\titrecourant={\hfill\eightrm Les propri\'et\'es
{\eightbf A}, {\eightbf B}, {\eightbf C}\hfill}
%
\null\vskip1mm
\parc
\centerline{\bf  Les propri\'et\'es A, B, C de val et m\'etrique de Morse.}
\vskip3mm
 {\bf A}
{\sl Soit un val
$f : V\rightarrow{\bf R}$
de fond
$W$
et tube
${\cal T}\!=\!(\nu, \rho, T)$%
, un ouvert
${\cal W}\!\subset\!W$
relativement compact de
$W$%
, et
$(h_w)_{w \in W}$
une famille de diff\'eomor\-phis\-mes%
\note{\eightpoint
{\it c. a d.\/}
$h : W\times{\bf R}\rightarrow W\times{\bf R}, h(w, \tau)\!=\!(w, h_w(\tau))$
est diff\'eomorphisme de
$W\times{\bf R}$%
.
}
 de
$R$%
, telle que~:

$(0)$
Si
$w\not\in{\cal W}$
alors
${h}_{w}\!=\!Id_{\bf R}$%
.

$(1)$
Il y a un voisinage de
$\cup_{w\in W}[\gamma_{\cal T}(w), +\infty[$
fix\'e, point par point, par
$h$%
.

$(2)$
$f(w)$
 a un voisinage
$I_w$
sur lequel
$h_w$
est une translation
$I_w\!\ni\!\tau'\mapsto{h}_{w}(\tau')\!=\!\tau'+k(w)$%
.

Alors la fonction
$f^h : V\rightarrow{\bf R},\quad {f^h}_{|V\setminus T}\!=\!{f}_{|V\setminus T},\quad
{f^h}_{|T}\!=\!{h}_{\!\!\rho}\circ{f}_{|T} : v\mapsto {h}_{\!\!\rho(v)}({f}(v))$%
\hfill\break
d\'efinit un val de m\^emes fond
$W$
et tube
${\cal T}$
que le val
$f$%
.

En particulier si
$g : W\rightarrow{\bf R}$
v\'erifie
$g\!<\!\gamma_{\cal T}(f)$
et
$g_{|W\setminus{\cal W}}\!=\!%
f_{|W\setminus{\cal W}}$%
, il y a
$f_g : V\rightarrow {\bf R}$%
, val de fond 
$W$
et tube
${\cal T}$%
, avec
$({\romannumeral 1})$
${f_g}_{|\rho^{-1}({\cal W})\cup V\setminus T}\!=\!f_{|\rho^{-1}({\cal W})\cup V\setminus T}$
et
\quad
$({\romannumeral 2})$
${f_g}_{|W}\!=\!g_{|W}$%
.}
%\vskip5mm
%

{\bf B}
{\sl Soit
$E\!=\!N\oplus P$%
, espace vectoriel
somme directe de  sous-espaces
$N, P\!\subset\!E$
munis de formes quadratiques d\'efinies positives
$q^M : M\rightarrow{\bf R}$
associ\'ees aux formes bilin\'eaires
$b^M,\ M\!=\!N, P$%
.%\hfill\break

 On note
$pr_N : E\rightarrow N, pr_P : E\rightarrow P$
les projections,
$\cdot_{\mu}$
le produit scalaire associ\'e \`a la forme quadratique
d\'efinie positive
$\mu\!=\!q^N\circ pr_N+q^P\circ pr_P$%
, pour
$p\!\in\!P, q^P(p)\!=\!1,\ R\!=\!p^{\perp_{b^P}}\!\!\!,\ q^R\!=\!{q^P}_{|R}$
et pour
$M\!=\!N, P, R$
et
$r\!>\!0,\
B^M(r)\!=\!\{m\!\in\!M\, ;\, q^M(m)\!<\!r\}$
la boule de
$q^M$%
-rayon
$r$
 dans
$M$%
.

Ainsi le
$\mu$%
-gradient de la forme quadratique
$q\!=\!-q^N\circ pr_N+q^P\circ pr_P : E\rightarrow{\bf R}$
est~:
$$X\!=\!grad_{\mu}(q) : E\rightarrow E, X\!=\!-pr_N+pr_P$$





 Soit dans la bi-boule
${\cal U}_{r, t}\!=\!B^N\!(r)\!\oplus\!B^P\!(t)$
de
$E$
en
$0$%
, une sous-vari\'et\'e
${\cal M}\!\subset\!{\cal U}_{r, t}$
 qui est~:


$({\romannumeral 1})$
tangente en tout point au champ de vecteurs
$X$%
.

$({\romannumeral 2})$
transverse \`a
$P$%
, d'intersection
${\cal M}\cap P=]0, t[p$
r\'eduite au
$q$%
-arc de gradient venant de
$tp$%
.

Alors, si
$0\!<\!s\!<\!t$%
, il y a
$0\!<\!\delta\!<\!r$
 et une application
$\theta : B^N(\delta)\rightarrow B^R(t),\ \theta(0)\!=\!0$
tels que~:

$({\romannumeral 3})$
$\{u\!\in\!{\cal U}_{\delta, t}\!\cap\!{\cal M}\,% 
;\,  pr_P(u)\cdot_{\mu}p\!=\!s\}\!=\!%
\{x+sp+\theta(x)\, ;\,x\!\in\!B^N\!(\delta)\}$
est graphe de
$sp+\theta$%
.

Et, si
$0\!<\!\eta\!<\delta$
est assez petit, l'application lisse
$\Xi_{\eta} : B^N(\eta)\times B^R(\eta)\times]-\eta, \eta[%
\rightarrow E$
$$\Xi_{\eta}(x, y, \tau)\!=\!%
x+y+\tau p+{{\tau}\over{s}}\theta({{\tau}\over{s}}x)$$

$({\romannumeral 3}1)$
param\`etre un voisinage de
$0$
dans
${\cal U}_{r, t}$%
, de restriction
$\xi\!=\!\xi_{\eta}\!=\!\Xi_{|B^N(\eta)\times\{0\}\times]-\eta, \eta[}$%
~:%est un plongement~:

$({\romannumeral 3}2)$
d'image
${\cal M}_{\eta, -}\!=\!\xi(B^N(\eta)\!\times\!\{0\}\!\times\!]-\eta, \eta[)$
tangente en tout point au champ
$X$%
.

$({\romannumeral 3}3)$
de
\og demie image\fg
param\'etrant un voisinage de
${\cal M}\cap{\cal U}_{\eta, \eta}$
dans
${\cal M}$~:
$${\cal M}\cap{\cal U}_{\eta, \eta}\!\subset\!%
\xi(B^N(\eta)\!\times\!\{0\}\!\times\!]0, \eta[)\!\subset\!{\cal M}$$

$({\romannumeral 3}4)$
$q_{|{\cal M}_{\eta,-} }$
a
$0\!=\!\xi(0)$
pour unique point critique, il est non d\'eg\'en\'er\'e d'indice
$k\!=\!dim(E)$%
}
%
%
\vskip5mm
{\bf C}
{\sl 
Soit 
$\sigma :
(X, Y)\rightarrow S$%
, paire de vari\'et\'e et  sous-vari\'et\'e sur
$S,\ h : X\rightarrow{\bf R}$
telle que
$h$
et
$g\!=\!h_{|Y}$
sont
$\sigma$%
-de Morse et
${\cal Y}\!\subset\!Y$
un ouvert relativement compact tel que
pr\`es de
$\overline{\cal Y}$
on a~:
$$(\ast)\quad
\hbox{\og les points}\
\sigma_{|Y} g%
\hbox{-critiques
sont}
\ \sigma h%
\hbox{
-critiques de m\^eme indice\fg}$$

Il y a alors~:
${\romannumeral1)}$
un voisinage
${\cal X}_1$
de
$\overline{\cal Y}$
dans
$X,\ {\cal Y}_1\!=\!Y\cap{\cal X}_1$

avec
${C(h)}\cap{\cal X}_1\!=\!{C}(h)\cap{\cal Y}_1\!=\!{\cal C}_1$%


${\romannumeral2)}$
une direction de nappe 
$D{\cal N}\!=\!(N_c\!\subset\!{\cal T}_c Y\!\subset\!{\cal T}_c X)_{c\in{\cal C}_1}$
sur
${\cal X}_1$
et 

${\romannumeral3)}$
une 
$f D{\cal N}$%
-m\'etrique
$\mu$
(sa restriction 
$\mu_{|{\cal T}Y}$
\`a
${\cal Y}_1$
est alors aussi une
$g D{\cal N}$%
-m\'etrique).
\hfill\break
Soit
$P_{\mu}\!=\!{\cal T}{\cal Y}_1^{\perp_{\mu}}$
le sous-fibr\'e
$\mu$%
-orthogonal \`a
${\cal Y}_1$
dans
${{\cal T}{\cal X}}_{|{\cal Y}_1}$
et un voisinage de la section nulle  
${\cal O}_1\!\subset\!P_{\mu}$
 diff\'eomorphe par la
$\mu$%
-exponentielle
$\nu_1 : {\cal O}_1\rightarrow{\cal X}_1$
\`a un voisinage 
$T_1\!=\!\nu_1({\cal O}_1)$
de
${\cal Y}_1$%
.


${\romannumeral4)}$
un voisinage
${\cal O}_{\mu}\!\subset\!{\cal O}_1$
de
${\cal Y}$
dans
$P_{\mu}$
et  un 
plongement 
$\psi : {\cal O}_{\mu}\rightarrow{\cal O}_{1}$
qui respecte les fibres
$(\sigma\circ p)^{-1}(s), s\!\in\!S$%
, fixe la section nulle, est  tangent \`a l'identit\'e aux points critiques,
le tube modifi\'e
$\nu\!=\!\nu_1\circ\psi$
rendant
$h\circ\nu$
 translat\'e par la restricion de
$h$
\`a
${\cal W}$
 de la m\'etrique normale~:
$$\sigma\circ p\circ\psi\!=\!\sigma\circ p_{|{\cal O}_{\mu}},\
{\psi}_{|{\cal Y}_1}\!=\!\iota\!\!\build{}_{{\cal Y}_1}^{\cal X},\
{\cal T}\psi(c)\!=\!Id_{{T_{c}}X}, c\!\in\!{\cal C}_1\
h\circ\nu_{1}\circ\psi\!=\!%
h\circ\iota\!\!\build{}_{{\cal Y}_1}^{{\cal O}_{1}}+{\mu}_{|P_{\mu}}$$
.

Ainsi, si
$(\ast)$
est satisfaite au voisinage de
$\overline{\cal Y}$
 alors
$h$
est val de fond
${\cal Y}$%
, en particulier~:

Pour chaque nappe
${\cal N}\!\!\build{}_c^{-}, {\cal N}\!\!\build{}_c^{+}$
(repectivement descendante et montante)
de
$c\!\in\!C(h)\cap{\cal X}_1$%
,\hfill\break
 les applications
$-h$
et
$h$
sont respectivement val de fond
${\cal N}\!\!\build{}_c^{-}$
et
${\cal N}\!\!\build{}_c^{+}$%
.




De plus si
$X'\!\subset\!X$
est sous-vari\'et\'e transverse \`a
$Y$
et
$f_{X'}$
val de tube
${\cal T}'$
sur
$Y'\!=\!Y\cap X'$%
, on peut choisir le tube
${\cal T}$
de ce val de fond
${\cal Y}$
relatif \`a
${\cal T}'$%
.\hfill\break
R\'eciproquement,
si
$h$
est val de fond
$Y$
la condition
$(\ast)$
est satisfaite par tout point
$g$%
-critique.
}





\finc



