Calcul formel
et
Mathématiques
avec
Xcas

Renée De Graeve
Maître de Conférence à Grenoble I

Remerciements




Je remercie:

© 2002, 2006 Renée De Graeve, renee.degraeve@wanadoo.fr
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Ce document est disponible à l’adresse Internet suivante :
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/cascmd_fr.pdf

Préface




Bernard Parisse
Maître de Conférences à l’Université de Grenoble I
Développeur du logiciel de calcul formel giac et de son interface Xcas. La version à jour se récupère sur ;
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac.html

Table des matières

Index

Pour commencer

0.1  Style de l’index et notations

0.2  La librairie giac et ses interfaces sous Unix

giac est la bibliothèque C++ de fonctions de calcul formel.
Pour connaitre le numéro de la version de giac que vous utilisez, on tape :

version()

On obtient par exemple :

"giac 1.1.0, (c) B. Parisse and R. De Graeve, Institut Fourier, Universite de Grenoble I"

Sous Unix, on peut utiliser cette bibliothèque de calcul formel avec plusieurs interfaces :

Chapitre 1  L’interface Xcas

1.1  Mise en route de l’interface Xcas

1.2  Les différents niveaux d’entrée

Cette interface va vous permettre d’ouvrir plusieurs sessions de calculs : ces sessions ont plusieurs niveaux d’entrée, sont indépendantes les unes des autres et peuvent être pliée ou dépliée.
Chaque session peut contenir des niveaux d’entrée numérotés qui contiendront :

Au sein d’une même session, les différents niveaux d’entrée ne sont pas indépendants, par exemple, une variable définie dans une ligne de commandes pourra être utilisée en géométrie ou dans le tableur.
L’ensemble de toutes ces sessions constitue votre espace de travail.
Le niveau actif est celui où se trouve le curseur et le niveau selectionné est obtenu quand on clique sur son numéro, numéro qui sécrit alors sur fond noir.
On peut déplacer un niveau ou un groupe de niveau dans une session, ou le recopier dans une autre session.
Vous pouvez , à tout moment insérer un nouveau niveau ou encore changer l’entrée d’un niveau : Enter valide le changement de ce niveau et sélectionne l’entrée suivante, mais attention les niveaux suivants ne seront pas recalculés. Il est toutefois possible après une modification de réexécuter, soit tous les niveaux, soit les niveaux situés après la modification (menu Edit puis Executer session ou Executer en-dessous).
Il faut savoir qu’il suffit de faire :

1.3  Que voit-on au démarrage ?

Vous obtenez au démarrage l’ouverture d’une session avec de haut en bas :

  1. La barre du menu général Fich Edit Cfg... contenant les fonctions de Xcas et ce qu’il faut pour les configurer et pour sauver ou charger une session de travail.
  2. Une ligne des noms de sessions qui contiendra les noms (ou Unnamed si elles n’ont pas de noms) de vos différentes sessions. Au démarrage il n’y a qu’une session qui n’a pas de nom donc sur cette ligne il y a Unnamed,
  3. Un bandeau général avec de gauche à droite :
  4. Un premier niveau ou les deux premiers niveaux, selon le démarrage choisi.

1.4  Les menus

1.5  Comment bien gérer son espace de travail

1.6  Les différentes configurations

Les différentes configurations se font :

1.7  Les différentes configurations avec les commandes

1.8  L’aide

On peut avoir de l’aide sur les différentes fonctions de calcul formel de plusieurs façons. On peut cocher la case Aide HTML automatique de la configuration générale pour avoir l’ouverture de l’aide detailléeà chaque appel d’une fonction se trouvant dans les menus ou ne pas cocher cette case pour avoir de l’aide seulement lorqu’on le désire, toutefois une aide succincte apparait dans la ligne des messages à chaque appel d’une fonction se trouvant dans les menus. On peut avoir accès à l’aide générale ou à l’aide par fonction tout le temps (voir ci-dessous).

1.9  Sauver et imprimer

Il est préférable de mettre les suffixe suivants :
.cxx (ou .map ou .mu ou .ti selon le mode) pour un script et par exemple,
.xws pour la session de travail,
.cxx pour une fonction,
.tab pour le tableur,
.tex pour le graphique en latex,
.eps pour le graphique et pouvoir ensuite inclure le fichier dans un texte en latex ou en postscipt,
.png pour le graphique et pouvoir ensuite inclure le fichier dans un texte en html.

1.10  Traduction Latex

1.11  Traduction Mathml

1.12  Traduction de fichiers Maple en fichier Xcas ou Mupad

1.13  Traduction d’un fichier Mupad en un fichier Xcas ou Maple

Chapitre 2  Saisie

2.1  Pour écrire un commentaire : Alt+c

On peut à tout moment faire apparaitre une ligne pour écrire un commentaire avec Alt+c. Le commentaire s’écrit sans utiliser de guillemets et apparait en vert. Le commentaire ne génère pas de réponse.
Le commentaire sert à commenter votre session.
Depuis un commentaire on peut ouvrir le navigateur à une adresse donnée On tape dans une ligne de commentaire :

Exercice 1

On obtient :

aucune réponse

Dans une ligne de commentaire, on peut ouvrir le navigateur à une adresse donnée : On tape dans une ligne de commentaire :

Pour plus d’info cf :
@www-fourier.ujf-grenoble.fr/ parisse/giac/doc/fr/casrouge/index.html

On obtient :

l’ouverture dans le navigateur de l’index du document sur l’algorithmique

Attention
Pour faire un commentaire dans un programme il faut utiliser la commande comment qui a comme argument une chaîne de caractères ou bien utiliser // qui doit etre suivi du commentaire et d’un retour à la ligne. Quand il y a un commentaire dans un programme, tout se qui se trouve entre // et le retour à la ligne n’est pas pris en compte par le programme.
On tape :

bs():={comment("bonjour"); return "Salut";}

On tape :

bs():={//"bonjour"
return "Salut";}

On obtient :

un programme ayant comme commentaire "bonjour"

2.2  L’éditeur d’expressions

Dans l’éditeur d’expressions, l’affichage ne se fait pas linéairement mais se fait en dimension 2d.
Quand on a mis une expression dans l’éditeur d’expressions, on peut facilement sélectionner des sous-expressions et appeler les fonctions des menus sur ces sous-expressions puis appuyer sur enter pour avoir la réponse en dessous de l’éditeur d’expressions ou encore évaluer la sélection dans l’éditeur d’expressions avec le bouton eval.
Dans l’éditeur d’expressions, on peut utiliser les raccourcis suivants sur la sélection de sous-expressions :
Ctrl+s pour la commande simplify
Ctrl+r pour la commande integrate

2.3  Les éditeurs de matrices et les tableurs

Il faut tout d’abord ouvrir un tableur avec Alt+t.
À chaque tableur est attaché un écran de géométrie, une barre de menu (Fich Edit Statistiques), des boutons (reeval,val,Save), deux cases (l’une donne le nom du fichier de sauvegarde et l’autre le nom de la cellule sélectionnée) et deux lignes (l’une contient une case de sélection et une ligne dite ligne de commandes qui sert soit à remplir la cellule sélectionnée, soit à afficher ce que l’on a mis dans la cellule sélectionnée, et l’autre est la ligne d’état qui rappelle la configuration du tableur et sert de bouton pour ouvrir un écran de configuration du tableur).

2.4  Les commandes d’effacement

2.5  Les variables

2.6  Les répertoires

Chapitre 3  Le graphique

3.1  Généralités

Si le graphe dépend d’une fonction utilisateur, il faut que la fonction soit définie lorsque le(s) paramètre(s) a (ont) une valeur formelle, ce qui peut se faire en testant le type du paramètre, comme dans l’exemple suivant : Je définis f avec le test du type du paramètre et g sans le test par :

f(x):= {
  if (type(x)!=DOM_FLOAT) return 'f'(x); 
  while(x>0){ x--; } 
  return x; 
}:;
g(x):= {
  while(x>0){ x--; } 
  return x; 
}:;

Si je tape :
F:=plotfunc(f(x)) ou G:=plotfunc(g(x)) j’obtiens le même graphe. Le problème apparait lorsque x n’a pas de valeur et que l’on réutilise G.
Mais si on fait :
G:=plotfunc(g(x)) puis symetrie(droite(y=x),G) ou même simplement G on a l’erreur :
"Unable to eval test in loop : x>0.0 Error: Bad Argument Value"
parce que l’évaluation de g(x) ne peut pas se faire si x est formel.
Par contre, F:=plotfunc(f(x)) puis symetrie(droite(y=x),F) renvoie bien le symétrique du graphe par rapport à la première bissectrice grâce au test de la ligne :
if (type(x)!=DOM_FLOAT) return ’f’(x);. D’ou l’intérêt de rajouter le test.
Par contre on peut taper directement sans provoquer d’erreurs :
symetrie(droite(y=x),plotfunc(g(x))).
Explications
Il faut savoir que dans les réponses de certaines commandes (par exemple G:=plotfunc(g(x))) il va figurer l’expression formelle de g(x) (par exemple G contient expr("curve(group[pnt[x+(i)*g(x),x,x,-5.0,5.0125,0]...]))). Lors de l’évaluation de G il y aura une erreur car x+(i)*g(x) ne pourra pas être évalué puisque l’évaluation de g(x) provoque l’évaluation du test x>0 qui ne peut pas être évalué car x n’a pas de valeur ....d’où une erreur mais si dans la fonction figure le test : if (type(x)!=DOM_FLOAT) return ’g’(x); cela supprime l’évaluation de g(x) et donc l’erreur due au test x>0.
En effet, F:=plotfunc(f(x)) puis symetrie(droite(y=x),F) renvoie bien le symétrique du graphe par rapport à la première bissectrice grâce au test de la ligne :
if (type(x)!=DOM_FLOAT) return ’f’(x);.
Par contre on peut taper directement sans provoquer d’erreurs :
symetrie(droite(y=x),plotfunc(g(x)))

3.2  L’écran graphique et ses boutons

Un écran graphique 2-d ou 3-d s’ouvre automatiquement en réponse d’une commande graphique 2-d ou 3-d. À un écran graphique 2-d ou 3-d est attaché des boutons situés en haut et à droite de cet écran.
Un écran de géométrie plane s’ouvre avec les touches Alt+g : c’est un écran graphique 2-d interactif muni de lignes d’entrée, d’une barre de menus contenant les menus Fich Edit et d’un bouton Save. Cet écran graphique est interactif : on peut définir des points et des segments en cliquant avec la souris.
Un écran de géométrie 3-d s’ouvre avec les touches Alt+h : c’est un écran graphique 3-d muni de lignes d’entrée, d’une barre de menus contenant les menus Fich Edit et d’un bouton Save. Les boutons d’un écran graphique 2-d et 3-d sont les mêmes en apparence mais leurs contenus sont quelquefois différents :

3.3  La configuration de l’écran graphique

Avant de faire un tracé, il faut régler les différents paramètres de la configuration de l’écran graphique :
le menu CfgConfiguration graphique (cf section 1.6.2) règle les paramètres de tous les graphiques qui se feront lors de la session. On peut changer ensuite ses paramètres au coup par coup avec le bouton cfg attaché à chaque écran graphique (cf3.4).
Les commandes du cas qui ont comme réponses un graphique 2-d ou 3-d seront tapées dans une ligne d’entrée. Toutefois les commandes du cas qui ont comme réponses un graphique 2-d peuvent aussi être tapées soit dans une ligne d’entrée d’un écran de géométrie. Attention! Un écran de géométrie est un écran graphique interactif.
Les commandes graphiques se trouvent dans le sous-menu Graphic du menu Cmds.
Les commandes de géométrie se trouvent dans le menu Geo.

3.4  Configuration graphique avec cfg

Le bouton cfg permet de régler la fenêtre graphique.

3.5  Pour transformer un graphique en un fichier Latex

Voir aussi : 1.10.3 et 1.10.5 Il faut employer la commande graph2tex("nom.tex") (ou pour un graphique 3-d graph3d2tex("nom.tex")) pour transformer tous les graphiques réalisés en le fichier Latex nom.tex.
Ce fichier pourra être visualisé seul ou bien inséré dans un autre fichier Latex en otant l’en tête \documentclass{article}...\begin{document}, et le \end{document} de la fin et de rajouter \usepackage{pstricks} dans l’en-tête du fichier dans lequel on l’insère.
Attention Dans ce fichier tous les graphiques seront superposés : pour n’avoir qu’un seul graphique, il faut supprimer les niveaux contenant les autres graphiques avant de faire graph2tex("nom.tex").

3.6  Graphe d’une matrice de transition probabiliste :
graphe_probabiliste

graphe_probabiliste a comme argument une matrice de transition probabiliste A ayant au plus 7x7 entrées. On peut rajouter en option la liste des positions des sommets du graph associé à la matrice A.
On tape :

graphe_probabiliste([[1/2,1/3,1/12,1/12],[1/3,1/2,1/6,0], [0,0,1/2,1/2],[1/4,1/4,1/4,1/4]])

On obtient :

On tape :

graphe_probabiliste([[1/2,1/3,1/12,1/12],[1/3,1/2,1/6,0], [0,0,1/2,1/2],[1/4,1/4,1/4,1/4], ["Gare","Campus","Bibli","Centre"]])

On obtient :

On tape :

graphe_probabiliste([[1/2,1/3,1/12,1/12],[1/3,1/2,1/6,0], [0,0,1/2,1/2],[1/4,1/4,1/4,1/4]],[0,1,i,1/2+2/3*i])

On obtient :

On tape :

graphe_probabiliste([[1/2,1/3,1/12,1/12],[1/3,1/2,1/6,0], [0,0,1/2,1/2],[1/4,1/4,1/4,1/4], ["Gare","Campus","Bibli","Centre"]], [0,1,i,1/2+2/3*i])

On obtient :

Si on ne met pas les "" autour d’un nom, si ce nom est le nom d’une variable qui contient une valeur c’est cette valeur que sera affichée sinon les noms s’afficheront sans "".
On peut aussi définir les points pour définir le graphe, par exemple, on tape dans un nieau de géométrie 2d :
:
A:=point(0);
B:=point(1);
C:=point(i);
D:=point(2/2+2i/3);
graphe_probabiliste([[1/2,1/3,1/12,1/12],[1/3,1/2,1/6,0], [0,0,1/2,1/2],[1/4,1/4,1/4,1/4]],[A,B,C,D])
On peut alors bouger les points A,B,C,D en mode pointeur.
On obtient après avoir bougé D :

3.7  Graphe d’une fonction : plotfunc funcplot DrawFunc Graph

3.8  Graphe 2-d pour compatibilité Maple : plot graphe

plot(f(x),x) trace la représentation graphique de y=f(x).
On tape :

plot(x^2-2,x)

On obtient :

la représentation graphique de y=x^2-2

On peut rajouter un paramètre pour indiquer le saut d’échantillonnage en x c’est à dire le pas en x que l’on veut utiliser pour faire le graphe. On tape :

plot(x^2-2,xstep=1)

ou encore

plot(x^2-2,x,xstep=1)

On obtient :

une ligne polygonale qui est la représentation grossière de y=x^2-2

On peut aussi spécifier le nombre de points d’échantillonage de la fonction à représenter en utilisant nstep à la place de xstep. Par exemple, on tape :

plot(x^2-2,x=-2..3,nstep=30)

3.9  Surface 3-d pour compatibilité Maple plot3d graphe3d

plot3d a trois arguments une fonction de deux variables (ou une expression de deux variables ou une liste de trois fonctions de deux variables ou encore une liste de trois expressions de deux variables) et les noms de ces deux variables.
plot3d trace la surface définie par le premier argument (soit z=f(x,y), soit x=f(u,v),y=g(u,v),z=h(u,v)).
On peut faire tourner ce graphique selon l’axe des x, l’axe des y ou l’axe des z. Pour cela, il faut cliquer avec la souris dans la fenêtre graphique en dehors du parallélépipéde servant à la représentation, puis faire bouger la souris (sans relacher son bouton) ou utiliser les touches x, X, y, Y, z et Z.
On tape :

plot3d(x*y,x,y)

On obtient :

La surface z=x*y

On tape :

plot3d([v*cos(u),v*sin(u),v],u,v)

On obtient :

Le cône x=v*cos(u),y=v*sin(u),z=v

Pour n’avoir qu’une portion de surface on peut indiquer l’intervalle de variation dans le deuxième et le troisème argument.
On tape :

plot3d([v*cos(u),v*sin(u),v],u=0..pi,v=0..3)

On obtient :

Une portion du cône x=v*cos(u),y=v*sin(u),z=v

3.10  Graphe d’une droite et les tangentes à un graphe

3.11  Représentation graphique d’inéquations à 2 variables : plotinequation inequationplot

plotinequation([f1(x,y)<a1,..,fk(x,y)<ak],[x=x1..x2,y=y1..y2]) trace la surface du plan définie par les inéquations à 2 variables :

f1(x,y)<a1
...
fk(x,y)<ak
x1<x<x2
y1<y<y2

On tape :

plotinequation(x^2-y^2<3, [x=-2..2,y=-2..2],xstep=0.1,ystep=0.1)

On obtient :

la partie contenant l’origine et délimitée par l’hyperbole x^2-y^2=3 est remplie

On tape :

plotinequation([x+y>3,x^2<y], [x-2..2,y=-1..10],xstep=0.2,ystep=0.2)

On obtient :

le morceau du plan définit par -2<x<2,y<10,x+y>3,y>x^2 est rempli

Attention
Si on ne met pas les bornes pour x et y ce sont les valeurs de X-,X+,Y-,Y+ mises dans la configuration générale du graphique (CfgConfiguration graphique) qui seront prises en compte.

3.12  Représentation graphique de l’aire sous une courbe : tracer_aire graphe_aire aire_graphe plotarea areaplot

Remarque 1 On peut aussi taper, pour n’avoir que la valeur de l’aire :

plotarea(x^2,x=0..1,5,trapeze)[0,3];

On obtient :

0.34

Remarque 2 Si on utilise plotarea avec le menu Graphic->Courbes->plotarea une boite de dialogue s’ouvre : vous entrez, l’expression de la fonction, le nom de la variable, les bornes de l’intervalle xmin,xmax, le pas xstep (on a alors n=(xmax-xmin)/xstep), la méthode d’intégration et aussi la couleur du dessin (on retrouve en effet le bouton Attribut en haut et à gauche de la boite de dialogue).

3.13  Lignes de niveaux : plotcontour contourplot
DrwCtour

plotcontour(f(x,y),[x,y]) (ou DrwCtour(f(x,y),[x,y]) ou
encore contourplot(f(x,y),[x,y])) trace les 11 lignes de niveaux z=−10, z=−8,.., z=0, z=2,.., z=10 de la surface définie par z=f(x,y).
On tape :

plotcontour(x^2+y^2,[x=-3..3,y=-3..3],[1,2,3], affichage=[vert,rouge,noir]+[rempli$3])

On obtient :

le graphe des trois cercles x^2+y^2=n pour n=1,2,3; les zones comprises entre ces cercles sont remplies avec la couleur verte,rouge ou noire

On tape :

plotcontour(x^2-y^2,[x,y])

On obtient :

le graphe des 11 hyperboles x^2-y^2=n pour n=-10,-8,..10

Pour visualiser la surface, on tape (plotfunc(f(x,y),[x,y]) trace la représentation graphique de z=f(x,y), voir 3.7.2):

plotfunc( x^2-y^2,[x,y])

On obtient :

Un graphique en 3-d représentant z=x^2+y^2

On peut faire tourner ce graphique selon l’axe des x, l’axe des y ou l’axe des z. Pour cela, il faut cliquer avec la souris dans la fenêtre graphique en dehors du parallélépipéde servant à la représentation, puis faire bouger la souris (sans relacher son bouton) ou utiliser aux touches x, X, y, Y, z et Z.

3.14  Graphe d’une fonction par niveaux de couleurs : plotdensity densityplot

plotdensity(f(x,y),[x,y]) ou encore densityplot(f(x,y),[x,y]) trace le graphe de z=f(x,y) dans le plan en représentant z par une des couleurs de l’arc en ciel.
On tape :

plotdensity(x^2-y^2,[x=-2..2,y=-2..2],xstep=0.1,ystep=0.1)

On obtient :

Un graphique en 2-d représentant pour chaque z, l’hyperbole définie par x^2-y^2=z par une couleur de l’arc en ciel

On remarquera que l’on a l’echelle des couleurs en dessous du graphe.

3.15  Courbe implicite : plotimplicit implicitplot

plotimplicit ou implicitplot permet de tracer des courbes ou des surfaces définies de façon implicite par une expression. Pour que Xcas ne cherche pas à factoriser l’expression, la commande plotimplicit ou implicitplot peut être utilisée avec l’option unfactored ou sans_factoriser mise comme dernier paramètre, :

3.16  Courbe et surface en paramétrique : plotparam paramplot DrawParm courbe_parametrique

3.17  Courbes de Bézier : bezier

Soient n+1 points Pj de contrôle (j=0..n) et L la séquence de ces points.
La courbe de Bézier ayant les points de la séquence L comme points de contrôle, a comme équation paramétrique :
j=0n comb(n,j)tj(1−t)nj*L[j].
bezier(L,plot) renvoie le tracé de la courbe d’équation paramétrique : ∑j=0n comb(n,j)tj(1−t)nj*L[j].
parameq(bezier(L)) renvoie l’équation paramétrique de la courbe de Bézier ayant comme points de contrôle les points de la séquence L.
On tape :

bezier(1,1+i,2+i,3-i,plot)

On obtient :

Le tracé de la courbe de Bézier ayant comme points de contrôle les points d’affixe 1,1+i,2+i,3-i

On tape :

parameq(bezier(1,1+i,2+i,3-i))

On obtient :

L’équation paramétrique de la courbe précédente

On tape :

bezier(point([0,0,0]),point([1,1,0]),point([0,1,1]),plot)

On obtient :

Le tracé de la courbe de Bézier ayant comme points de contrôle les points point([0,0,0]),point([1,1,0]),point([0,1,1])

On tape :

parameq(bezier(point([0,0,0]),point([1,1,0]),point([0,1,1])))

On obtient :

L’équation paramétrique de la courbe précédente

3.18  Courbe en polaire : plotpolar polarplot DrawPol courbe_polaire

plotpolar(f(t),t) trace la représentation polaire de la courbe définie par : ρ=f(t).
On tape si dans la configuration du graphique t va de 0 à 10 :

plotpolar(t,t)

On obtient :

La spirale ρ=t est dessinée

On peut rajouter un paramètre (tstep=) pour indiquer le saut d’échantillonnage en t c’est à dire le pas en t que l’on veut utiliser pour faire le graphe. On tape si dans la configuration du graphique t va de 0 à 10 :

plotpolar(t,t,tstep=1)

ou :

plotpolar(t,t=0..10,tstep=1)

On obtient :

La spirale ρ=t est dessinée grossièrement

3.19  Tracé d’une suite récurrente : plotseq seqplot graphe_suite

plotseq(f(x),a,n) ou plotseq(f(t),t=a,n) permet de visualiser les n premiers termes d’une suite récurrente définie par :
u0=a, un=f(un−1)
On tape :

plotseq(sqrt(1+x),3,5)

On obtient :

Le dessin de y=sqrt(1+x), de y=x et des 5 premiers termes de la suite u_0=3 et u_n=sqrt(1+u_(n-1))

3.20  Le champ des tangentes : plotfield fieldplot

On peut tracer le champ des tangentes de léquation différentielle y′=f(t,y) ou du système déquations différentielles x′=u(x,y),y′=v(x,y) et on peut spécifier les plages de valeurs des paramètres.

On tape :

plotfield(4*sin(t*y),[t=0..2,y=-3..7])

On obtient :

Des segments de pente 4*sin(t*y) sont tracés en différents points. Ces segments représentent les vecteurs tangents dirigés selon les t croissants et dont l’origine est le point de contact

On tape :

plotfield(4*sin(t*y),[t=0..2,y=-3..7],normalize, xstep=0.7,ystep=0.7))

On obtient :

Des segments de longueur 1 et de pente 4*sin(t*y) qui représentent les tangentes au point situé en leur milieu. Ces points espacés de 0.7

On tape :

plotfield(5*[-y,x],[x=-1..1,y=-1..1])

On obtient :

Des vecteurs [-y,x] sont tracés aux points (x,y). Ces vecteurs représentent des vecteurs tangents en leur origine aux courbes solutions du système x(t)′=-y,y(t)′=x. Ils sont dirigés selon les t croissants.

On tape :

plotfield(5*[-y,x],[x=-1..1,y=-1..1],normalize)

On obtient :

Des segments de longueur 1 et de pente -y/x qui représentent les tangentes au point situé en leur milieu aux courbes solutions du système x(t)′=-y,y(t)′=x.

3.21  Tracé de solutions d’équation différentielle : plotode odeplot

On peut tracer les solutions de léquation différentielle y′=f(t,y) ou du système déquations différentielles x′=u(t,x,y),y′=v(t,x,y) et on peut spécifier les plages de valeurs des paramètres.

On tape :

plotode(sin(t*y),[t,y],[0,1])

On obtient :

Le graphe de la solution de y’=sin(t,y) passant par le point (0,1) est tracé

On tape :

S:=odeplot([h-0.3*h*p, 0.3*h*p-p], [t,h,p],[0,0.3,0.7])

On obtient le graphe dans l’espace de la solution de

[h,p]′=[h−0.3 h p, 0.3 h pp]    [h,p](0)=[0.3,0.7] 

Pour avoir le graphe dans le plan, on ajoute l’option plan ou plane

S:=odeplot([h-0.3*h*p, 0.3*h*p-p], [t,h,p],[0,0.3,0.7],plan)

Pour visualiser les valeurs de la solution, se reporter à la section 4.3.6 On tape :

plotfield(5*[-y,x],[x=-1..1,y=-1..1],normalize)
plotode(5*[-y,x],[t=0..1,x,y],[0,0.3,0.7],tstep=0.05,plan)

On obtient :

Le graphe de la solution de x’=-y,y’=x pour t=0 passant par le point (0.3,0.7) est tracé

Exemple On trace 4 solutions du système d’équations différentielles dépendant de 2 paramètre a et b :
x′=−y+b
y′−1+(xa)2+(yb)2
Les conditions initiales sont :
pour t=0 x0=a+1,y0=b+0.5
pour t=0 x0=a+1,y0=b+0.1
pour t=0 x0=a+0.827,y0=b+0.827
pour t=0 x0=a−1.1,y0=b+
On tape :

avril(a,b):={
local L;
L:=NULL;
L:=L,affichage(plotode([-y+b,-1+(x-a)^2+(y-b)^2],[t=-3..3,x,y],[0,a+1,b+0.5],
plan),94+epaisseur_ligne_8);
L:=L,affichage(plotode([-y+b,-1+(x-a)^2+(y-b)^2], [t=-3..3,x,y],[0,a+1,b+0.1],
plan),4+epaisseur_ligne_8);
L:=L,affichage(plotode([-y+b,-1+(x-a)^2+(y-b)^2],[t=-6..3.65,x,y],
[0,a+0.827,b+0.827],plan),1+epaisseur_ligne_4);
L:=L,affichage(plotode([-y+b,-1+(x-a)^2+(y-b)^2], [t=-1.3..1.3,x,y],[0,a-1.1,b],
plan),1+epaisseur_ligne_4);
return L;
}:;

Puis on tape par exemple :

affichage(cercle(0,5,3*pi/4,4*pi/3),4+epaisseur_ligne_4);
affichage(cercle(0,5,5*pi/3,2*pi+pi/4),4+epaisseur_ligne_4);
affichage(segment(5*exp(-i*pi/3),5*exp(-2*i*pi/3)),4+epaisseur_ligne_4);
avril(-1.4,-1);

3.22  Tracé interactif des solutions d’équation différentielle : interactive_plotode interactive_odeplot

interactive_plotode(f(t,y),[t,y]) trace le champ des tangentes de l’équation différentielle y′=f(t,y) dans l’écran DispG et
interactive_plotode(f(t,y),[t=a...b,y]) trace le champ des tangentes pour t allant de a à b de l’équation différentielle y′=f(t,y) dans l’écran DispG.
Lorsqu’on clique sur un point, on obtient le tracé de la solution de y′=f(t,y) passant par ce point.
On peut faire autant de tracés que l’on veut (un tracé se fait chaque fois que l’on clique sur un point avec la souris). On termine les tracés en tapant sur la touche Esc ou Echap.
On peut aussi spécifier, comme dans plotfield, que le champ des tangentes soit de norme 1 avec l’option normalize. Attention Si on ne veut pas de superposition avec les dessins faits auparavant, il ne faut pas oublier de taper ClrGraph, avant d’utiliser interactive_plotode, pour effacer l’écran DispG. On tape :

interactive_plotode(-y+x+1,[x=-4..4,y])

On obtient :

Le champ des tangentes est tracé ainsi que la solution de y’=sin(t,y) passant par le point qui a été cliqué avec la souris

IL se trouve que l’on sait résoudre cette équation : les solutions sont y(x)=C*exp(-x)+x et on peut donc vérifier...
On tape :

interactive_plotode(sin(t*y),[t=-4..4,y])

On obtient :

Le champ des tangentes est tracé ainsi que la solution de y’=sin(t,y) passant par le point qui a été cliqué avec la souris

On tape :

interactive_plotode(sin(t*y),[t=-4..4,y],normalize)

On obtient :

Le tracé du champ des tangentes avec une norme égale à 1 et le graphe de la solution de y’=sin(t,y) passant par le point qui a été cliqué avec la souris

3.23  Tracé interactif des solutions d’équation différentielle dans un niveau de géométrie : plotfield fieldplot et plotode odeplot

Dans un niveau de géométrie, le menu Graphe->Slopefield/Ode(2d) ouvre une boite de dialogues qui demande :

Lorsqu’on appuie sur OK, l’écran de géométrie est en mode plotode et si l’on a coché Field, le champ des tangentes apparait et la commande correspondante s’inscrit au niveau suivant de l’écran de géométrie, par exemple :

plotfield(sin(t*y),[t=-5.7..5.7,y=-5.7..5.7],normalize, xstep=0.7,ystep=0.7)

Si on a coché Field et ||=1, et que y′=sin(t*y).
Ensuite, il suffit de cliquer en différents points de lécran de géométrie pour avoir les tracés des solutions passant par ces points et les commandes correspondantes stockées dans une variable, par exemple :

A:=plotode(sin(t*y),[t,y],point(-2.863,1.327),plan)

Pour terminer, il suffit de changer de mode, par exemple passer en mode Repere. Il faut noter que le mode plotode n’est pas accessible directement : on doit réouvrir la boite de dialogue avec le menu Graphe->Slopefield/Ode(2d).
Si on trouve que le champ des tangentes est génant, on peut le supprimer facilement en supprimant le niveau correspondant à sa commande.

3.24  Faire une animation en 2-d, 3-d ou "4D"

Xcas permet d’animer des graphes en 2-d, 3-d ou "4D" en calculant une fois pour toute une suite d’objets graphiques et en affichant chaque objet de la sequence en boucle.

Chapitre 4  Calcul numérique

4.1  Codage des réels et des décimaux

Voici comment sont codées les nombres réels lorsque le nombre de chiffres significatifs demandés est inférieur ou égal à 16 (par exemple Digits:=15).
On écrit d, un nombre réel ou décimal, sous la forme :
d=2α(1+m) avec 0<m<1 et −210<α≥ 210.
On utilse 64 bits pour représenter ce nombre :

Codage de 2α :
α=0 est codé 011 1111 1111
α=1 est codé 100 0000 0000
α=4 est codé 100 0000 0011
α=5 est codé 100 0000 0100
α=−1 est codé 011 1111 1110
α=−4 est codé 011 1111 1011
α=−5 est codé 011 1111 1010
α=210 est codé 111 1111 1111
α=2−10−1 est codé 000 0000 0000.

Remarque
2−52=0.2220446049250313e−15

4.2  Évaluation des réels : evalf approx et Digits

On peut évaluer une expression numérique grâce à la commande evalf ou approx.
En mettant un deuxième argument n à evalf (ou approx), on peut spécifier le nombre de chiffres significatifs de l’approximation.
Mettre ce deuxième argument a l’avantage de ne pas modifier la valeur de Digits (i.e. la case Chiffres de la configuration du CAS).
Attention l’affichage tiendra compte de la valeur p de Digits si p<15 et si le deuxième argument n de evalf est supérieur à p mais les calculs seront faits avec n chiffres significatifs.
Exemple 1 Avec Digits:=12.
On tape : a:=1234+1/7
On obtient : 8639/7
On tape : b:=evalf(a,9)
On obtient : 1234.14286 (9 chiffres significatifs avec un arrondi)
On tape : c:=evalf(a,16)
On obtient : 0.1234142857142857e4 (16 chiffres significatifs)
On tape : d:=evalf(a,21)
On obtient : 0.123414285714285714286e4 (21 chiffres significatifs)
On tape : 7*a,7*b,7*c,7*d
On obtient :
8639,8639.00002,0.8639000000000001e4,0.863900000000000000000e4
Mais avec Digits:=7.
On tape : a:=1234+1/7
On obtient : 8639/7
On tape : b:=evalf(a,9)
On obtient : 1234.143 (à l’affichage juste 7 chiffres significatifs)
On tape : b-1234
On obtient : 0.14286 (ce qui prouve que b vaut 1234.14286)
On tape : b-1234.14286
On obtient : 0.0 (ce qui prouve encore que b vaut 1234.14286)
On tape : c:=evalf(a,16)
On obtient : 0.1234142857142857e4
On tape : d:=evalf(a,21)
On obtient : 0.123414285714285714286e4
Exemple 2 Avec Digits:=7 ou si dans la configuration du cas (menu Cfg) on a choisit Chiffres=7.
On tape :

evalf(sqrt(2))

On obtient :

1.414214

On tape :

evalf(sqrt(2),3)

On obtient :

1.41

On tape :

evalf(sqrt(2),3)-1.414214

On obtient :

-0.000214

ce qui montre que evalf(sqrt(2),3) est le nombre 1.414
On tape :

evalf(sqrt(2),10)

On obtient :

1.414214

On obtient toujours un affichage avec 7 chiffres significatifs si n est supérieur ou égal à 7 :

1.414214

On tape :

evalf(sqrt(2))-1.414214

On obtient toujours lorsque Digits:=7) :

-4.376269e-07

ce qui montre que Xcas fait les calculs avec 14 chiffres significatifs.
Par contre, dés que le 2-ième argument n de evalf est strictement supérieur à 14 l’affichage se fait avec n chiffres significatifs.
On tape :

evalf(sqrt(2),15),evalf(sqrt(2),16)

On obtient :

1.41421356237310,1.414213562373095

On tape :

evalf(sqrt(2),20)

On obtient :

1.4142135623730950488

et cela n’a pas modifié la configuration du CAS.
On peut changer le nombre de chiffres significatifs avec la variable DIGITS ou Digits.
On tape :

DIGITS:=20

Cela a pour effet de changer Configuration du CAS et de mettre 20 dans la case Chiffres.

evalf(sqrt(2))

On obtient 20 chiffres significatifs :

1.4142135623730950488

Notation : Le nombre réel 10−4 est un nombre exact alors que 1e−4 est un nombre approché.
On tape :

evalf(10^-5)

On obtient :

1e-05

On tape :

evalf(10^15)

On obtient :

1e+15

On tape :

evalf(sqrt(2))*10^-5

On obtient si Digits:=20:

0.14142135623730950488e-4

Remarques On tape :

DIGITS:=20
a:=evalf(sqrt(2))

On obtient :

1.4142135623730950488

On tape :

evalf(a,10)

On obtient :

1.4142135624

On tape :

evalf(sqrt(2),10)

On obtient :

1.414213562373

On tape :

DIGITS:=10
b:=evalf(sqrt(2))

On obtient :

1.414213562

On tape :

evalf(b,10)

On obtient :

1.414213562

On tape :

evalf(sqrt(2),10)

On obtient :

1.414213562

Attention
Si vous définissez une fonction F(a) qui renvoie une séquence formée par un nombre fractionnaire p/q et un entier n alors evalf(F(a)) renvéra une approximation de p/q avec n chiffres significatifs ! Il faut donc écrire evalf([F(a)]) pour avoir une liste constituée d’une approximation de p/q et de n.

4.3  Quelques fonctions

4.4  Résolution numérique d’équations avec nSolve

nSolve permet de résoudre numériquement des équations non polynomiales : f(x)=0 pour x ∈ ]a,b[ (nSolve est une commande compatible ti).
Les paramètres de nSsolve sont f(x)=0, x, ou x=x0x0 est un point de ]a,b[.
On tape :

nSolve((cos(x))=x,x)

On obtient soit :

0.739085133215

soit une solution complexe :

-9.10998745394-2.95017086176*i

En effet, si on ne précise pas la valeur qui démarre l’itération, Xcas démarre l’itération avec une valeur aléatoire réelle ou complexe.
On vérifie :
cos(-9.10998745394-2.95017086176*i)=-9.10998745394-2.95017086176*i
On tape :

nSolve((cos(x))=x,x=0)

On obtient :

0.739085133215

On tape :

nSolve((cos(x))=x,x=-9-3*i))

On obtient :

-9.10998745394-2.9501708617*i

4.5  Résolution d’équations avec fsolve

fsolve permet de résoudre numériquement des équations non polynomiales : f(x)=0 pour x ∈ ]a,b[.
fsolve a comme arguments f(x)=0 et x=a..b ou f(x)=0, x et a..b.
fsolve donnera aussi les racines numériques complexes si dans la configuration du CAS on a coché Complexe. Si Complexe est décoché il faut utiliser cfsolve pour avoir les racines numériques complexes.
On tape :

fsolve(sin(x)=0,x=0..10)

Ou on tape :

fsolve(sin(x)=0,x,0..10)

On obtient :

[0.0,3.14159265359,6.28318530718,9.42477796077]

On peut rajouter en dernier argument la valeur de l’échantillonage en spécifiant la valeur de xstep ou la valeur de nstep (nombre de découpages de l’intervalle ]a,b[).
On tape :

fsolve(sin(x)=0,x=0..10,xstep=1 )

On obtient :

[0.0,3.14159265359,6.28318530718,9.42477796077]

On tape :

fsolve(sin(x)=0,x=0..10,nstep=10)

On obtient :

[0.0,3.14159265359,6.28318530718,9.42477796077]

On peut utiliser différents algorithmes pour résoudre numériquement f(x)=0 pour x ∈ ]a,b[.
Si on veut indiquer la mèthode, les paramètres de fsolve sont f(x)=0, x, a..b ou selon les méthodes un point x0 de ]a,b[ et le nom de la méthode utilisée.
Les différentes méthodes sont détaillées ci dessous.

4.6  Résolution des systèmes d’équations avec fsolve

On propose six méthodes pour résoudre numériquement des systèmes d’équations de la forme f(x)=0.
Remarque
fsolve donnera aussi les racines numériques complexes si dans la configuration du CAS on a coché Complexe. Si Complexe est décoché il faut utiliser cfsolve pour avoir les racines numériques complexes.
Trois méthodes utilisent la matrice jacobienne f′(x) et leurs noms se terminent par j_solver.
Les trois autres méthodes utilisent des méthodes d’approximation de f′(x) et utilisent uniquement f.
Les six méthodes utilisent une itération de type Newton :
xn+1=xnf′(xn)−1*f(xn).
Les quatre méthodes hybrid*_solver utilisent aussi une méthode de descente de gradient lorsque l’itération Newtonienne donne un pas trop grand.
La longueur du pas est calculé sans facteur d’échelle pour hybrid_solver et hybridj_solver ou avec facteur d’echelle (calculé à partir de f′(xn)) pour hybrids_solver et hybridsj_solver

4.7  Résolution sur ℂ d’équations ou de systèmes cfsolve

cfsolve effectue la résolution numérique sur ℂ d’une équation ou d’un système, même si Complexe est décoché dans la configuration du CAS.
fsolve donne aussi les racines numériques complexes d’une équation ou d’un système si dans la configuration du CAS on a coché Complexe.
On tape :

cfsolve(sin(x)=2)

On obtient :

[1.57079632679-1.31695789692*i,1.57079632679+1.31695789692*i]

On tape :

cfsolve(cos(x)=2)

On obtient :

[1.31695789692*i,-1.31695789692*i]

On tape :

cfsolve([x^2+y+2,x+y^2+2],[x,y])

On obtient :

[[0.500000000000014794+1.65831239517770439*i, 0.500000000000000000-1.65831239517771331*i], [0.500000000000014794-1.65831239517770439*i, 0.500000000000000000+1.65831239517771331*i], [-0.499999999999994291-1.32287565553229745*i,-0.499999999999999999-1.32287565553230177*i],[-0.499999999999994291+1.32287565553229745*i,-0.499999999999999999+1.32287565553230177*i]]

4.8  Racines numériques d’un polynôme : proot

proot a comme argument un polynôme ou le vecteur de composantes les coefficients d’un polynôme (par ordre décroissant).
proot renvoie un vecteur dont les composantes sont les racines numériques non multiples du polynôme.
On peut mettre en option un entier n pour préciser le nombre n de chiffres significatifs de la réponse. Pour chercher les racines numériques de P(x)=x3+1, on tape :

proot([1,0,0,1])

ou on tape :

proot(x^3+1)

On obtient :

[0.5+0.866025403784*i,0.5-0.866025403784*i,-1.0]

On tape pour avoir 20 chiffres significatifs :

proot([1,0,0,1],20)

ou on tape :

proot(x^3+1)

On obtient :

[-1.000000000000000000,
0.5000000000000000000-0.8660254037844386468*i,
0.5000000000000000000+0.8660254037844386468*i]

On tape pour avoir les racines numériques de x2−3 :

proot([1,0,-3])

ou :

proot(x^2-3)

On obtient :

[1.73205080757,-1.73205080757]

On tape pour avoir les racines numériques de P(x)=x2−3 avec 20 chiffres significatifs :

proot([1,0,-3],20)

ou on tape :

proot(x^2-3,20)

On obtient :

[-1.732050807568877294,1.732050807568877294]

On tape pour avoir les racines numériques de P(x)=x10−15*x8+90*x6−270*x4+405*x2−243 :

proot([1,0,-15,0,90,0,-270,0,405,0,-243])

ou on tape :

proot(x^10-15*x^8+90*x^6-270*x^4+405*x^2-243)

On obtient :

[1.73205080757,-1.73205080757,1.73205080757,-1.73205080757, 1.73205080757,-1.73205080757,1.73205080757,-1.73205080757, 1.73205080757,-1.73205080757]

4.9  Factorisation numérique d’une matrice : cholesky qr lu svd

Pour avoir les factorisations numériques de :

d’une matrice, on se repotera à la section 6.58.

Chapitre 5  Les unités et les constantes physiques

Les constantes physiques (sous-menu Constante), les fonctions de conversion (sous-menu Unit_convert), les préfixes (sous-menu Unit_prefix) et les unités classées par thème, se trouvent dans le menu Phys.

5.1  Les unités

5.2  Les constantes physiques

Chapitre 6  Les fonctions de calcul formel

6.1  Les constantes symboliques : e pi infinity inf i euler_gamma

e ou %e désigne le nombre exp(1);
pi ou %pi désigne le nombre π.
infinity désigne ∞.
+infinity ou inf désigne +∞.
-infinity ou -inf désigne −∞.
i ou %i désigne le nombre complexe i.
euler_gamma désigne la constante d’Euler γ.
On a :
euler_gamma est égal à limit(sum(1/k,k,1,n)-ln(n),n,+infinity).

6.2  Les booléens

6.3  Évaluation des booléens : evalb

On peut évaluer une expression booléenne grâce à la commande evalb cette commande sert surtout pour la compatibilité Maple car en Xcas, les booléens sont toujours évalués.
On tape :

evalb(sqrt(2)>1.41)

Ou on tape :

sqrt(2)>1.41

On obtient :

1

On tape :

evalb(sqrt(2)>1.42)

Ou on tape :

sqrt(2)>1.42

On obtient :

0

6.4  Les opérateurs bit à bit

6.5  Les chaînes de caractères

6.6  Écriture en base b d’un entier

6.7  Les entiers (et les entiers de Gauss)

Dans tout ce paragraphe, on peut utiliser des entiers de Gauss (nombres complexes de la forme a+i*b avec a et b dans ℤ), à la place des entiers dans les différentes fonctions.

6.8  Analyse combinatoire

6.9  Les rationnels

6.10  Les réels

6.11  Les permutations

Une permutation p de longueur n est une bijection de [0..n−1] sur [0..n−1] et est représentée par la liste : [p(0),p(1),p(2)...p(n−1)].
Par exemple, la permutation p représentée par [1,3,2,0] est l’application de [0,1,2,3] sur [0,1,2,3] définie par : p(0)=1, p(1)=3, p(2)=2, p(3)=0.
Un cycle c d’ordre p est représenté par la liste [(a0,...,ap−1)] (0≤ pn−1) et c’est une permutation telle que :
c(ai)=ai+1 pour (i=0..p−2), c(ap−1)=a0 et c(ai)=ai (i=p+1..n).
Un cycle c est représenté par la liste et une décomposition en cycles par une liste de listes.
Par exemple, le cycle c représenté par la liste [3,2,1] est la permutation c définie par c(3)=2, c(2)=1, c(1)=3, c(0)=0 (qui est représenté en tant que permutation par la liste [0,3,1,2]).

6.12  Les complexes

Vous trouverez dans le menu Math (Cmplx) les fonctions ayant comme paramètre une expression à valeur complexe.
Remarque
Les nombres complexes sont utilisés pour représenter un point sur l’écran graphique : par exemple, le graphe de y=f(x) est l’ensemble des points x+i*f(x) pour x variant entre WX- et WX+ (WX- et WX+ sont initialisés avec le menu CfgConfiguration graphique).

6.13  Les nombres algébriques

6.14  Les expressions algébriques

6.15  Valeurs de un

6.16  Les fonctions infixées ou opérateur

Un opérateur est une fonction infixée.

6.17  Les fonctions et les expressions de variables symboliques

6.18  Les fonctions

6.19  Étude des fonctions de ℝ dans ℝ

6.20  Dérivation

6.21  Intégration

6.22  Maximum, minimum, tableau de valeurs et graph

6.23  Limites

6.24  Réécrire des expressions transcendantes et trigonométriques

6.25  Les expressions trigonométriques

6.26  Transformée de Fourier

6.27  Les Exponentielles et les Logarithmes

6.28  Les polynômes

6.29  Arithmétique des polynômes

Les polynômes sont représentés par des expressions ou par la liste de leurs coefficients par ordre de puissances décroissantes. Dans le premier cas la variable utilisée par défaut est x. Pour les polynômes à coefficients dans ℤ/nℤ, appliquez % n à l’expression ou à chaque coefficient de la liste.

6.30  Polynômes orthogonaux

6.31  Base et réduction de Gröbner

6.32  Les fractions rationnelles

6.33  Racines exactes d’un polynôme

6.34  Fraction rationnelle, ses racines et ses pôles exacts

6.35  Le calcul modulaire dans ℤ/pℤ ou dans ℤ/pℤ[x]

On peut faire des calculs modulo p c’est à dire dans ℤ/pℤ ou dans ℤ/pℤ[x] et la façon de s’y prendre dépends de la syntaxe choisie :

Remarques

6.36  Le calcul modulaire comme Maple dans ℤ/pℤ[x]

6.37  Développements limités et asymptotiques

6.38  Les plages de valeurs

6.39  Les intervalles

6.40  Les séquences

6.41  Les ensembles

6.42  Les listes ou les vecteurs

6.43  Fonctions utiles pour les vecteurs et les composantes d’un vecteur

6.44  Fonctions utiles pour les statistiques : mean moyenne,variance, stddev ecart_type, stddevp ecart_type_population, stdDev, median, quantile, quartiles, quartile1, quartile3, boxwhisker, moustache

Voir aussi 6.51.5 and 8.
Fonctions utiles pour les statistiques dont les donn’ees sont des listes :

Soit A la liste [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11].
On tape :
A:=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]
On obtient :
11/2 pour mean(A)
sqrt(143/12) pour stddev(A)
0 pour min(A)
[1.0] pour quantile(A,0.1)
[2.0] pour quantile(A,0.25)
[5.0] pour median(A) ou pour quantile(A,0.5)
[8.0] pour quantile(A,0.75)
[9.0] pour quantile(A,0.9)
11 pour max(A)
[[0.0],[2.0],[5.0],[8.0],[11.0]] pour quartiles(A)
Voir aussi ces fonctions pour les matrices à la section 6.51.5 et pour les listes pondérées au chapitre 8.

6.45  Les tableaux indicés par des chaînes : table

Une table est une liste indicée par quelque chose de plus général que des entiers.
Une table peut être utilisée, par exemple, pour stocker des numèros de téléphone indicés par des noms.
Dans Xcas, les indices d’une table peuvent être n’importe quels objets de Xcas.
L’accés se fait par un algorithme qui trie par type puis utilise l’ordre de chaque type (par exemple < pour le type numérique, l’ordre lexicographique pour les chaines etc...).
Par exemple pour définir une table représentant une matrice creuse, on peut mettre des indices doubles entre des parenthèses. La commande matrix permet de transformer une table ainsi définie en une matrice.
Inversement table permet de transformer une matrice en une table. table a comme argument une liste ou une séquence d’égalité de la forme :
"nom_index"=valeur_element.
table renvoie cette table.
On tape :

T:=table(3=-10,"a"=10,"b"=20,"c"=30,"d"=40)

On tape :

T["b"]

On obtient :

20

On tape :

T[3]

On obtient :

-10

Pour définir une matrice creuse par une table, on tape par exemple :

B:=table([1,2] = 12,[2,3] = 13,[3,4] = 14)

Ou on tape de façon plus simple, on peut définir la variable B à l’aide d’une multi-affectation, à condition que la variable B soit purgée :

purge(B)
B[1..3,2..4]:=[12..14]

On tape :

B[1,2]

On obtient :

12

Attention
B n’est pas une matrice mais une table ! On obtient facilement une matrice à partir de B avec convert(B,array) ou matrix(B).
On tape :

B

On obtient :

table([1,2] = 12,[2,3] = 13,[3,4] = 14)

On tape :

b:=convert(B,array)

Ou on tape de façon plus simple :

b:=matrix(B)

On obtient :

[[0,0,0,0,0],[0,0,12,0,0],[0,0,0,13,0],[0,0,0,0,14]]

Remarque
On peut faire toutes les opérations matricielles sur les tables par exemple :
B*B, B+B
Ne pas oublier de faire purge(B) avant de définir la variable B à l’aide d’une multi-affectation.
Exemple
On veut coder les lettres "a","b",.."z" par 1,2,....26.
On tape :
alphab:="abcdefghijklmnopqrstuvwxyz";
puis :
code:=table(seq(alphab[j]=j+1,j=0..25));
On tape code["c"]
On obtient 3
ou bien on écrit une fonction :

Code(a):={
local code,alphab,j;
alphab:="abcdefghijklmnopqrstuvwxyz";
code:=table(seq(alphab[j]=j+1,j=0..25));
return code(a);
};

On tape Code("c")
On obtient 3
Remarque
Si on fait une affectation du type T[n]:= ...T est le nom d’une variable et n un entier

6.46  Les matrices particulières

Une matrice est representée par une liste de listes de même longueur. Dans les réponses de Xcas, les matrices sont parenthésées avec []. Par exemple, [1,2,3] désigne la matrice [[1,2,3]] qui a une seule ligne, alors que [1,2,3] désigne la liste [1,2,3].
Dans ce document, on utilise la notation habituelle ( [[1,2,3]]) pour les matrices renvoyées comme réponses.

6.47  Création des matrices et extraction d’éléments

6.48  Arithmétique des matrices

6.49  Extraire des élément(s) ou des sous-matrices d’une matrice

6.50  Modifier une matrice

6.51  Pour compter...

6.52  Définition des matrices creuses : matrix

6.53  Algèbre linéaire

6.54  Programmation linéaire

6.55  Les différentes norme d’une matrice

Voir aussi 6.43.1 pour les différentes norme d’un vecteur.

6.56  Réduction des matrices

6.57  Les isométries

6.58  Factorisation des matrices

La factorisation des matrices renvoie en général des matrices numériques et quelquefois des matrices symboliques.

6.59  Les formes quadratiques

6.60  Les expressions de plusieurs variables

6.61  Équations

6.62  Les systèmes linéaires

Dans tout ce paragraphe, on appelle "matrice augmentée" du système A*X=B la matrice formée par la matrice A bordée à droite par le vecteur colonne B ("matrice augmentée" du système A*X=B=border(A,tran(B))).

6.63  Les équations différentielles

Pour le calcul numérique de solutions déquations différentielles on se reportera à odesolve et pour la représentation graphique de solutions déquations différentielles on se reportera à plotfield, plotode, interactive_plotode.

6.64  Transformée en z et transformée en z inverse

6.65  Autres fonctions

6.66  Lejour de la semaine : dayofweek

dayofweek(j,m,a renvoie 0 pour dimanche, 1 pour lundi ...6 pour samedi pour çindiquer le jour de la semaine qui correspond à la date donnée en argument date supérieure au 15 octobre 1582. On tape :

dayofweek(15,10,1582)

On obtient :

5

Donc le 15 octobre 1582 était un vendredi. En effet le calendrier grégorien date du 15 octobre 1582 (le lendemain du jeudi 4 octobre 1582 fut le vendredi 15 octobre 1582 car avant les annèes bissextiles étaient tous les 4 ans ce qui donne comme durée moyenne de l’annèe civile 365.25 jours alors que la révolution de la terre autour du soleil est plus courte (365.242 jours) d’où un décalage qui était de 10 jours en 1582.
Avec la nouvelle règle (la dernière année de chaque siécle est bissextile si son millésime est divisble par 400) l’écart n’est plus que de l’ordre de 1 jour tous les 3000 ans.
On tape :

dayofweek(1,10,2014)

On obtient :

3

Donc le 1ier octobre 2014 était un mercredi.

Chapitre 7  Propriétés métriques des courbes planes ou gauches

7.1  Tangente et plans tangents

Soit une courbe Γ lieu des points M=M(t) de coordonnées x(t),y(t),z(t) dans un repère orthonormé Oxyz.
Le vecteur directeur de la tangente à Γ est le premier vecteur T= dpM/dtp qui ne soit pas nul.
À chaque tangente en M on associe :
une infinité de plans tangents qui sont les plans contenant T et
une infinité de normales qui sont toutes perpendiculaires en M à T et qui forment le plan normal en M.

7.2  Place de la courbe par rapport à un plan tangent

Comment se place la courbe par rapport à un certain plan Π tangent en M à Γ ? Soit N la normale qui est perpendiculaire à Π en M.
Soit M1 un point de Γ et m1 la projection de M1 sur T.
Mm1 a le sens de (t1t)pdpM/dtp ( dpM/dtp étant le premier vecteur derivé de OM non nul.
M1 est dans la même région par rapport à Pi que le vecteur (t1t)qdqM/dtq où (t1t)qdqM/dtq est la première des dérivées suivantes qui soit non nulles et non situés dans Pi

7.3  Notion d’abscisse curviligne :

Soit une courbe Γ lieu des points M=M(t) de coordonnées x(t),y(t),z(t) dans un repère orthonormé Oxyz.
On suppose que x(t),y(t),z(t) sonr continues , dérivables et à dérivées continues.
On note dM/dt le vecteur de coordonnées x′(t),y′(t),z′(t) qui est un vecteur tangent à Γ quelque soit t.
On introduit un nouveau paramétre s pour Γ pour que dM/ds soit unitaire c’est à dire tel que :
ds2=dx2+dy2+dz2
Cette relation définie da dérivée de s par rapport à t au signe près :
ds/dt=√x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2 si on oriente Γ selon les t croissants,
ds/dt=−√x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2 si on oriente Γ selon les t décroissants.
On appelle abscisse curviligne à partir de l’origine M0=M(t0), la fonction s(t) ayant pour dérivée : ds/dt=√x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2 (ou ds/dt=−√x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2 selon l’orientation choisie) et telle que s(t0)=0.
La tangente orientée de Γ au point M est alors :
τ= dM/ds qui est le vecteur :
en coordonnées cartésiennes : τ=(dx/ds,dy/ds,dz/ds).
en coordonnées semi-polaires τ=(dρ/dsdθ/ds,dz/ds).

7.4  Le plan osculateur

Soit une courbe Γ lieu des points M=M(t) de coordonnées x(t),y(t),z(t) dans un repère orthonormé Oxyz.
Le vecteur directeur de la tangente à Γ est le premier vecteur dpM/dtp qui ne soit pas nul.
Considérons le cas le plus courant où dM/dt et d2M/dt2 sont non nuls et non colinéaires. Le plan osculateur est le plan des deux vecteurs dM/dt et d2M/dt2 et plus généralement le plan des deux premiers vecteurs : dpM/dtp et dp+hM/dtp+h qui ne sont ni nuls et ni colinéaires.
Remarque Le plan osculateur comme la tangente ne dépend pas du paramètre utilisé.
Le vecteur d2M/ds2=dτ/ds est donc dans le plan osculateur et il est orthogonal à τ. On appelle normale principale l’intersection du plan normal (plan perpendiculaire à la tangente τ) et du plan osculateur.
Soit n le vecteur unitaire de la normale principale orientée dans le sens de la concavité i.e. selon dτ/ds

7.5  Courbure et Cercle osculateur: curvature, courbure

7.6  Torsion

7.7  Cas des courbes planes

Lorsque Γ est une courbe du plan Oxy : son plan osculateur est le plan Oxy.
La torsion d’une courbe plane est nulle.
Soit α l’angle (Ox,τ. On a alors :
1/Rdα/ds et donc :
ds/dα=R
Soit ν tel que (τ ν)=π/2, on a ;
dτ =ν dα et si c est le centre de courbure en M on a :
MC= ds/dαν

7.8  Développée d’une courbe plane : evolute

On appelle développée d’une courbe plane Γ, le lieu des centres de courbure de Γ : c’est aussi l’enveloppe de ses normales. Exemple
Trouver la développée de la spirale logarithmique :
ρ=3eθ/2.
On tape :
developpee([3*exp(t/2)*cos(t),3*exp(t/2)*sin(t)],t,affichage=2))
On obtient :

7.9  Développante d’une courbe plane

On appelle développante d’une courbe plane Γ les courbes admettant Γ comme développée.

Chapitre 8  Les fonctions de statistique

8.1  Les fonctions de Xcas de statistique à 1 variable

On va décrire les différentes fonctions statistiques sur un exemple :
avec la liste A:=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]
- en prenant comme série statistique d’effectif 1 la liste A, ou
- en prenant comme série statistique la liste A avec comme effectifs encore la liste A.
On tape :
A:=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]
On pourra se reporter aussi à 6.44 lorsque les arguments sont des listes et à 6.51.5 lorsque les arguments sont des matrices.

8.2  Les fonctions statistiques à 2 variables

On continue à utiliser la liste A dans les exemples.
On tape :

A:=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]

8.3  Les fonctions aléatoires de Xcas

8.4  Densité, fonction de répartition et leur inverse

8.5  Les tests d’hypothèses

Chapitre 9  Les fonctions de programmation

9.1  La forme d’une fonction, d’un programme et d’un script

9.2  Exécuter une fonction pas à pas

On peut exécuter une fonction pas à pas, en utilisant le debuggeur :
on se sert de l’instruction debug avec comme argument une fonction et ses arguments et cela permet d’exécuter la fonction pas à pas. On a alors la possibilité de voir l’évolution des variables de son choix (on se reportera pour plus de détails à la section 9.7).

9.3  La séquence d’instructions

Un bloc d’instructions ou une séquence d’instructions doit être parenthésé soit par {}, soit par begin et end.
Entre ces accolades (ou entre begin et end) on met les instructions en les terminant par un point-virgule ;

9.4  Les instructions de base

9.5  Les autres instructions

9.6  D’autres instructions utiles

9.7  Le debuggeur

Chapitre 10  Les fonctions de géométrie 2-d

10.1  Généralités

Toutes les commandes graphiques faites dans une ligne d’entrée auront en réponse l’ouverture d’un écran graphique.
Les dessins de la géométrie 2-d se font en général dans un écran de géométrie 2-d qui est un écran graphique interactif muni d’un éditeur de commandes et d’une barre de menus (on ouvre un écran de géométrie 2-d avec Alt+g).
Les dessins faits dans un écran de géométrie 2-d sont interactifs : on peut définir des points et des segments avec la souris et modifier une figure en faisant bouger un de ses points avec la souris.

10.2  Les fonctions de base

10.3  Les attributs des objets graphiques

10.4  Comment définir un objet géométrique sans le tracer : nodisp

nodisp appliqué à une commande permet de ne pas afficher la réponse, même quand il s’agit d’une commande graphique.
On peut aussi terminer la commande par :; pour ne pas générer de réponse.
On tape :

C:=point(1+i)
cercle(C,sqrt(2))

On obtient :

Le point C d’affixe 1+i et le cercle de centre C et de rayon sqrt(2) sont tracés

On tape :

nodisp(C:=point(1+i))

Ou on tape :

C:=point(1+i):;

puis

cercle(C,sqrt(2))

On obtient :

Seul le cercle de centre 1+i et de rayon sqrt(2) est tracé

10.5  Comment définir et tracer sans nom, un objet géométrique

nodisp permet de définir un objet géométrique sans le tracer. On peut ensuite tracer l’objet en mettant comme commande son nom, mais alors, son nom n’apparaitra pas sur la figure.
On peut aussi définir un objet géométrique et utiliser eval. On tape :

nodisp(C:=point(1+i))

Ou on tape :

C:=point(1+i):;

puis on tape :

C

Ou on tape :

eval(C:=point(1+i))

On obtient :

Le point 1+i est marqué d’une croix mais il n’a pas de nom

10.6  Comment définir et tracer un objet géométrique avec son nom

L’affectation d’un objet géométrique dans une variable permet de définir cet objet géométrique et de le tracer avec une légende ayant comme nom, le nom de la variable.
Si on veut donner à cet objet géométrique un nom différent de celui de la variable, on peut définir l’objet géométrique avec une affectation qui se termine par :; et utiliser legende. Voici des exemples : On tape :

nodisp(B:=point(1+i))

Ou on tape :

B:=point(1+i):;

Le point B est défini mais n’est pas tracé.
puis on tape :

legende(B,"Bien")

Ou on tape :

point(affixe(B),legende="Bien")

On obtient :

Le point 1+i est marqué d’une croix et a comme nom "Bien"

Remarque
Si on veut définir l’objet géométrique sans le tracer, puis le faire apparaitre avec son nom, on peut aussi utiliser eval (voir la commande eval6.14.2).
On tape :

nodisp(B:=point(1+i))

Ou on tape :

B:=point(1+i):;

Le point B est défini mais n’est pas tracé.
puis on tape :

B:=eval(B,1))

Ou on tape :

B:=B

Ou on tape :

legende(B,"B")

Ou on tape :

point(affixe(B),legende="B")

On obtient :

Le point 1+i est marqué d’une croix et a comme nom "B"

Si on tape :

B:=eval(B,2))

On obtient :

Le point 1+i est marqué d’une croix et n’a pas de nom

10.7  Comment faire une démonstration : assume

Pour pouvoir faire une démonstration en géométrie, il suffit de demander au calcul formel de faire les calculs, en choisisant bien les paramètres du problème et ces paramètres doivent être formels....En géométrie les points peuvent avoir des coordonnèes exactes ou numériques ou formelles. Mais pour faire une figure, il faut affecter les paramètres formels. On peut le faire de différentes façons :

10.8  Les points en géométrie plane

10.9  Les droites en géométrie plane

10.10  Les triangles

Pour les dessins dans l’espace voir la section 11.7

10.11  Les quadrilatères

Voir aussi : 11.7.1 pour la géométrie 3-d.
Pour les dessins dans l’espace voir la section 11.8

10.12  Les polygones

Voir aussi : 11.9 pour la géométrie 3-d.

10.13  Les cercles

10.14  Les coniques

10.15  Les mesures

10.16  Les mesures

10.17  Les transformations

10.18  Les propriétés

10.19  La division harmonique, pôles et polaires

10.20  Les lieux et les enveloppes

Chapitre 11  Les fonctions de géométrie 3-d

11.1  Généralités

Les graphes ou les dessins de la géométrie 3-d se font dans un écran graphique 3-d qui s’ouvre automatiquement en réponse d’une commande graphique 3-d.
Les dessins de la géométrie 3-d se font en général dans un écran de géométrie 3-d qui est un écran graphique muni d’un éditeur de commandes et d’une barre de menus at que l’on ouvre avec Alt+h.
Si on clique dans la fenêtre graphique avec la souris, en dehors du parallélépipéde servant à la représentation, on peut faire tourner les axes x, y ou z, soit avec les touches x, X, y, Y, z, Z, soit en bougeant la souris sans relacher son bouton. Cela modifie l’axe de vision (axe passant par l’observateur et de vecteur directeur la direction de la visée de l’objet) et le plan de vision (plan perpendiculaire à l’axe de vision dont l’équation est inscrite en haut de l’écran). Le plan de vision est matérialisé par son intersection avec le parallélépipéde servant à la représentation, ces droites d’intersection sont dessinée en pointillé.
On peut aussi translater le plan de vision, le long de l’axe de vision grâce à la molette de la souris : les plans successifs sont obtenus par une translation de vecteur parallèle à l’axe de vision.
On peut se servir d’attributs pour faire une représentation graphique 3-d comme la couleur, l’épaisseur, les lignes en pointillé pour cela voir 10.3. Mais, les points ont toujours la forme d’un carré et il faut mettre une epaisseur d’au moins 3 si on veut le voir (point_width=3).
On peut faire des dessins en perspective ou en repère orthonormé (en cochant Proj_ortho dans la configuration graphique (bouton cfg)), les surfaces sont transparentes ou non et peuvent être éclairées par 8 spots que l’on peut placer en diffèrents endroits repérés par leur coordonnées homogènes (on configure ses spots avec les boutons l0,l1..l7 situés dans la configuration graphique).
Ces dessins sont interactifs : on peut faire bouger, avec la souris, les points situés dans le plan de vision, et aussi déplacer ces points, avec la molette de la souris, sur une parallèle à l’axe de vision .

À noter que l’on peut aussi faire un zoom-in ou un zoom-out à l’aide des boutons in et out (voir 3.4).

Si dans la configuration du graphique, on coche hidden3d, la surface sera tracée sans dessiner les lignes qui sont cachées et si on veut voir les lignes cachées on décoche hiden3d (voir aussi 1.6.2).
Pour la traduction Latex de l’écran 3-d on se reportera à la section 1.10.5.

11.2  Les angles d’Euler

Les angles d’Euler sont utilisés pour modifier le repère de visualisation. Rappel Soient deux repères : l’ancien (Oxyz) et le nouveau (OXYZ).
Soit Ou l’intersection du plan (OY,OZ) avec le plan (Ox,Oz) que l’on oriente arbitrairement.
Soient :

On définit complètement la mise en place de (OXYZ) par rapport à (Oxyz) en donnant les angles a,b,c de (OXYZ) par rapport à (Oxyz) et en effectuant la composition de ces trois rotations : Rc@Rb@Ra.
Les angles d’Euler sont :
a=(Oz,Ou),
b=(Ov,OX),
c=(Ou,OZ).

Les dessins de la géométrie 3-d se font en choissisant comme repère Oxyz, Ox horizontal dirigé vers la droite, Oy vertical dirigé vers le haut et l’axe des z qui pointe vers vous.
Les mesures en degré de a,b,c sont mises dans ry,rz,rx.
Selon l’orientation de Ou, les valeurs de a,b,c ne sont pas uniques :
a,b,c et a+180,180−b,c+180 mettent en place le même repère OXYZ,
Lorsque b est un angle droit, c’est à dire que l’axe OX et l’axe Oy ont le même support on n’a pas non plus unicité:
a,90,c et a+c,90,0 mettent en place le même repère OXYZ et
a,−90,c et ac,−90,0 mettent en place le même repère OXYZ.
On peut donc choisir, l’angle b dans ]−90,90[ et les angles a et c dans ]−180,180] ou bien b dans −90,90 c=0 et a dans ]−180,180].

11.3  Les axes

11.4  Les points

11.5  Les lignes

11.6  Les plans

11.7  Les triangles dans l’espace

Le principe est de rajouter, si necessaire, un paramètre pour définir le plan du triangle et définir aussi l’orientation de ce plan. Pour la géométrie plane voir 10.10.

11.8  Les quadrilatères dans l’espace

Voir aussi : 10.11 pour la géométrie plane.
Le principe est de rajouter si necessaire un paramètre pour définir le plan du quadrilatère et définir aussi l’orientation de ce plan.

11.9  Les polygones dans l’espace

Voir aussi : 10.12 pour la géométrie plane.
Le principe est de rajouter si necessaire un paramètre pour définir le plan du polygone et définir aussi l’orientation de ce plan.

11.10  Les cercles dans l’espace : circle cercle

Voir aussi : 10.13.1 pour la géométrie plane.
cercle, en géométrie 3-d, a comme argument :

À noter que dans les 2 cas, le premier et le troisième argument peuvent être les coordonnées du point.
On tape :

cercle(point(0,0,1),point(0,1,0),point(0,2,2))

Ou on tape :

cercle([0,0,1],point(0,1,0),point(0,2,2))

Ou on tape :

cercle([0,0,1],point(0,1,0),[0,2,2])

On obtient :

Un cercle de diamètre les points [0,0,1] et [0,1,0] situés dans le plan x=0

On tape :

cercle(point(0,0,1),[0,1,0],point(0,2,2))

Ou on tape :

cercle([0,0,1],[0,1,0],point(0,2,2))

Ou on tape :

cercle([0,0,1],[0,1,0],[0,2,2])

On obtient :

Un cercle de centre [0,0,1] et passant par le point [0,1,1] (donc de rayon 1) situés dans le plan x=0

11.11  Les coniques dans l’espace

11.12  Les mesures

11.13  Les propriétés

11.14  Les transformations

11.15  Les surfaces

11.16  Les solides

11.17  Les solides de Platon

Pour les construire, on donne le centre, un sommet et un 3ème point définissant un plan de symétrie.
Pour accélérer les calculs, il peut être utile faire seulement des calculs approchés en utilisant evalf dans l’argument : on tapera, par exemple :
cube_centre(evalf([0,0,0],[3,2,1],[1,1,0]))

11.18  Figures et preuves d”exercices avec Xcas

Chapitre 12  Commandes multimédia

12.1  Son

12.2  Comment lire et créer une image

12.3  Définition des variables typées

Soit la variable a on peut donner sont type soit en la renommant soit en mettant : puis son type :
a_i ou a:integer pour signifier que a est de type entier
a_d ou a:double ou a:real pour signifier que a est de type réel
a_c ou a:complex pour signifier que a est de type complexe
a_v ou a:vector pour signifier que a est de type vecteur
a_m ou a:matrix pour signifier que a est de type matrice
a_s ou a:string pour signifier que a est de type chaîne de caractères

Chapitre 13  Utilisation de giac à l’intérieur d’un programme

13.1  Utilisation dans un programme C++

On peut utiliser giac à l’intérieur d’un programme C++ en mettant au début du programme par exemple essai.cc :
#include<giac/giac.h>
puis en compilant le compilant avec :
c++ -g essai.cc -lgiac -lgmp
et en l’exécutant en mettant :
./a.out
Exemple

// -*- compile-command: "g++ -g pgcd.cc -lgiac -lgmp" -*-
#include <giac/giac.h>

using namespace std;
using namespace giac;

gen pgcd(gen a,gen b){
  gen q,r;
  for (;b!=0;){
    r=irem(a,b,q);
    a=b;
    b=r;
  }
  return a;
}

int main(){
  cout << "Entrer 2 entiers";
  gen a,b;
  cin >> a >> b;
  cout << pgcd(a,b) << endl;
  return 0;
} 

13.2  Pour définir de nouvelles fonctions de giac

On peut définir de nouvelles fonctions qui deviendront des fonctions de giac. Pour définir par exemple la fonction de nom pgcd ( et c’est l’instruction : const string _pgcd_s("pgcd"); qui définit le nom de la fonction), on tape :

 
// -*- mode:C++ ; compile-command: "g++ -I.. -fPIC -DPIC 
-g -c pgcd.cpp  -o pgcd.lo && ln -sf pgcd.lo pgcd.o && gcc 
-shared pgcd.lo -lc  -Wl,-soname -Wl,libpgcd.so.0 -o 
libpgcd.so.0.0.0 &&  ln -sf libpgcd.so.0.0.0 libpgcd.so.0 && 
 ln -sf libpgcd.so.0.0.0 libpgcd.so" -*-
using namespace std;
#include <stdexcept>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <giac/giac.h>
#include "pgcd.h"

#ifndef NO_NAMESPACE_GIAC
namespace giac {
#endif // ndef NO_NAMESPACE_GIAC

  gen pgcd(gen a,gen b){
    gen q,r;
    for (;b!=0;){
      r=irem(a,b,q);
      a=b;
      b=r;
    }
    return a;
  }
  gen _pgcd(const gen & args){
    if ((args.type!=_VECT)||(args._VECTptr->size()!=2))
      setsizeerr();
    vecteur &v=*args._VECTptr;
    return pgcd(v[0],v[1]);
  }
  const string _pgcd_s("pgcd");
  unary_function_unary __pgcd(&_pgcd,_pgcd_s);
  unary_function_ptr at_pgcd (&__pgcd,0,true);
  

#ifndef NO_NAMESPACE_GIAC
} // namespace giac
#endif // ndef NO_NAMESPACE_GIAC

On compile avec la commande située après compile-command de l’en-tête du programme. Puis, pour l’insérer dans une session Xcas, il faut taper la commande insmod suivi du chemin absolu complet de la librairie, par exemple :
insmod("/home/user/giac-0.4.0/doc/en/libpgcd.so").
Cela suppose que le source de giac a été désarchivé dans le répertoire /home/user).


Ce document a été traduit de LATEX par HEVEA