Définition.

 

 

En toute rigueur, on ne devrait pas donner le nom de variété à M mais à . C'est pourtant ce qui sera toujours fait.

Exemples:

1. est une variété de dimension n, avec comme atlas l'application identité définie sur l'ouvert .
2. le cercle est une variété de dimension 1, avec comme atlas et , les applications consistant à prendre la détermination de l'angle respectivement dans les intervalles et . Le changement de carte est une application affine, donc .
3. le tore est une variété de dimension 2, avec par exemple comme atlas:

   

   les applications consistant à prendre le représentant de la classe d'équivalence de (x,y) respectivement dans les intervalles

   

4. La sphère est une variété de dimension 2. On prend par exemple comme atlas les 6 ouverts qui recouvrent S² puisque ||x||²=1 entraîne que l'une au moins des coordonnées x_i de x soit non nulle, et on définit les homéomorphismes par:

   

   c'est-à-dire que l'on enlève la i-ième coordonnée de x. Montrons par exemple que les cartes et sont compatibles sur

   

   On a ici et donc:

   

   et:

   

   avec rappelons-le x²+y²<1. Donc est un difféomorphisme de

   

   sur

   

5. directions de , c'est-à-dire le quotient du groupe additif par l'opération de multiplication par un scalaire, est une variété de dimension n. On prend les n+1 ouverts ( ), où [x₀,...,x_n] désigne la classe d'équivalence c'est-à-dire la direction de (x₀,...,x_n), et les cartes

   

   Exercice: vérifier que les cartes locales sont compatibles!

   Remarque: , l'ensemble des droites du plan, s'identifie au cercle S¹, il suffit de multiplier les angles par 2. Par contre ne s'identifie pas à S², on peut voir comme un hémisphère dont on identifie les points diamétralement opposés sur l'équateur.