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Changement de repères.

  Pour les isométries de tex2html_wrap_inline536 , on prolonge bien sur par tex2html_wrap_inline538 . Il suffit donc de comprendre la transformation associée à une translation uniforme de vitesse v. On commence par normaliser le temps en le multipliant par c pour des raisons d'homogénéité. Notre transformation doit être linéaire, on la représente donc par une matrice M tex2html_wrap_inline546 . Sans restreindre la généralité, on peut supposer que v est dans la première direction. On peut décomposer l'espace-temps en deux sous-espaces de dimension 2: le premier contient le temps et la direction de déplacement, le deuxième les 2 directions spatiales orthogonales. Ces deux sous-espaces sont conservés par M. Dans le premier sous-espace ((x,t)), les vecteurs (1,1) et (-1,1) sont vecteurs propre (puisque la vitesse de la lumière est constante) de valeurs propres respectives tex2html_wrap_inline558 et tex2html_wrap_inline560 (qui dépendent de la vitesse v). Enfin, changer v en -v revient à changer le sens du temps ((1,1) devient -(-1,1)), donc tex2html_wrap_inline572 .

La matrice de la transformation restreinte à (x,t) s'écrit:

displaymath516

Revenons à la base canonique, on a:

displaymath517

D'où:

displaymath518

On remarque que l'origine du repère en translation se déplace à la vitesse v dans le repère de départ et 0 dans son propre repère donc:

displaymath519

d'où:

  equation99

Comme:

displaymath520

on en déduit que la vitesse du premier repère dans le repère en translation est -v. Ce qui signifie que l'inverse de M est la matrice correspondant à la vitesse de translation -v. Donc

displaymath521

.

On peut maintenant déterminer tex2html_wrap_inline558 à l'aide de (2)

displaymath522

et:

displaymath523

Il faut choisir le signe + sous peine de changer l'orientation en temps.

Pour les directions y et z, que la vitesse soit v ou -v ne change rien donc la valeur propre correspondante est égale à son inverse, comme elle vaut 1 pour v=0, les valeurs propres selon y et z valent 1 par continuité. On obtient ainsi:

displaymath524

Enfin, on vérifie que la vitesse de la lumière est conservée dans toutes les directions. On montre en fait que la forme quadratique q(dx1,dx2,dx3,c dt)=c2 dt2-dx12-dx22-dx32 est conservée par M:

displaymath525

Comme les trajectoires de vitesse c ont un vecteur directeur dans le noyau de q elles conservent leur vitesse après tranformation.


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Bernard Parisse
Tue Mar 25 10:08:51 MET 1997