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6.37.5  Développement réciproque d’un développement en séries en 0 : revert

revert a comme argument une expression qui est le début du développement en séries en 0 d’une fonction f.
revert renvoie le développement en séries en 0 de g(f(0)+x) où g vérifie g(f(x))=x.
On tape :

revert(x+x^2+x^4)

On obtient :

x-x^2+2*x^3-6*x^4

En effet la fonction f vérifie : f(0)=0, f′(0)=1, f"(0)=2,f′"(0)=0,f(4)(0)=24 et si g(f(x))=x on en déduit en dérivant cette identité que : g(0)=0,g′(0)=1/f′(0)=1,g″(0)=−2,g‴(0)=12, g(4)(0)=−15*8−24=−144=−24*6 On tape le début du développement en 0 de exp(x) :

revert(1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/14)

On obtient le début du développement en x=0 de ln(1+x) :

x-x^2/2+2*x^3/3-x^4/4

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