
%\secno=-
%\centerline{\petcap Appendices}
%\vskip1mm
%\pageno=

{\eightpoint
\nsecp Caract\'eristion d'un fond de val de Morse {\bf C}.|
Soit une famille 
$\bigl((h_s, l_s) : (U_s, W_s)\rightarrow{\bf R}\bigr)_{s\in S}$
de fonctions
$h_s$
sur des vari\'et\'es
$U_s$
et de leur restrictions 
$l_s\!=\!{h_s}_{|W_s} $
aux sous-vari\'et\'es
$W_s\!\subset\!U_s$%
.
\Notns
L'anneau des germes en un point
$u_s\in\!U_s$
de fonctions 
sur
$U_s$
est not\'e
${\goth A}(U)_{u_s}\!=\!(U)$%
.

Si
$u\!=\!u_s\!\in\!U_s\!\subset\!U$
et
$w\!=\!w_s\!\in\!W_s\!\subset\!W\!\subset\!U$
on note
${\goth M}(U)_{u, s}\!=\!{\goth M}_{u, s}$
et
${\goth N}(U, W)_{w, s}\!=\!{\goth N}_{w, s}\ 
({\goth N}_{w, s}\!\subset\!{\goth M}_{w, s})$
les 
id\'eaux de
${\goth A}_{u_s}$
et
${\goth A}_{w_s}$
 des germes 
de fonctions s'annulant respectivement en $u$ et sur
$W$%
, dits
{\it id\'eaux maximaux de
$u_s\!\in\!U_s$
et
$W_s\!\subset\!V_s$
en
$u_s$
et
$w_s\!\in\!W_s$%
.\/}


Soit
$\psi\!=\!\varphi^{-1}, 
\varphi\!=\!\varphi_{w_s} : B\!\!\build{}_{p}^{q}\!\!(\epsilon)%
\build{\rightarrow}_{\sim}^{}{\cal U}_s$
une carte%
\note{\eightpoint
${\cal U}_s\
U_s$%
-voisinage de
$w_s$%
, 
$\varphi_s$
diff\'eomorphisme param\'etrisation,
$\varphi_s(0)\!=\!w_s,
{\varphi_s}^{-1}(W_s)\!=\!B_{p}(\epsilon)$%
.
}
de la sous-vari\'et\'e
$W_s$
de
$U_s$
en
$w_s\!\in\!W_s$%
.
%
\Rmc Proposition et d\'efinition|
Les familles d'id\'eaux de
${\goth A}_{w_s}$
engendr\'es respectivement  par
$${{\partial}\over{\partial x_i}}(h\circ\varphi)\circ\psi, 1\!\leq\!i\!\leq\!p%
\quad\hbox{et}\quad
{{\partial}\over{\partial x_j}}(h\circ\varphi)\circ\psi, 1\!\leq\!j\!\leq\!p+q$$
ne d\'ependent pas du choix de carte.
Ce sont les
{\it id\'eaux jacobiens en\/}
$w_s$
{\it tangent\/}
et
{\it ambiant\/}
respectivement de la famille
$h_s$
{\it sur\/}
 les sous-vari\'et\'es
$W_s$%
. Ils sont not\'e 
${\goth I}_{w_s}(h)\!\subset\!{\goth J}_{w_s}(h)$%
.\findem
\finc

Soit
$(k_s : {U}_s\rightarrow{\bf R})_{s\in S}$
et
$d_s\!=\!k_s-h_s : {U}_s\rightarrow{\bf R}$%
.
%
\Rmc {\bf Remarques}|
$({\romannumeral1})\
t\!=\!t_s$ 
est 
$l_s$
(resp.
$h_s$%
)
-r\'egulier 
si et seulement si
${\goth I}_{t_s}$
(resp.
${\goth J}_{t_s}$%
)%
$ =\!{\goth A}_{t, s}$%
.

$({\romannumeral2})\
t\!=\!t_s$ 
est 
$h_s$%
-critique non d\'eg\'en\'er\'e
si et seulement si
${\goth J}_{t_s}\!=\!{\goth M}_{t, s}$%
.


$({\romannumeral3})$
Si
$[d_s]\!\in\!{\goth N}_{t, s}{\goth J}_{t, s}(h)^2$%
, alors
${\goth I}_{t, s}(k)\!=\!{\goth I}_{t, s}(h)$%
.

$({\romannumeral3})'$ 
Si de plus%
\note{\eightpoint
d'apr\`es
$({\romannumeral1})$%
, cette condition alg\'ebrique \'equivaut \`a
$t_s$
est
$h_s$%
-singulier.
}
${\goth J}_{t, s}(h)\!\subset\!{\goth M}_{t, s}(h)$%
, alors
${\goth J}_{t, s}(d)\!\in\!{\goth M}_{t, s}{\goth J}_{t, s}(h)$%
, donc
${\goth J}_{t, s}(k)
\!=\!{\goth J}_{t, s}(h)$%
.
\finc
\Rmc {\bf Corollaire} {\rm(S\'eparation de variables)}|
Soit un  ouvert relativement compact 
${\cal W}\!\subset\!W$
tel que pour tout point
$w_s$
d'un voisinage de
$\overline{\cal W}$
on a 
$[d_s\!=\!k_s-h_s]\!\in\!{\goth N}_{w, s}{\goth J}_{w, s}(h)^2$%
.

Alors il y a un voisinage
${\cal O}_{{\cal W}}\!\subset\!{U}$
de
${\cal W}$
dans
${U}$
et une isotopie de plongements~:
$$\phi_{s, \tau} : {{\cal O}_{{\cal T}}}_s\rightarrow V, \tau\!\in\![0, 1],\quad 
{\phi_{s, \tau}}_{|{\cal W}_s}\!=\!Id_{{\cal W}_s},\quad
\phi_{s, 0}\!=\!Id_{{{\cal O}_{\cal T}}_s}$$
telle que pour tout 
$\tau\!\in\![0, 1]$
on a
$h_{|{\cal O}_{{\cal T}_s}}\!=\!(h+u[k-h])\circ{\phi_{s, \tau}}_{|{\cal O}_{{\cal T}_s}}$
(en particulier
$h_{|{\cal O}_{{\cal T}_s}}\!=\!k\circ\phi_{s,1}$%
)

De plus si
$w_w$
est
$l_s$%
-critique, alors pour tout
$\tau\!\in\![0, 1]$
on a
$D\phi_{s, \tau}(w_s)\!=\!Id_{|T_{w_s}U}$%
.
\finc
{\eightpoint
\Dem Un champ de vecteurs sur un voisinage
${{\cal U}^1}\!=\!{\cal U}\times I$
de
$\overline{\cal W}\times[0, 1]$%
~:
$$ Z^{1} : {{\cal U}}^1\rightarrow T{\cal U}\times{\bf R},\quad
Z^{1}(t, \tau)\!=\!(Z(t, \tau)\!=\!Z_{\tau}(t),\ 1)$$
avec
$Z(\overline{\cal W})\!=\!0$
a, sur un voisinage
${\cal O}\!\!\!\build_{\cal W}^{1}%
=\!{\cal O}_{\cal W}\times J$
de
$\overline{\cal W}\times\{0\}$%
, un flot d\'efinit en temps
$\tau\!\in\![0, 1]$%
~:
$${\Phi}_{\tau} : {\cal O}\!\!\!\build_{\cal T}^{1}%
\rightarrow{\cal U}\times I,\quad 
{\Phi}_{\tau}(t, \tau')\!=\!%
(\phi\build\!\!\!\!\!{}_{\tau}^{1}\!(t, \tau),\, \tau'+\tau), \tau\!\in\![0, 1]$$
Ainsi
$\phi_{\tau}(t)\!=\!\phi\build\!\!\!\!{}_{\tau}^{1}\!(t, 0)$
pour
$K\!=\!{\overline{\cal W}}\times[0, 1]$
et le champ d\'ependant du temps
$Z_\tau$
donn\'e par le~:
%
\Rmc {\bf Lemme}|
Soit
$K$
un compact de 
$T\times{\bf R}$%
. Il y a un voisinage
${\cal U}_K$
de
$K$
dans
${U}\times{\bf R}$
 et
$$Z_K : {\cal U}_K%
\rightarrow T{\cal U}_K%
\quad
\hbox{avec}%
\quad
Z_K(W\cap{\cal U}_K)\!=\!0$$
$$\hbox{et pour tout}%
\quad
(v, u)\!\in\!{\cal U}_K,%
\quad
 D(h+u[k-h])(Z_K)\!=\!h(v)-k(v)$$
\finc

\Dem Si
$p\!\in\!K$%
, un tel
$Z_{k_p} : {\cal U}_{k_p}\rightarrow T{\cal U}_{k_p}$
pour
$K\!=\!k_p$
voisinage compact de
$p$
est donn\'e, si
$p$
est
$h_s$%
-r\'egulier par
$({\romannumeral1})$
et
$({\romannumeral3})$%
, sinon 
$({\romannumeral3})'$
de la remarque ci-dessus.\hfill\carre


Un nombre fini d'int\'erieurs de tels
$k_p, p\!\in\!P$
recouvrent le compact
$K$%
. Si
$(\chi_p)_{p\in P}$
est une partition de l'unit\'e de
$K$
subordonn\'ee \`a ce recouvrement,
$Z\!=\!\sum_{p\in P}\chi_p Z_{k_p}$ convient.\hfill\carre\findem
%
{\sl D\'emonstration de\/}
{\bf C}%
\pointir%
$({\romannumeral2})$
En tout point critique 
$w_s\!\in\!W$%
, pr\`es de
$\overline{\cal W}$%
,
de
$g_s$%
,  la condition
$(\ast)$
et la d\'efinition d'une m\'etrique de Morse donnent~:

{\sl
Sur l'orthogonal commun
$TW_{w_s}^{\perp_{B_{s,i}}}\!=\!TW_{w_s}^{\perp_\mu}\!=\!N\!\!\!\build{}_{w}^{\mu}$
au plan tangent \`a
$W$
en
$w_s$%
,
pour
$B_{s, i}$
et la m\'etrique de Morse, la forme
${Q_{s, i}}_{N_w}\!=\!{\mu_{s, w}}_{|N_w}$
co\"{\i}ncide avec la m\'etrique de Morse,\/}
on note
$N\!\!\build_{W\quad }^{U, \mu_s}=\!N^{\mu_s}$
le sous-fibr\'e de
$TU$%
, normal \`a
$TW$
pour 
$\mu_s$%
, une m\'etrique 
$f_s$
et
$g_s$%
-de Morse et
$\nu_{\mu_s} : N^{\mu_s}
\!\supset\!{\cal P}_s\rightarrow V$
Un plongement 
$\mu_s$%
-g\'eod\'esique d\'efini sur un voisinage 
${\cal P}_s$
de
$W_s$
dans 
$N{\mu_s}$%
.

Le
$({\romannumeral2})$
de la remarque et la formule de Taylor 
$f-f(w)-Q_{s, w}\!\in\!{\goth M}_{w, s}^3$
 permettent d'appliquer le corollaire \`a
$U_s\!=\!{\cal P}_s\!\subset\!N^{\mu_s},
h_s\!=\!f_s\circ\nu_{\mu_s}, k_s\!=\!g_s+\mu_s$
donnant un voisinage
${\cal O}^{\mu_s}
\!\subset{\cal P}_s$
de la section nulle
$W$
et un plongement ouvert
$\phi_{s, 1} : {\cal O}^{\mu_s}\rightarrow{\cal P}_s$
fixant %la section nulle 
$W$
tel que
$f_s\circ\nu_{\mu_s}\circ\phi_{s, 1}\!=\!{\mu_s}_{|{\cal O}^{\mu_s}}$%
.

La restriction \`a
$N^{\mu}$
de la projection canonique 
$\pi : TV\rightarrow TV/TW\!=\!N\!\!\build{}_{W}^{V},
\tau_w\mapsto \tau_w+T_wW$
est un isomorphisme.
Il y a donc, si
${\cal O}_s\!=\!\pi({\cal O}^{\mu_s})$%
, des plongements
~: 
$$\nu_s :{\cal O}_s\rightarrow V_s,\quad
{\nu_s}_{|W_s}\!=\!Id_{W_s},\
\nu_s\circ\pi\!=\!\nu_{\mu}\circ\phi_{s, 1}$$
donnant un tube
${\cal T}\!=\!(\nu, \rho, T)$
pour lequel
$g$
est val de fond
${\cal W}$%
.\hfill\findem


