Chapitre 2  Résumé de probabilité

2.1  Rappel des différentes lois de probabilités

Les lois de probabilités sont des objets mathématiques qui permettent aux statisticiens de fabriquer des modéles pour décrire des phénomènes où le hasard intervient.
Une loi de probabilité est une distribution théorique de fréquences.
Soit Ω un ensemble muni d’une probabilité P. Une variable aléatoire X est une application définie sur Ω dans ℝ. X permet de transporter la loi P en la loi P’ définie sur Ω′=X(Ω) : on a P′(x_j)=P(X⁻¹(x_j))=P(X=x_j). La loi P′ est appelée loi de X.

2.2  Variable aléatoire discréte

Une variable aléatoire discréte X est une application dont la valeur est la valeur du caractère étudié, c’est à dire le résultat d’une épreuve.
Si X prend n valeurs x₁,...x−n, on définit :

• m la moyenne ou, E(X) l’espérance de X par :
  m=E(X)=∑_i=1ⁿ x_iP(X=x_i)
• µ₂ le moment d’ordre 2 par :
  µ₂=E(X²)=∑_i=1ⁿ x_i²P(X=x_i))
• var(X) la variance de X par :
  var(X)=∑_i=1ⁿ (x_i−m)²P(X=x_i)=E(X²)−E(X)²
• σ l’écart type par : σ=√var(X)

Les n valeurs observées du caractère forment un échantillon de X d’ordre n : on dira que ces n valeurs sont les valeurs de n variables aléatoires X₁,X₂,...,X_n qui suivent la même loi que X. Par exemple, lorsqu’on lance un dé, on peut définir la variable aléatoire X qui est égale à la valeur de la face visible, donc X vaut 1 ou 2 ou ... 6.
Il y a trop de paramètres en jeu pour pouvoir déterminer le résultat du lancer d’un dé, mais à chaque lancer la valeur de X est définie.
Attention
Ce n’est pas parce que deux variables aléatoires suivent la même loi qu’elles sont égales. Par exemple, je lance deux dés, un rouge et un vert : la variable X₁ égale à la face visible du dé rouge et la variable X₂ égale à la face visible du dé vert suivent toutes les deux une loi équirépartie de probabilité p=1/6 sur {1,2,3,4,5,6}.

La loi équirépartie

La loi équirépartie P sur un ensemble Ω à k éléments ω₀,ω₁,ω_k−1 est définie par : P(ω_j)=1/k pour tout j=0 .. k−1.
Choisir un élément de Ω selon la loi équirépartie P, c’est choisir au hasard un élément de Ω.
La variable aléatoire X suit une loi équirépartie si : X a pour valeurs x₀,x₁,x_k−1 et si P(X=x_j)=1/k pour tout j=0 .. (k−1). On a :
µ=E(X)=1/k∑_j=0^k−1x_j
σ²=σ²(X)=1/k∑_j=0^k−1x_j²−µ²

La loi de Bernouilli

La variable aléatoire X suit une loi de Bernouilli de probabilité p, si X vaut 1 ou 0 avec les probabilités respectives p et 1−p.
On a alors :
E(X)=p,
E(X²)=p,
σ(X)=√p(1−p).

La loi binomiale

Si la variable aléatoire X suit une loi binomiale B(n,p), cela veut dire que X est égale au nombre de succès obtenus dans une série de n épreuves de Bernouilli de probabilité p. La variable aléatoire X peut donc prendre n+1 valeurs : 0,1,...,n.
La loi binomiale B(n,p) est la somme de n variables de Bernouilli indépendantes.
On a :
Proba(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^n-k, pour 0 ≤ k ≤ n,
E(X)=np,
σ(X)=√np(1−p). Exercice
On fabrique des pièces et on suppose que la probabilité pour qu’une pièce soit défectueuse est p=0.05 et donc il y a un contrôle de ces pièces.
Soit X la variable alèatoire égale au nombre de défectueuses trouvées lors d’un contrôle de n=1000 pièces Déterminer la loi de X ainsi que son espérance et son écart-type.
Ici X suit une loi binomiale B(n,p) de probabilité p.
E(X)=np=50
σ(X)=√np(1−p)=6.89202437604

La loi des fréquences

Si la variable aléatoire Y suit la loi, dite loi des fréquences, cela veut dire que Y est égale à la fréquence des succès obtenus dans une série de n épreuves de Bernouilli de probabilité p. La variable aléatoire Y peut donc prendre n+1 valeurs : 0,1/n,2/n...,n/n avec les probabilités : p₀=(1−p)ⁿ,p−1=comb(n,1)p(1−p)ⁿ⁻¹,p−2=comb(n,2)p²(1−p)ⁿ⁻²,...pⁿ.
On a :
Proba(Y=k/n)=C_n^k p^k(1-p)^n-k, pour 0 ≤ k ≤ n,
E(Y)=p,
σ(Y)=√p(1−p)/n.

La loi géométrique

On dit que la variable aléatoire X suit une loi géométrique de probabilité p, si X est égale au nombre de tirages à effectuer pour avoir un succès dans une série d’épreuves de Bernouilli de probabilité p. La variable aléatoire X peut donc prendre toutes les valeurs entières : 1,..,n,...
On a donc :
Proba(X=1)=p
Proba(X=2)=(1−p)p
.....
Proba(X=n)=(1−p)ⁿ⁻¹p
.....
On vérifie que l’on a bien :∑_j=1^+∞(1−p)^k−1p=1
Donc :
F(1)=p
F(n)=∑_k=1ⁿ(1−p)^k−1p=1−(1−p)ⁿ
Espérance

Variance et Ecart type

Exercice
On fabrique des pièces et on suppose que la probabilité pour qu’une pièce soit défectueuse est p=0.05 et donc il y a un contrôle de ces pièces.
Soit X la variable alèatoire égale à la valeur du nombre de contrôles effectués pour trouver une pièce défectueuse. Déterminer la loi de X ainsi que son espérance et son écart-type.
Ici X suit une loi géométrique de probabilité p=0.05.
E(X)=1/p=20
σ(X)=√1−p/p=19.4935886896

La loi negbinomiale

La loi binomiale négative est une distribution de probabilité discrète. Elle dépend de 2 paramètres : un entier n (le nombre de succès attendus) et un réel p de ]0,1[ (la probabilité d’un succés).
On la note NegBin(n,p).
Elle permet de décrire la situation suivante : on fait une suite de tirages indépendants (avec pour chaque tirage, la probabilité p d’avoir un succès) jusqu’à obtenir n succès. La variable aléatoire représentant le nombre d’échecs qu’il a fallut avant d’avoir n succès, suit alors une loi binomiale négative.
Si on définit comb(n,k) pour n<0 par comb(n,k)=n*(n-1)*..*(n-k-1)/k!, alors Si X ∈ NegBin(n,p) (n ∈ ℕ et p ∈ ]0;1[) alors Proba(X=k)=pⁿ*(p-1)^k*comb(-n,k) ce qui justifie le nom de loi binomiale négative et qui facilite le calcul de l’espérance (égale à n(1−p)/p) et de la variance (égale à n(1−p)/p²).
On tape :

On obtient :

La loi de Poisson

La variable aléatoire X suit une loi de Poisson P(λ) de paramètre λ (λ ≥ 0) si :
- X a pour valeurs les entiers naturels,
- Prob(X=k)=e^−λλ^k/k!, pour k∈ ℕ.
On a :
E(X)=λ
σ(X)=√λ
Exercice 1
Soit une variable aléatoire X qui vérifie pour λ ≥ 0 et pour tout entier n ≥ 1 :
Prob(X=n)=λ/nProb(X=n−1)
Montrer que X suit une loi de Poisson.
On cherche pour k entier strictement positif :
Prob(X=k)=λ/kProb(X=k−1)=... λ^k/(k)!Prob(X=0).
Donc :

On tape :
sum(lambda^k/k!,k=0..inf)
On obtient :
exp(lambda)
On doit avoir :
∑_k=0^+∞Prob(X=k)=1
Donc on a le relation :
Prob(X=0)*∑_k=0^+∞λ^k/k!=exp(λ)*Prob(X=0)=1
c’est à dire :
Prob(X=0)=exp(−λ)
Donc on a bien :
Prob(X=k)=e^−λλ^k/k!, pour k∈ ℕ

Exercice 2
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi de Poisson :
X suit une loi de Poisson P(λ₁) de paramètre λ₁ (λ₁ ≥ 0) et
Y suit une loi de Poisson P(λ₂) de paramètre λ₂ (λ₂ ≥ 0).
Déterminer la loi de la variable aléatoire Z=X+Y.
On a :
Prob(X=k)=e^−λ₁λ₁^k/k!, pour k∈ ℕ
Prob(X=k)=e^−λ₂λ₂^k/k!, pour k∈ ℕ
Donc :
Prob(Z=n)=Prob(X+Y=n)=∑_k=0ⁿProb(X=k)*Prob(Y=n−k)=∑_k=0ⁿe^−λ₁λ₁^k/k!*e^−λ₂λ₂^n−k/(n−k)!
On sait que : (λ₁+λ₂)ⁿ=∑_k=0ⁿλ₁^kλ₂^n−kn!/k!(n−k)!
Donc :
Prob(Z=n)=e^{−(λ₁+λ₂)}(λ₁+λ₂)ⁿ/n!
Donc Z suit une loi de Poisson de paramètre λ₁+λ₂.

2.3  Variable aléatoire absolument continue

Définitions

Variable aléatoire absolument continue
Une variable aléatoire X est absolument continue si il existe f(x) telle que sa fonction de répartition F(x) est égale à :

Densité de probabilité
La fonction f(x) est appelée densite de probabilité et on a :

Espérance mathématique
L’espérance mathématique ou moyenne de x est :

Variance et Ecart type
La variance de X est :

L’ecart type de X est :

La loi uniforme

Définition
On dit que la variable aléatoire X suit une loi uniforme sur un segment [a,b] si sa densité de probabilité f(x) est une constante C sur [a,b] et est nulle en dehors du segment [a,b].
On a donc :
C=1/b−a puisque ∫_a^bCdt=1
F(x)=0 pour x<a
F(x)=x−a/b−a pour a≤ x<b
F(x)=1 pour x≥ b
Espérance

Variance et Ecart type

Exercice
Soient n variables aléatoires indépendantes U_k qui suivent une loi uniforme sur [0,1].
On considère les variables X=Max(U_k) et Y=Min(U_k).
Déterminer les fonctions de répartition de X et Y
Calculer E(X), E(Y), V(X), V(Y).
On a :
Proba(X≤ x)=Proba(U₁≤ x) et Proba(U₂≤ x)...et Proba(U_n≤ x)
Donc puisque les U_k sont indépendantes :
Proba(X≤ x)=Π_k=1ⁿProba(U_k≤ x) Soit : F_X(x)=0 pour x<0
F_X(x)=xⁿ pour x∈ [0,1] F_X(x)=1 pour x>1 La densité de probabilités vaut f_X(x)=nxⁿ⁻¹ sur [0,1] donc :
E(X)=n∫₀¹xⁿdx=n/n+1
V(X)=n∫₀¹(x−n/(n+1))²xⁿ⁻¹dx=n/n³+4*n²+5*n+2
En effet, on tape :
assume(n>=1)
n*int(1(x-n/(n+1))^2*x^(n-1),x=0..1)
On obtient :
n/(n^3+4*n^2+5*n+2)
On a :
Proba(Y≤ x)=Proba(U₁≤ x) ou Proba(U₂≤ x)...ou Proba(U_n≤ x)
On sait que :
Proba(Y<x)=1−Proba(Y>x) et
Proba(U_k<x)=0 et Proba(U_k>x)=1 si x<0
Proba(U_k<x)=x et Proba(U_k>x)=1−x si 0<x<1
Proba(U_k<x)=1 et Proba(U_k>x)=0 si x>1
On calcule :
Proba(Y>x)=Proba(U₁>x) et Proba(U₂>x) et....Proba(U_n>x)
Comme les U_k sont independants :
Proba(Y>x)=1 si x<0
Proba(Y>x)=(1−x)ⁿ si 0<x<1
Proba(Y>x)=0 si 1<x
Donc :
Proba(Y<x)=1−1=0 si x<0
Proba(Y<x)=1−(1−x)ⁿ si 0<x<1
Proba(Y<x)=1−0=1 si x>1
La densité de probabilité est donc :
f_Y(x)=n(1−x)ⁿ⁻¹ sur [0;1] et 0 en dehors de [0;1].
donc :
E(Y)=n∫₀¹x(1−x)ⁿ⁻¹dx=1/n+1
V(Y)=n∫₀¹(x−1/(n+1))²(1−x)ⁿ⁻¹dx=n/n³+4*n²+5*n+2
En effet, on tape :
assume(n>=1)
n*int(x*(1-x)^(n-1),x=0..1)
On obtient :
1/(n+1)
On tape :
assume(n>=1)
n*int((x-1/(n+1))^2*(1-x)^(n-1),x=0..1)
On obtient :
n/(n^3+4*n^2+5*n+2)

La loi exponentielle

Définition
On dit que la variable aléatoire X suit une loi exponentielle si sa densité de probabilité vaut pour a>0 :
f(x)=aexp(−ax) pour x≥ 0 et
f(x)=0 pour x<0 On a donc :
F(x)=Proba(X≤ x)=a∫₀^xexp(−at)dt=1−exp(−ax)
Espérance

Variance et Ecart type

La loi Normale ou loi de Gauss

La variable aléatoire X suit une loi Normale ou loi de Gauss de paramètres µ,σ (σ > 0) si :
- X a pour valeurs tous les réels,
- Prob(a ≤ X<b)=∫_a^b f(t) dt où f(x)=1/σ√2πe^{−1/2(x−µ/σ)2} (f est la densité de probabilité et a comme représentation graphique une courbe en cloche).
On note cette loi N(µ,σ).
On a :
E(X)=µ
σ(X)=σ.
On dit que N(0,1) est la loi normale centrée réduite. Si X suit la loi N(0,1) alors :
Prob(a ≤ X<b)=∫_a^b =1/√2πe^−t2/2dt
Si X suit la loi N(µ,σ) alors X−µ/σ suit la loi N(0,1).
On a des tables où on peut lire que :
P(|X−µ|/σ >1.96)=0.05,
P(|X−µ|/σ >2.58)=0.01,
P(|X−µ|/σ >3.1)=0.001,
et on a P(|X−µ|/σ>t)=1−2∫₀^t f(x)dx.

Théorèmes

On montre qu’une loi binomiale B(n,p) peut être approchée :

• par la loi normale N(np,√np(1−p)) si np>15 et n(1−p)>15.
  Cela veut dire que pour tout entier k :
  C_n^kp^k(1−p)^n−k est proche de 1/√2np(1−p)πe^{−(k−np)2/2np(1−p)} quand n est grand.
  Exemple :
  On a p(k)=C₁₀₀^k0.2^k0.8^100−k est proche de f(k)=1/4√2πe^{−(k−20)2/32}.
  Ainsi si X suit la loi B(n,p) et Y suit la loi N(np,√np(1−p)) alors :
  Proba(X=x) sera approché par Proba(x−0.5<Y<x+0.5)
  Proba(X<x) sera approché par Proba(Y<x−0.5)
  Proba(X≤ x) sera approché par Proba(Y<x+0.5)
  
• par la loi de Poisson P(np) si np ≤ 10, p≤ 0.1 et n ≥ 15.
  Exemple :
  On a p(k)=C₅₀^k0.04^k0.96^50−k est proche de e⁻²2^k/k!.

2.3.1  Probabilités et fréquences

La distribution des fréquences issues de la répétition d’expériences identiques et indépendantes varient alors qu’une loi de probabilité associée à la réalisation d’une expérience est un invariant.
La fréquence d’un élément est calculée à partir de données expérimentales alors que sa probabilité est calculée mathématiquement selon le modéle choisi. Les calculs de la statistique consistent à nous aider à choisir le bon modèle.
Exemple :
On lance 100 fois, une pièce bien équilibrée, et on obtient 48 faces : la probabilité de tomber sur "face" est 0.5 alors que la fréquence d’apparition des "faces" est ici 0.48.
En statistique on étudie la valeur d’un caractère et en en langage probabiliste on étudie la valeur d’une variable aléatoire.
En statistique on parle de fréquences et en langage probabiliste on parle de probabilité.
En statistique on parle de moyennes et en en langage probabiliste on parle d’espérance.
Dans le monde théorique défini par une loi de probabilité P sur un ensemble Ω, les fréquences des éléments de Ω dans une suite de n expériences identiques et indépendantes tendent vers leur probabilité quand n augmente indéfiniment.

2.4  Probabilités conditionnelles

Définition
Soit, deux événements A et B dans un espace de probabilisé.
On dit que les événements A et B sont indépendants si et seulement si :
Prob(A∩ B)=Prob(A)*Prob(B) Définition
La probabilité de B sachant A notée Prob_A(B) est la probabilité de B quand A est réalisé.
Théorème
On a :

Exercice Dans une fabrique de pièces il y a 5% de pièces défectueuses.
Lors des contrôles :
- les pièces bonnes sont refusées avec une probabilité de 4%.
- les pièces défectueuses sont refusées avec une probabilité de 98%.
Calculer pour une pièce :

• La probabilité de commettre une erreur.
• La probabilité d’être bonne sachant qu’elle a été refusée
• La probabilité d’être défectueuse sachant qu’elle a été acceptée

On a les événements :
A la pièce est acceptée,
R la pièce est refusée,
B la pièce est bonne,
D la pièce est défectueuse.
C la pièce est jugée conforme.
On a les probabilités :
Prob_B(R)=0.04
Prob_D(R)=0.98
Prob_D(A)=0.02
Prob(B)=0.95
Prob(D)=0.05

• Une pièce est jugée non conforme si elle est bonne et refusée ou si elle est défectueuse et acceptée donc :
  Prob(R)=Prob(R∩ B)+Prob(A∩ D)
  On a :
  Prob(R∩ B)=Prob_B(R)*Prob(B)=0.04*0.95=0.038
  Prob(A∩ D)=Prob_D(A)*Prob(D)=0.02*0.05=0.001
  Donc la probabilité d’être refusée est : Prob(R)=0.038+0.049=0.913
  Donc la probabilité d’être acceptée est :
  Prob(A)=1−0.913=0.087
  
• La probabilité d’être bonne sachant qu’elle a été refusée
  On a :
  Prob_R(B)=Prob(R∩ B)/Prob(R)=0.038*0.087=0.003306
• La probabilité d’être défectueuse sachant qu’elle a été acceptée.
  La probabilité d’être défectueuse et acceptée est :
  Prob(A∩ D)=1−Prob(R∩ D)=1−0.049=0.951 Prob_A(D)=Prob(A∩ D)/Prob(A)=0.001*0.087=8.7e−5

2.5  Variables aléatoires

Une variable aléatoire permet de faire correspondre à un espace probabilisable Ω, un espace probabilisable d’univers ℝ.
Définitions
Soit (Ω, τ) un espace probabilisable.
On appelle variable aléatoire sur cet espace toute application X de Ω vers ℝ telle que toute réunion dénombrables d’intervalles B de ℝ, X⁻¹∈ B.

On appelle fonction de répartition d’une variable aléatoire X la fonction F de ℝ dans [0,1] par :
F(x)=Prob(X≥ x).

Une variable aléatoire peut être :
discréte et finie (si X(Ω)={x₁,x₂....x_n}) ou,
discréte et infinie (si X(Ω)={x₁,x₂....x_j...}) ou,
absolument continue (si sa fonction de répartition F(x)=∫_−∞^xf(t)dt).
La fonction f est alors appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X.

On appelle espérance mathématique (ou moyenne) de la variable aléatoire X, le nombre :

• X est discréte et finie:
  E(X)=∑_j=1ⁿx_jProb(X=x_j)
• X est discréte et infinie:
  E(X)=∑_j=1^+∞x_jProb(X=x_j)
• X est absolument continue:
  E(X)=∫_−∞^+∞xf(x)dx

On appelle variance de la variable aléatoire X, le nombre :

• X est discréte et finie:
  V(X)=∑_j=1ⁿ(x_j−E(X))²Prob(X=x_j)
• X est discréte et infinie:
  V(X)=∑_j=1^+∞(x_j−E(X))²Prob(X=x_j)
• X est absolument continue:
  V(X)=∫_−∞^+∞(x−E(X))²f(x)dx

On a :
V(X)=E(X²)−E(X)².

On appelle écart type de la variable aléatoire X, le nombre :
σ(X)=√V(X)

2.6  Le processus de Poisson

2.6.1  Définitions

Le processus de Poisson gére les événements qui se produisent aléatoirement.
On dit que des événements aléatoires suivent un processus de Poisson de paramètre λ si le nombre d’événements produit dans l’intervalle t suit une loi de Poisson de paramètre λ t.
Si les intervalles de temps sont disjoints le nombre d’événements produit dans ces intervalles sont indépendants.
On a donc si N(t) est le nombre d’événements produit dans l’intervalle t : Proba(N(t)=k)=e^{−λ t}(λ t)^k/k! et donc :
Proba(N(t)=0)=e^{−λ t} On considère les variables aléatoires T₁, T₂, T_n qui représentent l’intervalle d’attente entre la production de 2 évenements. T₁, T₂, T_n sont indépendantes et suivent une loi exponnentielle de paramètre λ, en effet :
Proba(T₁(t)≤ t)=1−Proba(T₁(t)≥ t)=1−Proba(N(t)=0)=1−e^{−λ t}.
Soit S_n la variable aléatoire qui représente le temps d’attente de la production du n-ième évenement. On a donc :
S_n(t)=T₁(t)+T₂(t)+...+ T_n(t) et
Proba(S_n(t)≤ t)=Proba (N(t)≥ n)=1−e^{−λ t}∑_k=0ⁿ⁻¹(λ t)^k/k!.
La densité de probabilité f_Sn(t) de S_n est donc égale à :
f_Sn(t)=−e^{−λ t}(−λ ∑_k=0ⁿ⁻¹(λ t)^k/k!+λ ∑_k=1ⁿ⁻¹(λ t)^k−1/(k−1)!)
Donc :
f_Sn(t)=λ e^{−λ t}(λ t)ⁿ⁻¹/(n−1)!
S_n suit donc une loi gamma ou loi de Erlang de paramètres n et λ.
Puisque S_n(t)=T₁(t)+T₂(t)+...+ T_n(t) et que les T_j sont indépendantes et suivent la même loi, on a :
E(S_n)=n*E(T₁)=n/λ et
V(S_n)=n*V(T₁)=n/λ²

2.6.2  Exercices

• Des événements aléatoires suivent un processus de Poisson de paramètre 3 par heure. Quelle est la probabilité qu’aucun événement survienne entre 12h et 14h ?
  Calculer la moyenne du temps d’attente pour la venue du 5-ième événement.
  On a :
  Proba(N(2)=0)=e^−3*2=e⁻⁶
  la probabilité qu’aucun événement survienne entre 12h et 14h est donc de e⁻⁶≃ 0.00247875217667 E(S₅)=5/3h=1h40mn
  La venue du 5-ième événement aura lieu en moyenne au bout de 1h40mn.
• Le nombre de clients qui entrent dans un magasin suit un processus de Poisson de paramètre λ par heure.
  Sachant que 2 clients sont venus entre 14h et 15h :
  Quelle est la probabilité qu’ils soient venus tous les deux entre 14h et 14h20 ?
  Quelle est la probabilité pour qu’au moins 1 client soit venus entre 14h et 14h30 ?
  On a :
  Proba(N(1)=2)=e^−λλ²/2
  Proba(N(1/3)=2)|(N(1)=2)=
  Proba((N(1/3)=2)∩(N(1)=2))/Proba(N(1)=2).
  Proba((N(1/3)=2)∩(N(1)=2))=
  Proba((N(1/3)=2)∩(N(2/3)=0))=
  Proba(N(1/3)=2*Proba(N(2/3)=0))=e^−λ/3*(λ/3)²/2*e^−2λ/3=
  e^−λ(λ/3)²
  Donc Proba(N(1/3)=2|(N(1)=2))=1/9≃ 0.111111111111 est la probabilité que 2 clients soient venus tous les deux entre 14h et 14h20 sachant que 2 clients sont venus entre 14h et 15h
  On cherche :
  Proba(N(1/2)≥ 1)|(N(1)=2))=
  1-Proba((N(1/2)=0)|(N(1)=2))=
  1-Proba((N(1/2)=0)∩(N(1)=2))/Proba(N(1)=2)=
  1-Proba(N(1/2)=0))*Proba(N(1/2)=2))/Proba(N(1)=2)=
  1−e^−λ/2*e^−λ/2*(λ/2)²/2/(e^−λλ²/2)=1−1/4=3/4
  La probabilité pour qu’au moins 1 client soit venu entre 14h et 14h30 sachant que 2 clients sont venus entre 14h et 15h est donc de 0.75.

2.7  Couple de variables aléatoires discrètes

2.7.1  Définitions

On appelle fonction de répartition du couple de variables aléatoires discrètes (X,Y) sur le même espace probabilisé, la fonction F définie par :
F(x,y)=Prob((X≥ x)∩ (Y≥ y)).

On appelle loi conjointe du couple de variables aléatoires discrètes (X,Y), l’application p définie par :
p(x_i,y_j)=Prob((X=x_i)∩ (Y=y_j)).
On a donc si x_px≤ x<x_px+1 et y_qy≤ y<y_qy+1 :
F(x,y)=∑_i=1^p_x∑_i=1^q_yp(x_i,y_j).

On appelle loi de probabilités marginales du couple de variables aléatoires discrètes (X,Y), les lois de probabilité de X et de Y i.e. l’application p_X définie par :
p(x_i)=Prob(X=x_i) et
l’application p_Y définie par :
p(y_j)=Prob(Y=y_j).

On appelle répartitions marginales du couple de variables aléatoires discrètes (X,Y), les fonctions de répartition F_X pour X et F_Y pour Y définies par :
F_X(x)=Prob(X≤ x) et
F_Y(y)=Prob(Y≤ y).

On appelle loi de probabilité conditionnelle de Y sachant que X=x_i l’application qui a y_j fait correspondre :

2.7.2  Exercices

1. Soient deux variables aléatoires X et Y valant 0 ou 1 et telles que :
   Prob((X=0)∩(Y=0))=0.4
   Prob((X=0)∩(Y=1))=0.2
   Prob((X=1)∩(Y=0))=0.1
   Prob((X=1)∩(Y=1))=0.3
   Calculer la probabilité de X sachant que Y=1.
2. Soient deux variables aléatoires X et Y indépendantes qui suivent une loi de Poisson de paramètres λ₁ et λ₂. Calculer la probabilité de X sachant que X+Y=n avec n ∈ ℕ.

1. On a :
   Prob(Y=1)=Prob((X=0)∩(Y=1))+Prob((X=0)∩(Y=1))=0.2+0.3=0.5 et
   Prob((X=0)/(Y=1))=Prob((X=0)∩(Y=1))/Prob(Y=1)
   Prob((X=1)/(Y=1))=Prob((X=1)∩(Y=1))/Prob(Y=1)
   Donc :
   Prob((X=0)/(Y=1))=0.2/0.5=0.4 et
   Prob((X=1)/(Y=1))=0.3/0.5=0.6
2. On a :
   Prob(X=k)=λ₁^ke^−λ₁/k! et
   Prob((X=k)/(X+Y=n))=Prob((X=k)∩(Y=n−k))/Prob(X+Y=n)
   On a montré (cf 2.2) que Z=X+Y suit une loi de poisson de paramètre λ₁+λ₂ donc
   Prob(X+Y=n)=(λ₁+λ₂)ⁿe^{−(λ₁+λ₂)}/n!
   Les variables aléatoires X et Y sont indépendantes donc pour 0≤ k ≤ n on a :
   Prob((X=k)∩(Y=n−k))=Prob(X=k)*Prob(Y=n−k)
   Donc :
   Prob((X=k)/(X+Y=n))=λ₁^ke^−λ₁λ₂^n−ke^−λ₂n!/k!(n−k)!(λ₁+λ₂)ⁿe^{−(λ₁+λ₂)}
   Prob((X=k)/(X+Y=n))=λ₁^kλ₂^n−kn!/(λ₁+λ₂)ⁿk!(n−k)!=
   n!/k!(n−k)!(λ₁/λ₁+λ₂)^k(λ₂/λ₁+λ₂)^n−k.
   Donc la probabilité de X sachant que X+Y=n avec n ∈ ℕ est la loi binomiale B(n,λ₁/λ₁+λ₂,λ₂/λ₁+λ₂)

2.8  Couple de variables aléatoires continues

2.8.1  Définitions

On appelle fonction de répartition du couple de variables aléatoires continues (X,Y) sur le même espace probabilisé, la fonction F_(X,Y) définie par :
F_(X,Y)(x,y)=∫_−∞^x(∫_−∞^yf_(X,Y)(u,v)dv)du.
La fonction f_(X,Y) est appelée densité de probabilité du couple de variables aléatoires continues (X,Y).

La probabilité relative à un pavé D={(x,y)∈ ℝ² a≤ x ≤ b,c≤ y ≤ d } est :
Prob((X=x et Y=y et (x,y)∈ D ))=∫_c^d(∫_a^b f(x,y)dx) dy.

La probabilité relative à un domaine de Borel D (D est la reunion (ou intersection) dénombrable d’une suite de pavés) est :
Prob((X=x et Y=y et (x,y)∈ D ))=∫∫_D f(x,y)dx dy.

On appelle répartitions marginales du couple de variables aléatoires continues (X,Y), les fonctions de répartition F_X pour X et F_Y pour Y définie par :
F_X(x)=∫_−∞^x(∫_−∞^+∞f_(X,Y)(u,v)dv)du et
F_Y=∫_−∞^y(∫_−∞^+∞f_(X,Y)(u,v)du)dv.
On appelle densités marginales du couple de variables aléatoires continues (X,Y), les fonctions f_X pour X et f_Y pour Y définies par :
f_X(x)=∫_−∞^+∞f_(X,Y)(x,y)dy et
f_Y(y)==∫_−∞^+∞f_(X,Y)(x,y)dx.
On a donc : f_(X,Y)(x,y)=∂²F_(X,Y)/∂ x ∂ y.

On appelle probabilité conditionnelle de Y sachant que x≤ X≤ x+dx l’application qui a y fait correspondre :

On appelle densité conditionnelle de Y sachant que x≤ X≤ x+dx l’application f_Y/X définie par :

Si X et Y sont indépendantes alors f_(X,Y)(x,y)=f_X(x)* f_Y(y)

2.8.2  Exercices

1. Soit f est la fonction densité de probabilité du couple de variables aléatoires continues (X,Y) définie par :
   f(x,y)=12/5x(2x−y) si x∈ [0,1] et y∈ [0,1] et f(x,y)=0 sinon.
   Calculer la probabilité conditionnelle de X sachant que y≤ Y≤ y+dy.
   On vérifie :
   ∫₀¹∫₀¹12/5x(2−x−y)dxdy=∫₀¹12/5(1−1/3−y/2)dy=12/5(2/3−1/4)=1
   Ou on tape avec Xcas :
   int(int(12/5*x*(2-x-y),x=0..1),y=0..1)
   On obtient : 1
   On calcule f_Y(y) et on tape :
   int(12/5*x*(2-x-y),x=0..1)
   On obtient : -6/5*y+8/5
   On calcule f_X/Y(x/y) et on tape :
   factor((12/5*x*(2-x-y))/(-6/5*y+8/5))
   On obtient : (6*x*(y+x-2))/(3*y-4)
   Donc f_X/Y(x/y) est égale à :

   6x(y+x−2) 3*y−4

2. Soit f est la fonction densité de probabilité du couple de variables aléatoires continues (X,Y) définie par :
   f(x,y)=6/7(x²+xy/2) si x∈ [0,1] et y∈ [0,2] et f(x,y)=0 sinon.
   Calculer :
   1. la densité de probabilité de X.
   2. P(X>Y).
      
   3. P(Y>1/2|X<1/2).
   
   On vérifie que :
   ∫₀¹(∫₀² f(x,y)dy)dx=1
   On tape :
   6/7*int(int(x^2+x*y/2,y=0..2),x=0..1)
   On obtient : 1
   1. la densité de probabilité de X est égale à :
      f_X(x)=∫₀²f(x,y)dy
      On tape :
      6/7*(int(x^2+x*y/2,y=0..2)
      On obtient : (6*(2*x^2+x))/7
      la fonction de répartition de X est donc égale à :
      F_X(x)=∫₀¹f_X(u)du
      On tape :
      6/7*(int(2*u^2+u,u=0..x)
      On obtient : (6*(2/3*x^3+1/2*x^2))/7
   2. P(X>Y).
      On a si T={((x,y) ∈ [0,1]×[0,2]; x>y }:
      P(X>Y)=∫∫_Tf(x,y)dxdy T est le triangle rectangle isocèle de sommets (0,0),(1,0),(1,1) donc :
      P(X>Y)=∫₀¹∫₀^xf(x,y)dxdy
      On tape :
      6/7*int(int(x^2+x*y/2,y=0..x),x=0..1)
      On obtient : 15/56
      
   3. P(Y>1/2|X<1/2). On a :
      P(Y>1/2|X<1/2)=P((Y>1/2) ∩ (X<1/2))/P(X<1/2)
      On a déja calculer P(X<1/2) :
      P(X<1/2)=F_X(1/2)
      On tape :
      subst((6*(2/3*x^3+1/2*x^2))/7,x=1/2)
      On obtient : 5/28 On calcule P((Y>1/2) ∩ (X<1/2)) :
      P((Y>1/2) ∩ (X<1/2))=∫₀^1/2(∫_1/2²f(x,y)dy)dx
      On tape :
      6/7*int(int(x^2+x*y/2,y=1/2..2),x=0..1/2)
      On obtient : 69/448
      Donc :
      P(Y>1/2|X<1/2)=(69/448)/(5/28)=69/80
3. Soit f est la fonction densité de probabilité du couple de variables aléatoires continues (X,Y) définie par :
   f(x,y)=e^−(x+y) si x∈ ]0,+∞[ et y∈ ]0,+∞[ et f(x,y)=0 sinon.
   Calculer la densité de probabilité de Y.
   Calculer P(X<Y).
   
   On vérifie tout d’abord que :
   ∫₀^+∞(∫₀^+∞ e^−(x+y)dx)dy=1
   On tape :
   int(int(exp(-(x+y)),y=0..inf),x=0..inf)
   On obtient :
   1
   On a :
   f_Y(y)=∫₀^+∞ e^−(x+y)dx
   On tape :
   int(exp(-(x+y)),x=0..inf)
   On obtient :
   exp(-y)
   On a si D est la portion de plan {x>0,y>x}:
   P(X<Y)=∫∫_D e^−(x+y)dx)dy
   On tape :
   int(int(exp(-(x+y)),y=x..inf),x=0..inf)
   On obtient :
   1/2
   
4. Soit f est la fonction densité de probabilité du couple de variables aléatoires continues (X,Y) définie par :
   f(x,y)=e^−x/ye^−y/y si x∈ ]0,+∞[ et y∈ ]0,+∞[ et f(x,y)=0 sinon.
   Calculer la densité de probabilité de Y.
   Calculer la probabilité de l’événement X>1 sachant que Y=y.
   On vérifie tout d’abord que :
   ∫₀^+∞(∫₀^+∞ e^−x/ydx)e^−y/ydy=1
   On tape :
   assume(y>0)
   integrate(integrate(exp(-x/y),x=0..inf)*exp(-y)/y,y=0..inf)
   On obtient :
   1
   La densité de probabilité de Y
   f_Y(y)=∫₀^+∞f(x,y)dx=∫₀^+∞e^−x/ye^−y/ydx
   On tape :
   integrate(exp(-x/y)*exp(-y)/y,x=0..inf)
   On obtient :
   exp(-y)
   La densité de probabilité de X sachant que Y=y est :
   f(x,y)/f_Y(y)=e^−x/ye^−y/y/e^−y=e^−x/y/y
   La probabilité de l’événement X>1 sachant que Y=y est :
   Prob(X>1/Y=y)=1−Prob(X<1/Y=y)=1−∫₀¹e^−x/y/ydx
   On tape :
   integrate(exp(-x/y)/y,x=0..1)
   On obtient :
   -exp(-(1/y))+1
   Donc Prob(X>1/Y=y)=e^−1/y
5. Soit f est la fonction densité de probabilité du couple de variables aléatoires continues (X,Y) définie par :
   f(x,y)=6/7(x²+xy/2) si x∈ [0,1] et y∈ [0,2] et f(x,y)=0 sinon.
   Calculer la densité de probabilité de X.
   Calculer la probabilité de l’événement X>Y.
   Calculer la probabilité conditionnelle de X sachant que y≤ Y≤ y+dy.
   On vérifie tout d’abord que :
   6/7∫₀¹(∫₀² (x²+xy/2dy)dx=1
   On tape :
   integrate(integrate(6/7*(x^2+x*y/2),y=0..2),x=0..1)
   On obtient :
   1
   La densité de probabilité de X vaut :
   f_X(x)=∫₀²f(x,y)dy=6/7∫₀²x²+xy/2dy=2x²+x
   La probabilité de l’événement X>Y est :
   Prob(X>Y)=∫∫_Tdxdy où T est l’intersection du rectangle R=[0,1]× [0,2] et du demi-plan x>y c’est à dire le triangle T rectangle isocèle de côtés 1.
   Prob(X>Y)=6/7∫₀¹(∫₀^xx²+xy/2dy)dx
   On tape :
   integrate(integrate(6/7*(x^2+x*y/2),y=0..x),x=0..1)
   On obtient :
   15/56
6. Soient X et Y deux variables aléatoires uniformes et indépendantes sur [0,1].
   Calculer la fonction de répartition, la moyenne,la variance et l’écart type des variables aléatoires Z1=X+Y, Z2=|X−Y| et Z3=X/Y.
   On cherche les fonctions de répartition de Z1, Z2 et de Z3 c’est à dire :
   F_Z1(z)=Prob(Z1≤ z)=Prob(X+Y≤ z) et
   F_Z2(z)=Prob(Z2≤ z)=Prob(|X−Y|≤ z).
   F_Z3(z)=Prob(Z3≤ z)=Prob(X/Y≤ z).
   X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi uniforme sur [0,1] donc :
   Prob(X≤ x)=0 si x≤ 0
   Prob(X≤ x)=x si x∈[0,1]
   Prob(X≤ x)=1 si x≥ 1
   et
   Prob(Y≤ y)=0 si y≤ 0
   Prob(Y≤ y)=y si y∈[0,1]
   Prob(Y≤ y)=1 si y≥ 1
   Donc puisque X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes :
   la densité de probabilité du couple (X,Y) est le produit de la densité de probabilité de X par la densité de probabilité de Y :
   f_(X,Y)(x,y)=f_X(x)*f_Y(y) c’est à dire :
   f_(X,Y)(x,y)=0 si (x,y)∉ [0,1]× [0,1]
   f_(X,Y)(x,y)=xy si (x,y)∈ [0,1]× [0,1]
   
   1. Étude de Z1
      Prob(X+Y≤ z)=∫∫_Ddxdy où D est l’intersection du carré C (C=[0,1]× [0,1]) et de {(x,y); y+x≤ z}.
      On va considérer 4 cas :
      • si z≤ 0, l’intersection de {(x,y); y+x≤ z} et du carré C est vide donc F_Z1(z)=Prob(Z1≤ z)=0 et f_Z1(z)=0
      • si 0<z≤ 1, l’intersection D de {(x,y); y+x≤ z} et du carré C est un le triangle rectangle isocèle de côtés z donc :
        F_Z1(z)=Prob(Z1≤ z)=∫∫_Ddxdy=z²/2 et f_Z1(z)=z
      • si 1<z<2, l’intersection D de {(x,y); y+x≤ z} et du carré C est un le carré privé d’un triangle rectangle isocèle T de côtés 2−z donc on a :
        F_Z1(z)=Prob(Z1≤ z)=∫∫_Ddxdy=1−(2−z)²/2 et f_Z1(z)=2−z
      • si z≥ 2, l’intersection de {(x,y) ; y+x≤ z} et du carré C est C donc F_Z1(z)=Prob(Z1≤ z)=1 et f_Z1(z)=0
      Donc :

      fZ1(z)=

      ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

      z si 0≤ z ≤ 1 2−z si 1≤ z ≤ 2 0 si z≤ 0  ou  z ≥ 2

      Calcul de E(Z1)
      On a :
      E(Z1)=∫_−∞^+∞zf_Z1(z)dz=∫₀¹z²dz+∫₁²z(2−z)dz=
      1/3+3−8/3+1/3=1
      Ou on tape :
      int(z^2,z=0..1)+int(z*(2-z),z=1..2)
      On obtient : 1
      Donc E(Z1)=1

      Calcul de V(Z1) et de σ(Z1)
      On a :
      V(Z1)=∫_−∞^+∞(z−1)²f_Z1(z)dz=
      ∫₀¹z(z−1)²dz+∫₁²(z−1)²(2−z)dz
      On tape :
      int(z*(z-1)^2,z=0..1)+int((z-1)^2*(2-z),z=1..2)
      On obtient : 1/6
      Donc V(Z1)=1/6 et σ(Z1)=√6/6.

   2. Étude de Z2
      Prob(|X−Y|≤ z)=∫∫_Ddxdy où D est l’intersection de {(x,y) / |x−y|≤ z} et du carré C =[0,1]× [0,1].
      On va considérer 3 cas :
      • si z≤ 0, l’intersection de {(x,y) / |x−y|≤ z} et du carré C est vide puisque {(x,y) / |x−y|≤ z} est vide donc F_Z2(z)=Prob(Z2≤ z)=0 et f_Z2(z)=0
      • si 0<z≤ 1, l’intersection B de {|x−y| ≤ z} et du carré C est une portion du carré limité par les droites y=x+z et y=x−z c’est à dire C privé de deux triangles rectangles isocèles de côtés 1−z donc :
        F₂₂(z)=Prob(Z2≤ z)=∫∫_Bdxdy=1−2*(1−z)²/2=2z−z² et f_Z2(z)=2−2z
      • si z≥ 1, l’intersection de {(x,y) / y+x≤ z} et du carré C est C donc F_Z2(z)=Prob(Z2≤ z)=1 et f_Z2(z)=0
      Donc :

      fZ2(z)=

      ⎧ ⎨ ⎩

      2−2z si 0≤ z ≤ 1 0 si z≤ 0  ou  z ≥ 1

      Calcul de E(Z2)
      On a :
      E(Z2)=∫_−∞^+∞zf_Z2(z)dz=∫₀¹z(2−2z)dz=1−2/3=1/3
      Ou on tape :
      int(z*(2-2z),z=0..1)
      On obtient : 1/3
      Donc E(Z2)=1/3

      Calcul de V(Z2) et de σ(Z2)
      On a :
      V(Z2)=∫_−∞^+∞(z−1)²f_Z1(z)dz=∫₀¹(2−2z)(z−1/3)²dz
      On tape :
      int((2-2z)*(z-1/3)^2,z=0..1)
      On obtient : 1/18
      Donc V(Z2)=1/18 et σ(Z2)=√2/6

   3. Étude de Z3
      Prob(X/Y≤ z)=∫∫_Ddxdy où D est l’intersection du carré C (C=[0,1]× [0,1]) et de {(x,y); x/y≤ z}.
      On va considérer 3 cas :
      • si z≤ 0, l’intersection de {(x,y); x/y≤ z} et du carré C est vide donc F_Z3(z)=Prob(Z3≤ z)=0 et f_Z3(z)=0
      • si 0<z≤ 1, l’intersection T de {(x,y); x/y≤ z} et du carré C est un le triangle rectangle de côtés 1 et z donc :
        F_Z3(z)=Prob(Z3≤ z)=∫∫_Tdxdy=z/2 et f_Z3(z)=1/2
      • si 1<z, l’intersection D de {(x,y); x/y≤ z} et du carré C est un le carré privé d’un triangle rectangle T de côtés 1 et 1/z donc on a :
        F_Z3(z)=Prob(Z3≤ z)=∫∫_Ddxdy=1−1/(2*z) et f_Z1(z)=1/(2*z²)
      Donc :

      fZ3(z)=

      ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

      0 si z ≤ 0 1/2 si 0 ≤ z ≤ 1 1/(2*z2) si z ≥ 1

      Calcul de E(Z3)
      On ne peut pas calculer E(Z3) car :
      +∫₁^+∞z/(2*z²)dz n’est pas convergente.
      
7. Soient X une variable aléatoire uniforme sur [0,1] et Y une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ=1.œn suppose X et Y indépendantes.
   Calculer la fonction de répartition, la moyenne,la variance et l’écart type des variables aléatoires Z1=X+Y, Z2=|X−Y| et Z3=X/Y.
   On a :
   f_X(x)=1 pour 0≤ x ≤ 1 et
   f_Y(y)=0 pour x<0 ou x>1 donc :
   Prob(X≤ x)=0 si x≤ 0
   Prob(X≤ x)=x si x∈[0,1]
   Prob(X≤ x)=1 si x≥ 1
   On a :
   f_Y(y)=exp(−y) pour y≥ 0 et
   f_Y(y)=0 pour y<0 donc :
   Prob(Y≤ y)=0 si y≤ 0
   Prob(Y≤ y)=1−exp(−y) si y∈[0,∞[
   On cherche les fonctions de répartition de Z1, Z2 et de Z3 c’est à dire :
   F_Z1(z)=Prob(Z1≤ z)=Prob(X+Y≤ z) et
   F_Z2(z)=Prob(Z2≤ z)=Prob(|X−Y|≤ z).
   F_Z3(z)=Prob(Z3≤ z)=Prob(X/Y≤ z).
   Donc puisque X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes :
   la densité de probabilité du couple (X,Y) est le produit de la densité de probabilité de X par la densité de probabilité de Y :
   f_(X,Y)(x,y)=f_X(x)*f_Y(y) c’est à dire :
   Si D=D=[0,1]× [0,+∞[ on a f_(X,Y)(x,y)=0 si (x,y) ∉ D
   f_(X,Y)(x,y)=exp(−y) si (x,y) ∈ D
   
   1. Étude de Z1
      Prob(X+Y≤ z)=∫∫_Kexp(−y)dxdy où K est l’intersection de D (D=[0,1]× [0,+∞[) et de {(x,y); y+x≤ z}.
      On va considérer 3 cas :
      • si z≤ 0, l’intersection de {(x,y); y+x≤ z} et de D est vide donc F_Z1(z)=Prob(Z1≤ z)=0 et f_Z1(z)=0
      • si 0<z≤ 1, l’intersection K de {(x,y); y+x≤ z} et de D est un le triangle rectangle isocèle de côtés z donc :
        F_Z1(z)=Prob(Z1≤ z)=∫₀^z(∫₀^xexp(−y)dy)dx
        On tape :
        int(int(exp(-y),y=0..x),x=0..z)
        On obtient : z+exp(-z)-1
        donc F_Z1(z)=Prob(Z1≤ z)=z+exp(−z)−1 et f_Z1(z)=1−exp(−z)
      • si 1<z<+∞, l’intersection K de {(x,y); y+x≤ z} et de D est un le trapèze rectangle de hauteur 1 et de côtés z et z−1 donc on a :
        F_Z1(z)=Prob(Z1≤ z)=∫₀¹(∫₀^z−xexp(−y)dy)dx.
        On tape :
        int(int(exp(-y),y=0..z-x),x=0..1)
        On obtient : -exp(-z+1)+1+exp(-z)
        donc F_Z1(z)=Prob(Z1≤ z)=−exp(−z+1)+1+exp(−z)−1 et f_Z1(z)=exp(−z+1)−exp(−z)
      Donc :

      fZ1(z)=

      ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

      0 si z≤ 0  1−exp(−z) si 0≤ z ≤ 1 exp(−z+1)−exp(−z) si 1≤ z

      Calcul de E(Z1)
      On a :
      E(Z1)=∫_−∞^+∞zf_Z1(z)dz=
      ∫₀¹z−zexp(−z)dz+∫₁^+∞z(exp(−z+1)−exp(−z))dz
      On tape :
      normal(int(z-z*exp(-z),z=0..1)+
      int(z*exp(-z+1)-z*exp(-z),z=1..inf))
      On obtient : 3/2
      Donc E(Z1)=3/2

      Calcul de V(Z1) et de σ(Z1)
      On a :
      V(Z1)=∫_−∞^+∞(z−3/2)²f_Z1(z)dz=∫₀¹(z−3/2)²(1−exp(−z))dz+ ∫₁^+∞(z−3/2)²(exp(−z+1)−exp(−z))dz
      On tape :
      int((z-3/2)^2*(1-exp(-z)),z=0..1)+
      int((z-3/2)^2*(exp(-z+1)-exp(-z)),z=1..inf)
      On obtient : 13/12
      Donc V(Z1)=13/12 et σ(Z1)=√13/(2√3).

   2. Étude de Z2
      Prob(|X−Y|≤ z)=∫∫_Ddxdy où D est l’intersection de {(x,y) / |x−y|≤ z} et de D =[0,1]× [0,+∞[.
      On va considérer 3 cas :
      • si z≤ 0, l’intersection de {(x,y) / |x−y|≤ z} et de D est vide puisque {(x,y) / |x−y|≤ z} est vide donc F_Z2(z)=Prob(Z2≤ z)=0 et f_Z2(z)=0
      • si 0<z≤ 1, l’intersection B de {|x−y| ≤ z} et de D est une portion de D limitée par les droites y=x+z et y=x−z donc :
        F₂₂(z)=Prob(Z2≤ z)=∫∫_Df(x,y)dxdy
        F₂₂(z)=∫₀^z(∫₀^x+zexp(−y)dy)dx+∫_z¹(∫_x−z^x+zexp(−y)dy)dx On tape :
        normal(int(int(exp(-y),y=0..x+z),x=0..z)+
        int(int(exp(-y),y=x-z..x+z),x=z..1))
        On obtient : z+exp(-(z+1))-exp(-z)-exp(z-1)+1
        Donc F₂₂(z)=z+exp(−(z+1))−exp(−z)−exp(z−1)+1 et f_Z2(z)=1−exp(−(z+1))+exp(−z)−exp(z−1)
      • si z≥ 1, l’intersection de {(x,y) / y+x≤ z} et de D est la portion de D située sous la droite y=x+z donc F_Z2(z)=Prob(Z2≤ z)=∫₀¹(∫₀^x+zexp(−y)dy)dx On tape :
        int(int(exp(-y),y=0..x+z),x=0..1)
        On obtient : exp(-1-z)+1-exp(-z)
        Donc F₂₂(z)=exp(−1−z)+1−exp(−z) et f_Z2(z)=−exp(−1−z)+exp(−z)
      Donc :

      fZ2(z)=

      ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

      0 si z≤ 0  1−exp(−(z+1))+exp(−z)−exp(z−1) si 0≤ z ≤ 1 −exp(−1−z)+exp(−z) si z ≥ 1

      Calcul de E(Z2)
      On a :
      E(Z2)=∫_−∞^+∞zf_Z2(z)dz
      On tape :
      normal(int(z*(1-exp(-(z+1))+exp(-z)-exp(z-1)),z=0..1)+
      int(z*(-exp(-1-z)+exp(-z)),z=1..inf))
      On obtient : -2*exp(-1)+3/2
      Donc E(Z2)=−2exp(−1)+3/2

      Calcul de V(Z2) et de σ(Z2)
      On a :
      V(Z2)=∫_−∞^+∞(z+2exp(−1)−3/2)²f_Z1(z)dz
      On tape :
      normal(int((z+2*exp(-1)-3/2)^2*(1-exp(-(z+1))+exp(-z)-exp(z-1)),z=0..1)+ int((z+2*exp(-1)-3/2)^2*(-exp(-1-z)+exp(-z)),z=1..inf))
      On obtient : 6*exp(-1)-4*exp(-2)+(-11)/12
      Donc V(Z2)=6exp(−1)−4exp(−2)+(−11)/12 et σ(Z2)=√V(Z2)

   3. Étude de Z3
      Prob(X/Y≤ z)=∫∫_Kdxdy où K est l’intersection de D (D=[0,1]× [0,+∞[) et de {(x,y); x/y≤ z}.
      On va considérer 2 cas :
      • si z≤ 0, l’intersection de {(x,y); x/y≤ z} et de D est vide donc F_Z3(z)=Prob(Z3≤ z)=0 et f_Z3(z)=0
      • si 0<z, l’intersection K de {(x,y); x/y≤ z} et de D est égal à D privé du triangle rectangle de côtés 1 et 1/z donc :
        F_Z3(z)=Prob(Z3≤ z)=∫∫_Df(x,y)dxdy=z/2
        On tape :
        int(int(exp(-y),y=x/z..inf),x=0..1)
        On obtient : -z*exp(-(1/z))+z
        Donc :
        F_Z3(z)=−zexp(−(1/z))+z et f_Z3(z)=(−z*exp(−(1/z))+z−exp(−(1/z)))/z
      Donc :

      fZ3(z)=

      ⎧ ⎨ ⎩

      0 si z ≤ 0 (−zexp(−(1/z))+z−exp(−(1/z)))/z si 0 ≤ z

      Calcul de E(Z3)
      On a :
      E(Z3)=∫_−∞^+∞zf_Z2(z)dz
      On tape :
      romberg((-z*exp(-1/z)+z-exp(-1/z)),z=0..1e20)
      On obtient : -2*exp(-1)+3/2
      Donc E(Z2)∼ 7.8

      Calcul de V(Z3) et de σ(Z3)
      On a :
      V(Z3)=E(Z3²)−(E(Z3))²
      E(Z3²)=∫₀^+∞z*(−z*exp(−1/z)+z−exp(−1/z))dz
      On tape :
      limit(z*(-z*exp(-1/z)+z-exp(-1/z)),z=inf)
      On obtient : 1/2
      Donc l’intégrale calculant E(Z3²) diverge donc on ne peut pas calculer la variance de Z3.

8. Soit f est la fonction densité de probabilité du couple de variables aléatoires continues (X,Y) définie pour c∈ ℝ par :
   f(x,y)=c(x²−y²)exp(−x) si x∈ ]0,+∞[ et y∈ [−x,x] etf(x,y)=0 sinon.
   Calculer :
   1. la valeur de c,
   2. la probabilité conditionnelle de Y sachant que x≤ X≤ x+dx.
      
   1. On doit avoir :
      I= c∫₀^+∞(∫_−x^x(x²−y²)exp(−x)dy)dx=1
      On a :
      I=c∫₀^+∞2(x³−x³/3)exp(−x)dx=4c/3∫₀^+∞x³exp(−x)dx
      La primitive de x³exp(−x) est de la forme (ax³+bx²+cx+d)exp(−x) donc on a pour tout x :
      ax³+(3a−b)x²+(2b−c)x+c−d=x³ soit :
      a=1, b=3, c=6 d=6 c’est à dire :
      I=4c/3∫₀^+∞x³exp(−x)dx=4c/3*6=1 Donc 8c=1 d’où c=1/8.
      Ou on tape avec Xcas :
      int(int((x^2-y^2)*exp(-x),y=-x..x),x=0..inf)
      On obtient : 8
      Donc 8c=1 d’où

      c=

      1 8

   2. la probabilité conditionnelle de Y sachant que x≤ X≤ x+dx est :
      

      Prob(Y<y0|X=x)=

      ∫

      y0 −x

      f(x,y) fX(x)

      dy

      Calcul de f_X(x) :
      f_X(x)=∫_−x^xf(x,y)dy=c∫_−x^x(x²−y²)exp(−x)dy=4c/3x³exp(−x) donc :
      Prob(Y<y0|X=x)=∫_−x^y03(x²−y²)/4x³dy= ∫_−x^y03/4x−3y²)/4x³dy=3y0/4x+3/4−y0³)/4x³−1/4
      donc
      Prob(Y<y|X=x)=1/2+3y/4x−y³)/4x³
      Ou on tape avec Xcas :
      int((x^2-y^2)*exp(-x)/int((x^2-y^2)*exp(-x),y=-x..x),y=-x..y)
      On obtient : (3*x^2*y-y^3)/(4*x^3)-(1/-2)