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La courbe

Une cycloïde est le lieu d'un point M situé sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite.
Si au départ M est à l'origine O, si le cercle C, de centre A et rayon R, roule sur l'axe des x, si P est le point de contact de C avec Ox lorsque C a tourné d'un angle t, on a :
$ \overrightarrow{OP}=Rt$, $ \overrightarrow{AP}=-iR$ et $ \overrightarrow{AM}$=rotation( A, - t,$ \overrightarrow{AP})=-Ri(\cos(-t)+i\sin(-t))=-R\sin(t)-Ri(\cos(t)$ donc
$ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AM}=Rt+iR-R\sin(t)-Ri(\cos(t))=R(t-\sin(t)+i(1-\cos(t))$ L'équation paramétrique d'une cycloïde est donc :

x = R(t - sin(t)); y = R(1 - cos(t))

Avec Xcas
On tape :
R:=element(0..5);
plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t,affichage=rouge);
On peut faire une animation pour voir le déplacement d'un point M d'un cercle C de rayon R lorsque C roule sur l'axe des x.
On tape :
R:=element(0..5);
plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t=-10..10,affichage=rouge);
animation(seq('cercle(R*u+i*R,R)',u,-10,10,0.5));
animation(seq('M:=point(R*(u-sin(u)+i*(1-cos(u))))',u,-10,10,0.5));
animation(seq('segment( R*u+i*R, R*(u+i-i*exp(-i*u)))',u,-10,10,0.5));
On peut aussi faire une animation pour voir l'infuence du rayon R, mais ici, cela n'a pas beaucoup d'interêt.
On tape :
animation(seq('plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t=-10..10,affichage=rouge)',R,0,3,0.1));


Documentation de giac écrite par Renée De Graeve