Résumé des exposés
Cyril Demarche
Le groupe fondamental algébrique
des espaces homogènes.
Etant donné un espace homogène
d'un groupe linéaire connexe sur un corps algébriquement
clos (de caractéristique p), on calcule son groupe fondamental
étale (premier à p), moyennant quelques hypothèses
sur les stabilisateurs. Ces résultats sont motivés par
un travail récent de Brion et Szamuely sur le nombre
de générateurs (topologiques) du groupe fondamental
(premier à p). On précise ici les résultats
de Brion et Szamuely dans le cas linéaire
en obtenant une formule explicite pour ce groupe,
et nos démonstrations utilisent leurs résultats (dans le cas où \(p
> 0\)). On obtient également une formule pour le deuxième groupe
d'homotopie, au moins en caractéristique nulle.
C'est un travail en commun avec Mikhail Borovoi.
Ulrich Derenthal
Counting points over imaginary
quadratic number fields.
For del Pezzo surfaces over
number fields, the distribution of
rational points is predicted by Manin's conjecture. This has been
extensively studied over the field Q of rational numbers using
universal torsors and Cox rings. In this talk, I present joint work
in progress with Christopher Frei generalizing this to imaginary
quadratic number fields.
Roger Heath-Brown
Square-free values of \(n^2+1\) —
An application of counting rational points close to a curve.
In 1931 Estermann showed that
the number of integers n up to X for which
\(n^2+1\) is square-free, is \(cX+O(X^{2/3}log X)\).
This can now be improved, getting an exponent
7/12 for the error term. The key is to translate
the problem into one involving rational points
close to a curve, which can then be attacked
by the “determinant method”. The talk will
explain the principles behind the argument,
illustrating them in the simplest case.
Yong Hu
Formes quadratiques sur les corps des
fractions des anneaux locaux de dimension 2.
Soit R un anneau local intègre, hensélien,
excellent et de dimension 2 (par exemple, le hensélisé en un point
fermé d'une surface algébrique, ou la clôture intégrale de l'anneau
\(\mathbf Z_p[[t]]\) dans une extension finie de son corps des fractions).
Soit K le corps des fractions de R. Dans cet exposé, on présente
certains résultats récents sur le u-invariant (le rang maximal
d'une forme quadratique anisotrope) de K et le principe de Hasse
pour l'isotropie des formes quadratiques sur K. On discute
certaines méthodes différentes et les compare avec la situation
du corps de fonctions d'une surface arithmétique.
Florent Jouve
Indépendance des zéros de fonctions
L géométriques.
On considère certaines familles algébriques
à un paramètre de variétés définies sur un corps fini \(\mathbf F_q\) ou
sur un corps de fonctions à une variable \(\mathbf F_q(C)\).
À chacune de ces variétés, on associe naturellement une fonction
L (le numérateur de la fonction zeta dans le cas d'une courbe
sur \(\mathbf F_q\) ou le produit eulérien de tels numérateurs
indexé par les points fermés de C dans le cas d'une courbe
elliptique sur \(\mathbf F_q(C)\)), dont on sait par les travaux
de Dwork et Grothendieck, que ce sont des polynômes à coefficients
rationnels. Dans cet exposé on expliquera comment montrer que,
typiquement, les zéros de ces polynômes sont linéairement
indépendants sur Q; question classique dans le cas des
fonctions L de Dirichlet.
Yongqi Liang
Zéro-cycles sur les fibrations en surfaces
de Châtelet au-dessus d'une courbe.
Soit X une variété projective
lisse définie sur un corps de nombres, fibrée en surfaces de Châtelet
au dessus d'une courbe C. En supposant la finitude du groupe
de Tate-Schafarevitch de la jacobienne de C, on montre
que l'obstruction de Brauer-Manin est la seule au principe
de Hasse et à l'approximation faible pour les zéro-cycles sur X.
Alena Pirutka
Sur un principe local-global pour les
zéro-cycles et la cohomologie non ramifiée.
Dans cet exposé, on s'intéressera
aux groupes de cohomologie non
ramifiée pour une fibration au-dessus d'une courbe sur un corps fini.
On expliquera un lien entre la nullité de certain de ces groupes et un
principe local-global pour les zéro-cycles sur la fibre générique
d'une telle fibration. On discutera des exemples de calcul de ce
groupe de cohomologie non ramifiée dans le cas d'une fibration
triviale.
Alexei Skorobogatov
Rational points on conic and
quadric bundles with many degenerate fibres.
Additive combinatorics
of Green and Tao can be used to prove
the Hasse principle and weak approximation on universal torsors
over conic bundles over Q with any number of degenerate fibres
provided that all of them are defined over Q. This implies that the
Brauer-Manin obstruction controls weak approximation on such surfaces.
Similar results are obtained for quadric bundles and some other related
varieties. This is a joint work with Tim Browning and Lilian Matthiesen.
Olivier Wittenberg
Sur la conjecture des sections
birationnelle avec conditions locales (d'après Stix).
Je présenterai les résultats de l'article
récent On the birational section
conjecture with local conditions de Jakob Stix, qui contient les premiers
arguments en direction de la conjecture des sections birationnelle reposant
sur l'étude de quotients non résolubles du groupe fondamental géométrique.
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