Principe local global pour les espaces homogènes sur les corps de fonctions de courbes $p$-adiques (travail commun avec R. Parimala et V. Suresh)

Soit F un corps de fonctions d'une variable sur un corps p-adique k.
A toute valuation discrète v de rang 1 sur F, non nécessairement triviale sur k,
associons le complété F_v de F.
Soit Y une F-variété qui est un espace homogène d'un F-groupe linéaire connexe G .

Question (ouverte) : si Y a des points dans tous les F_v, a -t-il un point dans F ?

On montre qu'il en est ainsi dans les deux cas suivants :

(i) La variété Y est une quadrique (et p est impair)

(ii) Le F-groupe G est extension de k à  F d'un groupe réductif sur
l'anneau des entiers de k, et Y est un espace principal homogène de G.

De récents théorèmes de recollement de Harbater, Hartmann et Krashen,
que j'énoncerai, jouent un rôle fondamental dans les démonstrations.