j$, donc diviserait $P_l'$. Le raisonnement en un rang quelconque est identique, les polynômes sont donnés par~: \[ G_m=P_m, \ W_{m}=\Pi_{k>=m} P_k, \ Y_{m}=\sum{k>m} (k-m)P_k'\Pi_{j\geq m, j\neq k} P_j \] Lorsqu'on programme cet algorithme, le test d'arrêt est $G_m=1$. {\bf Square-free factorisation (Algorithme de Yun)}\\ Argument: un polynôme primitif $P$ à coefficients entiers (ou dans $\Z[i]$ ou dans un corps de caractéristique nulle).\\ Valeur renvoyée: une liste de polynômes $P_m$ telle que $P=\Pi_{k=1}^n P_k^k$.\\ \begin{enumerate} \item Initialiser la liste résultat à liste vide. \item Initialiser $W$ à $P$ et $Y$ à $P'$. Calculer le pgcd $G$ de $W$ et $Y$ et simplifier $W$ et $Y$ par leur pgcd puis poser $Y=Y-W'$. \item Boucle infinie. \item Calculer le pgcd $G$ de $W$ et $Y$. Si $G=1$, on renvoie la liste résultat sinon ajouter $G$ à la liste résultat. \item Simplifier $W$ et $Y$ par $G$, puis poser $Y=Y-W'$ et passer à l'itération suivante. \end{enumerate} Remarque~: lorsqu'on veut factoriser un polynôme à coefficients modulaires, il faut aussi se ramener à un polynôme sans facteurs multiples mais on ne peut pas utiliser cet algorithme tel quel car la caractéristique du corps n'est pas nulle. {\bf Exemple}~:\\ Factorisation sans facteurs multiples de $P(X)=(X^3-1)(X+2)^2(X^2+3)^3$. En mode interactif avec un logiciel de calcul formel, effectuons l'étape d'initialisation~: \begin{verbatim} W:=normal((x^3-1)*(x+2)^2*(x^2+3)^3); Y:=diff(W,x); G:=gcd(W,Y); x^5+2*x^4+6*x^3+12*x^2+9*x+18 W:=normal(W/G); x^6+2*x^5+3*x^4+5*x^3+-2*x^2+-3*x-6 Y:=normal(Y/G); Y:=normal(Y-diff(W,x)); 5*x^5+8*x^4+3*x^3+-5*x^2+-8*x-3 \end{verbatim} On vérifie bien que $W=(x+2)*(x^3-1)*(x^2+3)$ est le produit des facteurs $P_i$. On entame maintenant la boucle~: \begin{verbatim} G:=gcd(W,Y); x^3-1 -> P1 Y:=normal(Y/G); W:=normal(W/G); Y:=normal(Y-diff(W,x)); 2*x^2+4*x G:=gcd(W,Y); x+2 -> P2 Y:=normal(Y/G); W:=normal(W/G); Y:=normal(Y-diff(W,x)); 0 G:=gcd(W,Y); x^2+3 -> P3 \end{verbatim} puis $W=1$ et $Y=0$ et le prochain $G$ vaut 1, on a bien trouvé tous les facteurs $P_i$. \subsection{Factorisation en une variable} On suppose maintenant qu'on veut factoriser un polynôme $P$ sans facteur multiple (et primitif). En général on commence par simplifier $P$ par ses facteurs linéaires (détectés avec l'algorithme présenté dans le premier article de cette série). On commence par chercher un nombre premier $p$ tel que $P$ dans $\Z/p\Z$ conserve le même degré et reste sans facteur multiple (donc pgcd$(P,P')$=1 dans $\Z/p\Z$), ce qui est toujours possible (il suffit de prendre $p$ plus grand que le plus grand entier apparaissant dans l'algorithme du sous-résultant pour calculer le pgcd de $P$ et $P'$ dans $\Z$). {\bf Convention}\\ Tous les polynômes ayant leurs coefficients dans un corps fini sont supposés avoir comme coefficient dominant 1 lorsque le choix existe (par exemple les facteurs d'un polynôme modulo $p$). \subsubsection{Factorisation dans $\Z/p\Z[X]$} On suppose qu'on a un polynôme $P$ à coefficients dans $\Z/p\Z$ sans facteur multiple. Il s'agit de factoriser $P$ dans $\Z/p\Z[X]$. Il existe essentiellement deux stratégies, l'une commence par factoriser par groupes de facteurs de même degré puis casse les facteurs et l'autre plus directe à base d'algèbre linéaire modulaire (méthode de Berlekamp). Dans les deux cas, on utilise le fait que si $F$ est un polynôme, alors les polynômes à coefficients dans $\Z/p\Z$ modulo $F$ forment un anneau $A$ qui est aussi un espace vectoriel sur $\Z/p\Z$ de dimension le degré de $F$ (si $F$ est irréductible, alors $A$ est un corps). On s'intéresse alors aux propriétés de l'application $\varphi: x \in A \mapsto x^p$. On observe d'abord que cette application est une application {\em linéaire\/}. Cela découle du petit théorème de Fermat pour $\varphi(\lambda x)=\lambda \varphi(x)$ et de la formule de Newton et de la primalité de $p$ pour $\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)$. {\bf Calcul de $\varphi$}\\ Pour mettre en oeuvre ces algorithmes, on commence par déterminer la matrice de l'endomorphisme $\varphi: x \mapsto x^p$ dans $\Z/p\Z[X] \pmod {P(X)}$ muni de sa base canonique $\{ 1, X,...,X^{\mbox{deg}(P)-1} \}$. \subsubsection{Distinct degree factorization} Cette méthode consiste à détecter les groupes de facteurs ayant un degré donné (distinct degree factorization). Si nécessaire, on utilise ensuite un autre algorithme pour casser ces groupes. On utilise ici les propriétés des itérées de l'application linéaire $\varphi$ sur des espaces vectoriels de corps de base $\Z/p\Z$. On va déterminer le produit $P_k$ de tous les facteurs de $P$ de degré $k$ en calculant le pgcd de $P$ et de $X^{(p^k)}-X$ dans $\Z/p\Z[X]$. Pour $k=1$, $X^p-X$ est le produit des $X-k$ pour tout $k\in \Z/p\Z$ par le petit théorème de Fermat ($k^p=k \pmod p$), donc le pgcd de $P$ et de $X^{(p^1)}-X$ dans $\Z/p\Z[X]$ est le produit des facteurs de $P$ de degré 1. Pour $k>1$, le raisonnement se généralise de la manière suivante~: on considère un facteur irréductible $F(X)$ de $P$ de degré $k$ et le corps $K=(\Z/p\Z)[Y] \pmod{F(Y)}$. Le corps $K$ est un corps fini, c'est aussi un espace vectoriel sur $\Z/p\Z$ de dimension $k$, donc $K$ possède $p^k$ éléments et $K^*$ est un groupe multiplicatif à $p^k-1$ éléments, donc tout élément de $K^*$ vérifie l'équation $x^{p^k-1}=1$ donc tout élément de $K$ vérifie $x^{(p^k)}=x$. En particulier pour $x=Y \pmod {F(Y)}$ on trouve que $Y^{(p^k)}=Y \pmod {F(Y)}$ donc $F(X)$ divise $X^{(p^k)}-X$ dans $\Z/p\Z$. Réciproquement, si on se donne un facteur irréductible $F$ qui divise $X^{p^k}-X$, soit $K$ le corps correspondant à $F$, alors le noyau de l'application linéaire \[ x \in K \mapsto x^{p^k}-x \in K \] est $K$ tout entier, car $Y=Y^{p^k} \pmod F$ entraine $(Y^2)^{(p^k)}=Y^{2 p^k}=(Y^{p^k})^2=Y^2 \pmod F$ et de même pour les autres puissances de $Y$ qui, avec $Y^0=1$ également dans le noyau, forment une base de l'espace vectoriel $K$ sur $\Z/p\Z$. Donc le nombre d'éléments de $K$ est inférieur ou égal au degré du polynôme $X^{p^k}-X$ (puisque $X^{(p^k)}-X$ est divisible par $X-x$ pour tout $x\in K$), donc le degré de $F$ est inférieur ou égal à $k$. Donc $P_k$ est égal au pgcd de $P/\Pi_{j ok P est sans facteur multiple P1:=gcd(P,(x^5-x)mod 5); (1 mod 5)*x -2 mod 5 -> P1 P:=normal(P/P1); P2:=gcd(P,(x^(5^2)-x)mod 5); 1 mod 5 -> pas de facteur de degre 2 P3:=gcd(P,(x^(5^3)-x)mod 5); (x^6+2*x^5+x^2+x+2) mod 5 \end{verbatim} Donc $P$ admet 3 facteurs dans $\Z/5\Z$: un de degré 1 ($x-2$) et deux de degré 3 (dont le produit est $x^6+2x^5+x^2+x+2$). Le même calcul dans $\Z/7\Z$ donne \begin{verbatim} P:=normal((x^3+x+1)*(x^4-x+1) mod 7); gcd(P,diff(P,x)); 1 mod 7 -> ok P est sans facteur multiple P1:=gcd(P,(x^7-x)mod 7); 1 mod 7 P2:=gcd(P,(x^(7^2)-x)mod 7); 1 mod 7 P3:=gcd(P,(x^(7^3)-x)mod 7); (x^3+x+1) mod 7 \end{verbatim} donc $P$ possède un facteur de degré 3 modulo 7, donc le facteur restant de degré 4 est forcément irréductible. On remarque sur cet exemple que 7 est plus intéressant que 5, car la factorisation modulo 7 donne moins de facteurs (à recombiner pour trouver la factorisation dans $\Z$) et la factorisation est complète modulo 7 alors que modulo 5 il faut casser le facteur de degré 6 en deux facteurs de degré 3. La plupart des algorithmes de factorisation effectuent la factorisation en degré distinct modulo plusieurs entiers (ce qui peut de plus être parallélisé) et choisissent le meilleur. \subsubsection{La méthode de Cantor-Zassenhaus} Cet algorithme sert à casser des groupes de facteurs de même degré, c'est une méthode probabiliste. On suppose donc qu'on a un produit $P$ d'au moins deux facteurs irréductibles de degré $d$ à casser. Soit $D$ l'un des polynômes irréductibles de degré $d$ à coefficients dans $\Z/p\Z$, et soit $K=\Z/p\Z[Y] \pmod {D(Y)}$, on a~: \[X^{p^d}-X=\Pi_{\alpha \in K }(X-\alpha) \] puisque le corps $K$ possède $p^d$ éléments tous racines de l'équation $X^{p^d}=X$. On considère un polynôme $T$ non constant, et le polynôme $T^{p^d}-T$. En remplaçant $X$ par $T$ ci-dessus, on en déduit~: \[T^{p^d}-T=\Pi_{\alpha \in K }(T-\alpha) \] Donc pour tout élément $\beta \in K=\Z/p\Z[Y] \pmod {D(Y)}$, on a \[(T^{p^d}-T)(\beta)=\Pi_{\alpha \in K }(T(\beta)-\alpha)=0\] Donc $T^{p^d}-T$ est divisible par $X^{p^d}-X$ (puisque toutes les racines du second sont racines du premier), donc est divisible par tout polynôme irréductible de degré inférieur ou égal à $d$ à coefficients dans $Z/p\Z$. Comme \begin{equation} \label{eq:cantor} T^{p^d}-T=T(T^{\frac{p^d-1}{2}}-1)(T^{\frac{p^d+1}{2}}-1) \end{equation} et que ces trois facteurs sont premiers entre eux, on en déduit que tout polynôme irréductible de degré inférieur ou égal à $d$ à coefficients dans $Z/p\Z$ divise l'un des trois facteurs ci-dessus. Pour casser $P$, l'idée consiste alors à calculer le pgcd de $P$ et $T^{\frac{p^d-1}{2}}-1$ pour un polynôme pris au hasard. On sait que $P$ divise le produit des 3 termes de (\ref{eq:cantor}), et on espère que les facteurs irréductibles de $P$ ne diviseront pas tous le même terme. On va montrer que si $T$ est un polynôme de degré $\leq 2d-1$ choisi au hasard, la probabilité que deux facteurs irréductibles de $P$ ne divisent pas $T^{p^d}-T$ est proche de 0.5. Soient donc $A$ et $B$ deux facteurs irréductibles de $P$ de degré $d$. D'après l'identité de Bézout, tout polynôme $T$ de degré $\leq 2d-1$ s'écrit de manière unique sous la forme~: \begin{equation} \label{eq:bezout2} T = A U + B V \end{equation} avec degre($U \leq d-1$) et degre($V \leq d-1$) et réciproquement une combinaison linéaire de cette forme est un polynôme de degré $\leq 2d-1$. Choisir $T$ au hasard revient donc à choisir un couple $(U,V)$ de polynômes à coefficients dans $\Z/p\Z$ au hasard et de manière indépendante. D'autre part, $A$ et $B$ étant de degré $d$, on sait que dans $K=\Z/p\Z[Y] \pmod{D(Y)}$ ces polynômes admettent $d$ racines. Soit donc $\alpha$ [respectivement $\beta$] une racine de $A$ [resp. $B$] dans $K$. Alors $A$ divise $T^{\frac{p^d-1}{2}}-1$ si et seulement si $T(\alpha )^{\frac{p^d-1}{2}}=1$ (et de même pour $B$ et $\beta$) car $T^{\frac{p^d-1}{2}}-1$ a ses coefficients dans $\Z/p\Z$ (et non dans $K$). En appliquant (\ref{eq:bezout2}), $A$ divise $T^{\frac{p^d-1}{2}}-1$ si et seulement si~: \[ B(\alpha )^{\frac{p^d-1}{2}}V(\alpha )^{\frac{p^d-1}{2}}=1 \] Le premier terme de cette égalité est une constante égale à 1 ou -1, le second a une probabilité proche de 0.5 (égale à $\frac{p^d-1}{2p^d}$) de valoir 1 ou -1 car, comme $A$ est irréductible, $V(\alpha)$ décrit $K$ lorsque $V$ décrit les polynômes de degré $\leq d-1$. De même, $B$ a une probabilité proche de 0.5 de diviser $T^{\frac{p^d-1}{2}}-1$, et ces 2 probabilités sont indépendantes puisque $U$ et $V$ le sont, donc la probabilité que soit $A$ soit $B$ divise divise $T^{\frac{p^d-1}{2}}-1$ est proche de 0.5. {\bf Algorithme de Cantor-Zassenhaus}\\ Argument: Un polynôme $P$ à coefficients dans $\Z/p\Z$ de degré $k$ dont tous les facteurs irréductibles sont de degré $d$.\\ Valeur renvoyée: la liste des facteurs irréductibles de $P$.\\ \begin{itemize} \item Si $k=d$ renvoyer une liste contenant $P$. \item Déterminer un polynôme $T$ aléatoire de degré inférieur ou égal à $2d-1$ et de coefficient dominant 1. Calculer le pgcd $D$ de $P$ et de $T^{(p^d-1)/2}-1$. Si le degré de $T$ est égal à 0 ou à $k$ recommencer cette étape. \item Appeler récursivement cet algorithme avec $T$ et $P/T$ et renvoyer la liste réunion des deux listes renvoyées. \end{itemize} {\bf Exemple}~:\\ Cassons le polynôme de degré 6 obtenu dans l'exemple précédent (modulo 5). Donc $P:=(x^6+2*x^5+x^2+x+2) \pmod 5$ et $d=3$, $2d-1=5$, $(p^{d}-1)/2=62$. On choisit au hasard un polynôme de degré inférieur ou égal à 5, par exemple $T=x^4-x^3+x+1$, puis on calcule $T^{62}$ modulo $P$ ce qui donne $(x^5+x^3+x^2+1) \pmod 5$ puis le pgcd de $T^{62}-1$ et de $P$ qui vaut $x^3+x+1 \pmod 5$, on a donc cassé $P$ en deux. En prenant $T:=x^4-x^3+x+2$, on trouve $T^{62}=1 \pmod P$, donc ce $T$ n'aurait pas permis de casser $P$. \subsubsection{La méthode de Berlekamp} Cette méthode permet de factoriser un polynôme sans facteurs multiples, elle peut aussi servir à casser des groupes de facteurs de même degré. Ici on travaille dans l'anneau des polynômes à coefficients dans $\Z/p\Z$ modulo le polynôme $P$ et on s'intéresse au noyau de $\varphi-Id$ (où $\varphi: x \mapsto x^p$). On suppose que $P=\Pi_{j=1}^n F_j$ où les $F_j$ sont irréductibles et premiers entre eux. On va montrer que le noyau de $\varphi-Id$ est composé des polynômes $Q$ tels que $Q \pmod {F_j}$ est constant (dans $\Z/p\Z$) pour tout $j$. Si $Q \pmod {F_j}=s_j \in \Z/p\Z$, alors $Q^p \pmod {F_j}=s_j^p=s_j$, donc par le théorème des restes chinois, $Q=Q^p \pmod P$. Réciproquement, si $Q^p-Q=0 \pmod P$, en utilisant la factorisation~: \[ X^p-X= \Pi_{j \in \Z/p\Z } (X-j)\] on en tire $P$ divise $Q^p-Q=\Pi_{j \in \Z/p\Z } (Q(X)-j)$, donc $F_j$ divise l'un des facteurs et $Q(X) \pmod {F_j} \in \Z/p\Z$. Le noyau de $\varphi -Id$ est donc un espace vectoriel de dimension $n$, le nombre de facteurs irréductibles de $P$ et possède donc $p^n$ éléments (en effet pour tout $n$ uplet de $s_j$, on peut construire un polynôme $Q$ du noyau par le théorème des restes chinois en posant $Q\pmod {F_j}=s_j$). L'intérêt du noyau de $\varphi-Id$ est qu'on peut le calculer sans connaitre les $F_j$. Une fois ce calcul fait, voyons comment on peut remonter aux $F_j$. On connait déjà la dimension du noyau donc le nombre de facteurs irréductibles. De plus, on remarque que le polynome constant est un élément du noyau qu'on appellera $T_1$, on note alors $T_2,...,T_n$ les autres polynômes du noyau. Ensuite, on calcule le pgcd de $P$ avec $T_2-jT_1$ pour $j\in \Z/p\Z$. On sait que $T_2=s_{2,j} \pmod {F_j}$, donc ce pgcd est égal au produit des facteurs $F_j$ tels que $s_{2,j}=jT_1$. L'un au moins des pgcd calculés est non trivial car sinon $T_2=T_1 \pmod{F_j}$ pour tout $j$ donc $T_2=T_1$. Si on a de la chance tous les $s_{2,j}$ seront distincts et les pgcd non triviaux de $P$ avec $T_2-jT_1$ donneront les $F_k$. Sinon il faudra continuer avec $T_3-jT_1$ etc. {\bf Exemple}~:\\ Revenons sur la factorisation de $P:=(x^6+2x^5+x^2+x+2) \pmod 5$. Commençons par calculer la matrice de $\varphi$ dans la base $\{ 1,x,x^2,...,x^5\}$. On a évidemment $\varphi(1)=1$ et $\varphi(x)=x^5$, puis $\varphi(x^2)=x^{10}=x^5+x^4-2x^3+x \pmod P$, puis en multipliant par $x^5$ et en divisant par $P$, $\varphi(x^3)=-x^4+2x^3$, de la même manière on obtient $\varphi(x^4)=-x^5+2x^4+x^3-x^2-2$ et $\varphi(x^5)=x^3+x^2-x$. La matrice de $\varphi$ est donc~: \[ M=\left( \begin{array}{cccccc} 1& 0& 0 &0 &-2&0\\ 0& 0& 1 &0 &0 &-1\\ 0& 0& 0 &0 &-1&1\\ 0& 0& -2&2 & 1&1\\ 0& 0& 1 &-1& 2&0\\ 0& 1& 1 &0 &-1&0\\ \end{array} \right)\] On calcule ensuite le noyau de $\varphi-Id$ (comme matrice à coefficients dans $\Z/5\Z$), on obtient une base du noyau en prenant par exemple les vecteurs $(-1,0,0,0,0,0)$ et $(0,0,-1,-1,0,-1)$. Donc le polynôme $P$ possède 2 facteurs dans $\Z/5\Z[X]$. Pour déterminer les facteurs, on calcule le pgcd de $P$ avec le polynôme $T_2-s$ où $T_2=-x^5-x^3-x^2$ correspond au 2ème vecteur de la base du noyau. On obtient pour $s=0$ un pcgd non trivial ($x^3+x+1$), ce qui permet de calculer les 2 facteurs. Si on avait essayé d'autres valeurs de $s$, pour $s=1$ on obtient comme pgcd 1, pour $s=2$ on trouve le 2ème facteur $x^3+2x^2-x+2$. \subsubsection{Remontée (Hensel)} Il s'agit de passer d'une factorisation de $P$ dans $\Z/p\Z[X]$ à une factorisation de $P$ dans $\Z/p^k Z[X]$, la méthode est analogue à celle de l'algorithme EZGCD de calcul de pgcd de polynômes. On suppose donc que \[ P=\Pi_{j=1}^n P_j \pmod p \] où les $P_j$ sont premiers entre eux deux à deux dans $\Z/p\Z$. Il s'agit de trouver des polynômes $P_{j,k}=P_j \pmod p$ tels que \[ P=\Pi_{j=1}^n P_{j,k} \pmod {p^k} \] Commençons par le cas $k=2$. On pose \[ P_{j,2}=P_j+pQ_j=P_j \pmod p \] On a alors~: \begin{eqnarray*} P&=&\Pi_{j=1}^n P_{j,2} \pmod {p^2} =\Pi_{j=1}^n (P_j+pQ_j) \pmod {p^2}\\ &=&\Pi_{j=1}^n P_j + p \sum_{j=1}^n Q_j \Pi_{k\neq j} P_k \pmod {p^2} \end{eqnarray*} Donc~: \[ \sum_{j=1}^n Q_j \Pi_{k\neq j} P_k= \frac{P-\Pi_{j=1}^n P_j}{p} \pmod p \] On est ramené à résoudre une identité de Bézout généralisée. On montrera dans l'appendice le~: \begin{thm} (Identité de Bézout généralisée) Soit $P_1$, ..., $P_n$ ($n\geq 2$) des polynômes premiers entre eux deux à deux modulo $p$. Alors pour tout polynôme $Q$, il existe des polynômes $Q_1$, ..., $Q_n$ tels que~: \[ \sum_{j=1}^n Q_j \Pi_{k\neq j} P_k=Q \pmod p \] \end{thm} On a donc réussi à remonter l'égalité $P=\Pi P_j \pmod p$ à $P=\Pi P_{j,2} \pmod {p^2}$. Le passage de $P=\Pi P_{j,l} \pmod {p^l}$ à $P=\Pi P_{j,l+1} \pmod {p^{l+1}}$ est identique, on a~: \[ P_{j,l+1}=P_{j,l}+p^{l}Q_j \] où les $Q_j$ sont les solutions de l'identité de Bézout généralisée avec~: \[ Q=\frac{P-\Pi_{j=1}^n P_{j,l}}{p^l}\] Lorsqu'on programme cet algorithme (cf. l'appendice), on calcule une fois pour toutes les solutions de l'identité de Bézout pour $Q=1$, et on multiplie par $Q$. {\bf Algorithme de remontée de Hensel linéaire}\\ Arguments: Un polynôme $P$ à coefficients entiers, la liste $L=\{ P_j \}$ de ses facteurs dans $\Z/p\Z[X]$\\ Valeur renvoyée: la liste des facteurs de $P$ dans $\Z/p^l \Z[X]$\\ On calcule la borne de Landau-Mignotte\footnote{Rappelons qu'il s'agit d'une majoration sur la valeur absolue des coefficients des facteurs de $P$} pour les facteurs de $P$, on multiplie par le coefficient dominant de $P$ et on calcule $l$ tel que $p^l$ est strictement plus grand que deux fois cette quantité. On calcule aussi les polynômes $Q_j$ de l'identité de Bézout généralisée pour $Q=1$\\ Puis on fait une boucle pour $k$ variant de 2 à $l$: \begin{itemize} \item On détermine $P-\Pi_j P_j \pmod {p^{k}}$, on divise par $p^{k-1}$ et on place le résultat dans $Q$ \item On multiplie les polynômes $Q_j$ de l'identité de Bézout généralisée (correspondants au polynôme 1) par $Q$ et on détermine le reste de la division euclidienne de $Q Q_j$ par $P_j$, on multiplie par $p^{k-1}$ et on ajoute le résultat à $P_j$. \end{itemize} Il existe une version quadratique de cette méthode. On passe alors de $P=\Pi P_{j,l} \pmod {p^l}$ à $P=\Pi P_{j,2l} \pmod {p^{2l}}$. Pour cela, il faut trouver les polynômes $Q_j$ solutions de l'équation~: \[ \sum_{j=1}^n Q_j \Pi_{k\neq j} P_{k,l}=Q \pmod {p^l}\] Pour $l=1$, c'est l'identité de Bézout généralisée, mais ce n'est plus le cas pour $l>1$. En fait, on résout cette égalité en remontant l'identité de Bézout quadratiquement, plus précisément pour trouver les $S_j$ solutions de \[ \sum_{j=1}^n S_j \Pi_{k\neq j} P_{k,2l}=Q \pmod {p^{2l}}\] on pose $S_j=Q_j+p^l R_j$, il s'agit donc de trouver les $R_j$ solutions de \[ \sum_{j=1}^n (Q_j+p^l R_j) \Pi_{k\neq j} P_{k,2l}=Q \pmod {p^{2l}}\] soit~: \[ \sum_{j=1}^n R_j \Pi_{k\neq j} P_{k,l} =\frac{Q-\sum_{j=1}^n Q_j \Pi_{k\neq j} P_{k,l} }{p^l} \pmod {p^l}\] on en déduit les $R_j$. {\bf Algorithme de remontée de Hensel quadratique}\\ Arguments et valeur renvoyée identiques à l'algorithme de remontée de Hensel linéaire ci-dessus.\\ On commence comme dans le cas linéaire par calculer les coefficients de l'identité de Bézout généralisée pour $Q=1$ et la valeur de $l$ telle que $p^{2^l}$ soit supérieur à deux fois la borne de Landau des facteurs de $P$ fois le coefficient dominant de $P$.\\ On fait une boucle sur $k$ variant de 1 à $l$: \begin{itemize} \item On calcule $P-\Pi_j P_j \pmod {p^{2^k}}$, on divise par $p^{2^{k-1}}$ et on place le résultat dans $Q$ \item On multiplie par $Q$ les polynômes $Q_j$ de l'identité de Bézout généralisée (avec comme second membre le polynôme 1), on calcule le reste euclidien du résultat par $P_j$ (modulo $p^{2^{k-1}}$), on multiplie par $p^{2^{k-1}}$ et on ajoute à $P_j$ (avec les notations précédentes, on passe ainsi des $P_{j,2^{k-1}}$ aux $P_{j,2^k}$) \item Si $k=l$ on renvoie la liste des $P_j$ \item On calcule $1-\sum_j Q_j \Pi_{k\neq j} P_k \pmod {p^{2^k}}$, on divise par $p^{2^{k-1}}$ et on place le résultat dans $Q$ \item On multiplie par $Q$ les polynômes $Q_j$ de l'identité de Bézout, généralisée et on calcule le reste euclidien du résultat par $P_j$ (modulo $p^{2^{k-1}}$), on multiplie par $p^{2^{k-1}}$ et on ajoute à $Q_j$ (ce qui ajuste les polynômes $Q_j$ qui vérifient maintenant l'identité de Bézout modulo $p^{2^k}$) \end{itemize} {\bf Remarque}\\ Pendant l'étape de remontée de Hensel, une optimisation classique consiste à tester la divisibilité dans $\Z$ du polynôme $P$ par le facteur lifté $P_j$ (\footnote{Plus exactement, on multiplie $P_j$ par le coefficient dominant de $P$ modulo $p^l$}) lorsqu'il n'a pas subi de modification pendant 2 étapes successives (autrement dit lorsque $P_j \pmod {p^l}=P_j \pmod {p^{l+1}}$ (ou $\pmod {p^{2l}}$ pour le lift quadratique). Si la division est exacte, on obtient un facteur irréductible de $P$ dans $\Z$. On recalcule alors la borne de Landau de $P/P_j$ pour diminuer le nombre d'itérations à effectuer dans cette étape. {\bf Exemple}~:\\ Reprenons le polynôme $P(X)=(X^3+X+1)(X^4-X+1)$ et supposons qu'on ait choisi de le factoriser modulo 5 puis de remonter. On a 3 facteurs $a=x-2$, $b=x^3+x+1$ et $c=x^3+2x^2-x+2$. Si on développe $P$, on trouve 6 coefficients non nuls de valeur absolue 1, on peut calculer la borne de Landau-Mignotte correspondante sur les coefficients d'un facteur entier~: $2^{5} (\sqrt(6)+1)$ soit un peu plus de 110, il suffit donc d'effectuer 3 étapes de remontée linéaire ($5^4=625>111/2$). On commence par trouver 3 polynômes $A$, $B$, $C$ tels que \begin{eqnarray*} A(x^3+x+1)(x^3+2x^2-x+2)+B(x-2)(x^3+2x^2-x+2)+& & \\ +C(x-2)(x^3+x+1)&=&1 \pmod 5 \end{eqnarray*} On commence par résoudre $D(x^3+2x^2-x+2)+C(x-2)(x^3+x+1)=1\pmod 5$, on trouve $C=2x^2-2$ et $D=-2x^3-2x^2+2x+1$. Puis on calcule $A$ et $B$ en résolvant $E(x^3+x+1)+F(x-2)=1$ qui donne $E=1$ et $F=-x^2-2x$ qu'on multiplie par $D$, donc $A=D$ et $B=2x^5+x^4+2x^3-2x$. Ce qui donne l'identité de Bézout généralisée. Passons aux calculs de remontée. On a $abc=x^7-4x^5+5x^4+-9x^3-x^2-4$ et $P=x^7+x^5+x^3-x^2+1$, donc $Q=(P-abc)/5=x^5-x^4+2x^3+1$. On pose alors \begin{eqnarray*} a_1&=&a+5 \ (QA \pmod a)\pmod{25}, \\ b_1&=&b+5 \ (QB \pmod b) \pmod{25}, \\ c_1&=&c+5 \ (QC \pmod c) \pmod{25} \end{eqnarray*} donc~: \[ a_1= a+5 \times (-2), \quad b_1=b+5 \times 0, \quad c_1=c+5 \times (2x^2-x) \] En principe, on continue encore 2 itérations de la même manière. La 2ème itération donne~: \[ Q=(P-a_1 b_1 c_1)/25= 6x^5-3x^4+7x^3+3x^2-2x+1\] \begin{eqnarray*} a_2&=&a_1+25 \ (QA \pmod a) \pmod{125}, \\ b_2&=&b_1+25 \ (QB \pmod b) \pmod{125},\\ c_2&=&c_1+25 \ (QC \pmod c) \pmod{125} \end{eqnarray*} donc~: \[ a_2=a_1 +25(-1)=x-37, \ b_2=b_1=b, \ c_2=c_1+25(x^2+1) =x^3+37x^2-6x+27 \] On peut aussi observer que $b_1=b$, ceci laisse à penser que $b$ est un facteur de $P$ dans $\Z$ ce qu'on vérifie en effectuant la division euclidienne de $P$ par $b=x^3+x+1$. Comme elle tombe juste, on est ramené à factoriser $x^4-x+1$ et donc à remonter la factorisation de $ac$. La borne de Landau diminue à $8(\sqrt{3}+1)$ puisque le degré est 4 et la norme euclidienne du polynôme est $\sqrt{3}$. Il suffit alors de remonter dans $\Z/125 \Z$ au lieu de $\Z/625 \Z$ (on gagne ainsi une itération). \subsubsection{Combinaison de facteurs} Lorsqu'on a les facteurs de $P$ dans $\Z/p^k\Z[X]$ avec $p^k$ plus grand que le produit du coefficient dominant de $P$ multiplié par la borne de Landau-Mignotte sur les coefficients de $P$, on commence par tester la divisibilité dans $\Z[X]$ de $P$ par chaque facteur trouvé multiplié par le coefficient dominant de $P$. Si la division est exacte, on a un facteur irréductible, mais si elle n'est pas exacte il peut se produire qu'un facteur irréductible de $P$ dans $\Z[X]$ soit un produit de deux, voir plusieurs, facteurs modulaires. Il faut donc tester la divisibilité de $P$ dans $\Z[X]$ par toutes les combinaisons possibles de produits de facteurs modulaires (toujours multiplié par le coefficient dominant de $P$). Cette étape peut être exponentiellement longue si le nombre de facteurs modulaires est grand et si par exemple $P$ est irréductible, bien que les cas soient très rares. {\bf Algorithme de recombinaison}\\ Arguments: un polynôme à coefficients entiers, primitif et sans facteur multiple $P$ de coefficient dominant $p_n$, la liste $L$ des facteurs de $P$ dans $\Z/p^l Z[X]$ pour $l$ assez grand et $p^l$\\ Valeur de retour: la liste $F$ des facteurs de $P$ dans $\Z$.\\ Initialiser $F$ à vide, initialiser le nombre de facteurs à combine $c$ à 1, entamer une boucle infinie~: \begin{itemize} \item Si $c$ est strictement supérieur au cardinal de $L$ divisé par 2, ajouter le quotient de $P$ par le produit des facteurs de $F$ à $F$ et retourner $F$ \item Initialiser un vecteur $v=(v_1,...,v_c)$ à $c$ composantes à la valeur $(1,...,c$) \item Boucle indéfinie intérieure~: \begin{enumerate} \item Faire le produit des facteurs de $F$ d'indice $v$, multiplier par $p_n$ dans $\Z/p^l Z$, écrire le facteur en représentation symétrique, le rendre primitif et tester si c'est un facteur de $P$ dans $\Z$. \item Si on a trouvé un facteur, le rajouter à la liste $F$ et supprimer les indices de $v$ de la liste $L$, terminer cette boucle intérieure. \item Sinon, incrémenter $v$ de la manière suivante:\\ On fait une boucle sur un index $m$ initialisé à la taille de $v$, diminuant de 1 à chaque itération: on ajoute 1 à l'élement de $v$ d'indice $m$, si l'élément obtenu est inférieur ou égal au cardinal de $L+m-n$, on arrête cette boucle, sinon on passe à l'itération suivante. Si $m=0$ à la fin de la boucle, $v$ ne peut pas être incrémenté. \item Si $v$ ne peut être incrémenté, on incrémente $c$ et on termine la boucle intérieure. \item Sinon on fait une boucle à nouveau sur $m$ en partant de la valeur actuelle incrémentée de 1, et tant que $m\leq n$ on pose $v_m=v_{m-1}+1$. Puis on passe à l'itération suivante de la boucle intérieure. \end{enumerate} \end{itemize} Il existe différentes méthodes qui améliorent la complexité de cette étape~: \begin{itemize} \item La recherche des degré possibles de facteurs fondée sur la factorisation en degrés distincts pour différents nombres premiers permet d'éviter des tests de division si une combinaison de facteurs est d'un degré exclu par la factorisation pour d'autres nombres premiers. \item Le test de divisibilité du coefficient dominant ou du coefficient constant permet aussi d'éviter des divisions complètes de polynômes. \end{itemize} Mais ces astuces n'évitent pas l'énumération de toutes les combinaisons possibles de facteurs et donc la complexité exponentielle. Lorsque les combinaisons d'un petit nombre de facteurs (par exemple 3) échouent, les systèmes récents utilisent l'algorithme knapsack de Van Hoeij basé sur l'algorithme LLL (recherche de base d'un réseau ayant des vecteurs de petite norme) qui permet d'eliminer complètement cette complexité exponentielle. {\bf Exemple}~:\\ Toujours le même exemple, il nous restait deux facteurs dans $\Z/125 \Z$, le facteur $x^3+x+1$ ayant été détecté comme un facteur de $P=x^7+x^5+x^3-x^2+1$ dans $\Z$. On teste chacun des facteurs $a_2=x-37$ et $c_2=x^3+37x^2-6*x+27$ séparément, sans succès. On les multiplie alors modulo 125, ce qui donne $x^4-x+1$ en représentation symétrique qui est bien un facteur de $P$ (donc un facteur irréductible). \subsection{Factorisation à plusieurs variables} Comme pour le PGCD en plusieurs variables, on se ramène d'abord en une variable, en général on évalue toutes les variables sauf celle correspondant au degré partiel le plus faible. On factorise ensuite en une variable puis on remonte. A chaque étape de remontée, il peut être à nouveau nécessaire de combiner plusieurs facteurs. Différentes stratégies existent, comme pour le PGCD~: factorisarion heuristique (avec reconstruction $z$-adique), remontée variable par variable ou toutes les variables en même temps comme dans EZGCD. On va présenter ici plus en détails l'algorithme de factorisation heuristique. Soit $P$ un polynôme en $X_1,...,X_n$ à coefficients entiers avec $n>1$, on choisit une des variables par exemple $X_n$, qu'on notera $X$ dans la suite. On considère $P$ comme un polynôme en $X_1,...,X_{n-1}$ à coefficients dans $\Z[X]$. On suppose que $P$ est primitif (quitte à extraire son contenu qui est dans $\Z[X]$). On calcule ensuite $P(z)$ pour un entier $z$ tel que\footnote{Ici $|P|$ désigne le plus grand coefficient de $P$ en valeur absolue} $|z| \geq 2|P|+2$. On factorise $P(z)$ dans $\Z[X_1,...,X_{n-1}]$~: \begin{equation} \label{eq:heu1} P(z)(X_1,...,X_{n-1})=c(z) \Pi_{j=1}^k p_j(X_1,...,X_{n-1}) \end{equation} où $c$ est le contenu du polynôme $P(z)$ (comme polynôme en $n-1$ variables à coefficients entiers). Il s'agit de reconstruire les facteurs de $P$ à partir des $p_j$ et de $c$. Deux problèmes se posent alors, celui de la recombinaison possible de plusieurs facteurs $p_j$ pour obtenir un facteur irréductible de $P$, et l'existence d'un facteur entier du contenu $c$ à combiner avec un ou plusieurs $p_j$ pour obtenir ce facteur irréductible. Plus précisément, si $P_k$ est un facteur irréductible de $P$, on a~: \begin{equation} \label{eq:heu2} P_k(z)=d(z) \Pi_{\mbox{certains } j} p_j, \quad \mbox{où } d(z) \mbox{ divise } c(z) \end{equation} On a le~: \begin{thm} Soit $P(X_1,...,X_{n-1},X)$ un polynôme à coefficients entiers ayant au moins 2 variables. On suppose que $P$ est primitif vu comme polynôme en les variables $X_1,...,X_{n-1}$ à coefficients dans $Z[X]$. Il existe une majoration $C$ du contenu $|c(z)|$ de $P$ évalué en $X=z$ (plus précisément on peut trouver un entier $C$ tel que $c(z)$ divise $C$).\\ Il existe un nombre fini de $z$ tels que l'un des facteurs irréductibles $P_k$ de $P$ évalué en $X=z$ soit réductible (c'est-à-dire tels que (\ref{eq:heu2}) admette plusieurs facteurs $p_j$ distincts) \end{thm} {\bf Preuve}\\ Pour déterminer $C$, on remarque que les facteurs du contenu de $P(z)$ sont des facteurs communs des coefficients de $P$ évalués en $z$ vu comme polynôme en $X_1,...,X_{n-1}$ à coefficients dans $\Z[X]$. Donc $c(z)$ divise le générateur de l'idéal engendré par ces coefficients (ce générateur est un polynôme de $\Z[X]$ qui est constant car on a supposé $P$ primitif), on peut aussi dire que deux au moins des coefficients dans $\Z[X]$ de $P$ sont premiers entre eux, alors $c(z)$ divise le coefficient de l'identité de Bézout de ces 2 coefficients vu comme polynômes en $X$. Considérons maintenant un facteur irréductible $P_k$ de $P$ de degré $d$ par rapport à $X$. Pour $X_1,...,X_{n-1}$ fixés, on factorise $P_k$ sur $\C$~: \[ P_k(X)=p_k \Pi_{j=1}^d (X-z_j) \] On va maintenant se restreindre à un domaine des $X_1,...,X_{n-1}$ sur lequel les $z_j$ ont une dépendance analytique par rapport à $X_1,...,X_{n-1}$. Pour cela on veut appliquer le théorème des fonctions implicites pour déterminer $z_j$ au voisinage d'une solution donnée. On calcule donc la dérivée $P'_k$ de $P_k$ par rapport à $X$. On sait que $P$ n'a pas de facteurs multiples, donc $P_k$ et $P_k'$ sont premiers entre eux, donc d'après l'identité de Bézout, il existe un polynôme non nul $D$ dépendant de $X_1,...,X_{n-1}$ et deux polynômes $U$ et $V$ dépendant de $X_1,...,X_{n-1},X$ tels que~: \[ U P_k + V P_k' = D \] Si $D(X_1,...,X_{n-1})$ ne s'annule pas, on va pouvoir appliquer le théorème des fonctions implicites. On se fixe $x_1,..,x_{n-1}$, on calcule dans $\C$ les racines $z_j$ du polynôme $P(x_1,..,x_{n-1},X)$ pour une solution $z_j$ telle que $P(x_1,..,x_{n-1},z_j)=0$, comme $D$ est non nul, on a $P'(x_1,...,x_{n-1},z_j)\neq 0$, donc on peut écrire au voisinage de $(x_1,..,x_{n-1})$ \[ z_j=z_j(X_1,...,X_{n-1}), \quad P(X_1,...,X_{n-1},z_j)=0\] avec des fonctions $z_j$ analytiques. Si $D$ est constant, $D$ ne s'annule pas, sinon quitte à permuter les variables, on peut supposer que le degré de $D$ par rapport à $X_1$ est non nul. On peut alors se restreindre à une zone $X_1 >> X_2 >> .. >> X_{n-1} >> 1$ où $D$ sera non nul ce qui permet de suivre analytiquement les $z_j$. Supposons maintenant qu'il existe un nombre infini de $z$ tels $P_k(z)$ soit réductible. Alors il existe un ensemble infini $Z$ de ces valeurs de $z$ pour lesquels l'un des facteurs à coefficients entiers $f_j$ de $P_k(z)$ correspond à un même sous-ensemble $R$ des racines $z_j$ de $P_k$ et à un même contenu $c$ (puisqu'il y a un nombre fini de combinaisons possibles des racines en facteur et un nombre fini de diviseurs possibles du contenu de $P_k$). Pour $z \in Z$, on a~: \[ f_j(X_1,...,X_n,z)=c \Pi_{l \in R} (z-z_j), \quad f_j \in \Z[X_1,...,X_{n-1}] \] Soit $L(X)$ le polynôme obtenu par interpolation de Lagrange en cardinal$(R)+1$ points $z$ de $Z$, égal à $f_j$ en $X=z$. Pour des raisons de degré, on a~: \[ L=c \Pi_{l \in R} (X-z_j) \] donc $L$ est un facteur de $P$. De plus $L$ est un polynôme en $X_1,...,X_{n-1},X$ à coefficients rationnels (par construction). Ceci vient en contradiction avec l'hypothèse $P_k$ irréductible, car on a construit un facteur de $P_k$ à coefficients rationnels $L$ de degré strictement inférieur. {\bf Corollaire}\\ Pour $z$ assez grand, la reconstruction $z$-adique de $c(z) p_j(z)$ est un polynôme dont la partie primitive est un facteur irréductible de $P$. {\bf Preuve du corollaire}\\ On prend $z$ assez grand pour que tous les facteurs irréductibles de $P$ évalués en $z$ aient un seul facteur polynomial (i.e. soient de la forme $d(z)p_j(z)$). Quitte à augmenter $z$, on peut supposer que $|z|> 2 C L $ où $C$ est la majoration de $|c(z)|$ et $L$ est la borne de Landau sur les facteurs de $P$. Alors la reconstruction $z$-adique de $c(z)p_j(z)$ est $c(z)/d(z)P_j$, donc sa partie primitive est un facteur irréductible de $P$. {\bf Algorithme de factorisation heuristique à plusieurs variables}\\ Argument: un polynôme $P$ primitif en au moins 2 variables.\\ Valeur renvoyée: les facteurs irréductibles de $P$\\ Choisir la variable $X$ par rapport à laquelle $P$ est de plus bas degré puis factoriser le contenu de $P$ vu comme polynôme à coefficients dans $\Z[X]$. Initialiser un entier $z$ à $2|P|+2$ (où $|P|$ est le plus grand coefficient entier de $P$ en valeur absolue) et une liste $L$ à la factorisation de du contenu de $P$.\\ Boucle indéfinie~: \begin{itemize} \item Si $P=1$ renvoyer la liste $L$ des facteurs de $P$. \item Tant que pgcd$(P(z),P'(z))=0$ incrémenter $z$ de 1. \item Factoriser $P(z)=c(z)\Pi p_j$ \item Pour tous les facteurs $p_j$, déterminer le polynôme $P_j$ tel que $c(z)p_j=P_j(z)$ par remontée $z$-adique (avec les coefficients de $P_j$ écrit en représentation symétrique, de valeur absolue plus petite que $|z|/2$). Tester si la partie primitive de $P_j$ divise $P$. Si oui, rajouter un facteur irréductible à la liste $L$, et diviser $P$ par ce facteur. \item Augmenter $z$, par exemple remplacer $z$ par la partie entière de $\sqrt{2}z$. \end{itemize} \subsection{Preuve de l'identité de Bézout généralisée} Elle se fait par récurrence. Pour $n=2$, c'est l'identité de Bézout usuelle. Pour passer du rang $n-1$ au rang $n$, on isole $P_n$ dans l'identité à résoudre~: \[ \left( \sum_{j=1}^{n-1} Q_j (\Pi_{1 \leq k \leq n-1,k\neq j} P_k) \right) P_n + Q_n \Pi_{k\leq n-1} P_k =Q \pmod p\] Comme $P_n$ est premier avec $\Pi_{k\leq n-1} P_k$, en appliquant Bézout, on trouve deux polynômes $Q_n$ et $R_n$ tels que~: \begin{equation} \label{eq:Qn} R_n P_n + Q_n \Pi_{k\leq n-1} P_k =Q \pmod p \end{equation} Il reste à résoudre \[ \sum_{j=1}^{n-1} Q_j \Pi_{1 \leq k \leq n-1,k\neq j} P_k=R_n \pmod p\] ce que l'on peut faire par hypothèse de récurrence. \subsection{Algorithme de Bézout généralisé} Arguments: une liste $P_1,...,P_n$ de polynômes premiers entre eux 2 à 2 et un polynôme $Q$ à coefficients dans $\Z/p\Z$\\ Valeur renvoyée: la liste de polynômes $Q_1,...,Q_n$ tels que \[ \sum_{j=1}^n Q_j \Pi_{k\neq j} P_k=Q \pmod p \] On peut commencer par calculer le produit de tous les $P_k$ puis faire une boucle sur $j$ pour calculer les produits des $P_k$ pour $k\neq j$ en divisant le produit complet par $P_j$ (on fait ainsi $n-1$ multiplications et $n$ divisions au lieu de $n(n-1)$ multiplications).\\ Boucle indéfinie sur $n$ décrémenté de 1 par itération~: \begin{itemize} \item Si $n=2$, on rajoute à la liste résultat les polynômes $Q_1$ et $Q_2$ de l'algorithme de Bézout usuel et on renvoie la liste \item Sinon, on calcule les polynômes $R_n$ et $Q_n$ vérifiant (\ref{eq:Qn}), on rajoute $Q_n$ en début de liste, on remplace $Q$ par $R_n$. \end{itemize} Remarquons que lorsque nous utiliserons cet algorithme, $Q$ sera la différence entre deux polynômes de même degré (le degré de $P$) et de même coefficient dominant 1, on peut donc remplacer les $Q_i$ par le reste euclidien de $Q_i$ par $P_i$ sans changer l'égalité. \subsection{Pour en savoir plus} Pour factoriser des polynômes ayant des coefficients dans des extensions algébriques, il existe un algorithme assez simple, l'algorithme de Trager, qui n'est pas forcément le plus performant (la recherche est encore active dans ce domaine), cf. le livre de Henri Cohen pp. 142-144. Pour factoriser sur des corps finis, on peut consulter la thèse de Bernardin disponible sur le web (\verb|http://www.bernardin.lu|). On peut aussi consulter le code source de Mupad, les routines de factorisation se trouvent dans le répertoire \verb|lib/POLYLIB/FACLIB| après avoir désarchivé la \verb|lib.tar|. Le point d'entrée pour factoriser des polynômes à plusieurs variables sur $\Z$ est le fichier \verb|mfactor.mu|, on observera que l'algorithme utilisé par Mupad est assez différent de celui qu'on a détaillé dans la section précédente. \pagebreak \subsection{Exercices (factorisation des polynômes)} \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de racines de $-x^7+x^4+12x-5$ comprises entre 0 et 6 (en utilisant les suites de Sturm, on donnera les d\'etails des calculs). \item \'Ecrire un programme calculant la suite de Sturm d'un polynôme supposé squarefree (on peut tester avec \verb|sqrfree|), en utilisant l'algorithme d'Euclide. \item Trouver les facteurs de degré 1 s'ils existent de $3x^5+25x^4+67x^3+77x^2+55x+13$ en remontant ses racines dans $\Z/pZ[X]$ pour $p$ premier bien choisi. \item Factoriser le polynôme $x^5+x+1$ par la méthode de Berlekamp. \item Calculer avec un logiciel les valeurs numériques des racines complexes de $P(x)=x^5+x+1$. Trouver les combinaisons de racines dont la somme est entière (aux arrondis près). En déduire la factorisation en facteurs irréductibles sur $\Z$ de $P$. \item Factorisation numérique sur $\C$. \'Ecrire un programme qui calcule une racine d'un polynôme à coefficients complexes en utilisant une méthode itérative de type méthode de Newton (avec éventuellement un préfacteur lorsqu'on débute la recherche). Les polynômes seront représentés par la liste de leurs coefficients et l'évaluation faite par la méthode de Horner. Trouver ensuite toutes les racines du polynôme en éliminant la racine trouvée (toujours avec Horner). Trouver les combinaisons de racines correspondant à un facteur à coefficients entiers. \item Même question pour les facteurs de degré 2 d'un polynôme à coefficients réels sans racines réelles en utilisant la méthode de Bairstow décrite ci-dessous.\\ On cherche un facteur $F=x^2+sx+p$ de $P$, on calcule le quotient et le reste de la division $P=FQ+R$ par une méthode de type Horner, il s'agit de rendre $R$ (vu comme un vecteur à 2 composantes) nul. On calcule donc $\partial_{s,p} R$ (en cherchant le quotient et le reste de $xQ$ et $Q$ par $F$, pourquoi?) et on pose~: \[(s,p)_{n+1}=(s,p)_n- \lambda (\partial_{s,p} R)^{-1} R (s,p)_n\] où $\lambda$ est un préfacteur compris entre 0 et 1 et ajusté à 1 lorsqu'on est proche du facteur. \item Soit $p$ un entier premier et $P$ un polynôme \`a coefficients dans $\Z/p\Z$. On a la relation \[ gcd(X^{p^k}-X,P) = \prod_{ f | P, \mbox{\small deg}(f) | k} f, \quad f \mbox{ irréductible} \] En utilisant cette relation, déterminer les degrés des facteurs de \[ (x^3+x+1)(x^4+x+1) \] modulo 5 et 7 (sans utiliser la commande factor). Peut-on en déduire que $x^3+x+1$ et $x^4+x+1$ sont irréductibles sur $\Z$? \item Utiliser les options ``verbose'' de votre logiciel de calcul formel pour factoriser $x^{202}+x^{101}+1$ et vérifiez que vous avez compris la méthode utilisée. \item Montrer que $2x+x^2y+x^3+2x^4+y^3+x^5$ est irréductible sur $\Z$ sans utiliser l'instruction factor à 2 variables (on pourra factoriser pour quelques valeurs de $x$ ou de $y$) \item Que se passe-t-il lorsqu'on ex\'ecute l'algorithme de Yun dans $\Z/n\Z$? \item Déterminer les degrés des facteurs de $(x^3+x+1)(x^4+x+1)$ modulo 5 et 7 (sans utiliser la commande factor). Peut-on en déduire que $x^3+x+1$ et $x^4+x+1$ sont irréductibles sur $\Z$? \item Utiliser les options ``verbose'' de votre logiciel de calcul formel pour factoriser $x^{202}+x^{101}+1$ et vérifiez que vous avez compris la méthode utilisée. \item Montrer que $2x+x^2y+x^3+2x^4+y^3+x^5$ est irréductible sur $\Z$ sans utiliser directement l'instruction factor (on pourra factoriser pour quelques valeurs de $x$ ou de $y$) \end{enumerate} \pagebreak \section{Int\'egration} \subsection{Introduction} Que peut-on espérer d'un système de calcul formel lorsqu'il s'agit de calculer une primitive? Tout d'abord, on peut espérer qu'il sache résoudre ce que l'on donne en exercice à nos étudiants! Ceci suppose donc de connaitre quelques méthodes classiques, par exemple: intégration de polynômes (!), polynômes multipliés par exponentielle ou/et fonctions trigonométriques, de polynômes trigonométriques par linéarisation, de fractions rationnelles, de fractions trigonométriques, de fractions de racines carrées de polynômes du second ordre, de fonctions s'y ramenant par une ou plusieurs intégrations par parties ou par changement de fonction (par exemple reconnaissance de formes $F(u)u'\ $) ou par changement de variables, etc. Mais au-delà de ces méthodes (qui ont l'avantage de la rapidité mais tiennent parfois plus de la recette de cuisine que de l'algorithme...), on peut se demander si la primitive d'une fonction donnée peut ou non s'exprimer en terme des fonctions ``élémentaires''. Par exemple, tout le monde ``sait'' que la fonction $e^{x^2}$ n'admet pas de primitive ``simple'', encore faut-il donner un sens mathématique précis à cette affirmation. Ceci nécessite de donner une définition rigoureuse du terme fonction élémentaire. On peut alors appliquer un algorithme développé par Risch (pour les extensions dites transcendantes, obtenue par ajout des fonctions exponentielle et logarithme) qui permet de répondre à la question~: il s'agit vu de très loin d'une extension de l'algorithme d'intégration des fractions rationnelles. Cet article se décompose en deux parties principales~: \begin{itemize} \item la section \ref{sec:elem} présente les définitions de fonctions élémentaires, de tour de variables, et donne deux théorèmes, le théorème de structure de Risch qui permet d'écrire une fonction contenant des exponentielles et des logarithmes comme une fonction élémentaire par rapport à une tour de variable, et le théorème de Liouville qui donne la forme que peut prendre une primitive d'une fonction élémentaire lorsqu'elle est aussi élémentaire. \item la section \ref{sec:risch} décrit l'algorithme d'intégration de Risch permettant de décider si une fonction élémentaire donnée possède ou non une primitive élémentaire et de la calculer dans le premier cas. Nous ne présentons ici l'algorithme de Risch que pour les extensions transcendantes pures (ln et exp). \end{itemize} Le lecteur intéressé par le cas des extensions algébriques pourra consulter la thèse de Trager. Pour les extensions plus g\'en\'erales (incluant en particulier les fonctions tangente, arctangente), la r\'ef\'erence est le livre de Bronstein donnée en section \ref{sec:rischref}. \subsection{Fonctions élémentaires} \label{sec:elem} \subsubsection{Extensions transcendantes, tour de variables} On se donne une expression $f(x)$ dépendant de la variable $x$ que l'on souhaite intégrer par rapport à $x$. L'algorithme de Risch s'applique à cette expression si on peut l'écrire comme une fraction rationnelle à plusieurs variables algébriquement indépendantes \[ x, f_1(x), f_2(x,f_1(x)), ..., f_n(x,f_1(x),f_2(x,f_1(x)),...,f_{n-1}(x,f_1(x),...,f_{n-2}(x))) \] où les $f_i$ sont soit l'exponentielle soit le logarithme d'une fraction rationnelle (le corps de base appelé aussi corps de constantes ici est soit $\C$, soit une extension algébrique de $\Q$ ou une extension algébrique d'un corps de fractions rationnelles s'il y a des paramètres). On appelle tour de variables la suite des $x,f_1,...,f_n$ (chaque étage est donc une exponentielle d'une fraction rationnelle ou le logarithme d'une fraction rationnelle dépendant des étages précédents) et on dira que $f$ est une fonction élémentaire par rapport à cette tour de variables. L'intérêt de l'écriture d'une expression sous forme de tour est qu'elle est stable par dérivation~: si on dérive par rapport à $x$ une fonction élémentaire dépendant d'une tour de variables, on obtient encore une fonction élémentaire dépendant de la même tour de variables. Autrement dit, l'ensemble des fonctions \'el\'ementaires pour une tour fix\'ee est un corps diff\'erentiel. {\bf Exemples: } \begin{itemize} \item $e^{x^2}$ est bien dans ce cas, pour $n=1$, $f_1$ est l'exponentielle de $x^2$ qui est algébriquement indépendant de $x$. Les fonctions $(2x^2-1)e^{x^2}$ ou $x/(e^{x^2}-1)$ sont aussi élémentaires par rapport à la tour de variables $\{x,e^{x^2} \}$. \item $x \ln(x) \exp(x)$ est élémentaire par rapport à la tour $\{ x, \ln(x), \exp(x)\}$, mais aussi par rapport à la tour $\{ x, \exp(x), \ln(x)\}$. \item $xe^{x \ln(x)}$ est élémentaire, en prenant $n=2$, $f_1=\ln(x)$ et $f_2=e^{x f_1}$. \item $x^n=e^{n\ln(x)}$, o\`u $n$ est un param\`etre, convient avec comme tour $\{x, \ln(x), e^{n \ln(x) }$ \item $e^{\ln(x)}$ ne convient pas car il n'est pas algébriquement indépendant de $x,\ln(x)$ mais on peut le réécrire sous une forme acceptable puisque $e^{\ln(x)}=x$. \item $e^{\ln(x)/2}$ ne convient pas non plus car son carré est égal à $x$. Une réécriture ne suffit pas, cet exemple est bien sûr une extension algébrique et non transcendante. \end{itemize} Dans la suite, on va s'intéresser aux tours de variables dans lesquelles on a effectué des simplifications évidentes. On élimine les $\ln \circ \exp$ de la manière suivante~: si $f_k=\ln(g_k)$, on regarde si $g_k$ vu comme fraction en $f_1,...,f_{k-1}$ possède un facteur $f_j^m$ (avec $m \in \Z$) lorsque $f_j=\exp(g_j)$ est une exponentielle. Si c'est le cas, on a $f_k= m g_j + \ln(g_k/g_j^m)$. On change alors de tour en remplaçant $f_k$ par $\tilde{f}_k=\ln(g_k/g_j^m)=f_k-mg_j$. On élimine aussi les $\exp \circ \ln$, si $f_k=\exp(g_k)$, pour $j0} \frac{N_i}{P_i^i} \] Pour chaque polynome $P_i$, on applique Bézout à $P_i$ et $P'_i$~: \[ N_i = A_iP_i+B_iP'_i \Rightarrow \frac{N_i}{P_i^i}=\frac{A_i}{P_i^{i-1}} + \frac{B_iP_i'}{P_i^i}\] on intègre par parties le second terme \[ \int \frac{N_i}{P_i^i} = \int \frac{A_i}{P_i^{i-1}} - \frac{B_i}{(i-1)P_i^{i-1}} + \int \frac{B_i'}{(i-1)P_i^{i-1}} \] on rassemble les deux int\'egrales ayant $P_i^{i-1}$ au dénominateur et on recommence jusqu'à avoir une puissance 1 au dénominateur. Il reste alors \`a int\'egrer une somme de fractions du type $N/D$ avec $D$ et $D'$ premiers entre eux. {\bf Exemple}\\ On reprend le dernier exemple de la section précédente pour éliminer la puissance 2 au dénominateur: $N_2=2x$ et $P_2=(X+1)$ avec $X=e^x$. On a $P_2'=X$, donc $A_2=2x$ et $B_2=-2x$~: \[ \int \frac{2x}{(X+1)^2} =\int \frac{2x}{P_2} + \int \frac{-2x P_2'}{P_2^2} = \int \frac{2x}{P_2} + \frac{2x}{P_2} - \frac{2}{P_2}\] il reste donc à intégrer $(2x-2)/(e^x+1)$. \subsubsection{La partie logarithmique} Comme on l'a vu lors de la preuve du théorème de structure de Risch, si on dérive une fraction en $X$, le dénominateur de la dérivée ne peut se décomposer qu'en produit de facteurs de multiplicité supérieure ou égale à 2. Il en résulte que la fraction à intégrer résiduelle (encore notée $f=N/D$) après l'étape de réduction ci-dessus ne peut provenir que de la dérivation de $F=\sum_k c_k \ln (v_k)$~: \[ f=\frac{N}{D}=F'= (\sum_k c_k \ln (v_k))'= \sum_k c_k \frac{v_k'}{v_k}\] En identifiant les décompositions en éléments simples de $F'$ et $f$, on montre également que les $v_k$ divisent $D$, plus précisément on peut imposer aux $v_k$ d'être premiers entre eux 2 à 2 et dans ce cas $D=\prod v_k$. Donc~: \[ \sum_k c_k \frac{v_k'}{v_k} = \frac{N}{\prod_k v_k}=\frac{N}{D}\] et~: \[ N = \sum_k c_k v_k' \prod_{j\neq k} v_j \] Soit $t$ un paramètre, formons le polynôme $N-tD'$~: \[ N-tD' = \sum_k \left( (c_k -t) v_k' \prod_{j\neq k} v_j \right) \] donc le pgcd en $X$ des polynômes $N-tD'$ et $D$ est~: \begin{itemize} \item si $t$ n'est égal à aucun des $c_k$, $N-tD'$ est premier avec $v_k$ pour tout $k$ car $v_k$ divise $\sum_{l \neq k} (c_l -t) v_l' \prod_{j\neq l} v_j$ et $v_k'\prod_{j\neq k} v_j $ est premier avec $v_k$. Donc le pgcd est 1. \item si $t$ est égal à l'un des $c_k$, alors le pgcd est le produit des $v_k$ tels que $c_k=t$ (notons que dans ce cas on peut rassembler ces $v_k$ à l'intérieur d'un même logarithme) \end{itemize} Considérons le polynôme $R$ de la variable $t$ égal au résultant par rapport à $X$ des polynômes $D$ et $N-tD'$ (rappelons qu'il s'agit du d\'eterminant du syst\`eme lin\'eaire $AD+B(N-tD')=1$ o\`u les inconnues sont les coefficients des polyn\^omes $A$ et $B$, ce d\'eterminant est nul si et seulement si le syst\`eme n'a pas de solution donc si et seulement si $D$ et $N-tD'$ ne sont pas premiers entre eux), alors ce polynôme en $t$ s'annule si et seulement si $t=c_k$. On cherche les racines $c_k$ en $t$ de ce polynôme, elles doivent être indépendantes de $x$ si $F$ est élémentaire, et dans ce cas la primitive $F$ de $f=N/D$ vaut \[ F=\sum_{c_k \mbox{ racine de } R} c_k \ln(\mbox{gcd}(N-c_k D',D)) \] {\bf Exemples} \begin{itemize} \item \[ \frac{2x-2}{e^x+1}, \quad D=X+1, D'=e^x=X, \quad N-tD'=2x-2-tX \] On calcule $R=-2*x-t+2$, l'unique racine est $t=2-2x$ qui n'est pas constante donc cette fonction n'admet pas de primitive élémentaire. \item \[ \frac{(2x^2-x-2)X-1}{X^2+(x+1)X+x}, \quad X=\exp(x^2+x)\] On a $D'=2(2x+1)X^2+(1+(2x+1)(x+1))X+1$ \[ R=-(2\*x-1)\*(x+1)\*(2\*x+1)\*(x-1)^2\*(t+1)\*(t-1) \] les racines en $t$ sont constantes et égales à 1 et -1, donc $c_1=1$ et $v_1=$gcd$(N-D',D)=X+1$ et $c_2=-1$, $v_2=$gcd$(N+D',D)=x+X$ donc~: \[ \int \frac{(2x^2-x-2)X-1}{X^2+(x+1)X+x} = \ln(X+1)-\ln(x+X)\] \end{itemize} {\bf Remarque importante}\\ Pour les extensions exponentielles ou logarithmiques, la d\'eriv\'ee de la partie logarithmique calcul\'ee comme ci-dessus contiendra en g\'en\'eral une partie enti\`ere constante par rapport \`a $X$, il faut donc retirer cette partie enti\`ere \`a la partie polynomiale. \subsubsection{La partie polynomiale (généralisée)} On doit résoudre~: \[ (\sum_j A_j X^j)'=\sum_j a_j X^j \] avec une somme sur $j \in\Z$ si $X$ est une exponentielle et $j\in \N$ sinon. Si $X=x$, $j\geq 0$ et la résolution est immédiate: on prend $A_0=0$ et $A_{j+1}=a_{j}/(j+1)$. \subsubsection{Extension logarithmique} Si $X=\ln(Y)$ est un logarithme, $j \geq 0$ et on doit résoudre~: \[ \sum_{j\geq 0} (A_j'+(j+1)A_{j+1} \frac{Y'}{Y}) X^j = \sum_j a_j X^j \] Soit $k$ la plus grande puissance non nulle de $f$ ($a_j=0$ si $j>k$ et $a_k\neq 0$). Pour $j>k$, on a~: \[ A_j'+(j+1)A_{j+1} \frac{Y'}{Y} =0 \] On résout pour des valeurs de $j$ décroissante, pour $j$ suffisamment grand, on a $A_{j+1}=0$ car la somme sur $j$ est finie, donc $A_j$ est constant. Si $A_j \neq 0$, alors au rang $j-1$, on a $A_{j-1} ' = -j A_j Y'/Y $ qui n'admet pas de solutions car $A_{j-1}$ ne peut pas dépendre de $X=\ln(Y)$. On en déduit que pour $j>k+1$, on a $A_j=0$ et $A_{k+1}$ est constant. En fait la valeur constante de $A_{k+1}$ sera déterminée par une condition de compatibilité en résolvant l'équation au rang du dessous. On continue la résolution de \[ A_j'+(j+1)A_{j+1} \ln(Y)' = a_j \] par valeur décroissante de $j$, à chaque rang on va déterminer $A_j$ à une constante près en résolvant un problème d'intégration (par appel récursif de l'algorithme de Risch, mais si $j \neq 0$ sans autoriser l'ajout de nouveaux logarithmes sauf $\ln(Y)$) et la valeur de la constante de $A_{j+1}$ (on fait varier $A_{j+1}$ de la constante nécessaire pour absorber le terme en $\ln(Y)$ qui apparait lors de l'appel récursif de Risch). Au rang 0, on est ramené à un problème d'intégration avec une variable de moins (la constante indéterminée dans $A_1$ peut par exemple être choisie comme le coefficient constant de $\ln(Y)$ s'il en apparait un en intégrant). {\bf Exemple}\\ $X=\ln(x^2+1)$ et on cherche l'intégrale de $X^2$. On a donc $A_3$ est constant, \[ A_2' + 3 A_3 \ln(x^2+1)' = 1\] La primitive de 1 est élémentaire et ne fait pas intervenir de $\ln$ donc $A_3=0$ et $A_2=x+C_2$. Au rang 1, on a~: \[A_1' + 3 x \frac{2x}{x^2+1} + C_2 \ln(x^2+1)' = 0\] On calcule la primitive de $6x^2/(x^2+1)$ qui doit être une fraction rationnelle à un $C\ln(x^2+1)$ près, on voit que ce n'est pas le cas donc $X^2$ n'admet pas de primitive élémentaire. Remarque: si on avait voulu intégrer $X$ au lieu de $X^2$, la même méthode montre que la primitive existe, car au rang 0 il n'y a plus de contraintes sur les $\ln$ qu'on peut rajouter. \subsubsection{Extension exponentielle} Si $X=\exp(Y)$ est une exponentielle, on doit résoudre~: \[ \sum_{j} (A_j'+j Y'A_{j}) X^j = \sum_j a_j X^j \] Ceci va se faire degré par degré~: \begin{equation} \label{eq:rischdiffeq} A_j'+j Y' A_{j} = a_j \end{equation} {\bf Exemple}\\ Pour calculer $\int a(x) \exp(x^2)$, on a $j=1$, et on doit résoudre l'équation différentielle~: \[ A_1'+2xA_1= a(x)\] Pour $j=0$, il suffit de faire un appel récursif à l'algorithme de Risch, mais pour $j\neq 0$, la situation se complique! Notons $Z$ la variable situ\'ee juste en-dessous de $X$ dans la tour de variables (dans l'exemple ci-dessus $Z=x$), il s'agit de r\'esoudre~: \begin{equation} \label{eq:rischdiffeq2} y'+f y=g \end{equation} avec $f$, $g$ \'el\'ementaires par rapport \`a une tour dont le variable au sommet est $Z$, on cherche $y$ \'el\'ementaire par rapport \`a cette tour (ici $f=jY'$ est une d\'eriv\'ee mais dans certains cas nous devrons r\'esoudre par appel r\'ecursif des \'equations du type ci-dessus o\`u $f$ ne sera pas une d\'eriv\'ee). {\bf \'Elimination des d\'enominateurs}\\ Soit $P$ un facteur irréductible du d\'enominateur de $y$, notons $\alpha<0$ la valuation de $y$ par rapport \`a $P$, $\beta$ celle de $f$, $\gamma$ celle de $g$. Si $P$ n'est pas une exponentielle, la valuation de $y'$ est $\alpha-1$, celle de $ f y $ est $\alpha +\beta $. Si $\beta \neq -1$, il n'y a pas de simplification possible dans le membre de gauche donc $\alpha + \min(\beta,-1) =\gamma$. Autrement dit, si $\beta \geq 0$ alors $\alpha=\gamma+1$ et si $\beta<-1$ alors $\alpha=\gamma-\beta$. On observe que $\gamma<0$ donc $P$ est un facteur du d\'enominateur $g_d$ de $g$. De plus, on va montrer que la valuation $\alpha$ de $P$ dans $y$ est l'oppos\'e de celle de $P$ dans~: \begin{equation} \label{eq:defD} D=\frac{\mbox{gcd}(g_d,\partial_Z g_d)}{\mbox{gcd}(c,\partial_Z c)}, \quad c=\mbox{gcd}(f_d,g_d) \end{equation} En effet, si $\beta \geq 0$, $P$ ne divise pas $f_d$ donc ne divise pas $c$, donc la valuation de $P$ dans $D$ est $-\gamma-1$. Si $\beta < -1$, alors $\alpha=\gamma - \beta <0$ entraine $-\gamma > -\beta$ donc la valuation de $P$ dans $c$ est $-\beta$ et la valuation de $P$ dans $D$ est $-\gamma-1 - (-\beta-1)$. Si $\beta=-1$, s'il n'y a pas de simplifications dans le membre de gauche pour les termes de plus petite puissance en $P$, alors $\alpha=\gamma+1$. S'il y a simplification, on d\'ecompose en \'el\'ements simples (avec B\'ezout) puis on ordonne par puissances croissantes de $P$~: \[y= N_1 P^\alpha +..., f= N_2 P^{-1}+...,\] avec $N_1,N_2$ de degré plus petit que $P$, puis on remplace dans (\ref{eq:rischdiffeq2}). On cherche les termes de valuation $\alpha-1$ en $P$ qui doivent se simplifier~: \[ \alpha N_1 P' P^{\alpha-1} + N_2 P^{-1} N_1 P^\alpha =0 \] donc~: \[ N_2 = -\alpha P' \] ce qui d\'etermine $\alpha$. {\bf Récapitulons}\\ Si $f$ est une dérivée, alors $\beta=-1$ est exclus et on peut appliquer (\ref{eq:defD}) pour déterminer $D$. Si $f$ n'est pas une dérivée, on calcule les facteurs de degré 1 de $f_d$~: \[ f_1=\frac{f_d}{\mbox{gcd}(f_d,\partial_Z f_d)} \] on décompose $f$ par Bézout en isolant la partie $N/f_1$ les $\alpha$ possibles sont alors les racines entières (en $t$) du résultant en $Z$ de $N-tf_1'$ et $f_1$, ils correspondent aux facteurs gcd$(N-\alpha f_1',f_1)$ que l'on retire de $f_d$ pour appliquer (\ref{eq:defD}). {\bf Exemple}\\ Reprenons $y'+2xy=a(x)$. Si $a(x)=1$ (résolution de $\int \exp(x^2)$), ou plus généralement si $a(x)$ est un polynôme, alors $D=1$. Si $a(x)=1/x^2$, on trouve $D=x$ et on pose $y=xz$, donc $x^2(xz'+z)+2x^4z=1$ soit $x^3z'+(2x^4+1)z=1$. Reste le cas o\`u $Z$ est une exponentielle et $P=\exp(z)$. On reprend le m\^eme raisonnement, $y'$ a pour valuation $-\alpha<0$, $fy$ a pour valuation $-\beta-\alpha$, donc si $\beta > 0$, $\alpha=\gamma$ et si $\beta<0$, $\alpha=\gamma-\beta$. Si $\beta=0$, s'il n'y a pas de simplifications du terme de plus bas degr\'e, on est ramen\'e au cas pr\'ec\'edent. Si $\beta=0$ et s'il y a simplification des termes de plus bas degr\'e en $Z$, notons $f_0$ le coefficient constant de $f$ par rapport \`a $Z$ et $y_{\alpha}$ le coefficient de $Z^{\alpha}$ dans $y$, on a \[ y_\alpha ' + (\alpha z' + f_0) y_\alpha =0 \] donc~: \[ y_\alpha= \exp(-\alpha z-\int f_0)\] Comme $y_\alpha$ est \'el\'ementaire et ind\'ependant de $Z$ on en d\'eduit par le th\'eor\`eme de structure de Risch que $-\alpha z -\int f_0$ est combinaison lin\'eaire \`a coefficients rationnels des logarithmes et des arguments des exponentielles de la tour, de plus le coefficient de $z$ doit \^etre nul pour que $y_\alpha$ soit ind\'ependant de $Z$, ce qui impose la valeur de $\alpha$ (apr\`es avoir r\'esolu r\'ecursivement le probl\`eme d'int\'egration pour $f_0$) {\bf Majoration du degr\'e du num\'erateur de $y$}\\ En multipliant $y$ par $D Z^{-\alpha}$, puis en réduisant au même dénominateur, on se ram\`ene alors à une équation différentielle à coefficients polynomiaux par rapport \`a la variable $Z$ dont l'inconnue est un polynôme $N$~: \begin{equation} \label{eq:rischdepol} R N' + S N = T \end{equation} On va chercher une majoration sur le degr\'e possible de $N$ puis utiliser l'identit\'e de B\'ezout pour simplifier cette \'equation. On \'ecrit maintenant $N=\sum_{k=0}^n N_k Z^k$ et on remplace, il y a \`a nouveau trois cas selon le type de $Z$. {\bf Si $Z=x$: cas exponentielle rationnelle}\\ Donc $Z'=1$, le degré de $RN'$ est $r+n-1$ (si $N$ est non constant c'est-à-dire si $T$ n'est pas un multiple de $S$), le degré de $SN$ est $s+n$. Si $r-1\neq s$, on en déduit que~: \[ n=t-\max(r-1,s)\] Si $r-1=s$, on peut avoir une simplification du terme de plus haut degré $s+n$ (sinon on est dans le cas précédent) si $n R_r =S_s $ d'où on déduit le degré $n$ de $N$. Par exemple, pour $y'+2xy=T$ ou pour $x^3z'+(2x^4+1)z=1$ on a $r=s-1$ donc $n+s=t$, donc pas de solution dans le deuxième cas, dans le premier cas il ne peut y avoir de solutions que si $t \geq s$, en particulier il n'y a pas de solution pour $t=1$, on a donc démontré que $\int \exp(x^2)$ n'admet pas de primitive élémentaire. {\bf Si $Z=\exp(z)$: cas exponentielle d'exponentielle}\\ Ici les $N_k$ peuvent ne pas être constants, on a~: \[ N'=\sum_{k=0}^n (N_k'+kN_k z') Z^k\] Comme on l'a déjà observé, $N_n'+n N_n z'\neq 0$, donc le degré de $N'$ est égal au degré de $N$. On a donc trois cas~: \begin{itemize} \item si $r\neq s$, alors $n=t-\max(r,s)$ \item si $r=s$ et les termes de plus haut degré du membre de gauche ne se simplifient pas, alors, $n=t-r=t-s$. \item si $r=s$ et s'il y a simplification, alors~: \[ R_r(N_n'+nN_nz')+S_sN_n=0 \] donc~: \[ N_n' + (\frac{S_s}{R_r}+nz')N_n = 0\] et~: \[ N_n = C \exp(-nz-\int \frac{S_s}{R_r}) \] On appelle alors l'algorithme de Risch avec une variable de moins ($S_s$ et $R_r$ ne dépendent plus de $Z$) pour calculer $I=\int S_s/R_r$. Il s'agit alors de trouver $n$ tel que l'exponentielle précédente soit élémentaire et indépendante de la variable $Z$. Le théorème de structure de Risch implique que $-nz-\int S_s/R_r$ est combinaison linéaire à coefficients rationnels des logarithmes et des arguments des exponentielles de autres variables de la tour (jusqu'à $z$ non compris). Ceci permet de déterminer $n$ de manière unique (c'est le coefficient rationnel de $\int S_s/R_r$ en $z$). \end{itemize} {\bf Si $Z=\ln(z)$: exponentielle de logarithme}\\ Ici aussi, les $N_k$ peuvent ne pas être constants, on a~: \[ N'=\sum_{k=0}^n (N_k'Z^k+kN_k \frac{z'}{z} Z^{k-1})\] Si $N_n$ n'est pas constant, le terme de plus haut degré de $RN'$ est $N_n' R_r Z^{n+r}$, si $N_n$ est constant, le terme de plus haut degré de $RN'$ est $R_r(nN_nz'/z+N_{n-1}') Z^{r-1}$ qui est non nul (sinon $z'/z=CN_{n-1}'$ et $z=\exp(CN_{n-1})$ serait une exponentielle). Le terme de plus haut degré de $SN$ est $N_n S_s Z^{n+s}$. \begin{itemize} \item Si $rs+1$ ou si $r=s+1$ sans simplifications, alors deg$(N')=t-r$ donc $n=t-r$ ou $n=t-r+1$. \item Si $r=s+1$, et s'il y a simplifications, alors $N_n$ est constant et~: \[ R_r(nN_nz'/z+N_{n-1}')+ S_s N_n = 0 \] alors $N_{n-1}=C (-\int N_n S_s/R_r -n N_n \ln(z))$ doit être élémentaire et indépendante de $Z$ donc $\int S_s/R_r$ est élémentaire, on détermine $n$ en éliminant le coefficient de $Z=\ln(z)$ provenant de $\int S_s/R_r$. \item Si $r=s$, et s'il y a simplification des termes de plus haut degré du membre de gauche, alors $N_n' R_r+N_n S_s=0$ donc $N_n=\exp(-\int S_s/R_r)$ est élémentaire et indépendante de $Z$. On peut donc changer d'inconnue $N=N_n M$ sans changer le fait que $M$ est un polynôme de même degré que $N$. On se ramène alors à une équation du même type \[ RM'+(S-R \frac{S_s}{R_r})M= \frac{T}{N_n}\] mais avec $s$ diminué de 1 au moins. \end{itemize} {\bf R\'eduction (algorithme SPDE de Rothstein)}\\ On observe d'abord que si $R$ et $S$ ont un facteur en commun, alors ce facteur divise $T$ car $N'$ et $N$ sont des polyn\^omes en $Z$. On peut donc quitte \`a simplifier par gcd$(R,S)$ se ramener au cas o\`u $R$ et $S$ sont premiers entre eux, il existe donc deux polyn\^omes $U$ et $V$ tels que~: \begin{equation} \label{eq:rischdebezout} RU+SV=T, \quad \mbox{deg}(V)< \mbox{deg}(R) \end{equation} En soustrayant (\ref{eq:rischdebezout}) de (\ref{eq:rischdepol}), on montre que $R$ divise $N-V$. Soit $H=(N-V)/R$. Alors $N=RH+V$ donc \[ R (RH'+R'H+V')+SRH+SV= T=RU+SV\] donc apr\`es simplification par $SV$ et division par $R$, $H$ v\'erifie l'\'equation~: \[ R H' + (S+R') H = U - V'\] C'est une \'equation du m\^eme type mais avec deg$(H)$=deg$(N)$-deg$(R)$ ou $H=0$ (si $N=V$). Donc si deg$(R)>0$, au bout d'un nombre fini d'\'etapes on doit tomber sur un second membre nul ou des simplifications de $R$ avec $S+R'$ telles que $R$ simplifié soit constant en $Z$. {\bf R\'esolution}\\ Si $R$ est constant par rapport \`a $Z$, on simplifie par $R$ et on doit r\'esoudre \[ N'+SN=T \] Si $S=0$, c'est un probl\`eme d'int\'egration. Supposons donc que $S\neq 0$. Si $S$ est non constant par rapport \`a $Z$ ou si $Z=x$, le degr\'e de $N'$ est strictement inf\'erieur au degr\'e de $SN$, on peut donc facilement r\'esoudre. Reste le cas o\`u $S=b$ est constant non nul par rapport \`a $Z$ et $Z$ est une exponentielle ou un logarithme. {\bf Si $Z=\exp(z)$}\\ On a alors doit alors r\'esoudre \[ N_k'+ k N_k z' + b N_k=T_k \] c'est une \'equation diff\'erentielle de Risch mais avec une variable de moins. {\bf Si $Z=\ln(z)$}\\ On doit alors r\'esoudre \[ N_k'+ (k+1) N_{k+1} \frac{z'}{z} + b N_k =T_k \] c'est aussi une \'equation diff\'erentielle de Risch avec une variable de moins. {\bf Exemple}\\ Voyons comment on intègre $x^n$ avec $n$ un paramètre par l'algorithme de Risch (cela illustre les possibilités couvertes par l'algorithme mais aussi l'efficacité des méthodes traditionnelles d'intégration lorsqu'elles s'appliquent). On écrit d'abord $x^n=e^{n \ln(x)}$, donc la tour de variables est $\{ x, Z=\ln(x), X=e^{n \ln(x)}\}$, il s'agit donc d'intégrer $X$ qui est un polynôme généralisé. On cherche donc $A_1$ solution de l'équation différentielle de Risch \[ A_1'+ n /x A_1=1 \] Par rapport à $Z=\ln(x)$ la fonction $f=n/x$ est un polynôme, donc on applique le dernier cas ci-dessus, $A_1$ est aussi indépendant de $\ln(x)$ et on se ramène à résoudre la même équation mais avec comme variable principale $x$ et non $Z$. Cette fois, il y a un dénominateur $x$ en $f$. Si $A_1$ possède un dénominateur, il faut qu'il y ait annulation du terme de plus bas degré en $x$ car le second membre n'a pas de dénominateur, on obtient $n+\alpha=0$ qui n'a pas de solution, donc $A_1$ est un polynôme en $x$ et l'équation se réécrit en~: \[ xA_1'+nA_1=x\] On majore alors le degré en $x$ de $A_1$ par 1, car il ne peut pas y avoir d'annulation de terme de plus grand degré. Ensuite, on peut appliquer l'algorithme SPDE de Rothstein pour réduire le degré, ou ici conclure à la main, $x$ divise $nA_1$ donc $A_1=Cx$ qu'on remplace et $C=1/(n+1)$. Finalement, $A_1=x/(n+1)$ et $\int x^n=x/(n+1) \* x^n$. %\section{Cas des extensions plus générales} \subsection{Quelques références} \label{sec:rischref} \begin{itemize} \item M. Bronstein:\\ Symbolic Integration I, Transcendental functions, Springer \item M. Bronstein:\\ Integration tutorial, \\ \verb|http://www-sop.inria.fr/cafe/Manuel.Bronstein/publications/mb_papers.html| \item J.H. Davenport, Y. Siret, E. Tournier:\\ Calcul formel: Syst\`emes et algorithmes de manipulations alg\'ebriques \item R. Risch: \\ les références des articles originaux de Risch sont dans le ``Integration tutorial'' de Bronstein. \item B. Trager:\\ PHD thesis MIT, 1984 \item On peut lire en clair le code source de l'implémentation en MuPAD (sous Unix, désarchiver le fichier {\tt lib.tar} du répertoire {\tt /usr/local/MuPAD/share/lib} et regarder dans le sous-répertoire {\tt lib/INTLIB}) \end{itemize} \section{Intégration numérique} % équations différentielles(?) \index{integration} \index{quadrature} Les fractions rationnelles admettent une primitive que l'on calcule en décomposant la fraction avec Bézout comme expliqué précédemment. Mais elles font figure d'exceptions, la plupart des fonctions n'admettent pas de primitives qui s'expriment à l'aide des fonctions usuelles. Pour calculer une intégrale,on revient donc à la définition d'aire sous la courbe, aire que l'on approche, en utilisant par exemple un polynome de Lagrange. Le principe est donc le suivant~: on découpe l'intervalle d'intégration en subdivisions $[a,b]=[a,a+h] + [a+h,a+2h]+...[a+(n-1)h,a+nh=b$, où $h=(b-a)/n$ est le pas de la subdivision, et sur chaque subdivision, on approche l'aire sous la courbe. \subsection{Les rectangles et les trapèzes} Sur une subdivision $[\alpha,\beta]$, on approche la fonction par un segment. Pour les rectangles, il s'agit d'une horizontale~: on peut prendre $f(\alpha)$, $f(\beta)$ (rectangle à droite et gauche) ou $f((\alpha+\beta)/2)$ (point milieu), pour les trapèzes on utilise le segment reliant $[\alpha,f(\alpha)]$ à $[\beta,f(\beta)]$. Exemple~: calcul de la valeur approchée de $\int_0^1 t^3 dt$ (on en connait la valeur exacte $1/4=0.25$) par ces méthodes en subdivisant $[0,1]$ en 10 subdivisions (pas $h=1/10$), donc $\alpha=j/10$ et $\beta=(j+1)/10$ pour $j$ variant de 0 à 9. Pour les rectangles à gauche, on obtient sur une subdivision $f(\alpha)=(j/10)^3 $ que l'on multiplie par la longueur de la subdivision soit $h=1/10$~: \[ \frac{1}{10} \sum_{j=0}^9 (\frac{j}{10})^3 = \frac{81}{400} = 0.2025\] Pour les rectangles à droite, on obtient \[ \frac{1}{10} \sum_{j=1}^{10} (\frac{j}{10})^3 = \frac{121}{400} = 0.3025\] Pour le point milieu $f((\alpha+\beta)/2)=f((j/10+(j+1)/10)/2)=f(j/10+1/20)$ \[ \frac{1}{10} \sum_{j=0}^9 (\frac{j}{10}+\frac{1}{20})^3 = 199/800 = 0.24875\] Enfin pour les trapèzes, l'aire du trapèze délimité par l'axe des $x$, les verticales $y=\alpha$, $y=\beta$ et les points sur ces verticales d'ordonnées respectives $f(\alpha)$ et $f(\beta)$ vaut \[ h \frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2}\] donc \[ \frac{1}{10} \sum_{j=0}^9 \left( (\frac{j}{10})^3 +(\frac{j+1}{10})^3 \right) = \frac{101}{400} = 0.2525 \] Dans la somme des trapèzes, on voit que chaque terme apparait deux fois sauf le premier et le dernier. Plus générallement, les formules sont donc les suivantes~: \index{rectangle} \index{trapeze} \index{point milieu} \begin{eqnarray} \mbox{rectangle gauche} & = & h \sum_{j=0}^{n-1} f(a+jh) \label{eq:rectangle_gauche}\\ \mbox{rectangle droit} & = & h \sum_{j=1}^{n} f(a+jh) \label{eq:rectangle_droit}\\ \mbox{point milieu} & = & h \sum_{j=0}^{n-1} f(a+jh+\frac{h}{2}) \label{eq:point_milieu}\\ \mbox{ trapezes } & = & h \left(\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{j=1}^{n-1} f(a+jh) \right) \label{eq:trapezes} \end{eqnarray} où $h=(b-a)/n$ est le pas de la subdivision, $n$ le nombre de subdivisions. On observe sur l'exemple que le point milieu et les trapèzes donnent une bien meilleure précision que les rectangles. Plus généralement, la précision de l'approximation n'est pas la même selon le choix de méthode. Ainsi pour les rectangles à gauche (le résultat est le même à droite), si $f$ est continument dérivable, de dérivée majorée par une constante $M_1$ sur $[a,b]$, en faisant un développement de Taylor de $f$ en $\alpha$, on obtient \[ |\int_{\alpha}^{\beta} f(t) dt - \int_{\alpha}^{\beta} f(\alpha) dt | = | \int_{\alpha}^{\beta} f'(\theta_t)(t-\alpha) dt | \leq M_1 \int_{\alpha}^{\beta} (t-\alpha) dt = M_1\frac{(\beta-\alpha)^2}{2} \] Ainsi dans l'exemple, on a $M_1=3$, l'erreur est donc majorée par $0.015$ sur une subdivision, donc par $0.15$ sur les 10 subdivisions. Pour le point milieu, on fait le développement en $(\alpha+\beta)/2$ à l'ordre 2, en supposant que $f$ est deux fois continument dérivable~: \begin{eqnarray*} |\int_{\alpha}^{\beta} f(t) - \int_{\alpha}^{\beta} f(\frac{\alpha+\beta}{2}) | &= &| \int_{\alpha}^{\beta} f'(\frac{\alpha+\beta}{2})(t-\frac{\alpha+\beta}{2}) dt \\ & & + \int_{\alpha}^{\beta} \frac{f'{'}(\theta_t)}{2}(t-\frac{\alpha+\beta}{2})^2 | \\ &\leq & \frac{M_2}{2} 2 \int_{\frac{\alpha+\beta}{2}}^{\beta} (t-\frac{\alpha+\beta}{2})^2 dt \\ & \leq & M_2\frac{(\beta-\alpha)^3}{24} \end{eqnarray*} Dans l'exemple, on a $M_2=6$, donc l'erreur sur une subdivision est majorée par $0.25e-3$, donc sur 10 subdivisions par $0.25e-2=0.0025$. Pour les trapèzes, la fonction $g$ dont le graphe est le segment reliant $[\alpha,f(\alpha)]$ à $[\beta,f(\beta)]$ est $f(\alpha)+(t-\alpha)/(\beta-\alpha)f(\beta)$, c'est en fait un polynome de Lagrange, si $f$ est deux fois continument dérivable, on peut donc majorer la différence entre $f$ et $g$ en utilisant (\ref{eq:lagrange}), on intègre la valeur absolue ce qui donne \[ |\int_{\alpha}^{\beta} f(t) dt - \int_{\alpha}^{\beta} g(t) dt | \leq \int_{\alpha}^{\beta} |\frac{f'{'}(\xi_x)}{2} (x-\alpha)(x-\beta)| \leq M_2 \frac{(\beta-\alpha)^3}{12} \] où $M_2$ est un majorant de $|f'{'}|$ sur $[a,b]$. Lorsqu'on calcule l'intégrale sur $[a,b]$ par une de ces méthodes, on fait la somme sur $n=(b-a)/h$ subdivisions de longueur $\beta-\alpha=h$, on obtient donc une majoration de l'erreur commise sur l'intégrale~: \begin{itemize} \item pour les rectangles à droite ou gauche $nM_1h^2/2=M_1 h (b-a)/2$ \item pour le point milieu $M_2 h^2 (b-a)/24$ \item pour les trapèzes $M_2h^2 (b-a)/12$. \end{itemize} Lorsque $h$ tend vers 0, l'erreur tend vers 0, mais pas à la même vitesse, plus rapidement pour les trapèzes et le point milieu que pour les rectangles. Plus on approche précisément la fonction sur une subdivision, plus la puissance de $h$ va être grande, plus la convergence sera rapide lorsque $h$ sera petit, avec toutefois une contrainte fixée par la valeur de $M_k$, borne sur la dérivée $k$-ième de $f$ (plus $k$ est grand, plus $M_k$ est grand en général). Nous allons voir dans la suite comment se comporte cette puissance de $h$ en fonction de la facon dont on approche $f$. \subsection{Ordre d'une méthode} \index{ordre} On appelle méthode d'intégration l'écriture d'une approximation de l'intégrale sur une subdivision sous la forme \[ \int_{\alpha}^{\beta} f(t) dt \approx I(f)=\sum_{j=1}^k w_j f(y_j) \] où les $y_j$ sont dans l'intervalle $[\alpha,\beta]$, par exemple équirépartis sur $[\alpha,\beta]$. On utilise aussi la d\'efinition~: \[ \int_{\alpha}^{\beta} f(t) dt \approx I(f)= (\beta-\alpha)\sum_{j=1}^k \tilde{w}_j f(y_j) \] On prend toujours $\sum_j w_j=\beta-\alpha$ (ou $\sum_j \tilde{w}_j=1$) pour que la m\'ethode donne le r\'esultat exact si la fonction est constante. On dit qu'une méthode d'intégration est d'ordre $n$ si il y a égalité ci-dessus pour tous les polynômes de degré inférieur ou \'egal à $n$ et non \'egalit\'e pour un polyn\^ome de degr\'e $n+1$. Par exemple, les rectangles à droite et gauche sont d'ordre 0, le point milieu et les trap\`ezes sont d'ordre 1. Plus g\'en\'erallement, si on approche $f$ par son polyn\^ome d'interpolation de Lagrange en $n+1$ points (donc par un polyn\^ome de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$), on obtient une m\'ethode d'int\'egration d'ordre au moins $n$. Si une méthode est d'ordre $n$ avec des $w_j\geq 0$ et si $f$ est $n+1$ fois continument dérivable, alors sur une subdivision, on a~: \begin{equation} \label{eq:majoration_err} |\int_{\alpha}^{\beta} f-I(f)| \leq M_{n+1} \frac{(\beta-\alpha)^{n+2}}{(n+1)!} (\frac{1}{n+2}+1) \end{equation} En effet, on fait le développement de Taylor de $f$ par exemple en $\alpha$ à l'ordre $n$ \begin{eqnarray*} f(t)&=&T_{n}(f)+\frac{(t-\alpha)^{n+1}}{(n+1)!} f^{[n+1]}(\theta_t),\\ T_{n}(f)&=&f(\alpha)+(t-\alpha)f'(\alpha)+...+ \frac{(t-\alpha)^{n}}{n!} f^{[n]}(\alpha) \end{eqnarray*} Donc \[ |\int_{\alpha}^{\beta} f- \int_{\alpha}^{\beta} T_{n}(f)| \leq \int_{\alpha}^{\beta} \frac{(t-\alpha)^{n+1}}{(n+1)!} |f^{[n+1]}(\theta_t)| \leq \left[ M_{n+1} \frac{(t-\alpha)^{n+2}}{(n+2)!} \right]_\alpha^\beta \] De plus, \begin{eqnarray*} |I(f) -I(T_n(f))| =|I\left( f^{[n+1]}(\theta_t) \frac{(t-\alpha)^{n+1}}{(n+1)!} \right)| & \leq & \sum_{j=1}^k |w_j| M_{n+1} \frac{(y_j-\alpha)^{n+1}}{(n+1)!} \\ & \leq & \sum_{j=1}^k |w_j| M_{n+1} \frac{(\beta-\alpha)^{n+1}}{(n+1)!} \end{eqnarray*} Donc comme la méthode est exacte pour $T_n(f)$, on en déduit que \begin{eqnarray*} |\int_{\alpha}^{\beta} f-I(f)| &= &|\int_{\alpha}^{\beta} f-\int_{\alpha}^{\beta} T_n(f)+I(T_n(f))- I(f)| \\ &\leq& |\int_{\alpha}^{\beta} f-\int_{\alpha}^{\beta} T_n(f)|+|I(T_n(f))- I(f)|\\ &\leq & M_{n+1} \frac{(\beta-\alpha)^{n+2}}{(n+2)!} + \sum_{j=1}^k |w_j| M_{n+1} \frac{(\beta-\alpha)^{n+1}}{(n+1)!} \end{eqnarray*} Si les $w_j\geq 0$, alors $\sum_{j=1}^k |w_j|=\sum_{j=1}^k w_j=\beta-\alpha$ et on obtient finalement (\ref{eq:majoration_err}) On remarque qu'on peut am\'eliorer la valeur de la constante en faisant tous les d\'eveloppement de Taylor en $(\alpha+\beta)/2$ au lieu de $\alpha$, Après sommation sur les $n$ subdivisions, on obtient que~: \begin{thm} Pour une méthode d'ordre $n$ à coefficients positifs et une fonction $f$ $n+1$ fois continument d\'erivable~ \[|\int_{a}^{b} f-I(f)| \leq M_{n+1} \frac{h^{n+1}}{2^{n+1}(n+1)!} (b-a) (\frac{1}{(n+2)}+1)\] \end{thm} On observe que cette majoration a la bonne puissance de $h$ sur les exemples déja traités, mais pas forcément le meilleur coefficient possible, parce que nous avons trait\'e le cas g\'en\'eral d'une m\'ethode d'ordre $n$. \subsection{Simpson} \index{Simpson} Il s'agit de la méthode obtenue en approchant la fonction sur la subdivision $[\alpha,\beta]$ par son polynome de Lagrange aux points $\alpha,(\alpha+\beta)/2,\beta$. On calcule l'int\'egrale par exemple avec un logiciel de calcul formel, avec Xcas~: \begin{center} \verb|factor(int(lagrange([a,(a+b)/2,b],[fa,fm,fb]),x=a..b))| \end{center} qui donne la formule sur une subdivision \[ I(f) = \frac{h}{6} (f(\alpha)+4f(\frac{\alpha+\beta}{2}) + f(\beta)) \] et sur $[a,b]$~: \begin{equation} \label{eq:simpson} I(f) = \frac{h}{6} \left( f(a)+f(b)+ 4 \sum_{j=0}^{n-1} f(a+jh+\frac{h}{2}) + 2 \sum_{j=1}^{n-1} f(a+jh) \right) \end{equation} Si on intègre $t^3$ sur $[0,1]$ en 1 subdivision par cette méthode, on obtient \[ \frac{1}{6} (0+ 4 \frac{1}{2^3} + 1)=\frac{1}{4} \] c'est-à-dire le résultat exact, ceci est aussi vérifié pour $f$ polynome de degré inférieur ou égal à 2 puisque l'approximation de Lagrange de $f$ est alors égale à $f$. On en déduit que la méthode de Simpson est d'ordre 3 (pas plus car la méthode de Simpson appliquée à l'intégrale de $t^4$ sur $[0,1]$ n'est pas exacte). On peut même améliorer (cf. par exemple Demailly) la constante générale de la section précédente pour la majoration de l'erreur en~: \[ |\int_a^b f - I(f)| \leq \frac{h^4}{2880} (b-a) M_4 \] Cette méthode nécessite $2n+1$ évaluations de $f$ (le calcul de $f$ est un point étant presque toujours l'opération la plus couteuse en temps d'une méthode de quadrature), au lieu de $n$ pour les rectangles et le point milieu et $n+1$ pour les trapèzes. Mais on a une majoration en $h^4$ au lieu de $h^2$ donc le ``rapport qualité-prix'' de la méthode de Simpson est meilleur, on l'utilise donc plutot que les m\'ethodes pr\'ec\'edentes sauf si $f$ n'a pas la r\'egularit\'e suffisante (ou si $M_4$ est trop grand). \subsection{Newton-Cotes} \index{Newton-Cotes} On peut généraliser l'idée précédente, découper la subdivision $[\alpha,\beta]$ en $n$ parts \'egales et utiliser le polynôme d'interpolation en ces $n+1$ points $x_0=\alpha, x_1, ..., x_n=\beta$. Ce sont les méthodes de Newton-Cotes, qui sont d'ordre $n$ au moins. Comme le polyn\^ome d'interpolation d\'epend lin\'eairement des ordonn\'ees, cette m\'ethode est bien de la forme~: \[ I(f)=(\beta-\alpha)\sum_{j=0}^n \tilde{w}_j f(x_j)\] De plus les $\tilde{w}_j$ sont universels (ils ne d\'ependent pas de la subdivision), parce qu'on peut faire le changement de variables $x=\alpha+t(\beta-\alpha)$ dans l'int\'egrale et le polyn\^ome d'interpolation et donc se ramener \`a $[0,1]$. Exemple~: on prend le polyn\^ome d'interpolation en 5 points \'equidistribu\'es sur une subdivision $[a,b]$ (m\'ethode de Boole). Pour calculer les $\tilde{w}_j$, on se ram\`ene \`a $[0,1]$, puis on tape \begin{center} \verb|int(lagrange(seq(j/4,j,0,4),[f0,f1,f2,f3,f4]),x=0..1)| \end{center} et on lit les coefficients de \verb|f0| \`a \verb|f4| qui sont les $\tilde{w}_0$ \`a $\tilde{w}_4$: 7/90, 32/90, 12/90, 32/90, 7/90. La m\'ethode est d'ordre au moins 4 par construction, mais on v\'erifie qu'elle est en fait d'ordre 5 (exercice), la majoration de l'erreur d'une m\'ethode d'ordre 5 est \[ |\int_a^b f -I(f)| \leq \frac{M_6}{2^6 6!}(1+\frac{1}{7}) h^6 (b-a) \] elle peut \^etre am\'elior\'ee pour cette m\'ethode pr\'ecise en \[ |\int_a^b f -I(f)| \leq \frac{M_6}{1935360} h^6 (b-a) \] En pratique, on ne les utilise pas très souvent, car d'une part pour $n\geq 8$, les $w_j$ ne sont pas tous positifs, et d'autre part, parce que la constante $M_n$ devient trop grande. On préfère utiliser la méthode de Simpson en utilisant un pas plus petit. Il existe aussi d'autres méthodes, par exemple les quadratures de Gauss (on choisit d'interpoler en utilisant des points non équirépartis tels que l'ordre de la méthode soit le plus grand possible) ou la méthode de Romberg qui est une méthode d'accélération de convergence basée sur la méthode des trapèzes (on prend la méthode des trapèzes en 1 subdivision de $[a,b]$, puis 2, puis $2^2$, ..., et on élimine les puissances de $h$ du reste $\int f-I(f)$ en utilisant un théorème d'Euler-Mac Laurin qui montre que le développement asymptotique de l'erreur en fonction de $h$ ne contient que des puissances paires de $h$). De plus, on peut être amené à faire varier le pas $h$ en fonction de la plus ou moins grande régularité de la fonction. \subsection{En r\'esum\'e} Int\'egration sur $[a,b]$, $h$ pas d'une subdivision, $M_k$ majorant de la d\'eriv\'ee $k$-i\`eme de la fonction sur $[a,b]$\\ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline & formule & Lagrange degr\'e & ordre & erreur \\ \hline rectangles & (\ref{eq:rectangle_gauche}), (\ref{eq:rectangle_droit}) & 0 & 0 & $M_1 h (b-a)/2$ \\ point milieu & (\ref{eq:point_milieu}) & 0 & 1 & $M_2 h^2 (b-a)/24$ \\ trap\`ezes & (\ref{eq:trapezes}) & 1 & 1 & $M_2 h^2 (b-a)/12$ \\ Simpson & (\ref{eq:simpson})& 2 & 3 & $M_4 h^4 (b-a)/2880$ \\ \hline \end{tabular} \section{Alg\`ebre lin\'eaire} On présente ici des algorithmes autour de la résolution exacte de systèmes (réduction des matrices sous forme échelonnée) et la recherche de valeurs propres et de vecteurs propres (diagonalisation et jordanisation des matrices). \subsection{R\'esolution de syst\`emes, calcul de d\'eterminant.} \subsubsection{La m\'ethode du pivot de Gau\ss.} \begin{itemize} \item Le pivot~: on détermine à partir d'une ligne $i$ la ligne $j$ où apparait le premier coefficient non nul $p$ dans la colonne à réduire. On échange les lignes $i$ et $j$. Puis pour $j>i$ (réduction sous-diagonale) ou $j\neq i$ (réduction complète), on effectue l'opération $L_j \leftarrow L_j - \frac{p_j}{p}L_i$.\\ Inconv\'enient~: avec des donn\'ees exactes de taille non born\'ee, la complexité des coefficients augmente plus vite qu'en choisissant le pivot le plus simple possible, (remarque, lorsque les donn\'ees sont approch\'ees, on n'utilise pas non plus cette méthode pour des raisons de stabilit\'e num\'erique). Le domaine d'utilisation naturel concerne donc les coefficients dans un corps fini (par exemple $\Z/n\Z$). \item Le pivot partiel. On choisit le meilleur coefficient non nul de la colonne, où meilleur dépend du type de coefficient~: avec des données exactes, on choisirait le coefficient de taille la plus petite possible, avec des donn\'ees approximatives, on choisit le coefficient de plus grande norme dans la colonne. Le domaine d'utilisation naturel concerne les coefficients approch\'es. Pour les coefficients exacts, on remplacerait la réduction par $L_j \leftarrow pL_j -p_j L_i$ pour ne pas effectuer de division. Mais avec cette méthode, la taille des coefficients augmente de manière exponentielle. On peut améliorer la taille des coefficients intermédiaires en divisant chaque ligne par le PGCD de ses coefficients, mais comme pour le calcul du PGCD par l'algorithme du sous-résultant, il existe une méthode plus efficace présentée ci-dessous. \item La m\'ethode de Bareiss~: on initialise un coefficient $b$ \`a 1. On remplace l'\'etape de r\'eduction ci-dessus par $L_j \leftarrow (pL_j -p_j L_i)/b$. \`A la fin de l'\'etape de r\'eduction, on met le coefficient $b$ \`a la valeur du pivot $p$. L'intérêt de la méthode est que la division se fait sans introduire de fraction (la preuve pour les deux premi\`eres \'etapes se fait facilement \`a la main ou avec un système de calcul formel (cf. infra), pour le cas g\'en\'eral, on v\'erifie que le d\'eterminant de la matrice de d\'epart est \'egal au dernier coefficient sur la diagonale obtenu par cette m\'ethode de r\'eduction, ce dernier est donc entier, le m\^eme raisonnement fait sur des sous-matrices dont on prend les $k$ premi\`eres lignes et colonnes et une autre ligne et une autre colonne montre que tous les coefficients des matrices interm\'ediaires sont entiers). On peut utiliser cette méthode aussi bien pour la réduction sous-diagonale que pour la réduction complète (les lignes intervenant dans la combinaison linéaire subissent des modifications identiques dans les deux cas). \end{itemize} Montrons avec MuPAD ou xcas en mode mupad (commande \verb|maple_mode(2)|) qu'en effet, on n'introduit pas de dénominateur dans la méthode de Bareiss. Sans restreindre la généralité, il suffit de le montrer avec une matrice 3x3 \`a coefficients symboliques génériques. \begin{verbatim} pivot:=proc (M,n,m,r) // n ligne du pivot, m colonne, r ligne a modifier local col,i,a,b; begin col:=ncols(M); a:=M[n,m]; b:=M[r,m]; for i from 1 to col do // print(i,a,b,n,m,r); M[r,i]:=a*M[r,i]-b*M[n,i]; end_for; return(M); end_proc; /* End of pivot */ A:=matrix(3,3,[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,j]]); A:=pivot(A,1,1,2); A:=pivot(A,1,1,3); /* reduction 1ere colonne */ A:=pivot(A,2,2,3); A:=pivot(A,2,2,1); /* reduction 2eme colonne */ factor(A[3,3]); \end{verbatim} Ce qui met bien en évidence le facteur $a$ dans $A_{3,3}$. \subsubsection{Le d\'eterminant.} On peut bien sûr appliquer les m\'ethodes ci-dessus en tenant compte des pivots utilisés et du produit des coefficients diagonaux. Dans le cas de la méthode de Bareiss, si on effectue la réduction sous-diagonale uniquement, il n'est pas nécessaire de garder une trace des pivots et de calculer le produit des coefficients diagonaux, montrons que la valeur du d\'eterminant est égal au dernier coefficient diagonal~: en effet si $R$ désigne la matrice réduite et que l'on pose $R_{0,0}=1$, alors la réduction par la méthode de Bareiss de la colonne $i$ a pour effet de multiplier le déterminant de la matrice initiale $M$ par $(R_{i,i}/(R_{i-1,i-1})^{n-i}$. Donc~: \begin{eqnarray*} \mbox{det}(R)&=&\mbox{det}(M) \ \prod_{i=1}^{n-1} (R_{i,i}/(R_{i-1,i-1})^{n-i} \\ \prod_{i=1}^{n} R_{i,i}&=& \mbox{det}(M) \ \prod_{i=1}^{n-1} R_{i,i} \\ R_{n,n} &=& \mbox{det}(M) \end{eqnarray*} Pour les matrices \`a coefficients entiers, on peut aussi utiliser une m\'ethode modulaire~: on calcule une borne \`a priori sur le d\'eterminant et on calcule le d\'eterminant modulo suffisamment de petits nombres premiers pour le reconstruire par les restes chinois. L'avantage de cet algorithme est qu'il est facile à paralléliser. On utilise souvent la borne d'Hadamard sur le d\'eterminant~: \[ |\det(M)| \leq \prod_{1\leq i \leq n} \sqrt{\sum_{1\leq j \leq n} |m_{i,j}|^2}\] Preuve de la borne~: on majore le déterminant par le produit des normes des vecteurs colonnes de $M$. {\bf Remarque}~:\\ Si on veut juste prouver l'inversibilité d'une matrice \`a coefficients entiers, il suffit de trouver un nombre premier $p$ tel que le déterminant de cette matrice modulo $p$ soit non nul. {\bf Développement par rapport à une ligne ou une colonne}\\ On a tendance à oublier ce type de méthode car le développement complet du déterminant (faisant intervenir une somme sur toutes les permutations du groupe symétrique) nécessite d'effectuer $n!$ produits de $n$ coefficients et $n!$ additions ce qui est gigantesque. Or on peut "factoriser" une partie des calculs et se ramener à $n.2^n$ opérations élémentaires au lieu de $n.n!$. Remarquons aussi que le nombre d'opérations élémentaires n'a guère de sens si on ne tient pas compte de la complexité des expressions, l'avantage principal de la méthode de développement étant d'éviter d'effectuer des divisions. {\bf Calcul du déterminant par développement de Laplace}\\ On calcule d'abord tous les mineurs 2x2 des colonnes 1 et 2 que l'on place dans une table de mineurs, puis on calcule les mineurs 3x3 des colonnes 1 \`a 3 en développant par rapport à la colonne 3 et en utilisant les mineurs pr\'ec\'edents, puis les mineurs 4x4 avec les mineurs 3x3, etc.. On évite ainsi de recalculer plusieurs fois les mêmes mineurs. Cf. par exemple l'implémentation en C++ dans giac/xcas (\verb|www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac.html|) qui utilise le type générique \verb|map<>| de la librairie standard C++ (STL) pour stocker les tables de mineurs (fonction \verb|det_minor| du fichier {\tt vecteur.cc}).\\ Nombre d'opérations élémentaires~: il y a $(^n_2)$ mineurs d'ordre 2 à calculer nécessitant chacun 2 multiplications (et 1 addition), puis $(^n_3)$ mineurs d'ordre 3 nécessitant 3 multiplications et 2 additions, etc. donc le nombre de multiplications est de $2(^n_2)+3(^n_3)+...+n(^n_n)$, celui d'additions est $(^n_2)+2(^n_3)+...+(n-1)(^n_n)$ soit un nombre d'opérations élémentaires majoré par $n.2^n$. On observe "expérimentalement" que cet algorithme est intéressant lorsque le nombre de paramètres dans le déterminant est grand et que la matrice est plutôt creuse (majorité de coefficients nuls). Il existe des heuristiques de permutation des lignes ou des colonnes visant à optimiser la position des zéros (par exemple, les auteurs de GiNaC (\verb|www.ginac.de|) suite à des expérimentations privilégient la simplification des petits mineurs en mettant les colonnes contenant le maximum de z\'eros \`a gauche selon la description faite ici). Pour se convaincre de l'int\'er\^et de cet algorithme, on peut effectuer le test O1 de Lewis-Wester\\ \verb|http://www.bway.net/~lewis/calatex.html|\\ il s'agit de calculer un d\'eterminant de taille 15 avec 18 param\`etres. \subsubsection{Syst\`emes lin\'eaires} On peut appliquer la m\'ethode du pivot de Gau\ss\ ou les r\`egles de Cramer. Pour les syst\`emes \`a coefficients entiers non singuliers, on peut aussi utiliser une m\'ethode $p$-adique asymptotiquement plus efficace. On calcule d'abord une borne sur les coefficients des fractions solutions de l'\'equation $Ax=b$ en utilisant les règles de Cramer et la borne d'Hadamard. On calcule ensuite $C$, l'inverse de $A$ modulo $p$ (en changeant de $p$ si $A$ n'est pas inversible modulo $p$), puis, si \[ x=\sum_i x_i p^i, \quad A(\sum_{isqrtn do r2:= irem(r0,r1); q2:=(r0-r2)/r1; beta2:=beta0-q2*beta1; beta0:=beta1; r0:=r1; beta1:=beta2; r1:=r2; end_while; return(r1/beta1); end_proc; \end{verbatim} \subsubsection{Base du noyau} On pr\'esente ici deux m\'ethodes, la premi\`ere se g\'en\'eralise au cas des syst\`emes \`a coefficients entiers, la deuxi\`eme utilise un peu moins de m\'emoire (elle travaille sur une matrice 2 fois plus petite). {\bf Premi\`ere m\'ethode} Soir $M$ la matrice dont on cherche le noyau. On ajoute \`a droite de la matrice transpos\'ee de $M$ une matrice identit\'e ayant le m\^eme nombre de lignes que $M^t$. On effectue une r\'eduction sous-diagonale qui nous am\`ene \`a une matrice compos\'ee de deux blocs \[ ( M^t I_n ) \ \rightarrow \ ( U \tilde{L} ) \] Attention, $\tilde{L}$ n'est pas la matrice $L$ de la d\'ecomposition $LU$ de $M^t$, on a en fait \[ \tilde{L} M^t = U\] donc \[ M \tilde{L}^t = U^t \] Les colonnes de $\tilde{L}^t$ correspondant aux colonnes nulles de $U^t$ (ou si on pr\'ef\`ere les lignes de $\tilde{L}$ correspondant aux lignes nulles de $U$) sont donc dans le noyau de $M$ et r\'eciproquement si $Mv=0$ alors \[ U^t (\tilde{L}^t)^{-1} v =0 \] donc, comme $U$ est r\'eduite, $(\tilde{L}^t)^{-1} v$ est une combinaison lin\'eaire des vecteurs de base d'indice les lignes nulles de $U$. Finalement, les lignes de $\tilde{L}$ correspondant aux lignes nulles de $U$ forment une base du noyau de $M$. On peut faire le raisonnement ci-dessus \`a l'identique si $M$ est une matrice \`a coefficients entiers, en effectuant des manipulations \'el\'ementaires r\'eversibles dans $\Z$, gr\^ace \`a l'idendit\'e de B\'ezout. Si $a$ est le pivot en ligne $i$, $b$ le coefficient en ligne $j$ \`a annuler, et $u, v, d$ les coefficients de l'identit\'e de B\'ezout $a u + b v =d$ on fait les changements~: \[ L_i \leftarrow uL_i +v L_j, \quad L_j \leftarrow -\frac{b}{d} L_i + \frac{a}{d} L_j \] qui est r\'eversible dans $\Z$ car le d\'eterminant de la sous-matrice \'el\'ementaire correspondante est \[ \left| \begin{array}{cc} u & v \\ -\frac{b}{d} & \frac{a}{d} \end{array} \right| = 1 \] Cette r\'eduction (dite de Hermite) permet de trouver une base du noyau \`a coefficients entiers et telle que tout \'el\'ement du noyau \`a coefficient entier s'\'ecrit comme combinaison lin\'eaire \`a coefficients entiers des \'el\'ements de la base. {\bf Deuxi\`eme m\'ethode} On commence bien sûr par réduire la matrice (réduction complète en-dehors de la diagonale), et on divise chaque ligne par son premier coefficient non nul (appelé pivot). On insère alors des lignes de 0 pour que les pivots (non nuls) se trouvent sur la diagonale. Puis en fin de matrice, on ajoute ou on supprime des lignes de 0 pour avoir une matrice carrée de dimension le nombre de colonnes de la matrice de départ. On parcourt alors la matrice en diagonale. Si le $i$-ième coefficient est non nul, on passe au suivant. S'il est nul, alors tous les coefficients d'indice supérieur ou égal à $i$ du $i$-ième vecteur colonne $v_i$ sont nuls (mais pas forcément pour les indices inférieurs à $i$). Si on remplace le $i$-ième coefficient de $v_i$ par -1, il est facile de se convaincre que c'est un vecteur du noyau, on le rajoute donc à la base du noyau. On voit facilement que tous les vecteurs de ce type forment une famille libre de la bonne taille, c'est donc bien une base du noyau. \subsection{R\'eduction des endomorphismes} \subsubsection{Le polyn\^ome minimal} On prend un vecteur $v$ au hasard et on calcule la relation lin\'eaire de degr\'e minimal entre $v$, $Av$, ..., $A^nv$ en cherchant le premier vecteur $w$ du noyau de la matrice obtenue en écrivant les vecteurs $v$, $Av$, etc. en colonne dans cet ordre. Les coordonnées de $w$ donnent alors par ordre de degré croissant un polynôme $P$ de degr\'e minimal tel que $P(A)v=0$ donc $P$ divise le polynôme minimal $M$. Donc si $P$ est de degré $n$, $P=M$. Sinon, il faut v\'erifier que le polynôme obtenu annule la matrice $A$. On peut aussi calculer en parallèle le polynôme $P$ précédent pour quelques vecteurs aléatoires et prendre le PPCM des polynômes obtenus. {\bf Exemple 1}\\ Polynôme minimal de $\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{array}\right) $. On prend $v=(1,0)$, la matrice à réduire est alors~: \[ \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -11 \\ 2 & 10 & 38 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & 5 \end{array}\right) \] Le noyau est engendré par $(-6,5,-1)$ donc $P=-x^2+5x-6$. {\bf Exemple 2}\\ \[ A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & -2 \\ -1 &0 &1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right) \] en prenant $v=(1,0,0)$ on obtient la matrice~: \[ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 0 & -1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] le permier vecteur du noyau est $(-1,2,-1)$ d'où un polynôme divisant le polynôme minimal $-x^2+2x-1$. \subsubsection{Le polyn\^ome caract\'eristique} Pour une matrice générique, le polynôme caractéristique est égal au polynôme minimal, il est donc intéressant de chercher si le polynôme annulateur de $A$ sur un vecteur aléatoire est de degré $n$, car le temps de calcul du polynôme caractéristique est alors en $O(n^3)$. Si cette méthode probabiliste échoue, on se rabat sur une des méthode déterministe ci-dessous: \begin{itemize} \item on utilise la formule $\det(\lambda I -A)$ déterminé par une des m\'ethodes de calcul de d\'eterminant ci-dessus. Cela nécessite $O(n^3)$ opérations mais avec des coefficients polynômes en $\lambda$. \item on fait une interpolation de Lagrange en donnant $n+1$ valeurs distinctes \`a $\lambda$. Ce qui nécessite $O(n^4)$ opérations mais avec des coefficients indépendants de $\lambda$, de plus cette m\'ethode est facile \`a programmer de mani\`ere parall\`ele. \item si la matrice est \`a coefficients entiers on peut utiliser la m\'ethode de Hessenberg (voir ci-dessous), on calcule une borne \`a priori sur les coefficients du polyn\^ome caract\'eristique (cf. Cohen p.58-59)~: \[ |P_k| \leq \left( \begin{array}{c} n \\ n-k\end{array}\right) (n-k)^{(n-k)/2} |M|^{n-k} \ ,\] on calcule le polyn\^ome caract\'eristique modulo suffisamment de petits entiers puis on remonte par les restes chinois. \end{itemize} \subsubsection{La m\'ethode de Hessenberg} Pour les matrices \`a coefficients de taille born\'ee (modulaires par exemple) on préfère la m\'ethode de Hessenberg qui est plus efficace, car elle n\'ecessite de l'ordre de $n^3$ op\'erations sur les coefficients. On se ram\'ene d'abord \`a une matrice triangulaire supérieure à une diagonale près qui est semblable \`a la matrice de d\'epart puis on applique une formule de r\'ecurrence pour calculer les coefficients du polyn\^ome caract\'eristique. {\bf Algorithme de réduction de Hessenberg:}\\ Dans une colonne $m$ donnée de la matrice $H$, on cherche à partir de la ligne $m+1$ un coefficient non nul. S'il n'y en a pas on passe à la colonne suivante. S'il y en a un en ligne $i$, on échange les lignes $m+1$ et $i$ et les colonnes $m+1$ et $i$. Ensuite pour tout $i\geq m+2$, soit $u=H_{i,m}/H_{m+1,m}$, on remplace alors la ligne $L_i$ de $H$ par $L_i-uL_{m+1}$ et la colonne $C_{m+1}$ par $C_{m+1}+uC_i$ ce qui revient ``à remplacer le vecteur $e_{m+1}$ de la base par le vecteur $e_{m+1}+ue_i$'' ou plus pr\'ecis\'ement \`a multiplier \`a gauche par $\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -u & 1\end{array}\right)$ et \`a droite par la matrice inverse $\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ u & 1\end{array}\right)$ (en utilisant les lignes et colonnes $m+1$ et $i$ au lieu de 1 et 2 pour ces matrices). Ceci a pour effet d'annuler le coefficient $H_{i,m}$ dans la nouvelle matrice. On obtient ainsi en $O(n^3)$ opérations une matrice $H'$ semblable à $H$ de la forme~: \[ \left(\begin{array}{cccccc} H'_{1,1} & H'_{1,2} & ... & H'_{1,n-2} & H'_{1,n-1} & H'_{1,n}\\ H'_{2,1} & H'_{2,2} & ... & H'_{2,n-2} & H'_{2,n-1} & H'_{2,n} \\ 0 & H'_{3,2} & ... & H'_{3,n-2} & H'_{3,n-1} & H'_{3,n} \\ 0 & 0 & ... & H'_{4,n-2} & H'_{4,n-1} & H'_{4,n} \\ \vdots & \vdots & ... & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & ... & 0 & H'_{n,n-1} & H'_{n,n} \end{array} \right) \] On calcule alors le polynôme caractéristique de $H'$ par une récurrence qui s'obtient en développant le déterminant par rapport à la derni\`ere colonne~: \begin{eqnarray*} h_n(\lambda) = \mbox{det}(\lambda I_n-H)&=& (\lambda-H'_{n,n}) h_{n-1}(\lambda) -(-H'_{n-1,n}) (-H'_{n,n-1}) h_{n-2}(\lambda) + \\ & & + (-H'_{n-2,n}) (-H'_{n,n-1}) (-H'_{n-1,n-2}) h_{n-3}(\lambda) - ... \end{eqnarray*} où les $h_i$ s'entendent en gardant les $i$ premières lignes/colonnes de $H'$. On peut \'ecrire cette formule pour $m\leq n$~: \[ h_m(\lambda)= (\lambda - H'_{m,m}) h_{m-1}(\lambda) -\sum_{i=1}^{m-1} H'_{m-i,m} \prod_{j=1}^{i-1} H'_{m-j+1,m-j} h_{i-1}(\lambda)\] Pour effectuer cette r\'ecurrence de mani\`ere efficace, on conserve les $h_m(\lambda)$ dans un tableau de polyn\^omes et on utilise une variable produit contenant successivement les $\prod H'_{m-j+1,m-j}$. \subsubsection{La m\'ethode de Leverrier-Faddeev-Souriau} Cette m\'ethode permet le calcul simultan\'e des coefficients $p_i \ (i=0..n)$ du polyn\^ome caract\'eristique $P(\lambda)=\det(\lambda I-A)$ et des coefficients matriciels $B_i \ (i=0..n-1)$ du polyn\^ome en $\lambda$ donnant la matrice adjointe (ou comatrice) $B(\lambda)$ de $\lambda I -A$~: \begin{equation} \label{eq:Bp} (\lambda I -A)B(\lambda)=(\lambda I -A) \sum_{k\leq n-1} B_k \lambda^k = (\sum_{k\leq n} p_k \lambda^k)I =P(\lambda)I \end{equation} Remarquons que cette équation donne une démonstration assez simple de Cayley-Hamilton puisque le reste de la division euclidienne du polynôme $P(\lambda)I$ par $\lambda I -A $ est $P(A)$. Pour déterminer simultanément les $p_k$ et $B_k$, on a les relations de récurrence~: \begin{equation} \label{eq:Bp1} B_{n-1}=p_n I=I, \quad B_k-AB_{k+1}=p_{k+1} I \end{equation} Il nous manque une relation entre les $p_k$ et $B_k$ pour pouvoir faire le calcul par valeurs décroissantes de $k$, on va montrer le~: \begin{thm} La d\'eriv\'ee du polyn\^ome caract\'eristique $P'(\lambda)$, est \'egale \`a la trace de la matrice adjointe de $\lambda I-A$ \[ \mbox{tr}(B)=P'(\lambda) \] \end{thm} Le théorème nous donne $\mbox{tr}(B_k) = (k+1)p_{k+1} $. Si on prend la trace de (\ref{eq:Bp1}), on a~: \[ \mbox{tr}(B_{n-1})=n p_n, \quad (k+1)p_{k+1} -\mbox{tr}(AB_{k+1}) =np_{k+1} \] donc on calcule $p_{k+1}$ en fonction de $B_{k+1}$ puis $B_k$~: \[ p_{k+1}=\frac{\mbox{tr}(AB_{k+1})}{k+1-n}, \quad B_k=AB_{k+1}+p_{k+1} I \] {\bf D\'emonstration du théorème:}\\ Soient $V_1(\lambda),...V_n(\lambda)$ les vecteurs colonnes de $\lambda I-A$ et $b_{i,j}(\lambda)$ les coefficients de $B$, on a~: \begin{eqnarray*} P'(\lambda_0) &=& \det(V_1(\lambda),V_2(\lambda),...,V_n(\lambda) )' _{|\lambda=\lambda_0}\\ &=&\det(V'_1(\lambda_0),V_2(\lambda_0),...,V_n(\lambda_0) )+ \det(V_1(\lambda_0),V'_2(\lambda_0),...,V_n(\lambda_0) )+ \\ & & +...+\det(V_1(\lambda_0),V_2(\lambda_0),...,V'_n(\lambda_0) ) \end{eqnarray*} Il suffit alors de remarquer que $V'_i(\lambda_0)$ est le $i$-ième vecteur de la base canonique donc~: \[ \det(V_1(\lambda_0),V_2(\lambda_0),...,V'_i(\lambda_0),...,V_n(\lambda_0) ) =b_{i,i}(\lambda_0) \] Finalement~: \[P'(\lambda_0)=\sum_{i=1}^n b_{i,i}(\lambda_0)=\tr(B(\lambda_0)) \] {\bf Remarque}~:\\ En réindexant les coefficients de $P$ et $B$ de la manière suivante~: \begin{eqnarray*} P(\lambda) &=& \lambda^n+p_1\lambda^{n-1}+p_2\lambda^{n-2}...+p_n \\ B(\lambda) &=& \lambda^{n-1}I+\lambda^{n-2}B_1+...+B_{n-1} \end{eqnarray*} on a montré que~: \[ \left\{ \begin{array}{ccc} A_1=A, & p_1=-\mbox{tr}(A), & B_1=A_1+p_1I \\ A_2=AB_1, & p_2=-\frac{1}{2}\mbox{tr}(A_2), & B_2=A_2+p_2I \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ A_k=AB_{k-1}, & p_k=-\frac{1}{k}\mbox{tr}(A_k), & B_k=A_k+p_kI \end{array} \right.\] On peut alors vérifier que $B_n=A_n+p_nI=0$. D'où ce petit programme à utiliser avec xcas en mode mupad (\verb|maple_mode(2);|), ou avec MuPAD, ou à adapter avec un autre système~: \begin{verbatim} iequalj:=(j,k)->if j=k then return(1); else return(0); end_if; faddeev:=proc(A) // renvoie la liste des matrices B et le polynome P local Aj,AAj,Id,coef,n,pcara,lmat; begin n:=ncols(A); Id:=matrix(n,n,iequalj); // matrice identite Aj:=Id; lmat:=[]; // B initialise a liste vide pcara:=[1]; // coefficient de plus grand degre de P for j from 1 to n do lmat:=append(lmat,Aj); // rajoute Aj a la liste de matrices AAj:=Aj*A; coef:=-trace(AAj)/j; // mupad linalg::tr pcara:=append(pcara,coef); // rajoute coef au polynome caracteristique Aj:=AAj+coef*Id; end_for; lmat,pcara; // resultat end_proc; \end{verbatim} \subsubsection{Les vecteurs propres simples.} On suppose ici qu'on peut factoriser le polyn\^ome caract\'eristique (ou calculer dans une extension alg\'ebrique d'un corps). Lorsqu'on a une valeur propre simple $\lambda_0$, en \'ecrivant la relation $(A-\lambda_0 I)B(\lambda_0)=P(\lambda_0)I=0$, on voit que les vecteurs colonnes de la matrice $B(\lambda_0)$ sont vecteurs propres. Remarquer que $B(\lambda_0) \neq 0$ sinon on pourrait factoriser $\lambda-\lambda_0$ dans $B(\lambda)$ et apre\`s simplifications on aurait~: \[(A-\lambda_0 I)\frac{B}{\lambda-\lambda_0}(\lambda_0)= \frac{P}{\lambda-\lambda_0}(\lambda_0)I \] or le 2\`eme membre est inversible en $\lambda_0$ ce qui n'est pas le cas du premier. Pour avoir une base des vecteurs propres associ\'es \`a $\lambda_0$, on calcule $B(\lambda_0) $ par la m\'ethode de Horner appliqu\'ee au polyn\^ome $B(\lambda)$ en $\lambda=\lambda_0$, et on r\'eduit en colonnes la matrice obtenue. \subsubsection{La forme normale de Jordan} \label{sec:jordan} Pour les valeurs propres de multiplicit\'e plus grande que 1, on souhaiterait g\'en\'eraliser la m\'ethode ci-dessus pour obtenir une base de l'espace caractéristique, sous forme de cycles de Jordan. Soit $\lambda _i$, $n_i$ les valeurs propres compt\'ees avec leur multiplicit\'e. On fait un d\'eveloppement de Taylor en $\lambda _i$: \begin{eqnarray*} -P(\lambda )I&=&(A-\lambda I)\left( B(\lambda_i )+ B'(\lambda _i)(\lambda -\lambda _i) % + ... + \frac{B^{(n_i)}(\lambda_i )}{n_i!} (\lambda -\lambda _i)^{n_i} + ... + \frac{B^{(n-1)}(\lambda_i )}{(n-1)!} (\lambda -\lambda _i)^{n-1} \right) \\ &=& -(\lambda -\lambda _i)^{n_i} \prod _{j\neq i} (\lambda -\lambda _j)^{n_j} I \end{eqnarray*} Comme $A-\lambda I=A-\lambda _i I - (\lambda -\lambda _i)I$, on obtient pour les $n_i$ premi\`eres puissances de $\lambda -\lambda _i$: \begin{eqnarray} \label{eq:jordan1} (A-\lambda _i I) B(\lambda _i)&=&0\\ (A-\lambda _i I) B'(\lambda _i)&=&B(\lambda_i )\\ & ... & \\ (A-\lambda _i I) \frac{B^{(n_i-1)}(\lambda _i)}{(n_i-1)!} &=& \frac{B^{(n_i-2)}(\lambda _i)}{(n_i-2)!} \label{eq:jordan3} \\ (A-\lambda _i I)\frac{B^{(n_i)}(\lambda_i)}{n_i!} - \frac{B^{(n_i-1)}(\lambda_i)}{(n_i-1)!} &= &-\prod_{j\neq i}(\lambda _i-\lambda _j)^{n_j} I \label{eq:jordan4} \end{eqnarray} Le calcul des matrices $B^{(n)}(\lambda _i)/n!$ pour $n|\lambda_2|>...>|\lambda_n|$ (d\'eveloppement inspir\'e par Peter J. Olver dans le cas sym\'etrique \verb|http://www.math.umn.edu/~olver/aims_/qr.pdf|). On peut toujours s'y ramener quitte à remplacer $A$ par $A- \alpha I$. Posons $A_1=A$, et par r\'ecurrence $A_n=Q_nR_n$ (avec $Q_n$ unitaire et $R$ triangulaire sup\'erieure à coefficients diagonaux positifs), $A_{n+1}=R_nQ_n$. On a alors \begin{eqnarray*} A^k & = & (Q_1 R_1) (Q_1 R_1) (Q_1 R_1) ... (Q_1 R_1) (Q_1 R_1) \\ & = & Q_1 (R_1 Q_1) (R_1 Q_1) (R_1 ... Q_1) (R_1 Q_1) R_1 \\ & = & Q_1 (Q_2 R_2) (Q_2 R_2) .. (Q_2 R_2) R_1 \\ & = & Q_1 Q_2 (R_2 Q_2) R_2 .. Q_2 R_2 R_1 \\ & = & Q_1 Q_2 (Q_3 R_3) ... Q_3 R_3 R_2 R_1 \\ & = & Q_1 ... Q_k R_k ...R_1 \end{eqnarray*} D'autre part $A=PSP^{-1}$ donc $A^k = P S^k P^{-1}$. Soit $D$ la forme diagonale de $S$ et $U$ la matrice de passage $S=UDU^{-1}$, où $U$ est triangulaire supérieure et où on choisit la normalisation des coefficients sur la diagonale de $U$ valant 1. On a donc \[ A^k = P U D^{k} U^{-1} P^{-1} \] Ensuite, on suppose qu'on peut factoriser $U^{-1}P^{-1}=L\tilde{U}$ sans permutations, donc qu'on ne rencontre pas de pivot nul, et quitte \`a multiplier les vecteurs unitaires de $P^{-1}$ par une constante complexe de module 1 on peut supposer que les pivots sont positifs donc que $\tilde{U}$ a des coefficients positifs sur la diagonale, on a alors \[ A^k = P U D^k L \tilde{U} = Q_1 ... Q_k R_k ...R_1 \] puis en multipliant par $U^{-1} |D|^{-k}$ \[ P U D^k L |D|^{-k} = Q_1 ... Q_k R_k ...R_1 \tilde{U}^{-1} |D-^{-k} \] o\`u $R_k ...R_1 \tilde{U}^{-1} |D|^{-k}$ est triangulaire sup\'erieure à coefficients positifs sur la diagonale et $Q_1 ... Q_k$ est unitaire. On regarde ensuite les entr\'ees de la matrice $D^k L |D|^{-k}$, sous la diagonale elles convergent (géométriquement) vers 0, donc $UD^k L |D|^{-k}$ tend vers une matrice triangulaire sup\'erieure dont les coefficients diagonaux valent $e^{i k\arg(\lambda_j)}$. On montre que cela entraine que $Q_1 ... Q_k $ est équivalent à $P(D/|D|)^k$ \[ Q_1 ... Q_k \approx P (D/|D|)^{k}, \quad R_k ...R_1 \tilde{U}^{-1} |D|^{-k} \approx (D/|D|)^{-k} UD^k L |D|^{-k} \] Donc, $Q_k$ tend à devenir diagonale, et $R_k Q_k=A_{k+1}$ triangulaire supérieure. De plus \[ A=Q_1 A_2 Q_1^{-1} = ... = Q_1 ... Q_k A_{k+1} (Q_1 ... Q_k)^{-1} \] la matrice $A_{k+1}$ est donc semblable à $A$. En pratique, on n'impose pas la positivité des coefficients diagonaux de $R$ dans la factorisation $QR$, ce qui ne change évidemment pas le fait que $Q_k$ s'approche d'une matrice diagonale et $A_k$ d'une matrice triangulaire supérieure (avec convergence à vitesse géométrique). On utilise aussi des ``shifts'' pour accélerer la convergence, c'est-à-dire qu'au lieu de faire $QR$ et $RQ$ sur la matrice $A_k$ on le fait sur $A_k - \alpha_k I$ où $\lambda_k$ est choisi pour accélerer la convergence vers 0 du coefficient d'indice ligne $n$ colonne $n-1$ (idéalement il faut prendre $\alpha_k$ proche de $\lambda_n$ la valeur propre de module minimal, afin de minimiser $|\lambda_n-\alpha_k|/|\lambda_{n-1}-\alpha_k|$). En effet, si $A_k - \lambda_k I = Q_k R_k$ et $A_{k+1}=R_kQ_k+\lambda_k I$ alors~: \begin{eqnarray*} (A-\alpha_1 I) ... (A-\alpha_k I) &= & Q_1R_1(Q_1R_1-(\alpha_2-\alpha_1)I) ...(Q_1R_1-(\alpha_2-\alpha_1)I) \\ &=& Q_1 (R_1Q_1 - (\alpha_2-\alpha_1)I)R_1 (Q_1R_1-(\alpha_3-\alpha_1)I) ...(Q_1R_1-(\alpha_2-\alpha_1)I) \\ &=& Q_1 (A_2 - \alpha_1 I -(\alpha_2-\alpha_1)I) R_1 Q_1(R_1Q_1-(\alpha_3-\alpha_1)I) R_1...(Q_1R_1-(\alpha_2-\alpha_1)I) \\ &=& Q_1 (A_2 - \alpha_2 I) (A_2 - \alpha_3 I) ... (A_2 - \alpha_{k-1}I) R_1 \\ &=& ... \\&=&Q_1 ... Q_k R_k ...R_1 \end{eqnarray*} On peut aussi éliminer la dernière ligne et la dernière colonne de la matrice pour accélerer les calculs dès que le coefficient en ligne $n$ colonne $n-1$ est suffisamment petit. On remarque que pour une matrice réelle si on choisit des shifts conjugués, alors $Q_1...Q_k R_k...R_1$ est réel. Or si $QR=\overline{Q}\overline{R}$ et si $R$ est inversible \[ \overline{Q}^{-1} Q = \overline{R} R^{-1} \] On a donc une matrice symétrique (car $\overline{Q}^{-1}=Q^t$) et triangulaire supérieure. On en déduit que $\overline{Q}^{-1} Q=D$ est diagonale, donc $Q=\overline{Q} D$. On peut donc rendre $Q$ réelle en divisant chaque colonne par un $e^{i\theta}$, et rendre $R$ réelle en conjuguant par la matrice $D$. Mais ce procédé de retour au réel après élimination de 2 valeurs propres complexes conjuguées d'une matrice réelle se heurte à un problème de conditionnement parce que le choix d'un shift intéressant pour la convergence va rendre la matrice $R$ proche d'une matrice non inversible (les deux derniers coefficients diagonaux de $R$ sont proches de 0). On a alors seulement \[ \overline{Q}^{-1} Q R = \overline{R} \] Si on décompose $\overline{Q}^{-1} Q$, $R$, $\overline{R}$ par blocs $n-2,n-2$, $n-2,2$, $2,n-2$ et $2,2$, on a \begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cc} QQ_{11} & QQ_{12} \\ QQ_{21} & QQ_{22} \end{array} \right) \left(\begin{array}{cc} R_{11} & R_{12} \\ 0 & R_{22} \end{array} \right) &=& \left(\begin{array}{cc} QQ_{11} R_{11} & QQ_{21}R_{11} \\ QQ_{11} R_{12} + QQ_{12} R_{22} & QQ_{21} R_{12} + QQ_{22} R_{22} \end{array} \right) \\ &=& \left(\begin{array}{cc} \overline{R}_{11} & \overline{R}_{12} \\ 0 & \overline{R}_{22} \end{array} \right) \end{eqnarray*} Donc on a $QQ_{11} =\overline{R}_{11} R_{11}^{-1}$. Comme $Q$ est unitaire, $QQ=\overline{Q}^{-1} Q=Q^t \, Q$ est symétrique, donc $QQ_{11}$ est diagonale puisque symétrique et triangulaire supérieure. On peut donc ramener $Q_{11}$ et $R_{11}$ en des matrices réelles. Revenons à la localisation des valeurs propres. On suppose qu'on a maintenant une matrice unitaire $P$ et une matrice triangulaire supérieure $S$ (aux erreurs d'arrondi près) telles que \[ P^{-1} A P = S \] Que peut-on en déduire~? On va d'abord arrondir $P$ en une matrice exacte à coefficients rationnels, dont les dénominateurs sont une puissance de 2 (en fait c'est exactement ce que donne l'écriture d'un flottant en base 2, une fois ramené tous les exposants à la même valeur). On a donc une matrice $P_e$ presque unitaire exacte et telle que \[ S_e = P_e^{-1} A P_e \] est semblable à $A$, et presque triangulaire supérieure. (comme $P_e$ est presque unitaire, sa norme et la norme de son inverse sont proches de 1 donc $S_e$ est proche de $S$, les coefficients de $S_e$ sont de la même taille que les coefficients de $A$~: le changement de base est bien conditionné et c'est la raison pour laquelle on a choisi d'effectuer des transformations unitaires). Notons $\mu_1, ..., \mu_n$ les coefficients diagonaux de $S_e$, soit $\varepsilon$ un majorant de la norme des coefficients sous-diagonaux de $S_e$, et soit $\delta$ un minorant de l'écart entre 2 $\mu_j$ distincts. On a donc $S_e=U+E$ où $U$ est triangulaire supérieure, $E$ est triangulaire inférieure avec des 0 sous la diagonale et des coefficients de module majorés par $\varepsilon$. Si $\varepsilon$ est suffisamment petit devant $\delta$, on va montrer qu'on peut localiser les valeurs propres de $S_e$ (qui sont celles de $A$) au moyen des $\mu_j$. En effet, fixons $j$ et soit $C$ un cercle de centre $\mu=\mu_j$ et de rayon $\alpha \leq \delta/2$. Si $A$ est une matrice diagonalisable, on sait que \[ \mbox{nombre de valeurs propres} \in C = \frac{1}{2i\pi} \mbox{trace} \int_C (A-zI)^{-1} \] En prenant $A=S_e$, et en écrivant \[ (S_e-zI)^{-1} = (U-zI+E)^{-1} = ( I + (U-zI)^{-1}E)^{-1}(U-zI)^{-1} \] on développe le second terme si la norme de $(U-zI)^{-1}E$ est strictement inférieure à 1 \[ (S_e-zI)^{-1} = (U-zI)^{-1} -(U-zI)^{-1}E(U-zI)^{-1} + (U-zI)^{-1}E(U-zI)^{-1}E(U-zI)^{-1} + ...\] puis on calcule la trace \[ \mbox{trace}(S_e-zI)^{-1} = \sum_j (\mu_j-z)^{-1} + \eta \] avec \[ |\eta| \leq 2\pi \alpha || (U-zI)^{-1} || \frac{|| (U-zI)^{-1}E ||}{1-|| (U-zI)^{-1}E ||}\] Au final, le nombre de valeurs propres dans $C$ est donné par \[ 1 + \tilde{\eta}, \quad |\tilde{\eta}| \leq \alpha \mbox{max}_{z \in C} || (U-zI)^{-1} || \frac{|| (U-zI)^{-1}E ||}{1-|| (U-zI)^{-1}E ||} \] Il suffit donc que le max soit plus petit que 1 pour avoir l'existence d'une valeur propre et une seule de $S_e$ dans le cercle $C$ (à distance au plus $\alpha$ de $\mu$). Ce sera le cas si \[ \varepsilon \leq \frac{1}{2} \left( \frac{\delta}{2 ||S_e||} \right)^{n-1} \frac{\alpha}{\sqrt{n-1}}\] on choisit donc $\alpha$ pour réaliser l'égalité ci-dessus, sous réserve que $\delta$ ne soit pas trop petit, rappelons que $\alpha$ doit être plus petit ou égal à $\delta/2$. Si $\delta$ est petit, il peut être nécessaire d'utiliser une précision plus grande pour les calculs de la décomposition de Schur en arithmétique flottante. Typiquement, on peut espérer (pour un écart $\delta$ pas trop petit) pouvoir localiser les racines d'un polynôme de degré $n$ par cette méthode avec précision $b$ bits en $O(n^3 b^2 + n^2 b^3)$ opérations pour le calcul de la décomposition de Schur en flottant ($n^3b^2$ pour Hessenberg initial puis $n^2b^2$ par itération et un nombre d'itérations proportionnel à $b$). Pour le calcul exact de $S_e$, il faut inverser une matrice de taille $n$ avec des coefficients de taille proportionnelle à $b$ donc $O(n^4b\ln(n))$ opérations (en modulaire, la taille des coefficients de l'inverse est $O(nb \ln(n))$) puis calculer un produit avec une matrice $n,n$ de coefficients de taille proportionnelle à $b$, soit $O(n^4b^2\ln(nb))$ opérations. Asymptotiquement, on peut faire mieux avec des méthodes de multiplication et d'opérations matricielles par blocs. Pour éviter la perte d'un facteur $n$, on peut aussi ne pas faire de calculs en mode exact et controler les erreurs sur la matrice $S$. On peut regrouper les valeurs propres par ``clusters'' si elles sont trop proches à la précision de $b$ bits. Pour la recherche des racines d'un polynôme $P$, on peut montrer, en calculant le résultant de $P$ et de $P'$ qui est en module plus grand ou égal à 1, et en l'écrivant comme produit des différences des racines, et en majorant toutes les différences de racine sauf une à l'aide de la norme infinie de $P$, qu'il faut $b=O(n)$ bits pour séparer les racines). \subsubsection{Autres} On peut aussi facilement programmer la recherche de la d\'ecomposition $^tP D P$ d'une matrice sym\'etrique et en d\'eduire la signature d'une forme quadratique. Citons enfin l'algorithme $LLL$ (cf. Cohen) qui est utile dans de nombreux domaines (il permet de trouver des vecteurs assez courts dans un r\'eseau, ce ne sont pas les plus courts, mais en contrepartie on les trouve très vite). \subsection{Quelques r\'ef\'erences} \label{sec:ref} \begin{itemize} \item Comme toujours on renvoie à l'excellent livre de Henri Cohen: A Course in Computational Algebraic Number Theory \item Gantmacher: Th\'eorie des matrices \item Pour une impl\'ementation des algorithmes de forme normale de Smith ou de Frobenius, cf. le source de MuPAD ou\\ \verb|http://www.mapleapps.com/maplelinks/share/normform.html| \item Ferrard, Lemberg: Math\'ematiques Concr\`etes, Illustr\'ees par la TI 92 et la TI 89 \\ Présente aussi des algorithmes plus numériques, et le lien avec la diagonalisation numérique de matrices. \item Press et al.: Numerical recipies in Fortran/C/Pascal.\\ Pour des algorithmes numériques (sur les matrices et autres). \end{itemize} \subsection{Exercices (alg\`ebre lin\'eaire)} \subsubsection{Instructions} \begin{itemize} \item Les commandes d'alg\`ebre lin\'eaire de Xcas sont regroup\'ees dans le menu {\tt Math->Alglin}. En maple et mupad, la commande {\tt ?linalg} affiche la liste des commandes d'algèbre linéaire. \item En maple il est conseillé d'exécuter {\tt with(linalg);}, en mupad {\tt export(linalg);}, sinon il faut précéder chaque commande de {\tt linalg::}. \item En maple, attention il faut utiliser le caractère {\tt \&} avant la multiplication et il faut souvent utiliser {\tt evalm} dans les programmes utilisant des matrices et vecteurs. \item Pour travailler avec des coefficients modulaires, en Xcas on fait suivre les coefficients ou matrices de {\tt \% n}, en maple on utilise les noms de commandes avec une majuscule (forme inerte) suivi de {\tt mod n}, en mupad on définit les coefficients dans l'anneau, par exemple\\ \verb|Z19:=Dom::IntegerMod(19): MatZ19 := Dom::Matrix(Z19):|\\ \verb|A:=MatZ19([[1, 2], [2]]); Z19(5)*A;| \end{itemize} \subsubsection{Exercices} \begin{enumerate} \item En utilisant un logiciel de calcul formel, comparez le temps de calcul d'un d\'eterminant de matrice al\'eatoire \`a coefficients entiers de tailles 50 et 100, d'une matrice de taille 6 et 12 avec comme coefficients symboliques ligne $j$ colonne $k$, $x_{j+k}$ lorsque $j+k$ est pair et 0 sinon. Peut-on en déduire une indication sur l'algorithme utilisé? \item \'Ecrire un programme calculant la borne de Hadamard d'un déterminant à coefficients réels (rappel~: c'est la borne obtenue en faisant le produit des normes euclidiennes des vecteurs colonnes). \item Créez une matrice 4x4 aléatoire avec des coefficients entiers compris entre -100 et 100, calculer la borne de Hadamard de son déterminant avec le programme précédent, calculer ce déterminant modulo quelques nombres premiers choisis en fonction de la borne de Hadamard et vérifiez le résultat de la reconstruction modulaire du déterminant. \item Créez une matrice 100x100 aléatoire à coefficients entiers et calculez son déterminant modulo quelques nombres premiers. Dans quels cas peut-on conclure que la matrice est inversible dans $\R$? dans $\Z$? \item \'Ecrire un programme calculant par interpolation de Lagrange le polyn\^ome caract\'eristique d'une matrice (en donnant \`a $\lambda$ de $\det(\lambda I -A)$, $n+1$ valeurs distinctes). \item (Long) \'Ecrire un programme qui calcule un d\'eterminant de matrice en calculant les mineurs 2x2 puis 3x3 etc. (m\'ethode de Laplace) \item Recherche du polynôme minimal. On prend un vecteur aléatoire à coefficients entiers et on calcule $v$, $Av$, ..., $A^nv$ puis on cherche une relation linéaire minimale entre ces vecteurs, en calculant le noyau de la matrice ayant ces vecteurs colonnes. Si le noyau est de dimension 1, alors le polynôme minimal est égal au polynome caractéristique et correspond à un vecteur de la base du noyau. Sinon, il faut choisir un vecteur du noyau correspondant au degré le plus petit possible puis faire le PPCM avec les polynomes obtenurs avec d'autres vecteurs pour obtenir le polynôme minimal avec une grande probabilité. Essayez avec la matrice $A$ de taille 3 ayant des 0 sur la diagonale et des 1 ailleurs. \'Ecrire un programme mettant en oeuvre cette recherche, testez-le avec une matrice al\'eatoire de taille 30. \item Testez l'algorithme méthode de Fadeev pour la matrice $A$ ci-dessus. Même question pour \[ A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1 \\ 2 &0 &1 \\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right), \quad A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & -2 \\ -1 &0 &1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right) \] \item \'Ecrire un programme calculant par une méthode itérative la valeur propre de module maximal d'une matrice à coefficients complexes. Dans le cas réel, modifier le programme pour pouvoir traiter le cas d'un couple de complexes conjugués de module maximal. Dans le cas hermitien ou réel symétrique, éliminer le couple valeur propre/vecteur propre et continuer la diagonalisation numérique. \item Soient $|a|,|b|<\sqrt{n/2}$ \'Ecrire une fonction ayant comme arguments $a/b \pmod n$ qui calcule $a$ et $b$.\\ Utiliser ce programme pour résoudre un système 4,4 à coefficients entiers par une méthode $p$-adique. \end{enumerate} % \subsection{L'algorithme du simplexe} \section{Interpolation} \'Etant donn\'e la facilit\'e de manipulation qu'apportent les polynomes, on peut chercher \`a approcher une fonction par un polyn\^ome. De plus l'interpolation est un outil tr\`es utilis\'e pour calculer des polyn\^omes en calcul formel. \subsection{Interpolation de Lagrange} La m\'ethode la plus naturelle consiste \`a chercher un polyn\^ome de degr\'e le plus petit possible \'egal \`a la fonction en certains points $x_0,...,x_n$ et \`a trouver une majoration de la diff\'erence entre la fonction et le polyn\^ome. Le polynome interpolateur de Lagrange r\'epond \`a cette question. \subsubsection{Existence et contr\^ole de l'erreur.} Soit donc $x_0,...,x_n$ des r\'eels distincts et $y_0,...,y_n$ les valeurs de la fonction \`a approcher en ces points (on posera $y_j=f(x_j)$ pour approcher la fonction $f$). On cherche donc $P$ tel que $P(x_j)=y_i$ pour $j \in [0,n]$. Commencons par voir s'il y a beaucoup de solutions. Soit $P$ et $Q$ deux solutions distinctes du probl\`eme, alors $P-Q$ est non nul et va s'annuler en $x_0, ...,x_n$ donc poss\`ede $n+1$ racines donc est de degr\'e $n+1$ au moins. R\'eciproquement, si on ajoute \`a $P$ un multiple du polynome $A=\prod_{j=0}^n (X-x_j)$, on obtient une autre solution. Toutes les solutions se d\'eduisent donc d'une solution particuli\`ere en y ajoutant un polynome de degr\'e au moins $n+1$ multiple de $A$. Nous allons maintenant construire une solution particuli\`ere de degr\'e au plus $n$. Si $n=0$, on prend $P=x_0$ constant. On proc\`ede ensuite par r\'ecurrence. Pour construire le polyn\^ome correspondant \`a $x_0,...,x_{n+1}$ on part du polyno\^ome $P_n$ correspondant \`a $x_0,...,x_{n}$ et on lui ajoute un multiple r\'eel de $A$ \[ P_{n+1}=P_n+a\prod_{j=0}^n (X-x_j) \] Ainsi on a toujours $P_{n+1}(x_j)=y_j$ pour $j=0,..n$, on calcule maintenant $a$ pour que $P_{n+1}(x_{n+1})=y_{n+1}$. En remplacant avec l'expression de $P_{n+1}$ ci-dessus, on obtient \[ P_n(x_{n+1})+a\prod_{j=0}^n (x_{n+1}-x_j) = y_{n+1} \] Comme tous les $x_j$ sont distincts, il existe une solution unique $a$~: \[ a=\frac{y_{n+1}-P_n(x_{n+1})}{\prod_{j=0}^n (x_{n+1}-x_j)}\] On a donc prouv\'e le~: \begin{thm} \index{lagrange} \index{interpolation} Soit $n+1$ r\'eels distincts $x_0,...,x_n$ et $n+1$ r\'eels quelconques $y_0,...,y_n$. Il existe un unique polyn\^ome $P$ de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$, appel\'e polynome de Lagrange, tel que~: \[ P(x_i)=y_i\] \end{thm} Exemple~: d\'eterminons le polynome de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a 2 tel que $P(0)=1, P(1)=2, P(2)=1$. On commence par $P_0=1$. Puis on pose $P_1=P_0+aX=1+aX$. Comme $P(1)=2=1+a$ on en tire $a=1$ donc $P_1=1+X$. Puis on pose $P_2=P_1+aX(X-1)$, on a $P_2(2)=3+2a=1$ donc $a=-1$, finalement $P_2=1+X-X(X-1)$. On peut calculer le polynome de Lagrange comme indiqu\'e ci-dessus, la m\'ethode dite des diff\'erences divis\'ees permettant de le faire de la mani\`ere la plus efficace possible (cf. par exemple Demailly). Reste \`a estimer l'\'ecart entre une fonction et son polynome interpolateur, on a le~: \begin{thm} \index{lagrange} Soit $f$ une fonction $n+1$ fois d\'erivable sur un intervalle $I=[a,b]$ de $\R$, $x_0,...,x_n$ des r\'eels distincts de $I$. Soit $P$ le polynome de Lagrange donn\'e par les $x_j$ et $y_j=f(x_j)$. Pour tout r\'eel $x \in I$, il existe un r\'eel $\xi_x \in [a,b]$ (qui d\'epend de $x$) tel que~: \begin{equation} \label{eq:lagrange} f(x)-P(x) = \frac{f^{[n+1]}(\xi_x)}{(n+1)!} \prod_{j=0}^n(x-x_j) \end{equation} \end{thm} Ainsi l'erreur commise d\'epend d'une majoration de la taille de la d\'eriv\'ee $n+1$-i\`eme sur l'intervalle, mais aussi de la disposition des points $x_j$ par rapport \`a $x$. Par exemple si les points $x_j$ sont \'equidistribu\'es, le terme $|\prod_{j=0}^n(x-x_j)|$ sera plus grand pr\`es du bord de $I$ qu'au centre de $I$. Preuve du th\'eor\`eme~: Si $x$ est l'un des $x_j$ l'égalité est vraie. Soit \[ C=(f(x)-P(x))/\prod_{j=0}^n(x-x_j) \] on considère maintenant la fonction~: \[ g(t)=f(t)-P(t) - C \prod_{j=0}^n(t-x_j) \] elle s'annule en $x_j$ pour $j$ variant de 0 à $n$ ainsi qu'en $x$ suite au choix de la constante $C$, donc $g$ s'annule au moins $n+2$ fois sur l'intervalle contenant les $x_j$ et $x$, donc $g'$ s'annule au moins $n+1$ fois sur ce même intervalle, donc $g'{'}$ s'annule au moins $n$ fois, etc. et finalement $g^{[n+1]}$ s'annule une fois au moins sur cet intervalle. Or \[ g^{[n+1]} = f^{[n+1]} - C (n+1)!\] car $P$ est de degré inférieur ou égal à $n$ et $ \prod_{j=0}^n(x-x_j) - x^{n+1}$ est de degré inférieur ou égal à $n$. Donc il existe bien un réel $\xi_x$ dans l'intervalle contenant les $x_j$ et $x$ tel que \[ C=\frac{f^{[n+1]}(\xi_x)}{(n+1)!} \] \subsubsection{Différences divisées} {\bf Calcul efficace du polyn\^ome de Lagrange.}\\ Avec la m\'ethode de calcul pr\'ec\'edent, on remarque que le polyn\^ome de Lagrange peut s'\'ecrire \`a la Horner sous la forme~: \begin{eqnarray*} P(x) &=& \alpha_0 + \alpha_1 (x-x_0) + ... + \alpha_n (x-x_0)...(x-x_{n-1}) \\ &=& \alpha_0 + (x-x_0)( \alpha_1 + (x-x_1)(\alpha_2 + ... + (x-x_{n-2})(\alpha_{n-1}+(x-x_{n-1}) \alpha_n)...)) \end{eqnarray*} ce qui permet de le calculer rapidement une fois les $\alpha_i$ connus. On observe que \[ \alpha_0=f(x_0), \quad \alpha_1=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} \] On va voir que les $\alpha_k$ peuvent aussi se mettre sous forme d'une diff\'erence. On d\'efinit les diff\'erences divis\'ees d'ordre $n$ par r\'ecurrence \[ f[x_i]=f(x_i), \quad f[x_i,...,x_{k+i+1}]= \frac{f[x_{i+1},...,x_{k+i+1}]-f[x_i,...,x_{k+i}]}{x_{k+i+1}-x_i} \] On va montrer que $\alpha_k=f[x_0,...,x_k]$. C'est vrai au rang 0, il suffit donc de le montrer au rang $k+1$ en l'admettant au rang $k$. Pour cela on observe qu'on peut construire le polyn\^ome d'interpolation en $x_0,...,x_{k+1}$ \`a partir des polyn\^omes d'interpolation $P_k$ en $x_0,...,x_k$ et $Q_k$ en $x_1,...,x_{k+1}$ par la formule~: \[ P_{k+1}(x)= \frac{(x_{k+1}-x)P_k + (x-x_0)Q_k}{x_{k+1}-x_0}\] en effet on v\'erifie que $P_{k+1}(x_i)=f(x_i)$ pour $i\in [1,k]$ car $P_k(x_i)=f(x_i)=Q_k(x_i)$, et pour $i=0$ et $i=k+1$, on a aussi $P_{k+1}(x_0)=f(x_0)$ et $P_{k+1}(x_{k+1})=f(x_{k+1})$. Or $\alpha_{k+1}$ est le coefficient dominant de $P_{k+1}$ donc c'est la diff\'erence du coefficient dominant de $Q_k$ et de $P_k$ divis\'ee par $x_{k+1}-x_0$, c'est-\`a-dire la d\'efinition de $f[x_0,...,x_{k+1}]$ en fonction de $f[x_1,...,x_{k+1}]$ et $f[x_0,...,x_{k}]$. Exemple~: on reprend $P(0)=1, P(1)=2, P(2)=1$. On a \[ \begin{array}{cccc} x_i & f[x_i] & f[x_i,x_{i+1}] & f[x_0,x_1,x_2] \\ 0 & \framebox{1} & & \\ & & (2-1)/(1-0)=\framebox{1} & \\ 1 & 2 & & (-1-1)/(2-0)=\framebox{-1} \\ & & (1-2)/(2-1)=-1 & \\ 2 & 1 & & \\ \end{array} \] donc $P(x)=\framebox{1}+(x-0)(\framebox{1}+(x-1)(\framebox{-1}))=1+x(2-x)$. On peut naturellement utiliser l'ordre que l'on souhaite pour les $x_i$, en observant que le coefficient dominant de $P$ ne d\'epend pas de cet ordre, on en d\'eduit que $f[x_0,...,x_k]$ est ind\'ependant de l'ordre des $x_i$, on peut donc \`a partir du tableau ci-dessus \'ecrire $P$ par exemple avec l'ordre 2,1,0, sous la forme \[ P(x)=1+(x-2)(-1+(x-1)(-1))=1+(x-2)(-x)\] \subsection{Les splines} Il s'agit de fonctions définies par des polynomes de degré borné sur des intervalles, dont on fixe la valeur aux extrémités des intervalles (comme pour le polynome de Lagrange) ce qui rend la fonction continue, de plus on exige un degré de régularité plus grand, par exemple etre de classe $C^2$. Enfin, on fixe des conditions aux bornes de la réunion des intervalles, par exemple avoir certaines dérivées nulles. Par exemple supposons qu'on se donne $n$ intervalles, donc $n+1$ points $x_0,...,x_n$, on se fixe une régularité $C^{d-1}$. Ceci entraine $(n-1)d$ conditions de recollement, on y ajoute $n+1$ conditions de valeur en $x_0,...,x_n$, on a donc $nd+1$ conditions, la borne sur le degré des polynomes doit donc etre $d$ (ou plus, mais $d$ suffit) ce qui donne $n(d+1)$ degrés de liberté, on peut donc ajouter $d-1$ conditions, par exemple pour les splines naturelles, on impose que les dérivées d'ordre $d/2$ à $d-1$ soient nulles en $x_0$ et $x_n$ (si $d$ est pair, on commence à la dérivée $d/2+1$-ième nulle en $x_n$). Pour trouver les polynomes, on doit donc résoudre un grand système linéaire. Une méthode permettant de diminuer la taille du système linéaire à résoudre dans le cas des splines naturelles consiste à se fixer $n$ inconnues $z_0,..,z_{n-1}$ représentant les dérivées $d$-ième de la spline $f$ en $x_0$ sur $[x_0,x_1]$ à $x_{n-1}$ sur $[x_{n-1},x_n]$, et $(d-1)/2$ inconnues $f_j$, représentant la valeur de la dérivée de $f$ en $x_0$ pour $j$ variant de 1 à $(d-1)/2$. On peut alors écrire le polynome sur l'intervalle $[x_0,x_1]$ car on connait son développement de Taylor en $x_0$. On effectue un changement d'origine (par application répétée de Horner) en $x_1$. On obtient alors le polynome sur $[x_1,x_2]$ en remplaçant uniquement la dérivée $d$-ième par $z_1$. On continue ainsi jusqu'en $x_{n-1}$. Le système s'obtient en calculant la valeur du polynome en $x_0,...,x_n$ et la nullité des dérivées d'ordre $(d-1)/2$ à $d/2$ en $x_n$. On résoud le système et on remplace pour avoir les valeurs numériques des coefficients du polynome. \section{La moyenne arithm\'etico-g\'eom\'etrique.} La moyenne arithm\'etico-g\'eom\'etrique est un processus it\'eratif qui converge tr\`es rapidement et est tr\`es utile pour calculer les fonctions transcendantes r\'eciproques en multi-pr\'ecision. On peut alors trouver les fonctions transcendantes directes par application de la m\'ethode de Newton. \subsection{D\'efinition et convergence} Soient $a$ et $b$ deux r\'eels positifs, on d\'efinit les 2 suites \begin{equation} \label{eq:agm} u_0=a, v_0=b, \quad u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}, v_{n+1}=\sqrt{u_nv_n} \end{equation} On va montrer que ces 2 suites sont adjacentes et convergent donc vers une limite commune not\'ee $M(a,b)$ et il se trouve que la convergence est tr\`es rapide, en raison de l'identit\'e~: \begin{equation} \label{eq:agm1} u_{n+1}-v_{n+1}=\frac{1}{2}(\sqrt{u_n}-\sqrt{v_n})^2 =\frac{1}{2(\sqrt{u_n}+\sqrt{v_n})^2}(u_n-v_n)^2 \end{equation} la convergence est quadratique. On suppose dans la suite que $a\geq b$ sans changer la généralité puisque échanger $a$ et $b$ ne change pas la valeur de $u_n$ et $v_n$ pour $n>0$. On a alors $u_n \geq v_n$ (d'après (\ref{eq:agm1}) pour $n>0$) et $u_{n+1} \leq u_n$ car \[ u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}(v_n-u_{n}) \leq 0\] et $v_{n+1}=\sqrt{u_nv_n} \geq \sqrt{v_nv_n}=v_n$. Donc $(u_n)$ est décroissante minorée (par $v_0$), $(v_n)$ est croissante majorée (par $u_0$), ces 2 suites sont convergentes et comme $u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}$, elles convergent vers la même limite $l$ qui d\'epend de $a$ et $b$ et que l'on note $M(a,b)$. On remarque aussi que $M(a,b)=bM(a/b,1)=aM(1,b/a)$. Précisons maintenant la vitesse de convergence lorsque $a \geq b>0$. On va commencer par estimer le nombre d'itérations nécessaires pour que $u_n$ et $v_n$ soient du même ordre de grandeur. Pour cela, on utilise la majoration \[ \ln(u_{n+1})-\ln(v_{n+1}) \leq \ln(u_{n})-\ln(v_{n+1}) = \frac{1}{2} (\ln(u_{n})-\ln(v_{n})) \] donc \[ \ln \frac{u_n}{v_n} = \ln(u_n)-\ln(v_n) \leq \frac{1}{2^n} (\ln(a)-\ln(b)) = \frac{1}{2^n} \ln \frac{a}{b} \] Donc si $n \geq \frac{\ln( \ln(a/b)/m)}{\ln(2)}$ alors $\ln \frac{u_n}{v_n} \leq m$ (par exemple, on peut prendre $m=0.1$ pour avoir $u_n/v_n \in [1,e^{0.1}])$. Le nombre minimum d'itérations $n_0$ est proportionnel au log du log du rapport $a/b$. Ensuite on est ramené à étudier la convergence de la suite arithmético-géométrique de premiers termes $a=u_{n_0}$ et $b=v_{n_0}$ et même en tenant compte de $M(a,b)=aM(1,b/a)$ à $a=1$ et $b=v_n/u_n$ donc $0\leq a-b \leq 1-e^{-0.1}$. Alors l'équation (\ref{eq:agm1}) entraine \[ u_{n+1}-v_{n+1} \leq \frac{1}{8}(u_n-v_n)^2 \] puis (par récurrence) \[ 0 \leq u_n-v_n \leq \frac{1}{8^{2^n-1}}(a-b)^{2^n} \] Donc comme $M(a,b)$ est compris entre $v_n$ et $u_n$, l'erreur relative sur la limite commune est inférieure à une précision donnée $\epsilon$ au bout d'un nombre d'itérations proportionnel au $\ln(\ln(1/\epsilon))$. Typiquement dans la suite, on souhaitera calculer $M(1,b)$ avec $b$ de l'ordre de $2^{-n}$ en déterminant $n$ chiffres significatifs, il faudra alors $O(\ln(n))$ itérations pour se ramener à $M(1,b)$ avec $b\in [e^{-0.1},1]$ puis $O(\ln(n))$ itérations pour avoir la limite avec $n$ chiffres significatifs. {\bf Le cas complexe}\\ On suppose maintenant que $a, b \in \C$ avec $\Re(a)>0, \Re(b)>0$. On va voir que la suite arithmético-géométrique converge encore. \\ {\bf \'Etude de l'argument}\\ On voit aisément (par récurrence) que $\Re(u_n)>0$ ; de plus $\Re(v_n) > 0$ car par définition de la racine carrée $\Re(v_n)\geq 0$ et est de plus non nul car le produit de deux complexes d'arguments dans $]-\pi/2,\pi/2[$ ne peut pas être un réel négatif. On en déduit que $\arg(u_{n+1})=\arg(u_n+v_n)$ se trouve dans l'intervalle de bornes $\arg(u_n)$ et $\arg(v_n)$ et que $\arg(v_{n+1})=\frac{1}{2}(\arg(u_n)+\arg(v_n))$ donc \[ | \arg(u_{n+1}-\arg(v_{n+1}) | \leq \frac{1}{2}|\arg(u_n)-\arg(v_n)| \] Après $n$ itérations, on a \[ |\arg(u_n)-\arg(v_n)| \leq \frac{\pi}{2^n} \] Après quelques itérations, $u_n$ et $v_n$ seront donc presque alignés. Faisons 4 itérations. On peut factoriser par exemple $v_n$ et on est ramené à l'étude de la suite de termes initiaux $a=u_n/v_n$ d'argument $\arg(u_n)-\arg(v_n)$ petit (inférieur en valeur absolue à $\pi/16$) et $b=1$. On suppose donc dans la suite que \[ |\arg(\frac{u_n}{v_n})| \leq \frac{\pi/16}{2^n} \] {\bf \'Etude du module}\\ On a~: \[ \frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}= \frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{u_{n}}{v_{n}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{u_{n}}{v_{n}}}}\right) \] Posons $ \frac{u_{n}}{v_{n}}=\rho_n e^{i\theta_n}$, on a~: \begin{eqnarray*} |\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}| &= & \frac{1}{2}\left|\sqrt{\rho_n} e^{i\theta_n/2} + \frac{1}{\sqrt{\rho_n}} e^{-i\theta_n/2} \right| \\ &=& \frac{1}{2} \left| (\sqrt{\rho_n}+ \frac{1}{\sqrt{\rho_n}})\cos\frac{\theta_n}{2} + i (\sqrt{\rho_n}- \frac{1}{\sqrt{\rho_n}})\sin\frac{\theta_n}{2} \right| \\ &=& \frac{1}{2} \sqrt{ (\sqrt{\rho_n}+ \frac{1}{\sqrt{\rho_n}})^2\cos^2\frac{\theta_n}{2} + (\sqrt{\rho_n}- \frac{1}{\sqrt{\rho_n}})^2\sin^2\frac{\theta_n}{2} } \\ &=& \frac{1}{2} \sqrt{ \rho_n+ \frac{1}{\rho_n} +2\cos \theta_n } \end{eqnarray*} Si $\rho$ désigne le max de $\rho_n$ et $1/\rho_n$, on a alors la majoration \[ |\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}| \leq \frac{1}{2} \sqrt{ \rho + \rho + 2 \rho } = \sqrt{\rho} \] donc en prenant les logarithmes \begin{equation} \label{eq:lnrhon} \ln \rho_{n+1} \leq \frac{1}{2} \ln \rho=\frac{1}{2} |\ln \rho_n| \end{equation} On rappelle qu'on a la majoration \[ |\arg(\frac{u_n}{v_n})| = |\theta_n| \leq \frac{\pi/16}{2^n} \leq \frac{1}{2^{n+1}} \] qui va nous donner la minoration de $\rho_{n+1}$ \begin{eqnarray*} \rho_{n+1}=|\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}| & = & \frac{1}{2} \sqrt{ \rho_n+ \frac{1}{\rho_n} +2 - 2 (1-\cos \theta_n) } \\ & = & \frac{1}{2} \sqrt{ \rho_n+ \frac{1}{\rho_n} +2 - 4 \sin^2 (\frac{\theta_n}{2}) } \\ & \geq & \frac{1}{2} \sqrt{ \rho_n+ \frac{1}{\rho_n} +2 - \theta_n^2} \\ & \geq & \frac{1}{2} \sqrt{ \rho_n+ \frac{1}{\rho_n} +2} \times \sqrt{1 - \frac{\theta_n^2}{\rho_n+ \frac{1}{\rho_n} +2}} \\ & \geq & \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho} +2\frac{1}{\rho}} \times \sqrt{1 - \frac{\theta_n^2}{4}} \\ & \geq & \frac{1}{\sqrt{\rho}} \sqrt{1 - \frac{\theta_n^2}{4}} \\ & \geq & \frac{1}{\sqrt{\rho}} \sqrt{1 - \frac{1} {4 \times 2^{2n+2}}} \end{eqnarray*} en prenant les log et en minorant $\ln(1-x)$ par $-2x$ \[ \ln \rho_{n+1} \geq \frac{1}{2} (-|\ln \rho_n|+\ln(1 -\frac{1} {4 \times 2^{2n+2}} )) \geq -\frac{1}{2} (|\ln \rho_n|+\frac{1} {2^{2n+3}} ) \] Finalement avec (\ref{eq:lnrhon}) \[ |\ln \rho_{n+1}| \leq \frac{1}{2} (|\ln \rho_n|+\frac{1}{2^{2n+3}} ) \] On en déduit \[ |\ln \rho_n| \leq \frac{1}{2^n} \ln \rho_0 + \frac{1}{2^{n+3}} + ... + \frac{1}{2^{2n+1}} + \frac{1}{2^{2n+2}} = \frac{1}{2^n} \ln \rho_0 + \frac{1}{2^{n+2}} \] La convergence du $\ln(u_n/v_n)$ vers 0 est donc géométrique, donc $u_n$ et $v_n$ convergent quadratiquement. \subsection{Lien avec les int\'egrales elliptiques} Le calcul de la limite commune des suites $u_n$ et $v_n$ en fonction de $a$ et $b$ n'est pas trivial au premier abord. Il est reli\'e aux int\'egrales elliptiques, plus pr\'ecis\'ement on peut construire une int\'egrale d\'ependant de deux param\`etres $a$ et $b$ et qui est invariante par la transformation $u_n,v_n \rightarrow u_{n+1},v_{n+1}$ (\ref{eq:agm}) \[ I(a,b)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dt} {\sqrt{(a^2+t^2)(b^2+t^2)}} \] On a en effet \[ I(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab}) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{du}{\sqrt{((\frac{a+b}{2})^2+u^2)(ab+u^2)}} \] On pose alors \[ u=\frac{1}{2} (t-\frac{ab}{t}), \quad t>0 \] o\`u $t \rightarrow u$ est une bijection croissante de $t\in]0,+\infty[$ vers $u \in ]-\infty,+\infty[$, donc \begin{eqnarray*} I(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab}) &=& \int_{0}^{+\infty} \frac{dt/2(1+ab/t^2)}{\sqrt{((\frac{a+b}{2})^2+1/4(t-ab/t)^2)(ab+1/4(t-ab/t)^2)}}\\ &=& 2 \int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{\sqrt{(a^2+t^2)(b^2+t^2)}} = I(a,b) \end{eqnarray*} On note au passage que $I$ est définie si $a,b \in \C$ vérifient $\Re(a)>0, \Re(b)>0$, on peut montrer que la relation ci-dessus s'étend (par holomorphie). Lorsque $a=b=l$ (par exemple lorsqu'on est \`a la limite), le calcul de $I(l,l)$ est explicite \[ I(l,l)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dt}{(l^2+t^2)} = \frac{\pi}{l}\] donc \[ I(a,b)=I(M(a,b),M(a,b))=\frac{\pi}{M(a,b)}\] On peut transformer $I(a,b)$ en posant $t=bu$ \[ I(a,b)=2\int_{0}^{+\infty} \frac{du}{\sqrt{(a^2+b^2u^2)(1+u^2)}} = \frac{2}{a} \int_{0}^{+\infty} \frac{du}{\sqrt{(1+(b/a)^2u^2)(1+u^2)}} \] Puis en posant $u=\tan(x)$ ($du=(1+u^2) dx$) \[ I(a,b)=\frac{2}{a} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{1+\tan(x)^2}{1+(b/a)^2\tan(x)^2}} \ dx \] et enfin en posant $\tan^2(x)=\frac{\sin(x)^2}{1-\sin(x)^2}$ \[ I(a,b)= \frac{2}{a} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{ \frac{1}{1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin(x)^2} } \ dx\] Si on d\'efinit pour $m<1$ \[ K(m)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-m \sin(x)^2}} \] alors on peut calculer $K$ en fonction de $I$, en posant $m=1-b^2/a^2$ soit $b^2/a^2=1-m$ \[ K(m)=\frac{a}{2} I(a,a\sqrt{1-m})=\frac{a}{2}\frac{\pi}{M(a,a\sqrt{1-m})} =\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-m})} \] d'o\`u l'on d\'eduit la valeur de l'int\'egrale elliptique en fonction de la moyenne arithm\'etico-g\'eom\'etrique~: \begin{equation} \label{eq:K} K(m)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-m \sin(x)^2}}= \frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-m})} \end{equation} Dans l'autre sens, pour $x$ et $y$ positifs \[ K( (\frac{x-y}{x+y})^2 )= \frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-(\frac{x-y}{x+y})^2})} = \frac{\pi}{2M(1,\frac{2}{x+y}\sqrt{xy})} = \frac{\pi}{2 \frac{2}{x+y} M(\frac{x+y}{2},\sqrt{xy}) } = \frac{\pi}{4} \frac{x+y}{M(x,y)} \] et finalement \[ M(x,y)=\frac{\pi}{4} \frac{x+y}{ K\left( (\frac{x-y}{x+y}\right)^2 )}\] \subsection{Application~: calcul efficace du logarithme.} On peut utiliser la moyenne arithm\'etico-g\'eom\'etrique pour calculer le logarithme efficacement, pour cela on cherche le d\'eveloppement asymptotique de $K(m)$ lorsque $m$ tend vers 1. Plus pr\'ecis\'ement, on va poser $1-m=k^2$ avec $k \in ]0,1]$, donc \[ K(m)= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-(1-k^2) \sin(x)^2}} =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dy}{\sqrt{1-(1-k^2) \cos(y)^2}} \] en posant $y=\pi/2-x$, et \[ K(m)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dy}{\sqrt{\sin(y)^2+k^2 \cos(y)^2}}\] la singularit\'e de l'int\'egrale pour $k$ proche de 0 apparait lorsque $y$ est proche de 0. Si on effectue un d\'eveloppement de Taylor en $y=0$, on trouve \[ \sin(y)^2+k^2 \cos(y)^2 = k^2 + (1-k^2) y^2 + O(y^4)\] Il est donc naturel de comparer $K(m)$ \`a l'int\'egrale \[ J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dy}{\sqrt{k^2 + (1-k^2) y^2}} \] qui se calcule en faisant par exemple le changement de variables \[ y=\frac{k}{\sqrt{1-k^2}} \sinh(t)\] ou directement avec Xcas, \begin{center} \verb|supposons(k>0 && k<1);|\\ \verb|J:=int(1/sqrt(k^2+(1-k^2)*y^2),y,0,pi/2)| \end{center} qui donne apr\`es r\'e\'ecriture~: \begin{equation} \label{eq:J} J= \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}}} \left( \ln\left(\frac{\pi}{k}\right) + \ln\left( \frac{1}{2} \left(\sqrt{ 1-k^{2} +4 \frac{k^{2}}{\pi^2}} +\sqrt{1-k^{2}} \right) \right) \right) \end{equation} et on peut calculer le d\'eveloppement asymptotique de $J$ en 0 \begin{center} \verb|series(J,k=0,5,1)| \end{center} qui renvoie~: \[ J =\ln\left(\frac{\pi}{k}\right) +O( \left(\frac{-1}{\ln(k)}\right)^5)\] on peut alors pr\'eciser ce d\'eveloppement par \begin{center} \verb|series(J+ln(k)-ln(pi),k=0,5,1)| \end{center} qui renvoie (apr\`es simplifications et où la notation $\tilde{O}$ peut contenir des logarithmes) \[ \left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{\ln(\pi)-\ln(k)-1}{2}\right) k^{2} + \tilde{O}(k^4)\] donc \begin{equation} J=-\ln(k)+\ln(\pi)+\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{\ln(\pi)-\ln(k)-1}{2}\right) k^{2} + \tilde{O}(k^4) \end{equation} Examinons maintenant $K-J$, il n'a plus de singularit\'e en $y=0$, et il admet une limite lorsque $k \rightarrow 0$, obtenue en remplacant $k$ par 0 \[ (K-J)_{|k=0} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1}{\sin(y)}-\frac{1}{y}\right) \ dy = \left[\ln\left(\tan\left(\frac{y}{2}\right)\right) - \ln(y) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \ln(\frac{4}{\pi})\] D'o\`u pour $K$ \[ K_{k \rightarrow 0} = \ln\left(\frac{4}{k}\right) + O( \left(\frac{-1}{\ln(k)}\right)^5)\] Pour pr\'eciser la partie du d\'eveloppement de $K$ en puissances de $k$, nous allons majorer $K-J-\ln(4/\pi)$, puis $J-\ln(\pi/k)$. Posons \[ A=\sin(y)^2+k^2 \cos(y)^2, \quad B=y^2+(1-y^2)k^2\] {\bf Majoration de $K-J-\ln(4/\pi)$}\\ L'int\'egrand de la diff\'erence $K-J-\ln(\frac{4}{\pi})$ est \begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{A}} - \frac{1}{\sqrt{B}} - \left( \frac{1}{\sin(y)}-\frac{1}{y} \right) &= & \frac{\sqrt{B}-\sqrt{A}}{\sqrt{A} \sqrt{B}} - \frac{y-\sin(y)}{y\sin(y)} \\ &= & \frac{B-A}{\sqrt{A} \sqrt{B} (\sqrt{A}+\sqrt{B})} - \frac{y-\sin(y)}{y\sin(y)} \label{eq:maj0} \\ &=& \frac{(y^2-\sin(y)^2)(1-k^2)}{\sqrt{A} \sqrt{B} (\sqrt{A}+\sqrt{B})} - \frac{y-\sin(y)}{y\sin(y)} \label{eq:maj1} \end{eqnarray} Soit \begin{equation} \label{eq:maj2} K-J-\ln(\frac{4}{\pi})= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(y-\sin(y))[(1-k^2)y \sin(y)(y+\sin(y))-\sqrt{AB}(\sqrt{A}+\sqrt{B})]} {\sqrt{A} \sqrt{B} (\sqrt{A}+\sqrt{B})y\sin(y)} \end{equation} On décompose l'intégrale en 2 parties $[0,k]$ et $[k,\pi/2]$. Sur $[0,k]$ on utilise (\ref{eq:maj0}), on majore chaque terme séparément et on minore $A$ et $B$ par \[ A=k^2+(1-k^2)\sin(y)^2 \geq k^2, \quad B=k^2+(1-k^2)y^2 \geq k^2\] Donc \begin{eqnarray*} | \int_0^{k} | &\leq &\int_0^k \frac{|B-A|}{2k^3} \ dy + \int_0^k ( \frac{1}{\sin(y)}-\frac{1}{y} ) \ dy \\ &\leq& \int_0^k \frac{y^2-\sin(y)^2}{2k^3} \ dy + \ln (\tan(\frac{k}{2})) -\ln(\frac{k}{2}) \\ &\leq & \frac{\frac{1}{3} k^{3}+\frac{-1}{2} k+\frac{1}{4} \sin(2 k)}{2 k^{3}} + \ln (\sin(\frac{k}{2})) -\ln(\frac{k}{2}) - \ln (\cos(\frac{k}{2})) \\ &\leq & \frac{\frac{1}{3} k^{3}+\frac{-1}{2} k+\frac{1}{4} (2k-\frac{8k^3}{6}+\frac{32k^5}{5!}}{2 k^{3}} - \ln (\cos(\frac{k}{2})) \\ &\leq & \frac{k^2}{30}- \ln (1- \frac{1}{2!}\left(\frac{k}{2}\right)^2) \\ &\leq & \frac{k^2}{30} +\frac{k^2}{4} \end{eqnarray*} Sur $[k,\pi/2]$, on utilise (\ref{eq:maj2}) et on minore $A$ et $B$ par \[ A=\sin(y)^2+k^2 \cos(y)^2 \geq \sin(y)^2, \quad B=y^2+(1-y^2)k^2 \geq y^2\] on obtient \[ | \int_k^{\frac{\pi}{2}} | \leq \int_k^{\frac{\pi}{2}} \frac{(y-\sin(y))|C|} {y \sin(y) (y+\sin(y))} , \] où~: \begin{eqnarray*} C&=&(1-k^2)y \sin(y)(y+\sin(y))-A\sqrt{B}+B\sqrt{A} \\ &=& -A(\sqrt{B}-y)-B(\sqrt{A}-\sin(y)) -Ay-B\sin(y) + (1-k^2)y \sin(y)(y+\sin(y)) \\ &=& -A(\sqrt{B}-y)-B(\sqrt{A}-\sin(y)) - k^2(y+\sin(y)) \end{eqnarray*} Donc \begin{eqnarray*} |C| &\leq& A(\sqrt{B}-y)+B(\sqrt{A}-\sin(y)) + k^2(y+\sin(y)) \\ &\leq& A \frac{B-y^2}{\sqrt{B}+y} + B \frac{A-\sin(y)^2}{\sqrt{A}+\sin(y)} + k^2(y+\sin(y)) \\ &\leq & A \frac{k^2}{2y} + B \frac{k^2}{2\sin(y)} + k^2(y+\sin(y)) \end{eqnarray*} et \[ | \int_k^{\frac{\pi}{2}} | \leq \int_k^{\frac{\pi}{2} } \frac{(y-\sin(y))k^2(\frac{A}{2y} + \frac{B}{2\sin(y)} + (y+\sin(y))) } {y \sin(y) (y+\sin(y))} \] On peut majorer $y-\sin(y) \leq y^3/6$, donc \[ | \int_k^{\frac{\pi}{2}} | \leq \frac{k^2}{6} \int_k^{\frac{\pi}{2}} \frac{Ay}{2\sin(y) (\sin(y)+y)} + \frac{By^2}{\sin(y)^2(\sin(y)+y)} + \frac{y^2}{\sin(y)} \] On majore enfin $A$ et $B$ par 1, \[ | \int_k^{\frac{\pi}{2}} | \leq \frac{k^2}{6} \int_k^{\frac{\pi}{2}} \frac{y}{2\sin(y)^2} + \frac{y^2}{\sin(y)} \] Le premier morceau se calcule par intégration par parties \begin{eqnarray*} \frac{k^2}{6} \int_k^{\frac{\pi}{2}} \frac{y}{2\sin(y)^2} &=& \frac{k^2}{6} \left( [-\frac{y}{\tan(y)}]_k^{\pi/2} + \int_k^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\tan(y)} \right) \\ &=& \frac{k^2}{6} \left(\frac{k}{\tan(k)}+ [\ln(\sin(y))]_k^{\frac{\pi}{2}} \right)\\ &=& \frac{k^2}{6} \left(\frac{k}{\tan(k)}-\ln(\sin(k)) \right)\\ &\leq & \frac{k^2}{6}(1-\ln(k)) \end{eqnarray*} Le deuxième morceau se majore en minorant $\sin(y)\geq (2y)/\pi$ \[ \frac{k^2}{6} \int_k^{\frac{\pi}{2}} \frac{y^2}{\sin(y)} \leq \frac{k^2}{6} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi}{2} y = \frac{k^2\pi^3}{96} \] Finalement \[ |K-J-\ln(\frac{4}{\pi})| \leq k^2 \left( -\frac{1}{6} \ln(k) + \frac{\pi^3}{96} + \frac{1}{6} + \frac{1}{30}+ \frac{1}{4} \right) \] où $J$ est donné en (\ref{eq:J}). {\bf Majoration de $J-ln(\pi/k)$}\\ On a \[ |J - \ln\left(\frac{\pi}{k}\right)| = \left| (\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}-1) \ln\left(\frac{\pi}{k}\right) + \frac{1}{\sqrt{1-k^2}} \ln\left( \frac{1}{2} \left(\sqrt{ 1-k^{2} +4 \frac{k^{2}}{\pi^2}} +\sqrt{1-k^{2}} \right) \right) \right| \] et on va majorer la valeur absolue de chaque terme de la somme. Pour $k\leq 1/2$, on a \[ \frac{1}{\sqrt{1-k^2}}-1=\frac{k^2}{\sqrt{1-k^2}+1-k^2} \leq \frac{k^2}{3/4+\sqrt{3}/2} \] Pour le second terme, on majore le facteur $\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}$ par $\frac{2}{\sqrt{3}}$, l'argument du logarithme est inférieur à 1 et supérieur à \[ \frac{1}{2}(1 - \frac{k^2}{2} +1- \frac{k^2(1-\frac{4}{\pi^2})}{2}) = 1 - k^2 ( 1-\frac{1}{\pi^2}) > 1-k^2 \] donc le logarithme en valeur absolue est inférieur à \[ 2 k^2 \] donc, pour $k\leq 1/2$, \[ |J-\ln\left(\frac{\pi}{k}\right)| \leq \frac{k^2}{3/4+\sqrt{3}/2} \ln\left(\frac{\pi}{k}\right) + k^2 \frac{4}{\sqrt{3}} \] Finalement, pour $k<1/2$ \begin{equation} \label{eq:ln_agm0} |K-\ln\left(\frac{4}{k}\right) | \leq k^2 \left( \frac{\ln \pi}{3/4+\sqrt{3}/2} + \frac{4}{\sqrt{3} } + \frac{\pi^3}{96} + \frac{9}{20} - (\frac{1}{3/4+\sqrt{3}/2}+\frac{1}{6}) \ln(k) \right) \end{equation} que l'on peut réécrire \begin{equation} \label{eq:ln_agm} |\frac{\pi}{2M(1,k)}-\ln\left(\frac{4}{k}\right) | \leq k^2(3.8-0.8\ln(k)) \end{equation} La formule (\ref{eq:ln_agm}) permet de calculer le logarithme d'un r\'eel positif avec (presque) $n$ bits lorsque $k \leq 2^{-n/2}$ (ce \`a quoi on peut toujours se ramener en calculant le logarithme d'une puissance $2^m$-i\`eme de $x$ ou le logarithme de $2^{m}x$, en calculant au pr\'ealable $\ln(2)$). Par exemple, prenons $k=2^{-27}$, on trouve (en 8 itérations) $M(1,2^-{27})=M_1=0.0781441403763$. On a, avec une erreur inférieure à $19 \times 2^{-54}=1.1\times 10^{-15}$ \[ M(1,2^-{27})=M_1=\frac{\pi}{2\ln(2^{29})}=\frac{\pi}{58\ln(2)}, \] On peut donc d\'eduire une valeur approch\'ee de $\pi $ si on connait la valeur approchée de $\ln(2)$ et réciproquement. Si on veut calculer les deux simultan\'ement, comme les relations entre $\ln$ et $\pi$ seront des \'equations homog\`enes, on est oblig\'e d'introduire une autre relation. Par exemple pour calculer une valeur approch\'ee de $\pi$ on calcule la diff\'erence $\ln(2^{29}+1)-\ln(2^{29})$ dont on connait le d\'eveloppement au premier ordre, et on applique la formule de la moyenne arithm\'etico-g\'eom\'etrique. Il faut faire attention \`a la perte de pr\'ecision lorsqu'on fait la diff\'erence des deux logarithmes qui sont tr\`es proches, ainsi on va perdre une trentaine de bits, il faut grosso modo calculer les moyennes arithm\'etico-g\'eom\'etrique avec 2 fois plus de chiffres significatifs. L'int\'er\^et de cet algorithme apparait lorsqu'on veut calculer le logarithme avec beaucoup de pr\'ecision, en raison de la convergence quadratique de la moyenne arithm\'etico-g\'eom\'etrique (qui est nettement meilleure que la convergence lin\'eaire pour les d\'eveloppements en s\'erie, ou logarithmiquement meilleure pour l'exponentielle), par contre elle n'est pas performante si on ne veut qu'une dizaine de chiffres significatifs. On peut alors calculer les autres fonctions transcendantes usuelles, telle l'exponentielle, \`a partir du logarithme, ou les fonctions trigonom\'etriques inverses (en utilisant des complexes) et directes. On trouvera dans Brent-Zimmermann quelques consid\'erations permettant d'am\'eliorer les constantes dans les temps de calcul par rapport \`a cette m\'ethode (cela n\'ecessite d'introduire des fonctions sp\'eciales $\theta$) et d'autres formules pour calculer $\pi$. On peut ensuite \`a partir du logarithme, calculer l'exponentielle en utilisant la m\'ethode de Newton, rappel\'ee ci-dessous. \subsection{La méthode de Newton.} La méthode de Newton est une méthode de résolution de l'équation $f(x)=0$, attention à la différence avec le théorème du point fixe qui permet de résoudre numériquement $f(x)=x$. Si $x_0$ est proche de la racine $r$ on peut faire un développement de Taylor à l'ordre 1 de la fonction $f$ en $x_0$~: \[ f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+O((x-x_0)^2) \] Pour trouver une valeur approchée de $r$, on ne garde que la partie linéaire du développement, on résout~: \[ f(r)=0 \approx f(x_0) + (r-x_0) f'(x_0) \] donc (si $f'(x_0)\neq 0$)~: \[ r \approx x_0 -\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\] Graphiquement, cela revient à tracer la tangente à la courbe représentative de $f$ et à chercher où elle coupe l'axe des $x$. On considère donc la suite récurrente définie par une valeur $u_0$ proche de la racine et par la relation~: \[ u_{n+1} = u_n -\frac{f(u_n)}{f'(u_n)}\] Il y a deux théorèmes importants, l'un d'eux prouve que si $u_0$ est ``assez proche'' de $r$ alors la suite $u_n$ converge vers $r$, malheureusement il est difficile de savoir en pratique si on est ``assez proche'' de $u_0$ pour que ce théorème s'applique. Le second théorème donne un critère pratique facile à vérifier qui assure la convergence, il utilise les propriétés de convexité de la fonction. \begin{thm} \index{Newton} Soit $f$ une fonction de classe $C^2$ (2 fois continument dérivable) sur un intervalle ferm\'e $I$. Soit $r$ une racine simple de $f$ situ\'ee \`a l'int\'erieur de $I$ (telle que $f(r)=0$ et $f'(r)\neq 0$). Alors il existe $\varepsilon>0$ tel que la suite définie par \[ u_{n+1} = u_n -\frac{f(u_n)}{f'(u_n)}, \quad |u_0-r| \leq \varepsilon \] converge vers $r$. Si on a $|f'{'}| \leq M$ et $|1/f'| \leq m$ sur un intervalle $[r-\eta,r+\eta]$ contenu dans $I$, alors on peut prendre tout r\'eel $\varepsilon>0$ tel que $\varepsilon < 2/(mM)$ et $\varepsilon \leq \eta$. \end{thm} {\bf Démonstration}~: on a \[ u_{n+1}-r = u_n - r - \frac{f(u_n)}{f'(u_n)} = \frac{(u_n-r)f'(u_n)-f(u_n)}{f'(u_n)} \] En appliquant un développement de Taylor de $f$ en $u_n$ à l'ordre 2, on obtient pour un réel $\theta$ situé entre $r$ et $u_n$~: \[ 0 = f(r)=f(u_n)+(r-u_n) f'(u_n) + (r-u_n)^2 \frac{f'{'}(\theta)}{2} \] donc~: \[ (u_n-r)f'(u_n)-f(u_n)= (u_n-r)^2 \frac{f'{'}(\theta)}{2} \] d'o\`u~: \[ |u_{n+1}-r| \leq |u_n-r|^2 \frac{1}{|f'(u_n)|} \frac{|f'{'}(\theta)|}{2} \] On commence par choisir un intervalle $[r-\varepsilon,r+\varepsilon]$ contenant strictement $r$ et tel que $|f'{'}|x_0$, donc $g$ est décroissante pour $xx_0$. On conclut alors que $g \geq 0$ puisque $g(x_0)=0$. Donc $f$ est bien au-dessus de sa tangente. On arrive au deuxième théorème sur la méthode de Newton \begin{thm} \index{Newton} Si $f(r)=0, f'(r)>0$ et si $f'{'} \geq 0$ sur $[r,b]$ alors pour tout $u_0 \in [r,b]$ la suite de la méthode de Newton \[ u_{n+1} = u_n -\frac{f(u_n)}{f'(u_n)}, \] est définie, décroissante, minorée par $r$ et converge vers $r$. De plus \[ 0 \leq u_n -r \leq \frac{f(u_n)}{f'(r)} \] \end{thm} {\bf Démonstration}~:\\ On a $f'{'} \geq 0$ donc si $f'(r)>0$ alors $f'>0$ sur $[r,b]$, $f$ est donc strictement croissante sur $[r,b]$ on en déduit que $f>0$ sur $]r,b]$ donc $u_{n+1} \leq u_n$. Comme la courbe représentative de $f$ est au-dessus de la tangente, on a $u_{n+1} \geq r$ (car $u_{n+1}$ est l'abscisse du point d'intersection de la tangente avec l'axe des $x$). La suite $u_n$ est donc décroissante minorée par $r$, donc convergente vers une limite $l\geq r$. \`A la limite, on a \[ l=l-\frac{f(l)}{f'(l)} \Rightarrow f(l)=0 \] donc $l=r$ car $f>0$ sur $]r,b]$. Comme $(u_n)$ est d\'ecroissante, on a bien $0 \leq u_n -r$, pour montrer l'autre in\'egalit\'e, on applique le th\'eor\`eme des accroissements finis, il existe $\theta \in [r,u_n]$ tel que \[ f(u_n)-f(r)=(u_n-r)f'(\theta) \] comme $f(r)=0$, on a \[ u_n-r = \frac{f(u_n)}{f'(\theta)} \] et la deuxi\`eme in\'egalit\'e du th\'eor\`eme en d\'ecoule parce que $f'$ est croissante. {\bf Variantes}~:\\ Il existe des variantes, par exemple si $f'(r)<0$ et $f'{'} \geq 0$ sur $[a,r]$. Si $f'{'} \leq 0$, on considère $g=-f$. {\bf Application}~:\\ On peut calculer la valeur approch\'ee de la racine $k$-i\`eme d'un r\'eel $a>0$ en appliquant ce deuxi\`eme th\'eor\`eme. En effet si $a>0$, alors $x^k-a$ est 2 fois continument d\'erivable et de d\'eriv\'ee premi\`ere $kx^{k-1} $ et seconde $k(k-1)x^{k-2}$ strictement positives sur $\R^{+\ast}$ (car $k \geq 2$). Il suffit donc de prendre une valeur de d\'epart $u_0$ plus grande que la racine $k$-i\`eme, par exemple $1+a/k$ (en effet $(1+a/k)^k \geq 1+k a/k=1+a$). En appliquant l'in\'egalit\'e du th\'eor\`eme, on a~: \[ 0 \leq u_n - \sqrt[k]{a} \leq \frac{u_n^k - a}{k\sqrt[k]{a}^{k-1} } \leq \frac{u_n^k-a}{ka} \sqrt[k]{a} \leq \frac{u_n^k-a}{ka} (1+\frac{a}{k}) \] Pour avoir une valeur approch\'ee de $\sqrt[k]{a}$ \`a $\varepsilon$ pr\`es, on peut donc choisir comme test d'arr\^et \[ u_n^k -a \leq \frac{ka}{1+\frac{a}{k}} \varepsilon \] Par exemple pour $\sqrt{2}$, le test d'arr\^et serait $u_n^2-2 \leq 2 \varepsilon$. \end{document}