Figure: Une base de vecteurs et sa base duale.
En général, il n'y a pas d'isomorphisme canonique entre TX et T*X. Il est nécessaire de disposer d'une donnée supplémentaire qui est une forme bilinéaire non dégénérée sur TxX (par exemple une forme symétrique dans le cas des variétés riemanniennes ou une forme antisymétrique pour une variété symplectique).
On a vu que si , on peut définir
. Par dualité, on peut définir
: si
, on pose
On vérifie que et
sont bien
duales l'une de l'autre: si
,
Mais il n'est pas possible de définir une application
en général car si
,
on ne sait pas s'il admet un antécédent unique par
. Lorsque
est injective, on peut définir
sur