Trouver tous les entiers $(a,b,c)$ premiers entre eux vérifiant $a^2=b^2+c^2$ pour $a\leq N$ Renée De Graeve 2020

Avant-propos

On se propose ici de chercher les triplets pythagoriciens c’est à dire les entiers $(a,b,c)$ premiers entre eux vérifiant $a^2=b^2+c^2$ pour $a\leq N$.
Dans un premier temps, on va utiliser l’arithmétique pour connaître la parité ou la non parité de $a,b,c$. Cela nous permettra de trouver l’expression de $a,b,c$ en fonction de deux entiers $p$ et $q$ premiers entre eux.
Puis on utilisera les triplets pythagoriciens pour trouver les points du cercle unité qui ont des coordonnées rationnelles.
On fera aussi le dessin des cercles de centre $0$ et de rayon $a\leq N$ qui contiennent des points à coordonnées entières.
Dans un deuxième temps, on procédera en sens inverse : on paramétre le cercle unité et on utilise la trigonométrie pour trouver les points du cercle unité qui ont des coordonnées rationnelles.
Puis on utilisera les points du cercle unité ayant des coordonnées rationnelles pour trouver l’expression des triplets pythagoriciens.

1  Des questions sur la parité et la non parité de $a,b,c$

Dans cette section, on cherche les entiers $(a,b,c)$ premiers entre eux vérifiant $a^2=b^2+c^2$ pour $a\leq N$. Puisque $b$ et $c$ sont interchangeables on ne donnera qu’un triplet et on supposera que $(a,b,c)$ sont des entiers non nuls (on ne met pas les solutions évidentes $(a,a,0)$).
Si $a^2=b^2+c^2$, que peut-on en conclure sur la parité de $a,b,c$ ?
Question1
$a,b,c$ peuvent-ils être des entiers pairs ?
Si $a,b,c$ sont des entiers pairs on a :
a:=2*n;b:=2*m;c:=2*k;gcd(a,b,c) exe

Réponse1
Non, $a,b,c$ ne peuvent pas être des entiers pairs puisque par hypothèse gcd$(a,b,c)=1$
Question2
Si $b,c$ sont des entiers pairs est-ce que $a$ peut être un entier impair ?
Si $b,c$ sont des entiers pairs on a :
b:=2*m;c:=2*k;factor(b^2+c^2); exe

Réponse2
Si $b,c$ sont des entiers pairs, $a$ ne peut pas être un entier impair puisque :
$a^2=b^2+c^2$ et $b,c$ pairs entraine que $a^2$ est un multiple de 4 donc que $a$ est pair.
Question3
Si $b,c$ sont des entiers impairs et $a$ peut-il être un nombre entier ?
Si $b,c$ sont des entiers impairs on a :
b:=2*m+1;c:=2*k+1;factor(b^2+c^2-1); exe

Réponse3
Si $b,c$ sont des entiers impairs, $a$ ne peut pas être un nombre entier puisque : $b,c$ entiers impairs entraine $a^2$ est divisible par 2 mais $a^2$ n’est pas divisible par 4 donc $a$ ne peut pas être un nombre entier.
Question4
Si $b$ et $c$ ont une parité différente par exemple si $b$ est un entier impair et $c$ est un entier pair, $a$ peut-il être un entier pair ?
On a :
b:=2*m+1;c:=2*k;factor(b^2+c^2-1); exe

Réponse4
Si $b$ est un entier impair et $c$ est un entier pair alors $b^2+c^2-1=4(k^2+m+m^2)$ donc $a^2=4(k^2+m+m^2)+1$, donc si $a$ est un entier alors $a$ est un entier impair.
ConclusionI
Si ($a,b,c$) sont des entiers premiers entre eux vérifiant $a^2=b^2+c^2$, $b$ et $c$ ne peuvent pas être tous les deux pairs, ni tous les deux impairs donc $b$ et $c$ ont une parité différente et $a$ sera un entier impair.
Puisque $b$ et $c$ sont interchangeables, on peut supposer dans ce qui suit que $b$ est un entier impair, $c$ est un entier pair et $a$ est un entier impair.

2  Encore des questions lorque $a$ et $b$ sont impairs

On suppose que $a=2n+1$, $b=2m+1$ avec $n>m$. On pose $c^2=a^2-b^2$.
Question5
Montrer que $c^2=2p_2q_2$ avec $p_2<q_2$ et donner l’expression de $p_2$ et $q_2$ en fonction de $m$ et $n$.
On tape :
a:=2*n+1:;b:=2*m+1:;factor(a^2-b^2); exe

On définit $p_2:=1+m+n;q_2:=n-m;$
Calculer $p_2+q_2$ et $p_2-q_2$ et en déduire les valeurs de $a$ et $b$ en fonction de $p_2$ et $q_2$ :
p2:=1+m+n:;q2:=n-m:;normal(p2+q2,p2-q2); exe

Réponse5
On a donc :
$p_2+q_2=a$ et $p_2-q_2=b$ et $c^2=a^2-b^2=4p_2q_2=(p_2+q_2)^2-(p_2-q_2)^2$
Question6
On suppose que $a,b,c$ vérifient $a^2=b^2+c^2$ avec $a$ et $b$ impairs et $c$ pair et $a,b,c$ premiers entre eux.
On a définit $p_2:=1+m+n;q_2:=n-m;$
Montrer que si $a:=p_2+q_2;b:=p_2-q_2;d:=$gcd$(p_2,q_2)$ alors $d=1$.
a:=normal(p2+q2);b:=normal(p2-q2);factor((a+b)*(a-b)); exe

Réponse6
On a donc: $c^2=(a+b)*(a-b)=4p_2q_2$, $a+b=2p_2$ et $a-b=2q_2$.
Le pgcd $d$ de $p_2$ et $q_2$ divise $a=p_2+q_2$, $b=p_2-q_2$ donc $d^2$ divise $c^2=a^2-b^2=4p_2q_2$ donc $d$ divise $c$. Puisque $a,b,c$ sont premiers entre eux, cela entraine $d=1$.
Donc $p_2$ et $q_2$ sont premiers entre eux.
Question7
On suppose que $a,b,c$ vérifient $a^2=b^2+c^2$ avec $a$ et $b$ impairs et que $c$ vérifie $c^2=4p_2q_2$ où $p_2$ et $q_2$ sont des entiers premiers entre eux.
On pose $p=\sqrt{p_2}$ et $q=\sqrt{q_2}$.
Montrer que $p$ et $q$ sont des entiers.
En déduire, en fonction de $p$ et $q$, la valeur des entiers $a,b,c$ vérifiant $a^2=b^2+c^2$.
factor(a^2-b^2) exe

Réponse7
On a $c^2=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=4p_2q_2$.
Dans la décomposition en facteurs premiers de $n^2=c^2/4=p_2q_2$ les diviseurs premiers ont une puissance paire et chaque diviseur premier divise soit $p_2$, soit $q_2$ mais ne divise pas $p_2$ et $q_2$.
Donc $p_2$ et $q_2$ sont des carrés parfaits.
Donc il existe deux entiers $p$ et $q$ premiers entre eux et vérifiant $p^2=p_2$ et $q^2=q_2$ et on a :
$a=p^2+q^2;b=p^2-q^2;c=2pq$
Question8
Soient deux entiers $m$ et $n$. Montrer que $n+m$ et abs$(n-m)$ ont la même parité.
En déduire que $p$ et $q$ ont des parités différentes.
k:=n-m;normal(2m+k) exe

Réponse8
On pose $k=n-m$, on a donc $n+m=2m+k$ ce qui entraine que $n+m$ et abs$(n-m)$=abs$(k)$ sont de même parité.
Donc $p^2=p_2=1+n+m$ et $q^2=q_2=n-m$ ont des parités différentes.
Donc $p$ et $q$ ont des parités différentes.
ConclusionII
$p$ et $q$ ont des parités différentes.
On peut supposer que $p$ est un entier impair et $q$ est un entier pair à condition de définir $b$ par :
b:=abs(p^2-q^2) pour que $b$ soit un entier naturel.

3  Le programme tripletpytha

On écrit le programme tripletpytha(N) qui permet de donner la séquence L de tous les entiers $a,b,c$ qui vérifient : $a\leq N$, $a^2=b^2+c^2$ et gcd(a,b,c)=1.
Puisque $a=p^2+q^2\leq N$ avec $p$ impair et $q$ pair; $p$ varie, par pas de 2, de 1 jusque $N-4$ et $q$ varie, par pas de 2, de 2 jusque $N-p^2$.
Pour avoir gcd(a,b,c)=1 il faut de plus que gcd(p,q)=1.
Il faut à la fin trier la liste [L] selon les $a$ croissant.

3.1  La fonction tritri

On écrit la fonction tritri qui trie la séquence L dont les éléments sont des listes formées de trois réels (ici ce sera la liste formée par un triplet pythagoricien $[a,b,c]$).
On utilise pour cela la fonction trier de Xcas qui trie une liste selon la fonction donnée en second argument.
On tape :

//tritri(L):=trier([L],(x,y)->quand(x[0]==y[0],x[1]<y[1],x[0]<y[0])):;  
tritri(L):={local x,y;
  return trier([L],(x,y)->quand(simplify(x[0]-y[0]==0),x[1]<y[1],x[0]<y[0]));
    }:;

exeonload
tritri([65,63,16],[61,11,60],[65,33,56]) exe

tritri([73,55,48],[89,39,80],[85,77,36],[85,13,84]) exe

3.2  Les programmes tripletpytha ettripletpytham

On écrit le programme tripletpytha qui renvoie la séquence des triplets d’entiers premiers entre eux et non nuls $[a,b,c]$ vérifiant $a^2=b^2+c^2$.

tripletpytha(N):={
  local L,a,p,q;
  L:=NULL;
  pour p de 1 jusque sqrt(N-4) pas 2 faire
     pour q de 2 jusque sqrt(N-p^2) pas 2 faire
        si (gcd(p,q)==1) alors
          L:=L,[p^2+q^2,abs(p^2-q^2),2*p*q];
        fsi;
      fpour; 
    fpour;
    return tritri(L);
    }:;

exeonload

On tape :
tripletpytha(49) exe

tripletpytha(65) exe

tripletpytha(101) exe

On écrit le programme tripletpytham qui renvoie la séquence des triplets d’entiers non premiers entre eux et non nuls $[a,b,c]$ vérifiant $a^2=b^2+c^2$.

tripletpytham(N):={
  local L,a,b,c,p,q,s,j,k,C;
  L:=NULL;C:=NULL;
  pour p de 1 jusque sqrt(N-4) pas 2 faire
     pour q de 2 jusque sqrt(N-p^2) pas 2 faire
        si (gcd(p,q)==1) alors
          L:=L,[p^2+q^2,abs(p^2-q^2),2*p*q];
        fsi;
      fpour; 
    fpour;
  L:=tritri(L);
  s:=size(L);
  pour j de 0 jusque s-1 faire
    k:=1;
    a:=L[j,0]; 
    tantque a*k<=N faire 
      b:=k*L[j,1]; 
      c:=k*L[j,2];
      C:=C,[a*k,b,c];
      k:=k+1;
    ftantque;
  fpour;
  return tritri(C);
}:;

exeonload

On tape :
tripletpytham(49) exe

tripletpytham(65) exe

tripletpytham(101) exe

4  Représentation des triplets pythagoriciens

En se servant du programme tripletpytha(N) précédent, on cherche à représenter les points à coordonnées dans $\mathbb{Z}$ sur les cercles de centre $0$ et de rayon un nombre entier $a$.
Soit un cercle de centre $0$ et de rayon $a$ et un point $M$ (resp $N$) de coordonnées $(b,c)$ (resp $(c,b)$) appartenant à $\mathbb{Z}$.
Donc $(a,b,c)$ vérifient :
$b^2+c^2=a^2$ avec $a\in \mathbb{N}$ et $(b,c)\in \mathbb{Z}^2$
cela signifie que $(a,|b|,|c|)$ est un triplet pythagoricien.
On écrit un programme qui trace les cercles qui contiennent des points à coordonnèes dans $\mathbb{Z}$ avec ces points en rouge.
On tape le programme Cercletripletpyz0(z0,N) pour avoir les cercles de centre $z0$ et de rayon $a\leq N$ et sur ces cercles les points $b,c$ et $c,b$ à coordonnées entières et leurs symétriques par rapport à $z0$,$y=im(z0)$ et $x=re(z0)$, lorsque $a,b,c$ sont premiers entre eux :

Cercletripletpyz0(z0,N):={
local L,C,a,b,c,s,j,r;
r:=ceil(N/130);
L:=tripletpytha(N);
s:=size(L);
C:=NULL;
pour j de 0 jusque s-1 faire
 a:=L[j,0];b:=L[j,1];c:=L[j,2];
 C:=C,cercle(z0,a),affichage(z0+cercle(b+i*c,r),1+rempli);
 C:=C,affichage(z0+cercle(-b+i*c,r),1+rempli);
 C:=C,affichage(z0+cercle(b-i*c,r),1+rempli);
 C:=C,affichage(z0+cercle(-b-i*c,r),1+rempli);
 C:=C,affichage(z0+cercle(c+i*b,r),1+rempli);
 C:=C,affichage(z0+cercle(-c+i*b,r),1+rempli);
 C:=C,affichage(z0+cercle(c-i*b,r),1+rempli);
 C:=C,affichage(z0+cercle(-c-i*b,r),1+rempli);
fpour;
return C;
}:;

exeonload
Cercletripletpyz0(0,65) exe

Cercletripletpyz0(0,101) exe

Cercletripletpyz0(0,151) exe

Cercletripletpyz0(0,1800) exe

On tape le programme Cercletripletpymz0(z0,N) pour avoir les cercles de centre d’affixe $z0$ et de rayon $a\leq N$ avec, sur ces cercles les points $b,c$ et $c,b$ à coordonnées entières et leurs symétriques par rapport à $z0$, $y=im(z0)$ et $x=re(z0)$, lorsque $a,b,c$ sont des entiers non premiers entre eux. On ne dessine pas les cercles de centre $z0$ et de rayon $a$ lorsque $N$ est très grand par exemple $N>250$.

Cercletripletpymz0(z0,N):={
local L,C,a,b,c,s,j,k;
L:=tripletpytha(N);
s:=size(L);
C:=NULL;
si N>250 alors C:=C,affichage(cercle(z0,N),rempli);fsi:
pour j de 0 jusque s-1 faire
 k:=1;
 a:=L[j,0]; 
 tantque a*k<=N faire 
   b:=k*L[j,1];c:=k*L[j,2];
   si N<=250 alors C:=C,cercle(z0,a*k);fsi;
   C:=C,affichage(z0+cercle(b+i*c,r),1+rempli);
   C:=C,affichage(z0+cercle(-b+i*c,r),1+rempli);
   C:=C,affichage(z0+cercle(b-i*c,r),1+rempli);
   C:=C,affichage(z0+cercle(-b-i*c,r),1+rempli);
   C:=C,affichage(z0+cercle(c+i*b,r),1+rempli);
   C:=C,affichage(z0+cercle(-c+i*b,r),1+rempli);
   C:=C,affichage(z0+cercle(c-i*b,r),1+rempli);
   C:=C,affichage(z0+cercle(-c-i*b,r),1+rempli);
   k:=k+1;
 ftantque;
fpour;
return C;
}:;

exeonload
Cercletripletpymz0(0,65) exe

Cercletripletpymz0(0,101) exe

Cercletripletpymz0(0,151) exe

Cercletripletpymz0(0,800) exe

5  Représentation des triplets pythagoriciens sur le cercle unité

En se servant du programme tripletpytha(N) précédent, on cherche à représenter les points à coordonnées dans $Q$ sur le cercle de centre $0$ et de rayon $1$.
On tape :

Cercletripletpyth1(N):={
local L,C,b,c,s,j;
L:=tripletpytha(N);
s:=size(L);
C:=NULL;
C:=C,cercle(0,1);
pour j de 0 jusque s-1 faire
 a:=L[j,0];b:=L[j,1];c:=L[j,2];
 C:=C,affichage(cercle(b/a+i*c/a,1/100),1+rempli);
 C:=C,affichage(cercle(-b/a+i*c/a,1/100),1+rempli);
 C:=C,affichage(cercle(b/a-i*c/a,1/100),1+rempli);
 C:=C,affichage(cercle(-b/a-i*c/a,1/100),1+rempli);
 C:=C,affichage(cercle(c/a+i*b/a,1/100),1+rempli);
 C:=C,affichage(cercle(-c/a+i*b/a,1/100),1+rempli);
 C:=C,affichage(cercle(c/a-i*b/a,1/100),1+rempli);
 C:=C,affichage(cercle(-c/a-i*b/a,1/100),1+rempli);
fpour;
return C;
}:;

exeonload
Cercletripletpyth1(49) exe

Cercletripletpyth1(65) exe

Cercletripletpyth1(101) exe

6  Autre méthode pour trouver les triplets phytagoriciens

6.1  Trouver les points du cercle unitéà coordonnées rationnelles

On peut se servir de ce qui précède pour trouver les triplets phytagoriciens d’une autre façon, à savoir, en cherchant les points à coordonnées rationnelles qui se trouvent sur le cercle unité.
On cherche, sur le cercle unité, les points de coordonnées $(b/a,c/a)$ (pour $a,b,c$ entiers vérifiant $0<b<a$ et $0<c<a$) lorsque $b/a$ $c/a$ sont des fractions irréductibles.
On a donc $(b/a)^2+(c/a)^2=1$ avec $(a,b,c)$ premiers entre eux.
On paramètre le cercle unité, pour cela , on pose : $u=\atan(c/b)$ et $t=\tan(u/2)$.
On a $0\leq u<\pi/2$ donc $0\leq u/2<\pi/4$ et $0\leq t<1$,
$\displaystyle b/a=x=\cos(u)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$,
$\displaystyle c/a=y=\sin(u)=\frac{2t}{1+t^2}$ et
$\displaystyle c/b=\tan(u)=\frac{2t}{1-t^2}$
Donc il existe $t \in ]0,1[$ tel que :
$\displaystyle \frac{b}{a}=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ et $\displaystyle \frac{c}{a}=\frac{2t}{1+t^2}$.
Montrons que $t$ est un rationnel.
$t$ est solution de $ct^2-2at+c=0$ donc
$t=(a\pm \sqrt{a^2-c^2})/c=(a\pm \sqrt{b^2})/c=(a\pm b)/c$
Puisque $t \in ]0,1[$ on a $t=(a-b)/c$ (puisque $a,b,c$ sont les côtés d’un triangle on a $a-b<c<a+b$).
On pose : $t=p/q$ avec $p$ et $q$ premiers ente eux et $p<q$.
On cherche $a,b,c$ entiers premiers entre eux vérifiant :
$\displaystyle \frac{c}{a}=\frac{2pq}{q^2+p^2}$ et $\displaystyle\frac{b}{a}=\frac{q^2-p^2}{q^2+p^2}$ donc $\displaystyle \frac{c^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}=\frac{4p^2q^2+(q^2-p^2)^2}{(q^2+p^2)^2}$ donc
$\displaystyle \frac{c^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}=1$
donc $b^2+c^2=a^2$.
Valeur de $a,b,c$ en fonction de $p$ et $q$
Puisque $\displaystyle \frac{c}{a}=\frac{2pq}{q^2+p^2}$ on a $2pqa=c(p^2+q^2)$.
$a$ et $c$ sont premiers entre eux donc $a$ divise $p^2+q^2$ i.e.
il existe $k$ tel que $p^2+q^2=ka$ on a alors :
$\displaystyle c=\frac{2pq}{k}$, $\displaystyle b=\frac{q^2-p^2}{k}$
Pour que $a,b,c$ soient des entiers il faut et il suffit que $k$ divise $p^2+q^2,q^2-p^2,2pq$ donc $k$ doit diviser $2p^2,2q^2,2pq$.
$p$ et $q$ sont premiers entre eux donc $p^2$ et $q^2$ sont premiers entre eux donc $k=1$ ou $k=2$.
Si $k=1$ on a : $a=p^2+q^2,b=q^2-p^2,c=2pq$
Dans ce cas $c$ est pair et $b$ est impair mais on considère que le triplet par exemple $5,3,4$ est le même que le triplet $5,4,3$ (cela donnera bien sûr 2 points à coordonnées rationnelles sur le quart de cercle de centre $0$ et de rayon 1).
Si $k=2$ puisque $k$ divise $p^2+q^2$ cela entaine que $p$ et $q$ sont impairs : posons $p=2n+1$ et $q=2m+1$, on a :
$p^2+q^2=4(n^2+m^2+n+m)+2$ $q^2-p^2=4(m^2-n^2+m-n)=4(m-n)(m+n+1)$ on a alors :
$a=2(n^2+m^2+n+m)+1$, $b=2(m-n)(m+n+1)$ et $c=(2n+1)(2m+1)=pq$.
Lorsque $k=2$ c’est $b$ qui est pair et $c$ est impair donc la solution $a=p^2+q^2,b=q^2-p^2,c=2pq$ est égal à deux fois la solution lorsque $p_1=m-n;q_1=m+n+1$ avec $a=p_1^2+q_1^2;b=2*p_1q_1;c=q_1^2-p_1^2;$.
Remarque
Si la fraction $p/q$ est irréductible, la fraction $p_1/q_1$ est aussi irréductible, en effet :
$q_1:=m+n+1;p_1:=m-n;$ donc
$q_1+p_1=2m+1=q$ et $q_1-p_1=2n+1=p$ si $k$ divise $p_1$ et $q_1$ alors $k$ divise $q_1+p_1=q$ et $q_1-p_1=p$ donc :
$k=1$ donc la fraction $p_1/q_1$ est irréductible.
Puisque $p_1<p$ et $q_1<q$ cette solution a été trouvée lorque $k=1$.
On remarquera que :

• si $p/q<\atan(\pi/8)=\sqrt(2)-1$ et si gcd(p,q)=1 le point de coordonnées $(q^2-p^2)/(q^2+p^2),c=2pq/(q^2+p^2)$ se trouve sur le cercle unité avec un angle au centre compris entre 0 et $\pi/4$,
• si $p/q<\atan(\pi/8)=\sqrt(2)-1$ et si gcd(p,q)=2 le point de coordonnées $(q_1^2-p_1^2)/(q_1^2+p_1^2),c=2p_1q_1/(q_1^2+p_1^2)$ se trouve sur le cercle unité avec un angle au centre compris entre $\pi/4$ et $\pi/2$,
• si $p/q>\atan(\pi/8)=\sqrt(2)-1$ et si gcd(p,q)=1 le point de coordonnées $(q^2-p^2)/(q^2+p^2),c=2pq/(q^2+p^2)$ se trouve sur le cercle unité avec un angle au centre compris entre $\pi/4$ et $\pi/2$,
• si $p/q>\atan(\pi/8)=\sqrt(2)-1$ et si gcd(p,q)=2 le point de coordonnées $(q_1^2-p_1^2)/(q_1^2+p_1^2),c=2p_1q_1/(q_1^2+p_1^2)$ se trouve sur le cercle unité avec un angle au centre compris entre 0 et $\pi/4$.
  

Exemples :
$p=1,q=2$ $1/2>\sqrt(2)-1$ on trouve $p^2+q^2=5$, $p^2-q^2=3$, $2pq=4$ ce qui donne le point de coordonnées $3/5,4/5$
$p=1,q=3$ $1/3<\sqrt(2)-1$ on trouve $p^2+q^2=10$, $p^2-q^2=8$, $2pq=6$ ce qui donne le point de coordonnées $4/5,3/5$
$p=2,q=3$ $2/3>\sqrt(2)-1$ on trouve $p^2+q^2=13$, $p^2-q^2=5$, $2pq=12$ ce qui donne le point de coordonnées $5/13,12/13$
$p=1,q=5$ $1/5<\sqrt(2)-1$ on trouve $p^2+q^2=26$, $p^2-q^2=24$ $2pq=10$ ce qui donne le point de coordonnées $12/13,5/13$
$p=1,q=4$ $1/4<\sqrt(2)-1$ on trouve $p^2+q^2=17$, $p^2-q^2=15$, $2pq=8$ ce qui donne le point de coordonnées $5/17,8/17$
$p=3,q=5$ $3/5>\sqrt(2)-1$ on trouve $p^2+q^2=34$, $p^2-q^2=16$ $2pq=30$ ce qui donne le point de coordonnées $8/17,5/17$
On écrit le programme tripletpythag(N) qui renvoie la liste des triplets pythagoriciens $[a,b,c]$, ($a^2=b^2+c^2$) pour $a\leq N$ et triée selon les $a$ croissants.
Voici le programme qui utilise les points ayant des coordonnées rationnelles $(b/a,c/a)$ sur le cercle unité et qui renvoie la liste des triplets pytagoriciens $a,b,c$ lorsque $a<=N$.
On tape :

tripletpythag0(N):={
local p,q,a,c,b,L;
L:=NULL;
pour q de 2 jusque sqrt(N-1) faire
pour p de 1 jusque q-1 faire
si gcd(p,q)=1 et (p^2+q^2<=N) alors 
c:=2*p*q;
b:=(q^2-p^2);
a:=p^2+q^2;
si gcd(a,b,c)=1 alors L:=L,[a,b,c] fsi;
fsi;
fpour;
fpour;
return tritri(L);
}:;

exeonload
tripletpythag0(115) exe

tripletpythag0(215) exe

6.2  Les points à coordonnées rationnelles sur le quart du cercle unité

On utilise la trigonométrie.
On pose $u=\atan(c/b)$ et $t=\tan(u/2)=p/q$ avec $p<q$ et gcd$(p,q)=1$.
Voici le programme qui affiche les points à coordonnées rationnelles $b,c$ et $c,b$ sur le quart de cercle unité lorsque $0<p<q\leq N$, gcd$(p,q)=1$ et $p^2+q^2<=N$.
On doit éliminer les cas où ($p$ et $q$) sont impairs donc on on ne prend en compte que lorsque ($p$ ou $q$) sont pairs. On a donc :
$1\leq p<q$, $2\leq q$ et ($p$ ou $q$) sont pairs.
On tape :

tripletpythag1(N):={
local p,q,a,c,b,L,u;
L:=NULL;
pour q de 2 jusque sqrt(N-1) faire
pour p de 1 jusque q-1 faire
si gcd(p,q)=1 et (p^2+q^2<=N) et (est_pair(p) ou est_pair(q)) alors 
u:=2*atan(p/q);
b:=cos(u);
c:=sin(u);
L:=L,affichage(cercle(b+i*c,1/200),1+rempli);
L:=L,affichage(cercle(c+i*b,1/200),1+rempli);
fsi;
fpour;
fpour;
return L;
}:;

exeonload
tripletpythag1(115) exe

tripletpythag1(215) exe

6.3  Les points à coordonnées rationnelles sur le cercle unité

On pose $u=\atan(c/b)$ et $t=\tan(u/2)=p/q$ avec $p<q$ et gcd$(p,q)=1$.
Voici le programme qui affiche les points à coordonnées rationnelles $p/q$ avec leurs symétriques par rapport à $y=x$,$y=0$ et $x=0$ sur le cercle unité lorsque $0<p<q<\sqrt{N}$, pgcd($p,q$)=1 et $p^2+q^2<N$

tripletpythag2(N):={
local p,q,a,c,b,L,u;
L:=NULL;
pour q de 2 jusque sqrt(N-1) faire
pour p de 1 jusque q-1 faire
si gcd(p,q)=1 et (p^2+q^2<=N) et (est_pair(p) ou est_pair(q)) alors 
u:=2*atan(p/q);
b:=cos(u);
c:=sin(u);
L:=L,affichage([cercle(b+i*c,1/100),cercle(c+i*b,1/100),cercle(-c+i*b,1/100),cercle(c-i*b,1/100),cercle(b-i*c,1/100),cercle(-b+i*c,1/100),cercle(-b-i*c,1/100),cercle(-c-i*b,1/100)],1+rempli);
fsi;
fpour;
fpour;
return L;
}:;

exeonload
tripletpythag2(115) exe

tripletpythag2(215) exe

6.4  Les points $b+i*c$ à coordonnées entières sur les cercles de centre 0 et de rayon $a\leq N$ lorsque gcd($a,b,c$)=1

On pose $u=\atan(c/b)$ et $t=\tan(u/2)=p/q$ avec $p<q$ et gcd$(p,q)=1$.
Voici le programme qui affiche les points à coordonnées entières $b=p^2-q^2$, $c=2pq$ avec leurs symétriques par rapport à $y=x$, $y=0$ et $x=0$ sur les cercles de centre $0$ et de rayon $a=p^2+q^2$ lorsque $0<p<q<\sqrt{N}$, gcd$(p,q)=1$ et $p^2+q^2<N$.

tripletpythag3(N):={
local p,q,a,c,b,L,u,r;
r:=ceil(N/130);
L:=NULL;
pour q de 2 jusque sqrt(N-1) faire
pour p de 1 jusque q-1 faire
si gcd(p,q)=1 et (p^2+q^2<=N) et (est_pair(p) ou est_pair(q)) alors 
u:=2*atan(p/q);
b:=numer(simplify(halftan(cos(u))));
c:=numer(simplify(halftan(sin(u))));
a:=denom(simplify(halftan(cos(u))));
L:=L,cercle(0,a);
L:=L,affichage([cercle(b+i*c,r),cercle(c+i*b,r),cercle(-c+i*b,r),cercle(c-i*b,r),cercle(b-i*c,r),cercle(-b+i*c,r),cercle(-b-i*c,r),cercle(-c-i*b,r)],1+rempli);
fsi;
fpour;
fpour;
return L;
}:;

exeonload
tripletpythag3(600) exe

On vérifie que les 2 méthodes donne le même résultat !
tripletpythag3(115),Cercletripletpyz0(250,115) exe

6.5  Les points à coordonnées entières sur les cercles de centre 0 et de rayon $a\leq N$ lorsque gcd$(a,b,c)\neq$ 1

Les points à coordonnées entières $b,c$ sur les cercles de centre 0 et de rayon $a\leq N$ lorsque $[a,b,c]$ sont non premiers entre eux et non nuls $[a,b,c]$.
On pose $u=\atan(c/b)$ et $t=\tan(u/2)=p/q$ avec $p<q$.
Voici le programme qui affiche tous les points à coordonnées entières $b=p^2-q^2$, $c=2pq$ avec leurs symétriques par rapport à $y=x$, $y=0$ et $x=0$ sur les cercles de centre $0$ et de rayon $a=p^2+q^2$ lorsque $0<p<q<\sqrt{N}$.
Lorsqu’on a obtenu un triplet $[a,b1,c1]$ où gcd$(a,b,c)=1$, on en profite pour en déduire les triplets $k*[a,b1,c1]$ tantque $a*k\leq N$.
On ne dessine pas les cercles de centre $z0$ et de rayon $a$ lorsque $N$ est très grand par exemple $N>250$.
On tape :

tripletpythag4z0(z0,N):={
local p,q,a,c1,b1,b,c,C,u,k,r;
r:=ceil(N/130);
C:=NULL;
si N>250 alors C:=C,affichage(cercle(z0,N),rempli);fsi;
pour q de 2 jusque sqrt(N-1) faire
pour p de 1 jusque q-1 faire
si gcd(p,q)==1 et (p^2+q^2<=N) et (est_pair(p) ou est_pair(q)) alors 
u:=2*atan(p/q);
b1:=numer(simplify(halftan(cos(u))));
c1:=numer(simplify(halftan(sin(u))));
a:=denom(simplify(halftan(cos(u))));
k:=1;
tantque a*k<=N faire
   b:=b1*k;
   c:=c1*k;
   si N<=250 alors C:=C,cercle(z0,a*k);fsi;
   C:=C,affichage(z0+cercle(b+i*c,r),1+rempli);
   C:=C,affichage(z0+cercle(-b+i*c,r),1+rempli);
   C:=C,affichage(z0+cercle(b-i*c,r),1+rempli);
   C:=C,affichage(z0+cercle(-b-i*c,r),1+rempli);
   C:=C,affichage(z0+cercle(c+i*b,r),1+rempli);
   C:=C,affichage(z0+cercle(-c+i*b,r),1+rempli);
   C:=C,affichage(z0+cercle(c-i*b,r),1+rempli); 
   C:=C,affichage(z0+cercle(-c-i*b,r),1+rempli);
   k:=k+1;
ftantque;
fsi;
fpour;
fpour;
return C;
}:;

exeonload
On peut aussi écrire cette fonction autrement : on cherche tous les triplets $[a,b,c]$ vérifiant gcd$(a,b,c)=1$, puis on en déduit les triplets $k*[a,b,c]$ tantque $a*k\leq N$.
On ne dessine pas les cercles de centre $z0$ et de rayon $a$ lorsque $N$ est très grand par exemple $N>250$.
On tape :

tripletpythag5z0(z0,N):={
local L,p,q,a,c,b,C,u,j,k,s,r;
r:=ceil(N/130);
L:=NULL;
C:=NULL;
si N>250 alors C:=C,affichage(cercle(z0,N),rempli);fsi;
pour q de 2 jusque sqrt(N-1) faire
pour p de 1 jusque q-1 faire
si gcd(p,q)==1 et (p^2+q^2<=N) et (est_pair(p) ou est_pair(q)) alors 
u:=2*atan(p/q);
a:=denom(simplify(halftan(cos(u))));
b:=numer(simplify(halftan(cos(u))));
c:=numer(simplify(halftan(sin(u))));
L:=L,[a,b,c];
fsi;
fpour;
fpour;
s:=size(L);
pour j de 0 jusque s-1 faire
 k:=1;
 a:=L[j,0];
 tantque a*k<=N faire 
   b:=k*L[j,1]; 
   c:=k*L[j,2];
   si N<=250 alors C:=C,cercle(z0,a*k); fsi;
   C:=C,affichage(z0+cercle(b+i*c,r),1+rempli);
   C:=C,affichage(z0+cercle(-b+i*c,r),1+rempli);
   C:=C,affichage(z0+cercle(b-i*c,r),1+rempli);
   C:=C,affichage(z0+cercle(-b-i*c,r),1+rempli);
   C:=C,affichage(z0+cercle(c+i*b,r),1+rempli);
   C:=C,affichage(z0+cercle(-c+i*b,r),1+rempli);
   C:=C,affichage(z0+cercle(c-i*b,r),1+rempli); 
   C:=C,affichage(z0+cercle(-c-i*b,r),1+rempli);
   k:=k+1;
 ftantque;
fpour;
return C;
}:;

exeonload
tripletpythag4z0(0,155) exe

tripletpythag5z0(0,155) exe

tripletpythag4z0(0,800) exe

Clone Clear + - ->   Restart Exec. all