Valeur d'un polynôme en un point et développement de Taylor.

Pour évaluer un polynôme en un point, on peut bien sur remplacer $X$ par sa valeur $\alpha$ dans () mais cette méthode est très inefficace car elle nécessite d'effectuer beaucoup d'opérations.
C'est pourquoi on utilise la méthode de Horner détaillée ci-après.
On pose $b_0=P(\alpha )$ et on écrit :

$$P(X)-b_0=(X-\alpha )P_1(X)$$

où :

$$P_1(X) = b_n X^{n-1} + ... +b_2 X + b_1$$

On calcule alors par ordre décroissant $b_n$, $b_{n-1}$, ..., $b_0$. On a ainsi déterminé $P(\alpha)$ et le polynôme $P_1$ de degré $n-1$.

On peut effectuer cette opération à nouveau sur $P_1$, on obtient la valeur de $P_1(\alpha)$ et un polynôme $P_2$, etc. jusqu'à obtenir un polynôme de degré $P_n$ de degré 0.

Exercice 4 (à rendre à la fin de la 2ème séance de TP) :
Pour quelle raison peut-on mettre en facteur $X-\alpha$ dans $P(X)-b_0$?
Déterminer $b_n$ en fonction de $a_n$ puis pour $i\leq n-1$, $b_i$ en fonction de $a_i$ et $b_{i+1}$. Indiquez le détail des calculs pour $P(X)=X^4+3X^3+5X^2-2X+7$ et une valeur de $\alpha$ non nulle.
Calculer le nombre d'opérations effectuées avec cette méthode et le nombre d'opérations que l'on effectuerait en évaluant le polynôme sous forme développée, justifier l'intérêt de cette méthode.

Exercice 5 (à rendre à la fin de la 2ème séance de TP) :
Écrire un fonction effectuant ce calcul avec un logiciel de calcul formel : on donnera en arguments le polynôme sous forme de la liste de ces coefficients (dans l'exemple [1,2,0,-1,5]) et la valeur de $\alpha$ et le programme renverra $P(\alpha)$ et la liste des coefficients de $P_1$.

Exercice 6 (à rendre au début de la 3ème séance de TP) :
En utilisant la fonction de l'exercice précédent, écrire une fonction qui prend en argument la liste des coefficients de $P$ et la valeur de $\alpha$ et renvoie la liste des valeurs $P_n(\alpha)$, ..., $P_1(\alpha)$, $P(\alpha)$. Montrer que :

$$P_i(\alpha)=\frac{P^{(i)}(\alpha)}{i!} \$$   $$\mbox{o\\lq u $P^{(i)}$d\'esigne la dérivée $i$-ième de $P$\ en $\alpha$}$$

Que représente la liste des coefficients renvoyée par cette fonction?