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\centerline{\eightpoint\petcap
 Commentaires bibliographiques\/}
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Les premiers textes ({\bf [D]\/}\note{\eightpoint
reproduit dans {\bf [K L-R]\/} avec une histoire
d\'etaill\'ee des s\'eries de Fourier cf. aussi
{\bf [Le]\/}\S{\bf 15\/}-{\bf 19\/}.%
}%
, chapitre IV du  tome II de {\bf [J2]\/}, 
 chapitre III de {\bf [Le]\/}, Kapitel 31 de {\bf [La]\/}\dots)
ignorent\note{\eightpoint
cependant d\`es 1903 Hurewitz {\bf [H]\/} met l'accent sur la th\'eorie
quadratique en la d\'eduisant du r\'esultat, que F\'ejer venait d'\'etablir,
de convergence uniforme vers une fonction continue des moyennes des
$n$ premi\`eres sommes partielles de sa s\'erie de Fourier, cf. aussi
{\bf [Z]\/}III \S3 p. 89.
}
la th\'eorie quadratique,  commen\c{c}ant par
 le th\'eor\`eme de Dirichlet pour les fonctions monotones par morceaux
et, apr\`es Jordan {\bf [J1]\/}, \`a variation born\'ee.

Ce r\'esultat plus g\'en\'eral
que C 
se montre cependant comme ici, une fois
not\'e que l'int\'egration (de Stieljes) par parties a % aussi 
lieu 
pour les fonctions \`a variation born\'ee
 (cf. \S{\bf 54\/}  de {\bf [R Sz-N]\/}).


La compl\'etude du syst\`eme trigonom\'etrique%
\note{\eightpoint  d'o\`u
I {\sl La s\'erie de Fourier de $f$ de carr\'e int\'egrable
converge en moyenne quadratique vers $f$.\/} et l'\'enonc\'e ponctuel
II {\sl Si les sommes partielles d'une s\'erie trigonom\'etrique $\Sigma$ sont
uniform\'ement major\'ees et convergent simplement vers une fonction $f$
alors $\Sigma$ est la s\'erie de Fourier de $f$.}
}  aujourd'hui
({\bf 2.6\/} de {\bf [H R]\/}, {\bf 4.24\/} de {\bf [Ru]\/}\dots)
suit souvent de la densit\'e %, pour la norme uniforme,
des poly\-n\^omes trigonom\'etriques dans le Banach des
fonctions continues.
 
Lebesgue ({\bf [Le]\/}\S{\bf 24\/}, {\bf [Z]\/}I\S6.)
obtenait la compl\'etude  directement\note{\eightpoint
Par contrapos\'ee, {\sl $f$  continue $2\pi$-p\'eriodique  non nulle
a un  coefficient de Fourier non nul\/}~:
Soit $\alpha\!<\!\beta\!<\!\alpha+\pi$ et $\epsilon\!>\!0$
tels que que pour $x\!\in\![\alpha, \beta], |f(x)|\!\geq\!\epsilon$,
quitte \`a prendre $-f, f(x)\!\geq\!\epsilon$.
Comme 
$\cos(x-{{\alpha+\beta}\over{2}})-\cos({{\beta-\alpha}\over{2}})\in%
]-2, 1]$,
est nulle en $\alpha, \beta$ 
et, entre  ${{\alpha+\beta}\over{2}}$
et ${{\alpha+\beta}\over{2}}\pm\pi$,
 monotone , le polyn\^ome trigonom\'etrique
$\displaystyle\psi_n\!=\!\Bigl[1+{{e^{i({{\alpha+\beta}\over{2}}-x)}%
+e^{i(x-{{\alpha+\beta}\over{2}})}}\over{2}}-%
\cos({{\beta-\alpha}\over{2}})\Bigr]^n\!=\!%
\sum_{k=-n}^{n}d_ke^{-ikx}$
tend vers $+\infty$ sur $]\alpha, \beta[$ et $0$ sur
$]\beta, \alpha+2\pi[$ donc pour $n$ assez grand~:\hfill\break
$\displaystyle\int_0^{2\pi}f\psi_n\!=\!2\pi\!\!\sum_{k=-n}^nd_kc_k(f)\!>\!0$
  et un des coefficients de Fourier, $c_k(f)$ 
de $f$ est non nul.%
}, 
sans utiliser la plus fine densit\'e uniforme, citant
une preuve simultan\'ee\note{\eightpoint
trop longue pour \^etre expos\'ee ici, mais avec des techniques Hilbertiennes 
\'etonnamment alg\'ebriques et un argument de s\'erie enti\`ere,
elle semble oubli\'ee (tant par {\bf [K L-R]\/} que {\bf [Z]\/}).%
} {\bf [K]\/}I\S{\bf 2\/} d'A. Kneser.


Tous deux  ({\bf [Le]\/}\S{\bf 1\/}, \S{\bf 28\/},
{\bf [K]\/}I\S{\bf 4\/}-{\bf 5\/})
donnent aussi
 une r\'eduction \`a la compl\'e\-tude
du th\'eor\`eme de Dirichlet pour les 
fonctions $C^2$ par morceaux\note{\eightpoint
utilisant le second th\'eor\`eme de la moyenne,
Lebesgue demande seulement \`a la d\'eriv\'ee d'\^etre \`a
variation born\'ee, en fait cette preuve passe pour $f$ r\'egl\'ee
absolument continue sur ses intervalles de continuit\'e,
  \'enonc\'e que Hardy et Rogosinski ({\bf [H R]\/} \S {\bf 3.8\/}-{\bf 3.9\/})
font suivre de la compl\'etude (note $^3$ ci-dessus) 
et d'une int\'egration par partie
(\S {\bf 3.4\/}) pour chaque coefficient de Fourier.%
}
\`a nombre fini de discontinuit\'es, le r\^ole de
$%\displaystyle
\sum\!\!{{\sin(kx)}\over{k}}$ \'etant plus explicite 
dans {\bf [Le]\/} que dans %\nobreak 
{\bf [K]\/}~:

{\sl Soit $f$ $2\pi$-p\'eriodique  \`a variation born\'ee 
(resp. d\'erivable par morceaux) alors~:

1) $f$ est somme d'une fonction continue 
\`a variation born\'ee (resp. d\'erivable par morceaux) et
du mod\`ele explicite 
$\displaystyle\sum_{0\leq \alpha<2\pi}{{f_{+}(\alpha)-f_{-}(\alpha)}\over{\pi}}%
\sum_{k=1}^{\infty}{{\sin(k(x-\alpha))}\over{k}}$.

2) Si  $f$ continue et $f'$ 
\`a variation born\'ee%
\note{\eightpoint Une remarque de de la Vall\'ee Poussin
({\bf [B]\/} \S{\bf 5},
{\bf [dVP]\/} p. 32),
\'etend 2) quand
$f'$
est seulement de carr\'e int\'egrable~: Les in\'egalit\'es de Bessel 
$\displaystyle  2\pi\sum|c_n(f')|^2\!\leq\!\int_0^{2\pi}\!\!|f'|^2$,
de Cauchy-Schwarz et
 $c_n(f)\!=\!{{1}\over{in}}c_n(f')$ donnent
 $\Sigma c_n(f)$ absolument convergente~: II de la note
$^3$ p. 2. s'applique} 
alors $f$ est limite uniforme de $S^{\ast}_n(f)$.}



 

Hardy\&Rogosinski enfin, apr\`es l'avoir d\'eduite de la compl\'etude et d'une
majo\-ration de ses sommes partielles\note{\eightpoint
$|S_n^{\ast}(x)|\!\leq\!%
{\sum_{k={{1}\over{2}}}^{{\pi}\over{2|x|}}}^{\!\!\!\ast}\!{{|\sin(kx)|}\over{k}}+%
\chi_{[0, n]}({{\pi}\over{2|x|}})%
|{\sum_{k={{\pi}\over{2|x|}}}^n}^{\!\!\!\!\!\!\ast}\ {{\sin(kx)}\over{k}}|\!\leq\!{{\pi}\over{2}}+%
{{2|x|}\over{\pi}}\cotg({{x}\over{2}})\!\leq\!{{\pi}\over{2}}+{{4}\over{\pi}}$.%
}
 obtiennent aussi ({\bf [H R]\/} fin du \S{\bf 3.7\/})
la somme de  $\displaystyle\sum{{\sin(kx)}\over{k}}$
 \`a partir, 
suivant
Euler, du d\'eveloppement\note{\eightpoint
et du th\'eor\`eme d'Abel en $z_0\!=\!e^{inx}$,
justifiant l'intuition d'Euler,
cf. aussi {\bf [Z]\/}I\S2, {\bf [Le]\/}\S{\bf 21\/}.%
}, pour $|z|\!<\!1$, de
$\log(1-z)$.

Int\'egrer par partie la d\'eriv\'ee qui se somme explicitement
pour d\'eterminer une somme (comme ici le {\it capo\/}
%le {\it capo\/} 
$\displaystyle \sum{{\sin(kx)}\over{k}}$) remonte \`a Fourier
({\bf [F]\/} Art. 178-180).

}


