\null\vskip-5mm
\secno=-1
\centerline{\petcap Appendices}%\vskip1mm
%{\eightpoint
\nsecp Sommes partielles et sommes partielles modifi\'ees.|
Les  {\it sommes modifi\'ees\/} %\note{%\eightpoint dites aussi {\it d'Eisenstein\/}.}
d'une suite\note{\eightpoint
dans un groupe ab\'elien $A$ o\`u l'on peut diviser par $2$ et
indic\'ees par une partie discr\`ete ${\bf X\/}\!\subset\!{\bf R\/}$
des r\'eels,
ici $A={\bf C\/}, {\bf X\/}\!=\!{\bf N\/}\!\setminus\!\{0\}, {\bf Z\/}$
les entiers positifs ou relatifs
et, si
 $k\!\in\!{\bf R\/}\setminus\!{\bf X\/}, u_k\!=\!0$.
} 
$u_x, x\!\in\!{\bf X\/}$ entre  $a, b\!\in\!{\bf R}$
sont d\'efinies pour   v\'erifier la relation de Chasles
$\displaystyle{\sum_a^c}^{_{\ast}}u_n\!=\!{\sum_a^b}^{_{\ast}}u_n+%
{\sum_b^c}^{_{\ast}}u_n$~: si $a\leq b$
on a~:
$$\displaystyle {\sum_a^b}^{_{\ast}}u_n\!=\!\sum_{a\leq k\leq b}^{}u_k-%
{{1}\over{2}}[u_a+u_b]\!=\!\sum_{a<k\leq b}{{1}\over{2}}(u_{k-1}+u_k)$$
\vskip-3mm
\nsecp L'expression 
$D^{\ast}_n(t)=\sin(nt)\cotg({{t}\over{2}})$
du noyau de Dirichlet modifi\'e.|
La relation
$\sin({{t}\over{2}})D^{\ast}_n(t)=\sin(nt)\cos({{t}\over{2}})$ 
suit, si
 $c_x\!=\!\cos(kt), s_x\!=\!\sin(xt)$%
, de~:\hfill\break
$\displaystyle 
s_{{1}\over{2}}\sum_{k=1}^n(c_{k-1}+c_k)
\!=\!%
s_{{1}\over{2}}\sum_{k=1}^n2c_{k-{{1}\over{2}}}c_{{1}\over{2}}\!=\!%
\bigr[\sum_{k=1}^n2s_{{1}\over{2}}c_{k-{{1}\over{2}}}\bigl]c_{{1}\over{2}}\!=\!%
\bigr[\sum_{k=1}^n(-s_{k-1}+s_{k})\bigl]c_{{1}\over{2}}$
.\hfill\findem

%Si $\displaystyle D^{\ast}_n(t)\!=\!1+\cos(nt)+2\sum_{k=1}^{n-1}\cos(kt)$,
%alors le produit
%$D^{\ast}_n(t)\sin({{t}\over{2}})$ vaut~:\hfill\break
% $\displaystyle\sin({{t}\over{2}})+\cos(nt)\sin({{t}\over{2}})+
%2\cos(t)\sin({{t}\over{2}})+\!\cdots\!+%
%2\cos((n-1)t)\sin({{t}\over{2}})=$\hfill\break
%$\displaystyle\cos(nt)\sin(\!{{t}\over{2}}\!)+\sin(\!{{t}\over{2}}\!)%
%+\sum_{k=1}^{n-1}\!%
%\sin({{2k+1}\over{2}}t)-\sin({{2k-1}\over{2}}t)\!=\!
%\cos(nt)\sin({{t}\over{2}})+\sin(\!{{2n-1}\over{2}}t\!)$\hfill\break
%$\displaystyle =
%\cos(nt)\sin({{t}\over{2}})+%
%\sin(nt)\cos({{-t}\over{2}})%
%+\cos(nt)\sin({{-t}\over{2}})\!=\!%
%\sin(nt)\cos({{t}\over{2}})$.

%Donc, si $0<t<2\pi$ on a :
%$\displaystyle D^{\ast}_n(t)=\sin(nt)\cotg({{t}\over{2}})$.\hfill\findem

\nsecp La premi\`ere int\'egration par parties.|
$E^{\ast}_n(x)=\int_{\pi}^x\sin(nt)\cotg({{t}\over{2}})dt=
-{{\cos(nx)}\over{n}}\cotg({{x}\over{2}})+
\int_{\pi}^x{{\cos(nt)}\over{n}}{{d}\over{dt}}\cotg({{t}\over{2}}) dt$
donc, si $0<x<2\pi$ on a
$|E^{\ast}_n(x)|\leq{{2}\over{n}}|\cotg({{x}\over{2}})|\leq
{{4}\over{n\min(x, 2\pi-x)}}$
et, si $0\!<\!\epsilon\!<\! \pi$,
 $E^{\ast}_n(x)$ converge vers z\'ero uniform\'ement sur l'intervalle
$[\epsilon, 2\pi-\epsilon]$.

\nsecp La majoration uniforme
$\displaystyle \big{|}E^{\ast}_n(x)\big{|}\!=\!%
\big{|}\int_{\pi}^xD^{\ast}_n(t)dt\big{|}\!\leq\!\pi$.|
 $\displaystyle D^{\ast}_n(x)\!=\!1+\cos(nx)+2\!\sum_{k=1}^{n-1}\!\cos(kx)$
donc $E^{\ast}_n(2\pi-x)\!=\!-E^{\ast}_n(x)$ et
$\displaystyle E^{\ast}_n(0)\!=\!%
-\int_0^{\pi}D^{\ast}_n\!=\!-\pi$,
 il suffit   d'\'etablir que si 
$x\!\in\![0, \pi]$
alors $-\pi\!=\!E^{\ast}_n(0)\!\leq\!E^{\ast}_n(x)\!\leq\!\pi$.
Comme $]0, \pi[\ni t\mapsto\cotg({{t}\over{2}})$ est positive d\'ecroissante,
$E^{\ast}_n$ est, sur $[0, \pi]$, major\'ee par son premier maximum relatif,
qui puisque
${E^{\ast}_n}'(x)\!=\!\sin(nx)\cotg({{x}\over{2}})$ est
$E^{\ast}_n({{\pi}\over{n}})$
 qui, d'apr\`es {\bf 2\/} ci-dessus,
admet la majoration~:
$\displaystyle |E^{\ast}_n({{\pi}\over{n}})|\leq
{{4}\over{n{{\pi}\over{n}}}}\!=\!{{4}\over{\pi}}\!\leq\!\pi$.\hfill\findem


\nsecp Fonctions cr\'eneaux en deux coups de la corne $\psi$.|
Soit $C_{\alpha, \beta}\!=\!2\pi\chi_{\alpha, \beta}$.
Si $x\in]0, 2\pi[\setminus[\alpha, \beta]$ alors
$x-\alpha, x-\beta\!\in]-k2\pi, (1-k)2\pi[$ pour un m\^eme
$k\!=\!1, 0$
 et
$\displaystyle C_{\alpha, \beta}(x)\!=\!%
\pi-(x-\alpha+2k\pi)-\alpha+\beta%
-[\pi-(x-\beta+2k\pi)]\!=\!0$.

Si $x\in]\alpha, \beta[$ alors
$\displaystyle C_{\alpha, \beta}(x)\!=\!%
\pi-(x-\alpha)-\alpha%
+\beta-[\pi-(x-\beta+2\pi)]\!=\!2\pi$.

$\displaystyle C_{\alpha, \beta}(\alpha)\!=\!%
0-\alpha%
+\beta-[\pi-(\alpha-\beta+2\pi)]\!=\!\pi$
et
$\displaystyle C_{\alpha, \beta}(\beta)\!=\!%
\pi-(\beta-\alpha)-\alpha%
+\beta-0\!=\!\pi$.

\nsecp L'int\'egrale de Dirichlet $\displaystyle S^{\ast}_n(f)(x)\!=\!%
{{1}\over{2\pi}}\int_x^{x+2\pi}\!f(t)D^{\ast}_n(t-x)dt$.|
Le $k^{\hbox{\sevenrm i\`eme}}$ coefficient de Fourier de $f$ est
$c_k(f)\!=\!{{1}\over{2\pi}}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-ikt}dt$,
donc la $n^{\hbox{\sevenrm i\`eme}}$ som\-me
 modifi\'ee
 $\displaystyle S^{\ast}_n(f)(x)\!=\!%
{{1}\over{2}}\bigl[c_{-n}(f)e^{-inx}+ c_{n}(f)e^{inx}\bigr]+%
\!\sum_{k=1-n}^{n-1}\!\!c_k(f)e^{ikx}$ %de sa s\'erie de Fourier
v\'erifie~: $\displaystyle4\pi S^{\ast}_n(f)(x)\!=\!%
\!\int_0^{2\pi}\!\!\!f(t)e^{-in(x-t)}dt+
\int_0^{2\pi}\!\!\!f(t)e^{in(x-t)}dt
+2\!\!\!\sum_{k=1-n}^{n-1}\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\!f(t)e^{ik(x-t)}dt$
qui, puisque $e^{ik(x-t)}+e^{-ik(x-t)}\!=\!2\cos(k(x-t))\!=\!2\cos(k(t-x))$,
vaut~:
$\displaystyle\int_0^{2\pi}\!\!\!f(t)\bigl[e^{-in(x-t)}+e^{in(x-t)}+%
2\!\sum_{k=1-n}^{n-1}e^{ik(x-t)}\bigr]dt\!=\!%
\int_0^{2\pi}\!\!\!f(t)2D^{\ast}_n(t-x)dt$. %\hfill\break
D'o\`u le r\'esultat en divisant par $4\pi$ et utilisant la
$2\pi$-p\'eriodicit\'e de
$t\mapsto f(t)D^{\ast}_n(t-x)$.% 
\hfill\findem

\nsecp La derni\`ere int\'egration par partie.| 
Si $f$ est
$2\pi$ p\'eriodique, d\'erivable par morceaux avec
$f'$ int\'egrable sur $[0, 2\pi]$ et $x\!\in\!{\bf R\/}$,
on note
$x\!=\alpha_0\!<\!\cdots\!<\!\alpha_{m+1}\!=\!x+2\pi$
tels que $f$ est d\'erivable sur $]\alpha_{j}, \alpha_{j+1}[$.

Ainsi  $f$ a des limites \`a gauche et \`a droite en
les $\alpha_k$ et une int\'egration par parties
de l'int\'egrale de Dirichlet
sur chaque intervalle de d\'erivabilit\'e de $f$
donne~:
$$\displaystyle 2\pi S^{\ast}_n(f)(x)\!=\!\sum_{j=0}^{m}\bigl[%
f_{-}(\alpha_{j+1})E^{\ast}_n(\alpha_{j+1}-x)-%
f_{+}(\alpha_j)E^{\ast}_n(\alpha_j-x)
-\!\int_{\alpha_{j}}^{\alpha_{j+1}}\!\!\!\!\!\!f'(t)E^{\ast}_n(t-x)dt\bigr]$$
qui, en regroupant les termes et comme par p\'eriodicit\'e 
$f_{-}(x+2\pi)=f_{-}(x)$, vaut~:
$$f_{-}(x)E^{\ast}_n(2\pi)-f_{+}(x)E^{\ast}_n(0)%
-\Bigl[\sum_{j=1}^{m}[f_{+}(\alpha_j)-f_{-}(\alpha_j)]E^{\ast}_n(\alpha_j-x)+%
\int_x^{x+2\pi}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f'(t)E^{\ast}_n(t-x)dt\Bigr]$$
d'o\`u, puisque (Cf. {\bf 3\/}) $E^{\ast}_n(2\pi)\!=\!\pi\!=\!-E^{\ast}_n(0)$, 
et par B
du r\'esum\'e (Cf. {\bf 2\/} et {\bf 3\/})~:
$$\displaystyle
\build{\rm Lim}_{n\rightarrow\infty}^{}S^{\ast}_n(f)(x)\!=\!%
{{f_{-}(x)+f_{+}(x)}\over{2}}$$
\hfill\findem