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Chapitre 26  Exercices sur les suites

La commande limite de Xcas donne la limite d’une suite losqu’elle existe !
La commande seqsolve de Xcas donne la valeur d’une suite récurrente de la forme un+1=f(un) ou un+2=f(,un,un+1,...) ou d’un système de suites récurrentes.
Par exemple :
Pour trouver la limite quand n tend vers +∞ de la suite un définie par :
un=∑p=1n1/n+p, on tape :
limite(sum(1/((n+p)),p=1..n),n,inf)
On obtient :
ln(2)
Pour trouver la valeur de la suite un définie par :
un+2=un+2un+1+n+1 u0=0, u1=1, on tape :
seqsolve(x+2*y+n+1,[x,y,n],[0,1])
On obtient :
(-4*n-(sqrt(2)+1)^n*(-sqrt(2)*3-2)-(-(sqrt(2))+1)^n*(sqrt(2)*3-2)-4)/8
Pour trouver la valeur des suite un et vn définies par :
un+1=un+2vn, vn+1=un+n+1 u0=0, v0=1, on tape :
seqsolve([x+2*y,n+1+x],[x,y,n],[0,1])
On obtient :
[(-2*n-(-1)^n+2^n*4-3)/2,((-1)^n+2*2^n-1)/2]
Exercices

  1. Soient an, et bn les suites définies par :
    a0, b0 ((a0,b0)≠ (0,0)),
    an+1=an/an2+bn2,
    bn+1=bn/an2+bn2,
    Calculer les 4 premiers termes de ces suites pour a0=a, b0=b,
    On utilise le tableur pour avoir les valeurs des termes de ces suites.
    On tape pour :
    A0 1 (ou a)
    B0 3 (ou b)
    A1 =simplfy(A0/(A0^2+B0^2))
    B1 =simplfy(B0/(A0^2+B0^2))
    Puis on remplit vers le bas. On obtient commes valeurs dans la colonne A :
    a, a/(a^2+b^2), a, a/(a^2+b^2) ...
    On obtient commes valeurs dans la colonne B :
    b, b/(a^2+b^2), b, b/(a^2+b^2) ...
    Soit la fonction de ℝ2 dans ℝ2 :
    g(x,y)=(x/(x2+y2),y/(x2+y2)) Montrons avec Xcas que g∘ g=id
    On tape :
    g(x,y):=(x/(x^2+y^2),y/(x^2+y^2))
    simplify((g@g)(x,y))
    On obtient :
    x,y
    La fonction g transforme un vecteur V de ℝ2 en W=V/norm(V)2. On a norm(W)=1/norm(V) donc g transforme W en W/norm(W)2=V.
  2. Soient an, bn, et cn les suites définies par :
    a0=1, b0=3 et c0=8,
    an+1=1/2(bn+cn),
    bn+1=1/2(cn+an),
    cn+1=1/2(an+bn),
    Calculer les 4 premiers termes de ces suites,
    Montrer que an+bn+cn est constant.
    Exprimer an+1−bn+1 en fonction de an−bn,
    Montrer que pour n≥ 1, 2an+1=an+an−1.
    En déduire une expression de an, bn, et cn en fonction de n.
    Étudier la convergence de an, bn, et cn.
    On peut faire le calcul des 4 premiers termes avec le tableur, on obtient : A:=(1,11/2,13/4,35/8,61/16) pour les premiers termes de an,
    B:=(3,9/2,15/4,33/8,63/16) pour les premiers termes de bn,
    C:=(8,2,5,7/2,17/4) pour les premiers termes de cn,
    On tape :
    [A]+[B]+[C]
    On obtient :
    [12,12,12,12,12]
    On a :
    an+1+bn+1+cn+1=1/2(bn+cn+cn+an+an+bn)=an+bn+cn Donc on montre par récurrence que an+bn+cn=12 On a :
    an+1−bn+1=1/2(bn−an)=−1/2(an−bn)
    2an+1=bn+cn=an−1+1/2(bn−1+cn−1)=an−1+an
    Donc on peut définir an par :
    a0=1,a1=11/2 et la relation de récurrence 2an+1=an+an−1.
    L’ensemble E des suites réelles u qui vérifient la relation de récurrence :
    2un+1=un+un−1 pour n>0
    forment un espace vectoriel sur ℝ de dimension 2.
    En effet E est un espace vectoriel sur ℝ et l’application :
    f de E dans ℝ2 qui à u∈ E fait correspondre (u0,u1) est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
    On cherche les progressions géométriques un=u0rn qui vérifient :
    2un+1=un+un−1 ont pour raison r=1 ou r=−1/2 donc
    an=α+β(−1/2)n avec :
    α+β=1 et α−β/2=11/2
    On tape :
    solve([x+y=1,x-y/2=11/2],[x,y])
    On obtient :
    [[4,-3]]
    Donc an=4−3(−1/2)n De même :
    bn=α+β(−1/2)n avec :
    α+β=3 et α−β/2=19/2
    On tape :
    solve([x+y=3,x-y/2=9/2],[x,y])
    On obtient :
    [[4,-1]]
    Donc bn=4−(−1/2)n et,
    cn=α+β(−1/2)n avec :
    α+β=8 et α−β/2=2
    On tape :
    solve([x+y=8,x-y/2=2],[x,y])
    On obtient :
    [[4,4]]
    Donc cn=4+4(−1/2)n On vérifie, on tape :
    seqsolve([(b+c)/2,(c+a)/2,(a+b)/2],[a,b,c,n],[1,3,8])
    On obtient :
    [-3*(-1/2)^n+4,-(-1/2)^n+4,4*(-1/2)^n+4]
    Quand n tend vers +∞ on a (−1/2)n tend vers 0 donc :
    an tend vers 4 quand n tend vers +∞
    bn tend vers 4 quand n tend vers +∞
    cn tend vers 4 quand n tend vers +∞ Prolongement : cas général Soient an, bn, et cn les suites définies par :
    a0, b0 et c0,
    an+1=1/2(bn+cn),
    bn+1=1/2(cn+an),
    cn+1=1/2(an+bn),
    On a toujours :
    an+1+bn+1+cn+1=1/2(bn+cn+cn+an+an+bn)=an+bn+cn Donc :
    an+bn+cn=a0+b0+c0 On a toujours :
    an+1−bn+1=1/2(bn−an)=−1/2(an−bn)
    2an+1=bn+cn=an−1+1/2(bn−1+cn−1)=an−1+an
    Donc an est définie par :
    2an+1=an−1+an et a0 et a1=1/2(b0+c0)
    Donc :
    an=α+β(−1/2)n avec :
    α+β=a0 et α−β/2=1/2(b0+c0)
    On tape :
    solve([x+y=a0,x-y/2=1/2*(b0+c0)],[x,y])
    On obtient :
    [[a0/3+b0/3+c0/3,2*a0/3-b0/3-c0/3]]
    Donc :
    an=−1/3(a0+b0+c0)+(2a0−b0−c0)(−1/2)n bn=−1/3(a0+b0+c0)+(2b0−c0−ca0)(−1/2)n cn=−1/3(a0+b0+c0)+(2c0−a0−b0)(−1/2)n On vérifie, on tape :
    seqsolve([(b+c)/2,(c+a)/2,(a+b)/2],[a,b,c,n],[a0,b0,c0])
    On obtient :
    [(2*(-1/2)^n*a0+a0-(-1/2)^n*b0+b0-(-1/2)^n*c0+c0)/3, (-(-1/2)^n*a0+a0+2*(-1/2)^n*b0+b0-(-1/2)^n*c0+c0)/3, (-(-1/2)^n*a0+a0-(-1/2)^n*b0+b0+2*(-1/2)^n*c0+c0)/3]
    On applique la commande factor et on obtient :
    [((2*a0-b0-c0)*(-1/2)^n+a0+b0+c0)/3, ((-a0+2*b0-c0)*(-1/2)^n+a0+b0+c0)/3, ((-a0-b0+2*c0)*(-1/2)^n+a0+b0+c0)/3]
  3. Soient an, bn, et cn les suites définies par :
    a0=1, b0=0 et c0=0,
    an+1=bn+cn,
    bn+1=cn+an,
    cn+1=an+bn,
    Calculer les 4 premiers termes de ces suites,
    Montrer que pour tout n bn=cn
    Calculer an+bn+cn.
    On a :
    an+1+bn+1+cn+1=(bn+cn+cn+an+an+bn)=2(an+bn+cn)
    donc:
    a1+b1+c1=2(a0+b0+c0)
    a2+b2+c2=2(a1+b1+c1)=22(a0+b0+c0)
    etc... an+bn+cn=2n(a0+b0+c0) On en déduit que :
    an=2n bn+1=bn+2n donc
    bn=2n−1+bn−1=2n−1+2n−2+bn−2=..=∑k=0n−12k= Prolongement : cas général Soient an, bn, et cn les suites définies par :
    a0, b0 et c0,
    an+1=bn+cn,
    bn+1=cn+an,
    cn+1=an+bn,
    On a toujours :
    an+1+bn+1+cn+1=bn+cn+cn+an+an+bn=2(an+bn+cn)
    Donc :
    an+bn+cn=2n(a0+b0+c0) On n’a plus bn=cn mais an+1−bn+1=bn−an=−(an−bn),
    Donc :
    an−bn=(−1)n(a0−b0),
    De même :
    an−cn=(−1)n(a0−c0),
    On a :
    an=1/3((an+bn+cn)+an−bn+an−cn)
    an=1/3(2n(a0+b0+c0)+(−1)n(a0−b0)+(−1)n(a0−c0)
    Donc :
    an=1/3(2n(a0+b0+c0)+(−1)n(2a0−b0−c0)
    De même :
    bn=1/3(2n(a0+b0+c0)+(−1)n(2b0−c0−a0)
    cn=1/3(2n(a0+b0+c0)+(−1)n(2c0−b0−a0)
    On vérifie, on tape :
    seqsolve([b+c,c+a,a+b],[a,b,c,n],[a0,b0,c0])
    On obtient après avoir fait agir la commande factor :
    [((-b0-c0+2*a0)*(-1)^n+2^n*(b0+c0+a0))/3, ((-a0-c0+2*b0)*(-1)^n+2^n*(a0+c0+b0))/3,((-a0-b0+2*c0)*(-1)^n+2^n(a0+b0+c0))/3]
  4. Explicitez an, bn, et cn les suites définies par :
    a0, b0 et c0,
    an+1=an+cn,
    bn+1=bn+an,
    cn+1=cn+bn,
    On a toujours :
    an+1+bn+1+cn+1=an+cn+bn+an+cn+bn=2(an+bn+cn)
    Donc :
    an+bn+cn=2n(a0+b0+c0) On a :
    an+1−cn+1+bn+1=2an bn+1−an+1+cn+1=2bn cn+1−bn+1+an+1=2cn Malheureusement, on a moins de chances que dans l’exercice précédent...
    On va donc utiliser une solution matricielle.
    Soit :
    A:=[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]] On a :
    [an,bn,cn]=A^n*[a0,b0,c0]
    Il faut donc calculer An.
    On tape :
    P,B:=jordan(A)
    On obtient :
    [[1,sqrt(3)*(-i)-1,sqrt(3)*(i)-1],[1,sqrt(3)*(i)-1,sqrt(3)*(-i)-1],[1,2,2]],[[2,0,0],[0,(sqrt(3)*(i)+1)/2,0],[0,0,(sqrt(3)*(-i)+1)/2]]
    On tape :
    P1:=simplify(inv(P))
    On obtient :
    [[1/3,1/3,1/3],[((i)*sqrt(3)-1)/12,((-i)*sqrt(3)-1)/12,1/6],[((-i)*sqrt(3)-1)/12,((i)*sqrt(3)-1)/12,1/6]] On tape :
    An:=factor(simplify(exp2trig(pow2exp(P*Bn*P1))))
    On obtient :
    [[(2^n+2*cos(n*pi/3))/3, (2^n-cos(n*pi/3)-sqrt(3)*sin(n*pi/3))/3, (2^(n+1)-2*cos(n*pi/3)+sin(n*pi/3)*2*sqrt(3))/6],
    [(2^n-cos(n*pi/3)+sqrt(3)*sin(n*pi/3))/3, (2^n+2*cos(n*pi/3))/3, (2^(n+1)-2*cos(n*pi/3)-2*sqrt(3)*sin(n*pi/3))/6],
    [(2^n-cos(n*pi/3)-sqrt(3)*sin(n*pi/3))/3, (2^n-cos(n*pi/3)+sqrt(3)*sin(n*pi/3))/3, (2^(n+1)+4*cos(n*pi/3))/6]]
    On tape :

    On obtient :

    On tape en mode complexe :
    simplify(exp2trig(pow2exp(seqsolve([x+z,y+x,z+y],[x,y,z,n],[a0,b0,c0]))))
    On obtient après avoir utilisé factor:
    ((a0+b0+c0)*2^n+cos(n*pi/3)*(2*a0-b0-c0)+sqrt(3)*sin(n*pi/3)*(-b0+c0))/3,
    ((a0+b0+c0)*2^n-cos(n*pi/3)*(a0-2*b0+c0)+sqrt(3)*(a0-c0)*sin(n*pi/3))/3
    ((a0+b0+c0)*2^n-cos(n*pi/3)*(a0+b0-2*c0)+sqrt(3)*(-a0+b0)*sin(n*pi/3))/3
    Si on pose :
    j=(sqrt(3)*(i)−1)/2 on a j2=(−sqrt(3)*(i)−1)/2.
    Donc :
    B=[[2,0,0],[0,−j2,0],[0,0,−j]]
    P=[[1,2j2,2j],[1,2j,2j2],[1,2,2]]
    P1=P−1
    On peux faire les calculs à la main.... :
    B:=[[2,0,0],[0,-j^2,0],[0,0,-j]]
    Bn:=matpow(B,n)
    Bn:=[[2^n,0,0],[0,(-j^2)^n,0],[0,0,(-j)^n]]
    P:=[[1,2j^2,2j],[1,2j,2j^2],[1,2,2]]
    P1:=[[1/3,1/3,1/3],[j/6,j^2/6,1/6],[j^2/6,j/6,1/6]]
    An:=P*Bn*P1
    On obtient pour An après simplification à la main :
    [[u(n),w(n),v(n)],[v(n),u(n),w(n)],[w(n),v(n),u(n)]]
    avec :
    u(n):=1/3*(2^n+(-j)^n+(-j^2)^n])
    v(n):=1/3*(2^n+j*(-j)^n+j^2*(-j^2)^n)
    w(n):=1/3*(2^n+j^2*(-j)^n+j*(-j^2)^n)
    Donc on a :
    an=a0*u(n)+b0*w(n)+c0*v(n)
    bn=a0*v(n)+b0*u(n)+c0*w(n)
    cn=a0*w(n)+b0*v(n)+c0*u(n)

Prolongements
Soit E un ensemble fini de cardinal n.
Soit an le nombre de parties de E de cardinal congru à 0mod3,
Soit bn le nombre de parties de E de cardinal congru à 1mod3,
Soit cn le nombre de parties de E de cardinal congru à 2mod3,

  1. Montrer que :
    an+bn+cn=2n.
  2. Montrer que :
    an=1+comb(n,3)+comb(n,6)+... bn=comb(n,1)+comb(n,4)+comb(n,7)+... cn=1+comb(n,2)+comb(n,5)+comb(n,8)+...
  3. En développant (1+X)n successivement pour X=1, X=j, X=j2, calculer an, bn, cn.
  4. Donner la valeur de a0, b0 et c0. Calculer:
    an+1 en fonction de an et cn,
    bn+1 en fonction de bn et an,
    cn+1 en fonction de cn et bn Et faire le lien avec l’exercice précédent.
  1. Soit n=3q+r avec 0≤ r<3.
    Le nombre de parties de E est 2n donc an+bn+cn=2n.
  2. Les parties de E de cardinal congru à 0mod3 sont de cardinal p avec p∈ (0,3,6..3q) Les parties de E de cardinal congru à 1mod3 sont de cardinal p avec p∈ (1,4,7..3q−2) si r=0 ou p∈ (1,4,7..3q+1) si 0<r<3 Les parties de E de cardinal congru à 2mod3 sont de cardinal p avec p∈ (2,5,8..3q−1) si r=0 ou r=1 ou p∈ (2,5,8..3q+2) si r=2 Donc an=1+comb(n,3)+comb(n,6)+...comb(n,3q) bn=comb(n,1)+comb(n,4)+comb(n,7)+...+comb(n,3q−2)+comb(n,3q+1) cn=1+comb(n,2)+comb(n,5)+comb(n,8)+...+comb(n,3q−1)+comb(n,3q+2)
  3. On a :
    (1+1)n)=1+comb(n,1)+comb(n,2)+comb(n,3)+....+comb(n,n)
    (1+j)n)=1+j*comb(n,1)+j2*comb(n,2)+comb(n,3)+....+jn*comb(n,n)
    (1+j2)n)=1+j2*comb(n,1)+j*comb(n,2)+comb(n,3)+....+j2ncomb(n,n)
    On additionne ces égalités après les avoir mulltiplié successivement par :
    (1,1,1) puis par (1,j2,j) puis par (1,j,j2). On obtient (puisque j3=1 et 1+j+j2=0) :
    3an=2n+(1+j)n+(1+j2)n
    3bn=2n+j2(1+j)n+j(1+j2)n
    3cn=2n+j(1+j)n+j2(1+j2)n
  4. On a :
    a0=1, b0=c0=0
    Quand on rajoute un élément α à E :
    parmi les sous-ensembles de cardinal congru à 0mod3, il y en a an qui ne contiennent pas α et cn qui contiennent α donc
    an+1=an+cn,
    parmi les sous-ensembles de cardinal congru à 1mod3 il y en a bn qui ne contiennent pas α et an qui contiennent α donc
    bn+1=bn+an,
    parmi les sous-ensembles de cardinal congru à 2mod3 il y en a cn qui ne contiennent pas α et bn qui contiennent α donc
    cn+1=cn+bn,
    Donc an, bn, cn sont définies par :
    a0=1, b0=c0=0
    an+1=an+cn,
    bn+1=bn+an,
    cn+1=cn+bn
    On tape :
    simplify(exp2trig(pow2exp(seqsolve([x+z,y+x,z+y],[x,y,z,n],[1,0,0]))))
    On obtient :
    [(2^n+2*cos(n*pi/3))/3,
    (2^n-cos(n*pi/3)+(sqrt(3))*sin(n*pi/3))/3),
    (2^n-cos(n*pi/3)+(-(sqrt(3))*sin(n*pi/3))/3]
  5. On tape :

    On obtient :

  6. On tape :

    On obtient :


26.1  Exercices sur les séries

La commande sum de Xcas calcule les sommes de certaines séries.
Voici queques exemples :
On tape :
sum(1/2^n,n=0..inf)
On obtient :
2
On tape :
sum(n/2^n,n=0..inf)
On obtient :
2
On tape :
sum(1/(n*(n+1)),n=1..inf)
On obtient :
1
On tape :
sum(1/((2n+1)*(2n-1)),n=1..inf)
On obtient :
1/2
On tape :
sum(1/n^2,n=1..inf)
On obtient :
pi^2/6
On tape :
sum((-1)^(n+1)/n,n=1..inf)
On obtient :
ln(2)
On tape :
sum((-1)^n/(2n+1),n=0..inf)
On obtient :
pi/4
Exercices

  1. Montrer que :
    (1−x)*∑k=0nxk=1−xn+1 En déduire que :
    ∑k=pnxk=
    1−xn+1
    1−x
    Montrer que :
    ∑k=pinfxk=xp
    1
    1−x
    Application :
    Calculer : ∑k=0inf2−k,∑k=0inf3−k
  2. Soit un=n/2n. Monter que :
    4un+1<3un lorsque n>2
    En déduire que un tend vers 0 quand n tend vers +∞.
  3. pour ceux qui connaissent le critére de d’Alembert sur les séries à termes positifs,
    Calculer un+1/un (pour ceux qui connaissent le critére de d’Alembert sur les séries à termes positifs).
    En déduire que la série de terme général un est convergente.
  4. pour ceux qui ne connaissent pas le critére de d’Alembert,
    Montrer que limN−>∞∑k=0Nun existe et calculer sa valeur.
  5. Calculer la somme ∑k=0Nun.

On tape :
u(n):=n/2^n
factor(simplify(4u(n+1)-3u(n)))
On obtient :
(-n+2)/2^n
On a donc :
un+1/un<3/4
un+1/un=n+1/2n
Donc un+1/un tend vers 1/2 quand n tend vers +∞.
On tape :
limit(u(n+1)/u(n),n,inf)
On obtient :
1/2
Calcul de SN=∑n=0N un
SN=0+∑n=1N 1/2n+∑n=2N 1/2n+...∑n=kN 1/2n+..∑n=NN 1/2n.
Donc
SN=1+1/2N+1/2+1/2N+..1/2k+1/2N+1/2N
SN=∑k=1N1/2k+N/2N
Comme N/2N tend vers 0 quand N tend vers +∞, on en déduit que :
SN tend vers ∑k=0∞1/2k=2.

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