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Hypocycloïde

Une hypocycloïde est le lieu d'un point M situé sur un cercle C, de centre A et de rayon R, qui roule sans glisser sur un cercle C0, de rayon R0 > R, lorsque C se trouve à l'intérieur de C0.
On peut changer R en - R dans l'équation d'une épicycloïde ou refaire les calculs...
Si le cercle C0 est de centre O, si au départ M est en I sur Ox, si P est le point de contact de C avec C0 lorsque C a tourné d'un angle u, P a tourné d'un angle t sur C0, on a :
$ \overrightarrow{IP}=R_0t=-Ru$ (car u est négatif et R positif),
$ \overrightarrow{OA}=(R_0-R)(\cos(t)+i\sin(t))$,
$ \overrightarrow{PA}=-R(\cos(t)+i\sin(t))$,
$ \overrightarrow{AM}$=rotation( A, u,$ \overrightarrow{AP})=R(\cos(t)+i\sin(t))(\cos(u)+i\sin(u))=R(\cos(u+t)+i\sin(u+t))=-R(\cos((R_0/R-1)t)+i\sin((R_0/R-1)t))$
On a :
$ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=(R_0-R)(\cos(t)+i\sin(t))-R(\cos((R_0/R-1)t)+i\sin((R_0/R-1)t))$
Si on pose - R0/R + 1 = m, l'équation paramétrique d'une hypocycloïde est donc :

x = - R(m cos(t) - cos(mt)); y = - R(m sin(t) - sin(mt))

La courbe se referme si 2k$ \pi$R0 = 2n$ \pi$R c'est à dire si le rapport R0/R est rationnel.

Cas particuliers
R = 2R0/3 on a une hypocycloïde à 3 rebroussements,
R = R0/4 on a une astroïde,
Avec Xcas
On tape :

C:=cercle(0,3);
R:=element(0..2.9);
m:=-3/R+1;
plotparam(-R*m*cos(t)+R*cos(m*t)+i*(-R*m*sin(t)+R*sin(m*t)),
           t,affichage=rouge)
On a choisit R0 = 3. On peut ainsi faire varier R et voir les 3 cas :
R = 0.75, R = 1.2, R = 2.

On peut faire une animation et voir le déplacement d'un point M d'un cercle C de centre A et de rayon R lorsque ce cercle roule à l'intérieur d'un cercle C0 de centre 0 et de rayon 3.
On tape :

C:=cercle(0,3);
R:=element(0..3);
m:=3/R+1;
plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
       t,affichage=rouge);
animation(seq('cercle((3-R)*exp(i*v),R)',v,-10,10,0.5));
animation(seq('M:=point(-R*m*cos(v)+R*cos(m*v)+
       i*(-R*m*sin(v)+R*sin(m*v)))',v,-10,10,0.5));

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve