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Jean-Marc Fontaine

Jean-Marc Fontaine (1944-2019), ancien élève de l'École polytechnique, a commencé comme chercheur au CNRS entre 1965 et 1971. Il a soutenu son  doctorat d'État en 1972 (Sous la direction de J.-P. Serre). Il fut d'abord chargé d'enseignement en 1971-72 à l'université Paris VI, puis arrive en 1972  à l'université de Grenoble, d'abord maître de conférences puis professeur.

Les travaux de Jean-Marc Fontaine concernent principalement la géométrie arithmétique et, plus spécifiquement, la théorie de Hodge p-adique. Il a beaucoup étudié les représentations, sur des corps p-adiques, des groupes de Galois des corps locaux (extensions finies de Qp et globaux (extensions finies de Q). On lui doit un programme (programme de Fontaine ou théorie de Fontaine) de classification des représentations du groupe de Galois d'un corps local et une description des représentations de ces groupes de Galois fournies par la cohomologie des variétés algébriques sur les corps locaux (conjectures C c r i s , C s t  , C d R  ) ou globaux (conjecture de Fontaine-Mazur). La théorie de Fontaine est l'outil le plus puissant dont on dispose pour étudier les propriétés fines des représentationsdes groupes de Galois des corps globaux; elle intervient de manière cruciale dans tous les progrès en direction de la correspondance de Langlands (dans le sens Galois vers automorphe, le plus difficile) depuis les travaux d'Andrew Wiles sur le théorème de Fermat.

Ses principales contributions à son programme (dans sa période grenobloise, mais il voyageait énormément) sont les suivantes :

-  Le démarrage : cours Peccot 1975 (groupes p-divisibles sur les corps locaux)
-  Une classification des groupes p-divisibles sur les corps locaux (Astérisque 47-48 1977)
-  La théorie du "corps des normes" (en collaboration avec Jean-Pierre Wintenberger) qui fournit un lien entre le groupe de Galois absolu de Qp (corps des nombres p-adiques), et celui du corps Fp ( ( T ) ) (corps des séries formelles inversibles sur Fp le corps à p éléments). Cette théorie a inspiré la théorie du basculement (tilting) de Peter Scholze et a donné naissance, quinze ans plus tard, à la théorie des ( φ, Γ )-modules ;
-  La construction de l'anneau Bdr des « périodes p-adiques» (contenant, en particulier, un 2 i π p-adique) et de ses sous-anneaux Bcris, Bst qui jouent le rôle, en théorie de Hodge p-adique (pour la comparaison entre les cohomologie de De Rham et étale, conjectures Cdr, Ccris, Cst de Fontaine), du corps C des nombres complexes en théorie de Hodge classique (pour la comparaison entre les cohomologies de de Rham et singulière) ;
-  La hiérarchie « cristalline, semi-stable, de Rham » pour les représentations des groupes de Galois des corps locaux qui découle des propriétés des anneaux de périodes  p-adiques, la description des représentations cristallines en « petits poids » (théorie de Fontaine-Laffaille), et la description conjecturale des représentations de Rham (conjectures « faiblement admissible ⇒  admissible » et « de Rham ⇒ potentiellement semi-stable ») ;
-  La preuve (avec William Messing ) de la conjecture Ccris dans « le cas Fontaine-Laffaille ». Les conjectures Cdr, Ccris, Cst ont inspiré beaucoup de travaux (Faltings, Kato, Tsuji,  Nizioł, Beilinson, Scholze...), et sont maintenant des théorèmes;
 
Comme applications de son programme, il a aussi prouvé une conjecture de Shafarevich selon laquelle il n'y a pas de variété abélienne définie sur Q avec bonne réduction modulo tout nombre premier (i.e., il n'existe pas de schéma abélien sur Z).
 
Dans sa période grenobloise il a dirigé des thèses : Decauwert , Laffaille, Wintenberger, Colmez (codirection avec J. Coates) animé des séminaires et des groupes de travail...
 
En 1989 il nous quitte pour l’université Paris-Sud à Orsay, mais certains se souviennent de ses exposés à la seconde école d'été de l'Institut Fourier en juillet 1993. L' école a duré 3 semaines, et la dernière semaine, Jean-Marc est revenu de Cambridge et a donné 3 conférences : 2 ont porté sur sa théorie des représentations p-adiques. La troisème était la dernière de l'école (Vendredi 10 juillet). Il a résumé la preuve de Wiles du théorème de Fermat dans un amphi Chabauty archi comble et surchauffé par le soleil. Peut être a-t-il a évoqué les systèmes d'Euler abandonnés par la suite dans la vraie preuve.

Pour plus de détails mathématiques : voir le texte de Pierre Colmez, ainsi que sa page html

 

Roland Gillard

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