\null\vskip3mm

\parc
\centerline{\bf D\'efinitions et notations}

Ici la cat\'egorie est celle des vari\'et\'es 
$C^\infty$%%
-diff\'erentiables localement compactes  et s\'epar\'ees~:\hfill\break
vari\'et\'es et sous-vari\'et\'es sont lisses localement compactes
et s\'epar\'ees,
les sous-vari\'et\'es sont propres au sens de M. Morse%
\note{\eightpoint
$Y\!\subset\!X$
est sous-vari\'et\'e propre
 d'une vari\'et\'e lisse
$X$
model\'ee sur un espace vectoriel
$E$
si pour tout
$y\!\in\!Y$
il y a une param\'etrisation lisse
$\varphi : {\cal Z}_0\!\build{\rightarrow}_{\sim}^{}\!{\cal X}_y\!\subset\!V%
, \varphi(0)\!=\!y$
d'un voisinage
${\cal X}_y$
de
$y$
dans
$X$
par un voisinage
${\cal Z}_0$
de
$0$
dans
$E$
et un sous-espace vectoriel
$F\!\subset\!E$
tel que
$Y\cap{\cal X}_y\!=\!\varphi({\cal Z}_0\cap F)$%
.
} 
et  applications entre vari\'et\'es, m\'etriques, fibr\'es 
ici \'ecrits%
\note{\eightpoint
\'ecrire
$\cdot_s$
pour
$\cdot\!=\!f, \mu,\ldots$
fonction, m\'etrique,\dots sur
$X_s$
sous-entend
$(x, s)\mapsto\cdot_s(x)$
lisse.
}
sont lisses.

\nDefns {\bf 0\/}
 Une
{\it vari\'et\'e sur\/}
une vari\'et\'e
$S$
est une vari\'et\'e%
\note{\eightpoint
consid\'er\'ee comme famille des sous-vari\'et\'es fibres
$\sigma^{-1}(s)$
param\'etr\'ees par
$s\!\in\!S$%
.
}
$V$
munie d'une submersion
$\sigma : V\!\rightarrow\!S$%
. 
On note
${\cal T}X\!=\!{\cal T}_{\sigma}X\!=\!ker(T\sigma : TX\rightarrow TS)$
le sous-fibr\'e du fibr\'e tangent
$TX$%
, dit
{\it tangent vertical\/}%
, tangent aux pr\'eimages
$X_s\!=\!\sigma^{-1}(s), s\!\in\!S$
de
$\sigma$
et
$p : {\cal T}X\rightarrow X$
la projection de
${\cal T}X$%
. 

Soit une fonction
$f : V\rightarrow{\bf R}$
sur la vari\'et\'e
$V$
sur
$S$%
, pens\'ee 
$(f_s)_{s\in S}$
comme famille param\'etr\'ee par
$S$
de fonctions 
$f_s$
sur les vari\'et\'es
$V_s\!=\!\sigma^{-1}(s)$
et 
$W$
une sous-vari\'et\'e sur%
\note{\eightpoint
{\it c. a d.\/}
la restriction
$\sigma_{|W} : W\rightarrow S$
de
$\sigma$
\`a la sous-vari\'et\'e
$W$
est une submersion.
}
$S$%
~:
$$S\!\!\build{\leftarrow}_{}^{\sigma_{|W}}\!\!W\!\!\subset\!\!T%
\!\subset\!V,\
p : {\cal T}V_{|W}/{\cal T}W\!=\!P\rightarrow W,\ %
\nu : P\!%
\supset\!{\cal O}\build{\rightarrow}_{\sim}^{}T,\
\rho\!=\!p\circ\nu^{-1} : T\rightarrow W,\ 
\sigma_{|W}\!\circ\!\rho\!=\!{\sigma}_{|T}$$
 muni d'un 
{\it tube\/}%
\note{\eightpoint
${\cal O}$
voisinage de la section nulle  du fibr\'e normal \`a 
$W$
dans
$V$%
,
$\nu$
plongement avec
$\nu_{|W}\!=\!\iota\!\!\build{}_{W}^{V}$%
.
}${\cal T}\!=\!(\nu, \rho, T)$
respectant la submersion.
On note 
$\phi\!=\!f\circ\nu$
et
$\phi_0\!=\!\phi-\phi\circ p$%
.
%
%
\nDefns {\bf 1\/}
$f$
est
{\it  val\/}
 de
{\it fond\/}
$W$
[et
{\it tube\/}
${\cal T}$%
]
si 
$W$
 a un voisinage 
${\cal O}_Q$
dans
${\cal O}$
tel que pour tout
$w\!\in\!W$
la restriction de
$\phi_0$
au voisinage
${\cal O}_{w}\!=\!{\cal O}\cap p^{-1}(w)$
de
$0$
dans
$P_w\!=\!p^{-1}(w)$
est~:

$({\romannumeral 1})$
sur
${\cal O}_Q\cap{\cal O}_{w}$
la restriction d'une forme  quadratique 
$q_w$
d\'efinie positive sur 
$P_w$%
.


$({\romannumeral 2})$
non singuli\`ere sur chaque rayon ouvert
$]0, b_v[v=%
]0, +\infty[v\cap{\cal O}_{w}, v\in\!P_w\!\setminus\!\{0_{w}\}$%
.%\hfill\break

Sa
{\it hauteur de col\/}
est~:
$\gamma\!=\!\gamma_{T}(f) : W\rightarrow {\bf R},\ 
\gamma\!=\!\inf\{\build{Lim}_{u\rightarrow b_v}^{}\phi(uv)\ ;\ 
v\!\in\!P_w\!\setminus\!\{0_{w}\}\ [>\!f(w)]$%
.


Soit
$V'\!\!\subset\!V$
une sous-vari\'et\'e coupant
$W$
transversalement en
$W'$%
fond du val
$f'\!=\!f_{|V'}$
pour un tube
${\cal T}'$%
. Le val
$f$
est relatif \`a ce val
$f'$
s'il a un tube
${\cal T}$
tel que
$T\cap V'\!\subset\!T'$
et
$\rho_{|T\cap V'}\!=\!\rho'_{|V'\cap T}$%
.
%
%
\nDefns {\bf 2\/} Un point
$c\!\in\!V$
est
$\sigma f$%
{\it -critique\/}
si
$0\!=\!{\cal T}f(c)\!=\!Tf_{|{\cal T}_cV}(c) : {\cal T}_cV\rightarrow{\bf R}$%
,  sa 
{\it d\'eriv\'ee verticale\/}%
, est nulle. On note
$C\!=\!C(f)\!=\{c\!\in\!V \, ;\, {\cal T}f(c)\!=\!0\}$
l'ensemble des points
$\sigma f$%
-critiques.
Ce point est
{\it  non d\'eg\'en\'er\'e\/}
si de plus la forme bilin\'eaire
{\it Hessienne verticale\/}
$b_c\!=\!f''_{|{\cal T}_cV\times{\cal T}_cV}$
est de di\`ese un isomorphisme
$b_c^{\sharp} : {\cal T}_cV\rightarrow{\cal T}_c^{\ast}V$%
. En ce cas un voisinage 
${\cal C}$
de
$c$
dans
$C$
est une sous-vari\'et\'e de
$V$
form\'ee de points
$\sigma f$%
-critiques non d\'eg\'en\'er\'es qui est
diff\'eomorphe, par la restriction
$\sigma_{|{\cal C}}$%
, \`a un voisinage
${\cal S}_{\sigma(c)}$
 de
$\sigma(c)$
dans
$S$%
. On note
$q_c$
la forme quadratique associ\'ee \`a
$b_c$%
.


Soit
$N_c\!\subset\!{\cal T}_{c}V$%
, un sous-espace
$q_{c}$%
-d\'efini n\'egatif maximal, de
$b\!=\!b_{c}$%
-orthogo\-nal
$P_c\!=\!N_c^{\perp_{b}}$%
.
L'%
{\it indice de\/}
$c$
est
$k\!=\!dim(N_{c })$%
, la dimension d'un tel sous-espace
$q_{c}$%
-d\'efini n\'egatif maximal.


Les formes quadratiques
$q\!\!\build{}_{c}^{N},\ q\!\!\build{}_{c}^{P}$
associ\'ees \`a
$-{b_{c}}_{|N_{c}},\ {b_{c}}_{|P_c}$
sont d\'efinies-positives et
$$q_c=
-q\!\!\build{}_{c}^{N} +\, q\!\!\build{}_{c}^{P}\ : N_{c}\oplus P_{c}={\cal T}_{c}V
\rightarrow{\bf R}$$
On supppose d\'esormais que
$f$
est
$\sigma$%
{\it -de Morse\/}%
,
{\it c. a d.\/}
les points
$\sigma f$%
-critiques sont non d\'eg\'en\'er\'es.
et on d\'esignera par
${\cal V}\!\subset\!V$
un ouvert relativement compact de
$V$
et
${\cal C}\!=\!C(f)\cap{\cal V}$%
. 
\nDefns {\bf 3\/}
Une
{\it direction de nappe sur\/}
${\cal V}$
est une famille
$D{\cal N}\!=\!(N_{c}\!\subset\!{\cal T}_{c}V)_{c\in {\cal C}}$
de sous-espaces
$q_{c}$%
-d\'efinis n\'egatifs maximaux aux points 
$\sigma_{|{\cal V}} f_{|{\cal V}}$%
-critiques.
%

Une
$D{\cal N}$%
{\it -m\'etrique\/}
sur
${\cal V}$
est une m\'etrique riemannienne
$\mu\!=\!\mu_{\cal V} : {\cal T}{\cal V}\rightarrow{\bf R}$
sur le tangent vertical \`a
${\cal V}$
telle que si
$c\!\in\!{\cal C}$
est point
$\sigma_{|{\cal V}} f_{|{\cal V}}$%
-critique 
${\mu}_{c}\!=\!q_{c}^{N} +\, q_{c}^{P}$%
. Elle est
$D{\cal N}$%
{\it -de Morse\/}
si de plus
${\cal C}$
a un voisinage
${\cal Z}\!\subset\!{\cal T}_{|C}$
dans  la restriction 
${\cal T}_{|C}$
\`a
$C$
du fibr\'e tangent vertical telle que la restriction 
aux
${\cal Z}_c, c\in{\cal C}$
des applications exponentielles sont des diff\'eomorphismes~:
$$\varphi_c\!=\!{\exp_{\mu_c}}_{|{\cal Z}_c} : {\cal Z}_c\rightarrow%
\varphi_c({\cal Z}_c)\!=\!{\cal V}_c, c\!\in\!C,\quad
f_{\sigma(c)}\circ\varphi_{\mu_c}\!=\!f(c)+{q_c}_{|{\cal Z}_{c}}$$
sur des voisinages
${\cal V}_c$
de
$c$
dans
$V_{\sigma(c)}$
 y exprimant
$f_{\sigma(c)}$
comme translat\'es%
\note{\eightpoint
par la valeur critique
$f(c)$
de
$f$
en $c$%
.}
des 
${q_{c}}_{|{\cal Z}_{c}},\ c\!\in\!{\cal C}$%
.
%
%
\nDefns {\bf 4\/}
$\mu$%
{\it -Nappes montantes\/}
et
{\it descendantes\/}
${\cal N}_{c}^{\pm}$
de
$c\!\in\!C(f_{|{\cal V}})$
sont les unions des arcs de 
$\mu_{|{\cal V}_{\sigma(c)}}$%
-gradient%
\note{\eightpoint
sous-entendant la m\'etrique
$\mu$%
, on abr\'eviera, 
 en 
{\it nappes\/}
et
$\sigma f$%
-gradient.
}
de
$f$%
,
tendant vers
$c$
dans  le pass\'e et futur respectivement et on note~:
$$\{{\cal N}_{c}, {\cal N}'_{c}\}\!=\!%
\{{\cal N}_{c}^{-}, 
{\cal N}_{c}^{+}\},\quad
{\cal X}_c\!=\!{\cal N}_{c}\cup{\cal N}'_{c}$$
Deux points 
$f_s$%
-critiques
$c, d$
sont
$\mu, f$%
-%
{\it bien li\'es\/}
si
$\sigma(c)\!=\!\sigma(d)\!=\!s$
et, dans
${\cal V}_s$%
,  une nappe
${\cal N}\!=\!{\cal N}_{c, d}$
de 
$c$
est transver\-se
\`a une nappe
${\cal N}_{d, c}$
 de 
$d$
d'intersection  une ligne de gradient
$\lambda\!=\!\lambda_{c, d}$%
, {\it tr\`es bien li\'es\/}
si de plus toute ligne de gradient 
$\lambda'$
dans
${\cal N}$
avec
$f(\lambda')\!\subset\!f(\lambda)$
v\'erifie
$f(\lambda')\!=\!f(\lambda)$%
.
\finc












