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La définition

Soient a et b deux réels positifs, on définit les 2 suites u et v par :

u0 = a, v0 = b,    un+1 = $\displaystyle {\frac{{u_n+v_n}}{{2}}}$, vn+1 = $\displaystyle \sqrt{{u_nv_n}}$ (5.1)

Montrez que ces 2 suites sont adjacentes et convergent donc vers une limite commune notée M(a, b) est par définition la moyenne arithmético-géométrique de a et b
Déterminer le premier n tel que abs(un - vn) < 10-9 lorsque a = 2 et b = 1 Calculer M(1,2) avec 9 décimales.

On a :

Les suites u et v sont donc convergentes et puisque un+1 = $ {\frac{{u_n+v_n}}{{2}}}$ par passage à la limite on en déduit qu'elles convergent vers la même limite notée M(a, b).
On remarque que :
$ \sqrt{{ab}}$ $ \leq$ M(a, b) = M(b, a) $ \leq$ $ {\frac{{a+b}}{{2}}}$ et
pour tout k > 0 on a M(k*a, k*b) = k*M(a, b)
On peut donc supposer b = 1 et a > 1.
On a aussi pour tout entier n > 0 :
$ \sqrt{{ab}}$ $ \leq$ vn $ \leq$ un $ \leq$ $ {\frac{{a+b}}{{2}}}$ un+12 - vn+12 = $ {\frac{{(u_n-v_n)^2}}{{4}}}$ donc
un+1 - vn+1 = $ {\frac{{(u_n-v_n)^2}}{{4(u_{n+1}+v_{n+1})}}}$ $ \leq$ K(un - vn)2 avec K = $ {\frac{{1}}{{8\sqrt{ab}}}}$.
On a :
K < 9*10-2 u1 = 1.5, v1 = $ \sqrt{2}$ donc 0 < u1 - v1 < 9*10-2
u2 - v2 < (9*10-2)3 < 8*10-4
u3 - v3 < (9*10-2)7 < 5*10-8
u4 - v4 < (9*10-2)24-1 < 3*10-16
u5 - v5 < (9*10-2)25-1 < 4*10-33
On ouvre un tableur pour calculer M(2,1) et on trouve que : u5 = v5 = 1.456791031046906869186431 Avec Digits:=34 on a :
v5 = 1.4567910310469068691864323832650814 et
u5 = 1.4567910310469068691864323832650824
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve