Résumés (liste  presque complète) :

Evelyne Barbin : Des courbes et des lettres : la théorie de Leibniz

Dans les années 1630, les mathématiciens critiquent les Anciens pour leurs démonstrations géométriques par l’absurde sur les courbes et ils introduisent des « méthodes d’invention » pour trouver les tangentes et les quadratures. Leibniz prend connaissance de ces méthodes lors de ses séjours à Paris dans les années 1672-1676 et il veut suppléer aux défauts de la méthode cartésienne avec sa « nouvelle méthode » de 1684. Nous exposerons l’édification d’une théorie des courbes par Leibniz dans les années 1690, en insistant sur le rôle qu’y jouent les problèmes inverses des tangentes (trouver une courbe connaissant une propriété de ses tangentes), les problèmes physico-mathématiques et enfin le problème des enveloppes (trouver une courbe tangente à une famille de courbes), et en analysant la structuration de la théorie leibnizienne. Cet exposé se veut un hommage à Guy Wallet, en particulier pour sa contribution sur Leibniz en 1980 dans le premier ouvrage de la Commission inter-IREM Épistémologie, intitulé La rigueur et le calcul.   

Eric Benoît : Perturbations singulières d’équations différentielles : où les utiliser ? comment ? dans quel but ?

Nous allons explorer (superficiellement) ce domaine, depuis les questions posées par les « ingénieurs » jusqu’aux théories les plus abstraites utilisées par les mathématiciens et les théories encore plus fondamentales sur les infiniment petits, avec un retour après coup sur les résultats mathématiques utilisables par les modélisateurs. Des exemples simples seront donnés. Dans le domaine des perturbations singulières (comme dans beaucoup d’autres), je voudrais montrer l’intérêt d’une telle excursion. C’est le prix à payer pour éviter de se noyer dans une trop grande technicité, tout en préservant la rigueur scientifique.

Imme van den Berg : Nombres et points externes

L’analyse nonstandard permet de distinguer sous-ensembles d’ensembles standard appelés ensembles externes, qui échappent à la mathématique classique. Ainsi R contient des sous-groupes convexes différents de zéro et R lui-même. Ce sont des sortes de zéros généralisés, appelés neutrices. Un nombre externe est la somme d’un nombre réel et d’une neutrice. La structure des nombres externes a beaucoup des lois d’algèbre et d’analyse en commun avec la structure des nombres réels, mais quelques-unes doivent être adaptées. Dans Rⁿ on distingue des points externes. Nous en étudions quelques propriétés algébriques et topologiques. Les nombres et points externes peuvent être vus comme modèles mathématiques du flou et de l’imprécis.

Nicolas Bouleau : Sur quelles bases philosophiques et dans quelles circonstances peut-il y avoir excès de mathématisation du monde ?

Cette question est posée de façon récurrente à propos de l'économie. D'une part les étudiants se plaignent que son enseignement ne fait pas une place suffisante aux réflexions de fond sur les enjeux, noyées dans un formalisme abstrait, d'autre part la puissance politique des marchés financiers et les crises rendent suspectes les mathématiques ésotériques qui y sont maintenant d'usage courant.  Il est vrai que l'économie, science sociale mathématisée, présente des aspects qui la mettent dans une position particulière tant en ce qui concerne ses modes de fabrication de connaissance que pour sa performativité. Au demeurant la plupart des débats autour de cette question se sont bornés à énoncer des conséquences fâcheuses de l'excès de maths en économie et en finance, qui sont en effet nombreuses et préoccupantes, mais n'ont pas su réellement dégager de perspectives claires pour sortir de l'entre deux d'un peu de mathématiques mais pas trop.  

Pour élucider cette question nous l'abordons dans un champ plus large que seulement l'économie, pour la connaissance en général. Le cas de l'économie s'en trouve grandement éclairci quoiqu'il reste à cette discipline des spécificités qui méritent des distinctions plus fines. 

Nous analysons quand et comment on peut diagnostiquer une mathématisation excessive et ce que cela veut dire. Ceci nous conduit à poser la question : pourquoi la science normale et les à-coups des révolutions? Pourquoi l'économie orthodoxe et les crises? 

Pierre Cartier : Qui sont les nombres réels "naturels" ?

 De quelle nature sont les nombres réels "naturels", en ce sens qu'on peut en donner une définition algorithmique ? La question, du point de vue logique, conduit à des variantes du paradoxe de Richard, ce qui interdit de considérer L'ENSEMBLE de tels nombres (dénombrable ou non ?). On ne peut séparer de cette question une interrogation analogue pour les fonctions cette fois. Les deux sont évidemment liés. Je donnerai plusieurs réponses, fondées sur les travaux récents de Konsevich, Zagier, Deligne, etc ... qui donnent les rudiments d'une nouvelle théorie de Galois étendue aux nombres transcendants. Par ailleurs, la théorie "standard" des nombres réels est-elle adaptée à la modélisation du monde physique ? Que sont des constantes courantes, comme on les considère dans la physique des hautes énergies ?

Jean-Louis Cathelineau : Remarques sur les plans projectifs

Les plans projectifs forment une vaste classe d’objets géométriques, en particulier dans le cas fini non desarguien, pour lesquels il semble que l’on ait une connaissance limitée des problèmes d’existence et de classification. On discutera pour ces objets d’invariants naïfs, de nature discrète mais inspirés de la topologie.

Jean-Paul Delahaye : Limites logiques et mathématiques

Démontrer que quelque chose est impossible est souvent utile en mathématiques. De l'Antiquité (avec l'irrationalité de la racine de 2) à la logique moderne (avec l'incomplétude de Gödel) on trouve de nombreux exemples de preuves d'impossibilité. Elles sont bien sûr troublantes, mais elles sont aussi riches d'idées et de compréhensions nouvelles.

L'exposé est destiné à un public assez large de personnes aimant les mathématiques. Il commencera par des questions  élémentaires et se terminera par l'évocation des résultats récents de Leonid Levin qui donnent une nouvelle vision du phénomène de l'incomplétude logique.

Jean-Pierre Françoise : Oscillations et tourbillons

La bifurcation de Poincaré-Andronov-Hopf est ubiquitaire dans les applications en association avec l’émergence de phénomènes oscillatoires. Dans le prolongement des premiers travaux sur la bifurcation de Hopf dynamique (retard à la bifurcation, tourbillons), on propose de faire le point sur les récents progrès obtenus dans les bifurcations des systèmes multi-échelles.

Jean-Michel Kantor : Quelques remarques sur la psychologie de l’invention mathématique

En 1943, le célèbre mathématicien Jacques Hadamard donna à New-York une série de conférences sur l’invention en mathématiques.
Peu d’éléments sont venus compléter son étude, et les processus individuels restent mystérieux et fascinants.
Nos remarques, issues d’exemples anciens et modernes, de Descartes à Perelman, visent à replacer les facteurs psychologiques dans le cadre de l’influence extérieure aux mathématiques sur leur genèse.

Claude Lobry : Evolution d'une population de bactéries dans un chémostat

La croissance de populations de bactéries est définie par un taux de croissance et un environnement (la quantité de substrat disponible). Deux populations qui ont des taux de croissance différents ne peuvent coexister dans un même environnement. C'est ce qu'on appelle "l'exclusion compétitive". Mais les choses sont différentes quand l'environnement est variable et lorsque les taux de croissance évoluent (à la suite de mutations). Un modèle mathématique (minimal) constitué d'un grand nombre d'équations différentielles est analysé.

Henri Lombardi : Le mystère de la structure du continu

Jean Petitot : Un modèle d’ANS en neurogéométrie

Je partirai d'un résultat que j'ai exposé à La Rochelle en février 2007. L'architecture fonctionnelle de l'aire visuelle primaire V1 implémente neuralement la structure de contact K de l'espace V des 1-jets des courbes du plan visuel R. Cela explique la remarquable capacité qu'a le système visuel d'intégrer des détections locales de bords en bords globaux. Mais cette implémentation d'un espace abstrait de dimension 3 s'effectue dans des couches neuronales de dimension 2, à travers ce que l'on appelle une structure en "pinwheels" (roues d'orientation). Une façon de modéliser cet écrasement dimensionnel pourrait être d'utiliser l'ANS à la Robinson et de considérer (1.) que (V,K) s'obtient en éclatant en parallèle tous les points du plan R et (2.) que l'éclatement d'un point x de R revient à prendre un cercle infinitésimal autour de ce point. J'aimerais discuter ce que devient ce modèle dans le cadre de l'ANS finitiste développée par le groupe de Guy Wallet.

Jean-Pierre Reveillès : Reconnaissance d'objets discrets : voiles d'Arnold-Klein et quasi-polynômes d'Ehrhart

Les idées et travaux strasbourgeois de Reeb et Harthong dans la première moitié des années 80 ont permis de construire quelques passerelles entre les mathématiques et l'informatique comme le Calcul en Nombres Entiers, la Géométrie Discrète ou, plus récemment à la droite d'Harthong-Reeb. L'informatique y a gagné la réponse à plusieurs problèmes inverses : retrouver les paramètres d'objets connus uniquement par les coordonnées entières de quelques points. Le rôle de médium arithmético-géométrique des fractions continues (en particulier multidimensionnelles suivant Klein et Arnold) sera mis en évidence et la construction d'un cadre théorique général, fondé sur les quasi-polynômes d'Ehrhart, sera proposé.

Francis Sergeraert : Calculs Constructifs

Les méthodes  standards de «calcul»  en Topologie Algébrique  ne sont pas constructives. Les rendre  constructives est bien intéressant.  Un exemple didactique  hors Topologie  Algébrique est utilisé  pour faire comprendre la nature  du problème.  Les grandes lignes  de la solution baptisée  «Topologie Algébrique  Constructive»  sont expliquées.   Une petite démo machine donne un exemple de groupe d'homologie ainsi rendu accessible.