Exercices

Exercice 1 (à rendre à la fin de la séance)

1. Écrire S(x), le développement en séries entières au voisinage de x = 0 de f (x) = ln(1 + x²).
2. Soit S_n(x) la somme partielle de la série S jusqu'à l'ordre n (inclus). Tracer sur un même graphique les graphes des fonctions f, S₀, S₂ et S₄.
3. Graphiquement on voit que S₄(x) approche f (x) : sur quel intervalle cette approximation vous paraît-elle acceptable ?
4. Donner une majoration de la valeur absolue du reste R₄(x) de cette série S(x) pour x $\in$ ] - 1, 1[. Donner une majoration de | f₄(x) - f (x)| pour x $\in$ [- 1/4, 1/4] indépendante de x. En déduire un encadrement de ln(17/16).
5. On veut approcher sur l'intervalle [0;3/4] f (x) à 10^-3 près par son développement en séries entières au voisinage de x = 0. Déterminer le plus petit k pour que S_k(x) réalise cette approximation sur cet intervalle. En déduire une valeur approchée de ln(25/16)
6. On a ln(25/16) = 2 ln(5/4). Donner un encadrement de ln(5/4) en utilisant S_k pour la même valeur de k qu'à la question précédente. En déduire une valeur approchée de ln(25/16) et comparer avec la question précédente.

Exercice 2 (à rendre au début du TP8)
On veut calculer

I = $$\int_{0}^{\pi}$$$${\frac{\cos(x)-1}{x^2}}$$ dx

Écrire le développement en séries entières au voisinage de x = 0 de :

g(x) = $${\frac{\cos(x)-1}{x^2}}$$

Écrire I sous la forme d'une série de terme général v_j.
Soit R_n le reste de cette série :

R_n = $$\sum_{j=n+1}^{\infty}$$v_j

trouver une majoration de | R_n|. Quelle est l'aproximation obtenue pour la valeur de I lorsqu'on utilise comme approximation de I, $\sum_{j=0}^{k}$v_j? Donner un encadrement de I obtenu en prenant k = 10.