Alain JoyeProfesseur Institut Fourier, UMR 5582 du CNRS Université Grenoble Alpes BP 74, 38402 Saint-Martin d'Hères, France Bureau 207 |
Mentionnons quelques directions dans lesquelles des progrès
récents
rigoureux ont été accomplis. Les nombres entre crochets
renvoient
à la liste de publications.
Une classe d'opérateurs de monodromie caractériséee par une structure matricielle en bande provenant de la modélisation physique d'un anneau quantique magnétique est étudiéee en détail dans [34], dans un cadre déterministe et aléatoire. L'étude du cas aléatoire est poursuivie plus avant dans [35] où une formule dite de Thouless est démontrée. Il en résulte en particulier des renseignements quantitatifs sur l'exposant de Lyapunov, entrant en jeu dans [34] déjà, dont la positivité assure le caractère singulier du spectre presque sur de cet opérateur unitaire. Cette classe de matrice est également en relation avec la construction de polynomes orthogonaux sur le cercle unité. Par ailleurs, il se trouve que, modulo une transformation unitaire, les matrices de cet ensemble sont de la forme D S où D est une matrice diagonale de phases aléatoires et S possède la structure en bande ci-dessus et dépends d'un paramètre. On peut donc considérer ces opérateurs comme des analogues unitaires des hamiltoniens d'Anderson en dimension un d'espace. Il est alors aisé d'en donner une généralisation en dimension quelconque d'espace et l'étude des propriétés spectrales de ces opérateurs se pose. On montre dans [41] que l'approche de la localisation de Aizenman-Molchanov se transpose à ce cas et donne la localisation pour certains domaines des paramètres. Le cas unidimensionnel est considéré dans [42] où l'on montre la localisation pour toutes valeurs des paramètres.
Dans le cas où la dépendance temporelle de H(t) n'est pas périodique, c'est le comportement temporel de la valeur moyenne de l'énergie H(0) ou de la position |X| (localisation dynamique) qui caractérise dans un certain sens la dynamique quantique. Dans le cas où le spectre de H(0) satisfait l'hypothèse ci-dessus, les techniques adiabatiques permettent de contrôler cette quantité. En revanche, si cette hypothèse n'est pas satisfaite, on a recours à une approche directe qui, sous des hypothèses sur les couplages induits par V(t) entre les niveaux de H(0), permetd'obtenir une borne supérieure algébrique en temps sur cette valeur moyenne, voir [20]. Dans le cadre de la localisation dynamique, pour des hamiltoniens aléatoires ou non, des progrès notoires sur le comportement à grands temps de la position ont étés accomplis récemment, voir par exemple Germinet-Klein. Les résultats obtenus dans le cadre de la localisation dynamique le sont pour des hamiltoniens indépendants du temps. Ce type d'analyse étendue au cas non stationnaire périodique permet de déduire des renseignements sur le spectre des opérateurs de Floquet correspondant.
Au delà de la seule probabilité de transition, la description de la dépendance temporelle du mécanisme de transition dans la limite adiabatique est une donnée clé de la dynamique quantique. Du point de vue mathématique, cette description représente un challenge de type "asymptotique exponentielle", abordé dans le travail récent [36]. Des progrès ultérieurs sur cette question ont été accomplis par Betz et Teufel.
Afin de mieux comprendre le comportement dynamique de molécules en champ élecromagnétique, il est nécessaire d'établir une approximation adiabatique controlée pour le hamiltonien correspondant dont le spectre n'exhibe plus de gaps au sens ci-dessus. Les résultats rigoureux sur cette problèmatique obtenus jusqu'ici ne sont en effet pas adaptés à cette application importante pour la physique. Pour des progrè dans ce sens, voir [23], [10] et également les travaux d'Avron-Elgart et Teufel.
Une autre généralisation des conditions sous lesquelles une approximation adiabatique est valide, consiste à ne pas supposer que le générateur est diagonalisable. Ce type de situation se produit dans l'étude de la dynamique de systèmes quantiques ouverts au moyen d'équations maitresses dépendant du temps, voir plus bas. L'analyse mathématique de l'approximation adiabatique sous de telles hypothèses est faite dans l'article [51]. Il en ressort que l'existence de nilpotents propres dans la décomposition spectrale du générateur induit des transitions exponentiellement grandes entre projecteurs spectraux, dans la limite adiabatique. Cependant, la "renormalisation superadiabatique" permet de construire d'autres projecteurs que l'évolution suit, dans le régime adiabatique. Enfin, certains problèmes de transport de charges dans des systèmes mesoscopiques nécessitent une analyse détaillée des propriétés de l'approximation adiabatique lorsqu'elle dépend de paramètres extérieurs. Un cas concret est traité dans [53].
Le gap minimal entre niveaux d'intérêt joue un rôle important pour ces transitions. S'il est "très petit", on parle de presque croisement de niveaux. En remplaçant alors H(x) par H(x, h) tel que le gap minimum entre états presque dégénérés soit d'ordre h1/2, ces transitions sont d'ordre 1. En fait, il est possible d'obtenir l'asymptotique complète de la propagation de fonctions d'onde de type "états cohérents". En particulier,on observe que la transition entre les niveaux électroniques dans l'approximation de Born-Oppenheimer dépendant du temps est donnée par la formule de Landau Zener, ou par une généralisation de celle-ci, en fonction de la complexité des presque-croisements de niveaux considérés [19], [21]. Voir le compte rendu de Hagedorn, pour un tour d'horizon et le résumé pour une description succinte du cas le plus simple.
Le formalisme décrit ci-dessus nécessite par hypothèse une connaissance exacte des éléments spectraux du hamiltonien électronique. Cependant, on montre dans [31] l'existence d'une théorie de perturbation permettant d'écrire l'approximation de Born-Oppenheimer en termes de vecteurs et valeurs propres approchés dans ce régime de presque croisement. Ceci est illustré par la description de la propagation électronique dans certains systèmes mésoscopiques.
Par ailleurs, revenant au cas de non-croisement de niveaux, observant que l'approximation de Born-Oppenheimer est basée formellement sur les approximations adiabatique et semiclassiques de l'équation de Schroedinger moléculaire qui sont toutes deux contrôlables à des erreurs exponentiellement petites près, il est raisonnable de penser qu'il doit etre possible de contrôler de cette dernière à des erreurs exponentiellement petites près, dans le cas où les niveaux électroniques sont bien séparés. Un tel résultat, dans un cas très général, allant dans le sens d'une interprêtation de transitions électroniques exponentiellement faibles en terme de formule de Landau-Zener moléculaire, est démontré dans [30]. Pour des résultats complémentaires allant dans le même sens, voir Martinez-Sordoni et Panati-Spohn-Teufel.
Une telle formule de Landau-Zener moléculaire décrivant la partie exponentiellement petite de la fonction d'onde est démontrée dans le contexte dépendant du temps dans un travail en collaboration avec G. Hagedorn [37]. Plus précisément, on travaille dans un régime de diffusion pour un presque-croisement de taille finie, en dimension un d'espace de configuration électronique et on étudie la propagation d'états cohérents. L'asymptotique "semiclassique" de la partie non-adiabatique de la fonction d'onde est caractérisée par un profil nucléaire gaussien se propageant librement dont on spécifie tous les paramètres, multiplié par un préfacteur exponentiellement petit que l'on calcule également. Il ressort de notre analyse que le taux de décroissance exponentielle de ce préfacteur dépend à la fois du comportement local des niveaux électroniques au presque croisement et de la densité en énergie du paquet d'onde nucléaire entrant. Une revue concernant les différents aspects mathématiques de l'approximation de Born-Oppenheimer est proposée dans [46].
Le phénomène de transition entre modes décrit
dans [37] est en fait commun à de nombreux systèmes
physiques générant des ondes, modélisés par
un certain type d'EDP linéaires autonomes, dans une limite
singulière (éq. de Klein-Gordon, Dirac, KdV
linéaire,... ).
Le travail [45] en collaboration avec M. Marx est consacré
à la description asymptotique des transitions intermodes
générées par certains systèmes d'EDP
généraux. La revue [47] traite de l'asymptotique
exponentielle en
mécanique quantique.
Dans certains régimes de couplage et sur certaines échelles de temps, la matrice densité réduite du petit système est générée par une équation de Lindblad. C'est le régime dit de couplage faible. Nous avons montré dans le travail [40] en collaboration avec S. Attal, qu'un modèle d'interactions quantiques répétées pouvait générer matrice densité réduite engendrées par des équations de Lindblad arbitraires. Le comportement à grands temps de ce modèle d'interactions quantiques répétées est élucidé dans les travaux [49] et [54] en commun avec L.Bruneau et M.Merkli sans hypothèse de couplage faible, pour des interactions répétées déterministes et aléatoires. Ce type de modèles d'interactions répétées apparait naturellement dans la construction de bruits quantiques servant à modéliser un environnement dans une approche markovienne des systèmes ouverts. Le travail [48] avec S. Attal propose une définition naturelle de bruits quantiques thermiques et en étudie les propriétés dans un cadre général
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