Systèmes Dynamiques Quantiques - SyDyQ

Projet du pôle MSTIC de l'UJF






Introduction :

La dénomination ``systèmes dynamiques quantiques'' recouvre diverses activités de recherches menées au sein du groupe physique mathématique de l'Institut Fourier. Le dénominateur commun de cette activité est l'étude d'équations d'évolution (linéaires) issues de la mécanique quantique dans divers régimes asymptotiques permettant une analyse mathématique. Ces équations peuvent provenir des premiers principes, comme c'est le cas pour l'équation de Schroedinger, ou de divers modèles approchés, déterministes ou aléatoires, proposés par les physiciens. Dans le cadre de ces activités et afin de mener à une recherche réellement à l'interface, des liens ont été noués avec des membres du Laboratoire de Physique et Modélisation des Milieux Condensées (LPMMC) intéressés par ces questions. L'objet principal de ce projet concerne les systèmes quantiques ouverts dont nous donnons une description ci-dessous .

Participants :

Nom Prénom
Statut
Laboratoire
Didier Nicolas
Thésard F.H.
LPMMC
Dumas Eric Maître de conférences
Institut Fourier
  Faure Frédéric
Maître de conférences
Institut Fourier
Hekking Frank
Professeur
LPMMC
Joye Alain
Professeur (Responsable)
Institut Fourier
Spehner Dominique
Maître de conférences
Institut Fourier
Vargas Rodrigo
Thésard A.J.
Institut Fourier


Systèmes quantiques ouverts :

Typiquement ce sont des systèmes quantiques formés de deux parties ayant des propriétés bien distinctes. La première est un système quantique de référence, ou ``petit système'', sur lequel se portera l'attention in fine. La seconde partie est un système quantique possédant un nombre infini de degrés de liberté, figurant un environnement ayant les caractéristiques d'un réservoir infini d'énergie à l'équilibre thermique. Il peut s'agir d'un bain de fermions, e.g. d'électrons dans un solide, ou de bosons, e.g. photons d'un champ électromagnétique. L'objectif est de comprendre la dynamique effective du système de référence, lorsqu'il interagit avec l'environnement selon l'équation de Schroedinger dépendante du temps, tout en abandonnant l'idée de décrire la dynamique de cet environnement.

On s'intéresse donc à la matrice densité réduite du petit système, dans l'approche hamiltonienne. En particulier, l'étude du comportement asymptotique à grands temps du système de référence dans ce contexte, le retour à l'équilibre, est une question typique dans les systèmes quantiques ouverts. Une question naturelle qui intéresse les physiciens actuellement et qui est nettement plus difficile à aborder du point de vue mathématique concerne le comportement du système de référence lorsqu'il interagit avec deux, ou plus, réservoirs thermiques à des températures différentes. L'état asymptotique à grands temps est alors un état stationnaire hors équilibre, permettant à des flux de chaleur de s'établir entre les réservoirs au travers du système de référence. Ceux-ci donnent lieu à une production d'entropie positive du système dans l'état stationnaire.

Un autre point de vue sur les systèmes ouverts consiste à aborder d'emblée une approche markovienne de la dynamique du système de référence, en déterminant de manière empirique le générateur de la dynamique linéaire postulée, appelé lindbladien. Il s'agit bien sûr d'une approximation de la dynamique effective du petit système qui, en général, est donnée par une équation non linéaire inextricable. Cette approximation est justifiée dans des régimes dits ``de limite faible'' où les échelles de temps sont liées à l'intensité du couplage entre système de référence et environnement, qui tend vers zéro. Dans le cadre de l'approche empirique markovienne, les lindbladiens utilisés restent néanmoins très généraux si bien que l'analyse complète des dynamiques qu'ils engendrent reste non triviale. Certaines modélisations font également usage de lindbladiens dépendant du temps. En dépit de modélisations parfois assez différentes, les questions pratiques abordées restent essentiellement les mêmes : détermination du ou des états asymptotiques, étude de l'approche vers ces états asymptotiques, positivité de la production d'entropie asymptotique, etc.

Une alternative à la détermination empirique du lindbladien dans l'approche markovienne consiste à modéliser l'environnement par un champ de bruits quantiques thermiques dont la dynamique couplée à celle du système de référence donne lieu à une dynamique effective de la matrice de densité réduite qui est markovienne, sans approximation. Cette approche au niveau quantique est parallèle à celle qui, dans le cas classique, décrit les effets aléatoires d'un environnement thermique sur un petit système via des équations différentielles stochastiques, les équations de Langevin.

Des modèles de systèmes quantiques ouverts particuliers, à mi-chemin entre approche hamiltonienne et markovienne, ont été abordés récemment. Ce sont les systèmes d'interactions quantiques répétées (SIQR) consistant en un système quantique de référence interagissant en séquence avec les éléments successifs identiques d'une chaîne de sous-systèmes quantiques. Les SIQR sont liés à l'approche markovienne car ils donnent une version discrétisée, dans un certain sens, de systèmes quantiques de référence soumis à un champ de bruits quantiques. Par ailleurs ils décrivent des expériences d'optique quantique mettant en jeu un mode de champ électromagnétique dans une cavité munie de fenêtres en interaction (hamiltonienne) avec une suite d'atomes issus d'un four dont le débit est contrôlé. C'est le schéma du "One Atom Maser". Dans le cadre de l'interaction radiation-matière, les modèles de type Maxwell-Bloch, décrivant la propagation d'ondes dans un mileu quantique polarisable, donnent lieu à d'autres types de dynamiques effectives des matrices densité qui sont non linéaires. L'étude de leurs propriétés dans des régimes de couplages faibles et de leurs asymptotiques en temps offre également différents défis mathématiques.

Objectifs :

Au niveau conceptuel, les questions relatives aux propriétés des systèmes ouverts hors équilibre sont plutôt bien posées. Les modèles physiquement pertinents permettant une analyse rigoureuse de ces phénomènes restent en revanche très peu nombreux. La raison en est essentiellement que du point de vue mathématique, les problèmes posés représentent de vrais défis mathématiques dont la résolution fait appel à des techniques sophistiquées: algèbres de Von Neuman, analyse spectrale fine d'opérateurs sur des espaces de Banach, semigroupes à un ou deux paramètres engendrés pas des générateurs non normaux, théorie de perturbations singulières, processus stochastiques, etc... C'est donc la détermination, le développement et l'étude mathématique de modèles qui est au centre de ce projet ``systèmes dynamiques quantiques'' avec pour objectif de tirer parti de ceux-ci afin de mieux appréhender les comportements possibles des systèmes hors équilibre, et de confronter les différentes approches décrites ci-dessus de ces phénomènes physiques de première importance. Le programme de recherche adopté abordera en particulier les points suivants :

Animation scientifique et formation :

Le projet SYDYQ soutien par ailleurs diverses actions de formation ou de transmission des connaissances dans le domaine de la dynamique quantique.
Il a soutenu en particulier l'école thématique Aspects de la Dynamique Quantique interdisciplinaire à destination des thésards qui a eu lieu du 3 au 7 novembre 2008 autour de la dynamique adiabatique et des systèmes ouverts à Grenoble.
SYDYQ prend part également à l'organisation de la rencontre intitulée Journées Systèmes Ouverts autour de différents aspects des systèmes hors équilibre, programméles 11 et 12 mars 2009 à Grenoble.

Exposé à mi-parcours lors de la journée du pôle MSTIC

Réalisations :

  1. V. Brosco, R. Fazio, F. Hekking and A. Joye : ``Non-abelian superconducting pumps'',
    Phys. Rev. Lett. , 100 , 027002, (2008)
  2. L.Bruneau, A.Joye and M.Merkli : ``Random Repeated Interaction Quantum Systems'',
    Commun. Math. Phys., 284 , 553-581, (2008)
  3. F. Faure, N. Roy and J. Sjöstrand: "Semi-classical approach for Anosovdiffeormorphisms and Ruelle Resonances",
    Open Math. Journal 1 , pp 35--81, (2008).
  4. A.Joye : " Repeated Interaction Quantum Systems: Deterministic and Random ",
    Proceedings of "QMath10", World Scientific (2008).
  5. R. Rebolledo and D. Spehner, ``Adiabatic limits and decoherence'',
    Proceedings of "Stochastic Analysis and Mathematical Physics", World Scientific (2008).
  6. D. Spehner and F. Haake, ``Decoherence bypass of macroscopic superpositions in quantum measurement'',
    J. Phys. A: Math. Theor., 41 , 072002, (2008)
  7. D. Spehner and F. Haake, ``Quantum measurement without macroscopic superpositions'',
    Phys. Rev. A, 77 , 052114, (2008)
  8. R.Vargas : ``Repeated Interaction Quantum Systems: Van Hove Limits and Asymptotic States'',
    Journal of Statistical Physics, 133, 491-511, (2008).
  9. E.Hamza, A.Joye and G.Stolz, "Dynamical Localization for Unitary Anderson Models",
    Mathematical Physics, Analysis and Geometry, 12, 381-444, (2009).
  10. F.Faure, "Semiclassical origin of the spectral gap for transfer operators of partially expanding map",
    arXiv:0903.2747 (2009).
  11. L.Bruneau, A.Joye and M.Merkli : "Repeated and Continuous Interactions in Open Quantum Systems ",
    Annales Henri Poincaré 10, 1251-1284, (2010).
  12. J. Asch, O. Bourget, A. Joye : "Localization Properties of the Chalker-Coddington Model",
    arXiv:1001.3625 (2010).
  13. A. Joye, V. Brosco, F. Hekking : ``Abstract adiabatic charge pumping'',
    arXiv:1002.1223 (2010).