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Rappels du cours

On sait que les coefficients de Fourier d'une fonction, 2$ \pi$-périodique et intégrable sur tout intervalle fermé borné, sont définis pour n $ \in$ $ \mathbb {Z}$ et pour $ \alpha$ $ \in$ $ \mathbb {R}$ par :

cn(f )= $\displaystyle {\frac{1}{2\pi}}$$\displaystyle \int_{\alpha}^{\alpha+2\pi}$f (t)e-intdt

et que la série de Fourier associée à f est :

SF(f )(x) = $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty}$cn(f )einx

On peut aussi définir les coefficients de Fourier réels pour n $ \in$ $ \mathbb {N}$ et pour $ \alpha$ $ \in$ $ \mathbb {R}$ par :
an(f ) = $\displaystyle {\frac{1}{\pi}}$$\displaystyle \int_{\alpha}^{\alpha+2\pi}$f (t)cos(nt)dt  
bn(f ) = $\displaystyle {\frac{1}{\pi}}$$\displaystyle \int_{\alpha}^{\alpha+2\pi}$f (t)sin(nt)dt  

On a alors :

SF(f )(x) = $\displaystyle {\frac{a_0(f)}{2}}$ + $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}$(an(f )cos(nx) + bn(f )sin(nx))

Théorème de Dirichlet
Si au point x0, f admet une limite à droite et une limite à gauche (que l'on note f (x0 + 0) et f (x0 - 0)), ainsi qu' une dérivée à droite et une dérivée à gauche, alors la série SF(f )(x0) converge vers $ {\frac{1}{2}}$(f (x0 - 0) + f (x0 + 0)).
En particulier si f est dérivable pour tout x, SF(f )(x) converge vers f (x).



Exercice 1 (à rendre à la fin de la séance)
Trouver le développement

SF(f )(x) = $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}$ak(f )cos(kx) + bk(f )sin(kx)

en séries de Fourier de la fonction f périodique de période 2$ \pi$ définie par :

f (x) = x pour exp(x/2) $\displaystyle \in$ ] - $\displaystyle \pi$$\displaystyle \pi$].

On note :

SF(f )n(x) = $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}$ak(f )cos(kx) + bk(f )sin(kx)

Donner la valeur et tracer sur un même graphique et pour x $ \in$ [- 4;4] les graphes des fonctions suivantes :

f (x), SF(f )1(x), SF(f )2(x), SF(f )3(x), SF(f )4(x), SF(f )5(x), SF(f )6(x)


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Bernard Parisse 2004-06-04