Alain Joye


Professeur
Institut Fourier, UMR 5582 du CNRS
Université Grenoble Alpes
BP 74, 38402 Saint-Martin d'Hères, France

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Domaines de recherches :

Physique mathématique des systèmes dynamiques quantiques. Notamment, l'étude des approximations adiabatique, semi-classique, de Born-Oppenheimer et les questions de stabilité quantiques et l'étude de modélisations stochastiques, ainsi que les systèmes dynamiques en mécanique statistique quantique.

Dynamique quantique:

Certaines propriétés quantiques de systèmes isolés, telles le spectre du hamiltonien et les mesures spectrales associées ont un intérêt direct pour la physique du système, dans un cadre stationnaire. Il est également possible de relier ces grandeurs aux propriétés dynamiques de transport du système dans certains cas e.g. [25], [32]. Cependant, d'autres approches de ces propriétés de transport nécessitent que l'on aborde la dynamique de tels systèmes. Plus généralement, si le système n'est pas isolé son hamiltonien H(t) dépendra du temps et on considèrera l'effet de l'environnement extérieur sur le système au travers de la dynamique. Dans les deux cas, il s'agit d'étudier l'évolution temporelle du système régie par l'équation de Schroedinger dépendante du temps. C'est l'étude de cette équation, dans divers contextes ou régimes, qui est l'objet de la dynamique quantique.

Mentionnons quelques directions dans lesquelles des progrès récents rigoureux ont été accomplis. Les nombres entre crochets renvoient à la liste de publications.

Stabilité quantique

Une des questions naturelles sur les systèmes quantiques concerne leur comportement à grands temps.Dans le cas d'un hamiltonien périodique en temps, c'est la nature spectrale de l'opérateur de monodromie, évolution sur une période, appelé encore opérateur de Floquet, qui est d'intérêt pour l'étude de la stabilité, au sens large, de tels systèmes. Mathématiquement, il s'agit de perturbation de spectre ponctuel dense. Pour des hamiltoniens de la forme H(0)+V(t) où H(0) est stationnaire, satisfait certaines propriétés spectrales et V est lisse comme fonction du temps, des techniques développées dans le cadre de l'approximation adiabatique de l'équation de schroedinger permettent d'exclure la présence de spectre absolument continu pour l'opérateur de Floquet, voir Howland, Nenciu, Joye, ... Par ailleurs, si l'on rétablit la fréquence comme variable du système, des techniques adaptées de la méthode KAM en mécanique classique permettent de montrer que pour un ensemble de fréquences de mesure non nulle, dans un régime perturbatif, le spectre de l'opérateur de Floquet est dense pure point sous les mêmes hypothèses spectrales sur H(0), voir Bellissard, Duclos-Stovicek, ... Lorsque l'interaction V(t) consiste à frapper périodiquement le système non-perturbé par un opérateur de rang un, les propriétés spectrales de l'opérateur de Floquet dépendent fortement des propriétés arithmétiques des paramètres en jeu, voir Combescure et le résultat récent de Bourget. Cependant, certains des résultats mentionnés ci-dessus sont obtenus sous des hypothèses spectrales fortes qui empèchent leur application à des cas pertinents pour la physique. Néanmoins, des résultats partiels laissent à penser que ces hypothèses ne sont pas toujours nécessaires.

Une classe d'opérateurs de monodromie caractériséee par une structure matricielle en bande provenant de la modélisation physique d'un anneau quantique magnétique est étudiéee en détail dans [34], dans un cadre déterministe et aléatoire. L'étude du cas aléatoire est poursuivie plus avant dans [35] où une formule dite de Thouless est démontrée. Il en résulte en particulier des renseignements quantitatifs sur l'exposant de Lyapunov, entrant en jeu dans [34] déjà, dont la positivité assure le caractère singulier du spectre presque sur de cet opérateur unitaire. Cette classe de matrice est également en relation avec la construction de polynomes orthogonaux sur le cercle unit&eacute. Par ailleurs, il se trouve que, modulo une transformation unitaire, les matrices de cet ensemble sont de la forme D S où D est une matrice diagonale de phases aléatoires et S possède la structure en bande ci-dessus et dépends d'un paramètre. On peut donc considérer ces opérateurs comme des analogues unitaires des hamiltoniens d'Anderson en dimension un d'espace. Il est alors aisé d'en donner une généralisation en dimension quelconque d'espace et l'étude des propriétés spectrales de ces opérateurs se pose. On montre dans [41] que l'approche de la localisation de Aizenman-Molchanov se transpose à ce cas et donne la localisation pour certains domaines des paramètres. Le cas unidimensionnel est considéré dans [42] où l'on montre la localisation pour toutes valeurs des paramètres.

Dans le cas où la dépendance temporelle de H(t) n'est pas périodique, c'est le comportement temporel de la valeur moyenne de l'énergie H(0) ou de la position |X| (localisation dynamique) qui caractérise dans un certain sens la dynamique quantique. Dans le cas où le spectre de H(0) satisfait l'hypothèse ci-dessus, les techniques adiabatiques permettent de contrôler cette quantité. En revanche, si cette hypothèse n'est pas satisfaite, on a recours à une approche directe qui, sous des hypothèses sur les couplages induits par V(t) entre les niveaux de H(0), permetd'obtenir une borne supérieure algébrique en temps sur cette valeur moyenne, voir [20]. Dans le cadre de la localisation dynamique, pour des hamiltoniens aléatoires ou non, des progrès notoires sur le comportement à grands temps de la position ont étés accomplis récemment, voir par exemple Germinet-Klein. Les résultats obtenus dans le cadre de la localisation dynamique le sont pour des hamiltoniens indépendants du temps. Ce type d'analyse étendue au cas non stationnaire périodique permet de déduire des renseignements sur le spectre des opérateurs de Floquet correspondant.

Théorie adiabatique en mécanique quantique.

La théorie adiabatique suppose une variation temporelle lente du hamiltonien, caractérisée par un petit paramètre h > 0. La limite singulière h -->0 est une limite très semblable à la limite semi-classique. Supposant l'existence d'une bande isolée dans le spectre de H(t) pour tout temps, et dans un contexte analytique, le caractère exponentiellement petit en limite h -->0 de la probabilité de transiter à travers ce gap entre les temps -infini et +infini d'un sous-espace spectral à son complémentaire a été montré récemment. L'asymptotique de ces transitions est même calculable si H(t) est un système à deux niveaux ou est réductible à un tel système. Ceci permet en particulier de donner un statut mathématique à la formule de Landau-Zener largement utilisée en chimie quantique. Par ailleurs, une exploitation approfondie des méthodes développées dans le cadre adiabatique a permis d'améliorer sensiblement les résultats mentionnés ci-dessus et se révèlent utiles dans un contexte plus large (analyse WKB complexe, stabilité quantique, etc...) [18] , [22], [28], [33]. Pour plus de détails, consulter la revue et le compte rendu [5]. L'article [33] propose une dérivation élémentaire de la précision exponentielle de l'approximation adiabatique.

Au delà de la seule probabilité de transition, la description de la dépendance temporelle du mécanisme de transition dans la limite adiabatique est une donnée clé de la dynamique quantique. Du point de vue mathématique, cette description représente un challenge de type "asymptotique exponentielle", abordé dans le travail récent [36]. Des progrès ultérieurs sur cette question ont été accomplis par Betz et Teufel.

Afin de mieux comprendre le comportement dynamique de molécules en champ élecromagnétique, il est nécessaire d'établir une approximation adiabatique controlée pour le hamiltonien correspondant dont le spectre n'exhibe plus de gaps au sens ci-dessus. Les résultats rigoureux sur cette problèmatique obtenus jusqu'ici ne sont en effet pas adaptés à cette application importante pour la physique. Pour des progrè dans ce sens, voir [23], [10] et également les travaux d'Avron-Elgart et Teufel.

Une autre généralisation des conditions sous lesquelles une approximation adiabatique est valide, consiste à ne pas supposer que le générateur est diagonalisable. Ce type de situation se produit dans l'étude de la dynamique de systèmes quantiques ouverts au moyen d'équations maitresses dépendant du temps, voir plus bas. L'analyse mathématique de l'approximation adiabatique sous de telles hypothèses est faite dans l'article [51]. Il en ressort que l'existence de nilpotents propres dans la décomposition spectrale du générateur induit des transitions exponentiellement grandes entre projecteurs spectraux, dans la limite adiabatique. Cependant, la "renormalisation superadiabatique" permet de construire d'autres projecteurs que l'évolution suit, dans le régime adiabatique. Enfin, certains problèmes de transport de charges dans des systèmes mesoscopiques nécessitent une analyse détaillée des propriétés de l'approximation adiabatique lorsqu'elle dépend de paramètres extérieurs. Un cas concret est traité dans [53].

Propagation semi-classique

La limite semi-classique de l'équation de Schroedinger fait l'objet de nombreuses études dans le cas stationnaire, avec les succès que l'on connait. La version dépendante du temps de cette limite, décrivant la propagation semi-classique de systèmes quantiques, présente une approche alternative à celles mentionnées plus haut des problèmes de transport quantique. Elle présente par ailleurs des phénomènes intéressants lorsque les limites semi-classiques et de grands temps sont considérées similtanément. Dans cet ordre d'idéees, il a été démontré que des constructions de type états cohérents pouvaient approximer des solutions de l'équation de Schroedinger dépendante du temps dans la limite semiclassique h --> 0 à des erreurs exponentiellement petites près, sur des temps de l'ordre de  log ( 1 / h ), temps de Ehrenfest, et sur des temps infini dans un régime de diffusion pour des potentiels à courte portée [24], [29]. Voir le compte rendu [9].

Approximation de Born-Oppenheimer dépendante du temps

Cette approximation traite d'une limite singulière  h --> 0 d'un système d'équations de Schroedinger couplées, ou équation de Schroedinger moléculaire, décrivant la dynamique d'une molécule composée d'électrons légers de masse unité et de noyaux lourds dont la masse est d'ordre (1 / h)1/2, dans une échelle de temps adaptées. Le hamiltonien est alors formellement celui d'un hamiltonien semiclassique dont le potentiel scalaire est remplacé par un opérateur H(x), le hamiltonien électronique, dépendant paramétriquement de la position des noyaux x. Les transitions entre différents niveaux électroniques sont les quantités d'intérêt pour ce problème. Si l'on fixe a priori le mouvement des noyaux lourds, la dynamique des électrons est régie par un hamiltonien effectif dépendant du temps dans la limite adiabatique. Or dans un tel cas, la probabilitée de transition entre niveaux presque dégénérés est donnée par la formule de Landau Zener.

Le gap minimal entre niveaux d'intérêt joue un rôle important pour ces transitions. S'il est "très petit", on parle de presque croisement de niveaux. En remplaçant alors H(x) par H(x, h) tel que le gap minimum entre états presque dégénérés soit d'ordre h1/2, ces transitions sont d'ordre 1. En fait, il est possible d'obtenir l'asymptotique complète de la propagation de fonctions d'onde de type "états cohérents". En particulier,on observe que la transition entre les niveaux électroniques dans l'approximation de Born-Oppenheimer dépendant du temps est donnée par la formule de Landau Zener, ou par une généralisation de celle-ci, en fonction de la complexité des presque-croisements de niveaux considérés [19], [21]. Voir le compte rendu de Hagedorn, pour un tour d'horizon et le résumé pour une description succinte du cas le plus simple.

Le formalisme décrit ci-dessus nécessite par hypothèse une connaissance exacte des éléments spectraux du hamiltonien électronique. Cependant, on montre dans [31] l'existence d'une théorie de perturbation permettant d'écrire l'approximation de Born-Oppenheimer en termes de vecteurs et valeurs propres approchés dans ce régime de presque croisement. Ceci est illustré par la description de la propagation électronique dans certains systèmes mésoscopiques.

Par ailleurs, revenant au cas de non-croisement de niveaux, observant que l'approximation de Born-Oppenheimer est basée formellement sur les approximations adiabatique et semiclassiques de l'équation de Schroedinger moléculaire qui sont toutes deux contrôlables à des erreurs exponentiellement petites près, il est raisonnable de penser qu'il doit etre possible de contrôler de cette dernière à des erreurs exponentiellement petites près, dans le cas où les niveaux électroniques sont bien séparés. Un tel résultat, dans un cas très général, allant dans le sens d'une interprêtation de transitions électroniques exponentiellement faibles en terme de formule de Landau-Zener moléculaire, est démontré dans [30]. Pour des résultats complémentaires allant dans le même sens, voir Martinez-Sordoni et Panati-Spohn-Teufel.

Une telle formule de Landau-Zener moléculaire décrivant la partie exponentiellement petite de la fonction d'onde est démontrée dans le contexte dépendant du temps dans un travail en collaboration avec G. Hagedorn [37]. Plus précisément, on travaille dans un régime de diffusion pour un presque-croisement de taille finie, en dimension un d'espace de configuration électronique et on étudie la propagation d'états cohérents. L'asymptotique "semiclassique" de la partie non-adiabatique de la fonction d'onde est caractérisée par un profil nucléaire gaussien se propageant librement dont on spécifie tous les paramètres, multiplié par un préfacteur exponentiellement petit que l'on calcule également. Il ressort de notre analyse que le taux de décroissance exponentielle de ce préfacteur dépend à la fois du comportement local des niveaux électroniques au presque croisement et de la densité en énergie du paquet d'onde nucléaire entrant. Une revue concernant les différents aspects mathématiques de l'approximation de Born-Oppenheimer est proposée dans [46].

Le phénomène de transition entre modes décrit dans [37] est en fait commun à de nombreux systèmes physiques générant des ondes, modélisés par un certain type d'EDP linéaires autonomes, dans une limite singulière (éq. de Klein-Gordon, Dirac, KdV linéaire,... ). Le travail [45] en collaboration avec M. Marx est consacré à la description asymptotique des transitions intermodes générées par certains systèmes d'EDP généraux. La revue [47] traite de l'asymptotique exponentielle en mécanique quantique.

Systèmes quantiques ouverts (voir également SyDyQ)

En température positive, les systèmes quantiques sont décrits par des matrices densité satisfaisant une équation d'évolution linéaire engendrée par [H, . ] où H est le hamiltonien du système. Voir [39], par exemple, pour une introduction heuristique à la mécanique statistique quantique. Si deux systèmes quantiques sont découplés, l'espace de Hilbert sur lequel ils vivent est le produit tensoriel des espaces de Hilbert individuels et la matrice densité les décrivant est donnée par le produit tensoriel des matrices densité individuelles. Un système quantique ouvert est typiquement un "petit" système de référence mis en contact avec un "grand" système jouant le rôle de réservoir (d'énergie, de particules, etc), dans un certain état thermodynamique fixé. La question générique est de décrire le comportement temporel du petit système, ou de sa matrice de densité réduite, notamment dans le régime des grands temps, afin de déterminer l'existence ou non d'un état limite stationnaire. Les volumes [43] donnent un compte rendu très complet des progrès réalisés dans l'étude des systèmes ouverts, au travers de diverses approches et modélisations.

Dans certains régimes de couplage et sur certaines échelles de temps, la matrice densité réduite du petit système est générée par une équation de Lindblad. C'est le régime dit de couplage faible. Nous avons montré dans le travail [40] en collaboration avec S. Attal, qu'un modèle d'interactions quantiques répétées pouvait générer matrice densité réduite engendrées par des équations de Lindblad arbitraires. Le comportement à grands temps de ce modèle d'interactions quantiques répétées est élucidé dans les travaux [49] et [54] en commun avec L.Bruneau et M.Merkli sans hypothèse de couplage faible, pour des interactions répétées déterministes et aléatoires. Ce type de modèles d'interactions répétées apparait naturellement dans la construction de bruits quantiques servant à modéliser un environnement dans une approche markovienne des systèmes ouverts. Le travail [48] avec S. Attal propose une définition naturelle de bruits quantiques thermiques et en étudie les propriétés dans un cadre général

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