Sur la dimension de l'espace des orbites d'une grassmannienne sous l'action d'un groupe algébrique

On travaille sur le corps des nombres complexes.
On cherche à  généraliser le résultat suivant du à  Pyasetskii :
Soit G un groupe algébrique agissant sur un espace vectoriel V de dimension finie n. Si G agit sur la grassmannienne des droites de V avec un nombre fini d'orbites alors G agit aussi sur la grassmannienne des hyperplans de V avec un
nombre fini d'orbites.

On généralise ce résultat aux couples de grassmanniennes G(k,n), G(n-k,n) et aux cas où le nombre d'orbites est infini dans un sens que l'on précisera.
On donne ensuite des résultats analogues pour les variétés de drapeaux des groupes orthogonaux et symplectiques.