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%\centerline{\petcap Appendices}
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\pageno=6
{\eightpoint
\nsecp L'ascenseur de val {\bf A}.|

Pour
$n\!>\!1$
soit
 $A_n\!=\!\{(b, c, d)\!\in\!{\bf R}^3\ ;\ nc, nd\!<\!c+(n-1)b\},
B_n\!=\!\{(b, c, d)\in A_n\ ;\ c\!=\!d\}$%
,
$$x\!\!\build{}_{n}^{b, c}\, 
: {\bf R}\rightarrow{\bf R},\
\hbox{si}\
p_n(\tau)\!=\!(c-b+n(b-\tau))(b-\tau)\!\geq\!0,\ 
x\!\!\build{}_{n}^{b, c}(\tau)\!=\!0,\
\hbox{sinon}\ x\!\!\build{}_{n}^{b, c}(\tau)\!=\!e^{{1}\over{p_n(\tau)}}$$
et le champ de vecteurs
$X\!\!\build_{n}^{b, c}\, : {\bf R}\rightarrow{\bf R},\
X\!\!\build_{n}^{b, c}(u)\!=\!\bigl[\int_{-\infty}^{+\infty}%
x_{b, c}\bigl]^{-1}\cdot%
\int_{u}^{+\infty}x_{b, c}$%
, de flot
$\phi\!\build{}_{n, u}^{b, c}$%
.

$$(h\!\build_{n}^{a} = \phi\!\build{}_{n, d-c}^{b, c\quad})_{a=(b, c, d)\in A_n, n\in{\bf N}}$$
est une suite de familles, param\'etr\'ee par 
$A_n$%
,
de diff\'eomorphismes%
\note{\eightpoint
{\it c.ad.\/} 
l'application
$H : A\!\times\!{\bf R}\rightarrow A\!\times\!{\bf R},
H(a, u)=(a, h_{a}(u)$
est diff\'eomorphisme de
$A\!\times\!{\bf R}$.
}
de
${\bf R}$
telle que~:

{\sl
$({\romannumeral 1})$ Si $a\!=\!(b, c, c)\!\in\!B_n$
alors
$h\!\build_{n}^{a} =\!Id_{\bf R}$%
.

$({\romannumeral 2})$ Si
$\tau\geq b$
alors pour tout
$a\!\in\!A_n$
on a
$h\!\build_{n}^{a}(\tau)=\tau$%
.

$({\romannumeral 3})$ Si
$a=(b, c, d)\in A_{n}$
et
$\tau\leq c+{{b-c}\over{n(n+1)}}$
alors
$h\!\build_{n+1}^{a\quad }\!\!\!(\tau)=\tau+d-c$%
.
}



{\sl D\'emonstration de\/}
{\bf A}%
\pointir%
D'apr\`es
$({\romannumeral 1})$
il y a
$n\!>\!1$
tel que
$g\!<\!{{1}\over{n}}f_{|W}+{{n-1}\over{n}}\gamma_{\cal N}(f))$%
. 
 
Alors si
$\beta\!=\!{{1}\over{2n}}f_{|W}+{{2n-1}\over{2n}}\gamma_{\cal N}(f))$
et
${\cal U}\!=\!V\!\setminus\!T\cup\{t\!\in\!T\, ;\, f(t)\!>\!\beta(\rho(t))\}$
l'application~:
$$F : T\rightarrow{\bf R},\ F(t)\!=\!%
h\!\!\build_{2n\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad}%
^{{(\beta(\rho(t)), f(\rho(t)), g(\rho(t)))}}\circ f(t)$$
se prolonge par
$f_{|V\setminus T}$
en une application
$f^g$
v\'erifiant
$({\romannumeral 2})$
et
$({\romannumeral 3})$%
.\hfill\findem


\nsecp Bordier d'une bonne liaison {\bf B}.|

{\sl D\'emonstration de\/}
{\bf B}%
\pointir%
$B_{k}(\epsilon)\!\times\!\{(\mu, \underline{0})\}$
est boule affine suppl\'ementaire de
$\{0\}\times\!B^{l}(\epsilon)$%
.\hfill\break
Si
$0\!<\!\mu\!<\!\epsilon$%
, la transversalit\'e 
en
$(\underline{0}, \mu, \underline{0})$
de
$M$
\`a
$B^{l}(\epsilon)$
donne
$0\!<\!\delta\!<\!\epsilon$
et 
$\theta$
v\'erifiant
$({\romannumeral 3})$%
.

Soit
${\cal B}\!\!\build{}_{k}^{1}\!(\epsilon, \delta)\!=\!
\{(x, \tau)\!\in\!{\bf R}^{k}\!\times\!{\bf R}\, ;\,
||x||^2, |\tau|^2||x||^2\!<\!\delta^2, 
|\tau|^2((1+\mu^{-2}||\theta({{\tau}\over{\mu}}x)||^2\!<\!\epsilon^2\}$
alors si~:
$$\xi_{ }: {\cal B}\!\!\build{}_{k}^{1}\!(\epsilon, \eta_1)\rightarrow%
B\!\!\build{}_{k}^{l}\!(\epsilon),\ 
\xi(x, \tau)\!=\!(x, \tau, {{\tau}\over{\mu}}\theta({{\tau}\over{\mu}}x))$$
On a
$D\xi(0)\!=\!\iota\!\!\build_{k}^{l} :{\bf R}^{k+1}\!\subset\!%
{\bf R}^{k+l}$
Ainsi, par inversion locale, il y a
$0\!<\!\eta\!<\!\delta,\  0\!<\!\upsilon\!<\!\epsilon$
avec
$({\romannumeral 3}')$%
.\hfill\carre

Comme
${{\tau}\over{\mu}}\theta({{\tau}\over{\mu}}x)\!=\!O(||(x, \tau)||^3),
F\!\!\build{}_{k}^{l}\circ\phi(x, u)\!=\!-||x||^2+|\tau|^2+O((||(x, \tau)||^6)$%
, d'o\`u
$({\romannumeral 3})^{(4)}$%
.\hfill\carre\break
L'arc de gradient de
$F\!\!\build{}_{k+}^{n}$
dans
$B\!\!\build{}_{k}^{k}\!(\epsilon)$
passant par
$(x, y)\!\in\!B\!\!\build{}_{k+}^{k}\!(\epsilon)\!\setminus\!\{0\}$
\'etant param\'etr\'e par~:\hfill\break
$\bigl]-\min(\log{{\epsilon}\over{||x||}}, \log{{\epsilon}\over{||y||}}),
\max(\log{{\epsilon}\over{||x||}}, \log{{\epsilon}\over{||y||}})\bigr[\ni %
z\mapsto(e^{z}x, e^{-z}y)$%
, on a
$({\romannumeral 3})''$%
.\hfill\carre\break
%
L'hypoth\`ese,
$({\romannumeral 2}),\ \xi(x, \mu)\!=\!(x, \mu, \theta(x))$
et
$({\romannumeral 3})''$%
, quite \`a r\'eduire
$\eta, \upsilon$%
, donnent enfin
$({\romannumeral 4})^{(3)}$ %
.\carre\findem
}