\documentstyle[11pt,amsfonts,amsmath]{article}
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\def\bbox#1{\mbox{\boldmath{$#1$}}}
%Changes by Kay Wiese the 22.4.1994
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%Personnal definitions of D. Spehner, 21.10.02
%%%%%%%%%% 1. ensemble numeriques
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\def\pinteger{{\mathbb{N}}}
\def\spinteger{{\mathbb{N}}^\star}
\def\real{{\mathbb{R}}}
\def\preal{{\mathbb{R}}_+}
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\def\D{{\rm d}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcounter{exercice}
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{\noindent \textbf{Exercice \addtocounter{exercice}{1}
\arabic{exercice}.} }
\setcounter {exercice}{0}

\begin{document}

\noindent%
L2-M249, 2005-2006, parcours Maths \hfill  Universit\'e J. Fourier\\ 
\begin{center}
{\bf Feuille de TD 2} 
\end{center}

\vspace{0.5cm}






\exercice {\bf Racine quatri\`eme.} 
Donner le d\'eveloppement de Taylor 
de $(1+x)^{1/4}$ en $x=0$ \`a l'ordre $n$ sous forme d'un polyn\^ome
$T_n(x)$ de degr\'e $n$ et d'un reste $R_n(x)$.\\
Donner une majoration du reste
$R_n(x)$ pour $n=4$ et $x=1/2$, en d\'eduire
un encadrement de $(3/2)^{1/4}$.\\
D\'eterminer une valeur de $n$ pour que $T_n(x)$
soit une valeur approch\'ee de $(1+x)^{1/4}$ \`a $10^{-5}$ pr\`es
pour tout $x \in [0,1/2]$.
Comparer l'efficacit\'e de cette m\'ethode \`a celle de
la m\'ethode de Newton (exercice~11, feuille~1).


\vspace{3mm}

\exercice {\bf S\'eries enti\`eres.}
Donner les  d\'eveloppements en s\'eries enti\`eres
des fonctions suivantes, ainsi que leurs rayons de convergence~:
\be
\item $f_1 (x) = \cos (x)$
\item $f_2(x) = \sin (x)$
\item $f_3 (x) = (1+x^2)^{-1}$
\item $f_4(x) = \arctan(x)$ (Indication~: int\'egrer termes \`a termes
 le
  d\'eveloppement de $f_3(x)$)
\item $f_5(x) = (1+x)^{-1/2}$.
\ee
 
\vspace{2mm}

\exercice
\noindent{\bf Exercice 3 du TP 3.} 
\be
\item
Soit $\alpha>0$, exprimer $\arctan(-\alpha)$ et $\arctan(1/\alpha)$ en fonction de
$\arctan(\alpha)$. En d\'eduire que le calcul de $\arctan(\alpha)$ sur $\real$
peut se ramener au calcul de $\arctan(\alpha)$ sur $[0,1]$. 
\item 
Soit donc $\alpha \in [0,1]$, montrer que
\[ \alpha-\frac{\alpha^3}{3}+\frac{\alpha^5}{5} - \frac{\alpha^7}{7}
\leq \arctan(\alpha) \leq \alpha-\frac{\alpha^3}{3}+\frac{\alpha^5}{5} 
\, . \]
\item
D\'eduire de la question pr\'ec\'edente que la m\'ethode de Newton appliqu\'ee \`a 
l'\'equation $\tan(x)-\alpha=0, -\pi/2 < x < \pi/2$ avec comme valeur initiale
$x_0=\alpha-\frac{\alpha^3}{3}+\frac{\alpha^5}{5}$ 
est une suite d\'ecroissante qui converge vers $\arctan(\alpha)$.
D\'eterminez de cette mani\`ere une valeur approch\'ee 
\`a $10^{-8}$ pr\`es de $\pi=4 \arctan(1)$.
\ee


\vspace{2mm}

\exercice {\bf Fonction de Bessel.}
On veut calculer une valeur approch\'ee de
\[ J_0(x)= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \exp( -\I x \cos (t)) \ d t \]
pour $x \in \complex, | x | \leq 1$.
\be
\item
En int\'egrant termes \`a termes le 
d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere  au voisinage de $x=0$ de
$\exp( -\I x \cos (t))$, 
d\'eterminer la s\'erie enti\`ere de $J_0(x)$ en $x=0$, 
$$
J_0(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n\;.
$$

\item Montrer que $a_n=0$ si $n$ est impair.
\item Soit $n \geq 2$. Montrer que $a_{n} = - a_{n-2}/n^{2}$.\\
{\it Indication~:} On pourra utiliser 
$$
\int_0^{2\pi}  (\cos(t))^{n} d t 
 = \int_0^{2\pi} (\cos(t))^{n-2} d t - \int_0^{2\pi}  (\cos(t))^{n-2}
 \sin (t) \sin(t) \, d t
$$
puis
int\'egrer par parties la seconde int\'egrale.
 
\item Montrer que $a_{n}= (-1)^p/(2^p p!)^2$ si $n=2p$ est pair.  
\item Donner une majoration de la valeur absolue du reste
\[ R_N(x)=\sum_{n=N+1}^\infty a_n x^n \]
pour $x \in \complex, |x|\leq 1$.
D\'eterminer une valeur approch\'ee de $J_0 ( 1)$ et de $J_0(\I)$
\`a $10^{-8}$ pr\`es.
\ee

\end{document}
