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Transformation d'une série en série alternée

On a l'identité formelle :
$ \sum_{{n \geq 1}}^{}$an = $ \sum_{{m \geq 1}}^{}$(- 1)m-1bm avec
bm = $ \sum_{{k \geq 0}}^{}$2ka2km.
En effet, si n0 est un entier il existe un entier p0 et un entier impair m0 uniques vérifiant n0 = 2p0*m0 . Dans la somme $ \sum_{{m \geq 1}}^{}$(- 1)m-1$ \sum_{{k \geq 0}}^{}$2ka2km on cherche le coefficient de an0, on a soit :
k = 0 et m = n0 = m0*2p0, soit
k = 1 et m = m0*2p0-1, soit
................ soit
k = p0 et m = m0.
On remarquera que toutes les valeurs, sauf la dernière, de m sont paires, donc les différentes valeurs de (1)m-1 sont (-1) sauf la dernière qui vaut +1.
$ \sum_{{m \geq 1}}^{}$$ \sum_{{k \geq 0}}^{}$(- 1)m-12ka2km =
$ \sum_{{n0 \geq 1}}^{}$an0*($ \sum_{{k=0}}^{{p0-1}}$(- 1)*2k +2p0) =
$ \sum_{{n \geq 1}}^{}$an puisque 2p0 - $ \sum_{{k=0}}^{{p0-1}}$2k = 1
Prenons comme exemple la série de terme général an = $ {\frac{{1}}{{n^s}}}$ avec s > 1: pour s=2
si a(n)=1/n^2
on a :
2^k*a(2^k*m)=1/(2^k*m^2)
b(m)=1/m^2*sum(1/2^k,k,0,+infinity)=2/m^2
si
a(n)=1/n^s, 2^k*a(2^k*m)=1/(2^(k*(s-1))*m^s)
b(m)=1/m^s*sum((1/2^(s-1))^k,k,0,+infinity)
Donc :
b(m)=2^(s-1)/((2^(s-1)-1)*m^s)
pour s=2
b(m):=2/(m^2)
pour s=4
b(m):=8/(7*m^4)
On a :
sum((-1)^(m-1)*b(m),1,+infinity)=
sum((-1)^(m)*b(m+1),0,+infinity)

On choisit encore Digits:=20

pour s=2, $ \sum_{{n=1}}^{\infty}$1/n2 = $ \pi^{2}_{}$/6
On tape :
t2(m):=2/(m+1)^2
seriealt1(20,t2),evalf(pi^2/6)
On obtient :
1.64493406684822645248, 1.64493406684822643645
On tape :
seriealt2(20,t2);seriealt3(20,t2);
On obtient :
1.64493374613777534516, 1.64493406688805599300

pour s=4, $ \sum_{{n=1}}^{\infty}$1/n4 = $ \pi^{4}_{}$/90
On tape :
t4(m):=8/(7*(m+1)^4)
seriealt(20,t4);evalf(pi^4/90)
On obtient :
1.08232323371113822384, 1.08232323371113819149
On tape :
seriealt2(20,t4);seriealt3(20,t4);
On obtient :
1.08232265198912440013, 1.08232323371697925335

pour calculer une approximation de la constante d'Euler=-psi(1).
On a :
-psi(1)=sum((-1)^n*ln(n)/n,n,1,+infinity)/ln(2)+ln(2)/2
et
sum((-1)^n*ln(n)/n,n,1,+infinity)=
-sum((-1)^n*ln(n+1)/(n+1),n,0,+infinity)
c(n):=log(n+1)/(n+1)
-seriealt(20,c)/ln(2)+ln(2)/2;-evalf(psi(1),0)
On obtient :
0.577215664901532859864, 0.57721566490153
On tape :
-seriealt2(20,c)/ln(2)+ln(2)/2,-seriealt3(20,c)/ln(2)+ln(2)/2
On obtient :
0.577215550220266823551, 0.577215664918305723256


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve