%\input JOSEPH
%\global\ssecno=0\global\secno=0
%\def\page#1#2{\leaders\hbox to 2mm{\hfil.\hfil}\hfill
%\rlap{\hbox to 15mm{\hfill #1}{\ \  p.#2}}\par
%}
%
%\def\tpage #1{\leaders\hbox to 2mm{\hfil.\hfil}\hfill
%\rlap{\hbox to 11mm{\hfill #1}}\par
%}
%\def\npage {\vfill\eject \global\notenumber=1}


%\def\npage {\vfill\eject \global\notenumber=1}
\auteurcourant={\hfill   $\sum{{\sin(kx)}\over{k}}$\hfill {}}
\titrecourant={\hfill\eightrm Capo des s\'eries de Fourier\hfill}
 \null\vskip-15mm
\parc
%\centerline{\petcap Appendice A}
\null\vskip-5mm
\titre  Le capo%
\note{\eightpoint
chef en italien,  dans le
Gr\'esivaudan  la vache dominante conduisant le
troupeau \`a l'alpage.\hfill
} du troupeau des s\'eries de Fourier.|
\finc
\vskip-3mm
\auteur{
$\sum{{\sin(kx)}\over{k}}$}|
\vskip 2mm
%
{\eightpoint
\centerline{ Valence-Lyon-Grenoble 
printemps automne hiver {\oldstyle 2011}, {\oldstyle 2012}}

 %
%
%\null\vskip2mm
\centerline{Collection %\note{\eightpoint%
%r\'edig\'ee par Alexis Marin (Grenoble) alexis.charles.marin@gmail.com
%} 
de \og cours {\`a} distance\fg
d'accoutumance {\`a}
de robustes\note{\eightpoint
mais que sous le r{\`e}gne de El'hemd{\'e}e, certains 
traitent de poussi{\`e}reuses.
 }
r{\'e}f{\'e}rences.
}
}
\vskip2mm
\parc
\centerline{\bf R\'esum\'e}
$\displaystyle
x-\pi+{{\sin(nx)}\over{n}}+2\sum_{k=1}^{n-1}{{\sin(kx)}\over{k}}=
\int_{\pi}^x[1+\cos(nt)+2\sum_{k=1}^{n-1}\cos(kt)]dt=
\int_{\pi}^x\sin(nt)\cotg({{t}\over{2}}) dt$

Par int\'egration par parties,
$\displaystyle
S_n^{\ast}(x)\!=\!{{\sin(nx)}\over{2n}}+\!\sum_{k=1}^{n-1}\!\!{{\sin(kx)}\over{k}}$,
 les sommes partielles modifi\'ees%
\note{\eightpoint
qui donnent lieu \`a des noyaux de Dirichlet
d'\'ecriture et majoration plus simple que sommes et noyaux de Dirichlet usuels.
Avec, dans leurs preuves, 
 calligraphie et majorations plus lourdes,
les \'enonc\'es A, B et C ci-dessous ont aussi lieu pour  sommes
et noyaux de Dirichlet usuels.},
sont dans 
$]\!-{{\pi}\over{2}}, {{\pi}\over{2}}[$ et,
pour tout $\epsilon\!\in\!]0, \pi[$,
elles convergent, quand $n$ tend vers l'infini, unifor\-m\'e\-ment 
 sur $]\epsilon, 2\pi-\epsilon[$ vers
${{\pi-x}\over{2}}$.
Donc la {\it corne\/}
$2\pi$-p\'eriodique
$\psi : {\bf R\/}\rightarrow{\bf R\/}, \psi(0)\!=\!0, 0\!<\!x<\!2\pi, \psi(x)\!=\!{{\pi-x}\over{2}}$
est limite en moyenne quadratique de sa s\'erie de Fourier et~:%\hfill\break

$A$  Si $0<\alpha<\beta<2\pi$ alors
$\chi_{\alpha, \beta} : [0, 2\pi[\rightarrow{\bf R},
\chi_{\alpha, \beta}(x)\!=\!{{1}\over{\pi}}\bigl[\psi(x-\alpha)-{{\alpha}\over{2}}
+{{\beta}\over{2}}-\psi(x-\beta)\bigr]$
est la fonction caract\'eristique\note{\eightpoint
modifi\'ee aux extr\'emit\'ees par  $\chi(\alpha)={{1}\over{2}}=\chi(\beta)$.}
$\chi_{[\alpha, \beta]}$ de l'intervalle $[\alpha, \beta]$.
Ainsi toute fonction en escalier est limite  en moyenne quadratique 
de sa s\'erie de Fourier  et,
par densit\'e des fonctions en escalier dans
les fonctions de carr\'e int\'egrable, le m\^eme r\'esultat 
a lieu pour toute 
fonction de carr\'e int\'egrable.%\hfill\break

$B$ {\sl La primitive %sym\'etrique
$E^{\ast}_n(x)\!=\!\int_{\pi}^x\!\!D^{\ast}_n$
de
 $\displaystyle D^{\ast}_n(y)\!=\!1\!+\!\cos(ny)\!+\!%
2\!\!\sum_{k=1}^{n-1}\!\!\cos(ky)$,
le {\it  $n$-noyau de Dirichlet modifi\'e\/},
est
 \`a valeurs dans 
$[-\pi, \pi]$
 et, sur tout 
$[\epsilon, 2\pi-\epsilon], 0\!<\!\epsilon\!<\!\pi$,
tend uniform\'ement vers $0$.
}

$C$ Les sommes de Fourier partielles modifi\'ees  d'une fonction 
$2\pi$ p\'eriodique int\'egrable sont :
$$\displaystyle
 S^{\ast}_n(f)(x)\!=\!{{1}\over{2}}%
(c_{-n}(f)e^{-inx}\!\!+\!c_{n}(f)e^{inx})
\!+\!\!\!%
\sum_{k=1-n}^{n-1}\!\!\!c_k(f)e^{ikx}\!=\!%
{{1}\over{2\pi}}\int_x^{x+2\pi}\!\!\!\!\!f(t)D^{\ast}_n(t-x)dt$$
D'o\`u, par int\'egration par parties sur chaque intervalle de d\'erivabilit\'e,
le th\'eor\`eme  de Dirichlet :%\hfill\break

{\sl  Si $f$ est $2\pi$-p\'eriodique et, pour
$x\!=\!\alpha_0\!<\!\cdots\!<\!\alpha_{m+1}\!=\!x+2\pi$,
  d\'erivable sur chaque intervalle ouvert
$]\alpha_i, \alpha_{i+1}[, i\!=\!0,\ldots,m$
avec $f'$ int\'egrable alors pour tout 
$x\!\in\!{\bf R}$
on a~:
$S^{\ast}_n(f)(x)\!=\!$
$${{1}\over{2\pi}}\Bigl[f_{-}(x)E^{\ast}_n(2\pi)-f_{+}(x)E^{\ast}_n(0)%
-\bigl[\sum_{j=1}^{m}[f_{+}(\alpha_j)-%
f_{-}(\alpha_j)]E^{\ast}_n(\alpha_j)+%
\int_x^{x+2\pi}\!\!\!\!\!\!f'(t)E^{\ast}_m(t-x)dt\bigr]\Bigr]$$
tend,  quand
$n\!\rightarrow\!\infty$, vers la moyenne
  $\displaystyle {{f_{-}(x)+\!f_{+}(x)}\over{2}}$
des limites \`a gauche et \`a droite de $f$ en $x$.
}
\finc
\vskip1mm
\parc
\centerline{\bf Abstract}
A glimpse at 
$\sum{{\sin(kx)}\over{k}}$ gives  the above few
  lines exposition of Fourier series's 
quadratic mean convergence
for square integrable functions and Dirichlet's conver\-gence
theorem of the Fourier serie of a piecewise differentiable function
with integrable derivative.
\finc




%\end