\input JOSEPH
%\global\sssecno=1\ssecno=3\global\secno=1
\def\npage {\vfill\eject \global\notenumber=1}
%\pageno=13

\Rmc Exemples 2 : morphismes|
$\ldots\ldots\ldots$

$({\romannumeral5})$
Soit un ouvert de la droite projective
${\cal X}\!\subset{\bf P}_1$
 muni d'une action discr{\`e}te libre d'un groupe d'homographies
$G$
alors une application de son quotient
$f : G\backslash{\cal X}\rightarrow Y$
vers une surface de Riemann
$Y$
est holomorphe si et seulement si la compos{\'e}e
$f\circ\rho :{\cal X}\rightarrow Y$
est holomorphe.
%{\eightpoint

$a1)$
L'application 
$E : {\bf C}\rightarrow{\bf C}\!\setminus\!\{0\}, E(z)\!=\!\exp(2\pi iz)$
 induit sur la surface de Riemann quotient une application holomorphe 
$e : {\bf Z}\backslash{\bf C}\rightarrow{\bf C}\!\setminus\!\{0\}$
qui est bijective%
\note{\eightpoint
Aussi un isomorphisme  du groupe additif quotient
${\bf Z}\backslash{\bf C}^{+}$
sur le groupe multiplicatif 
${\bf C}^{\times}$%
.
}.


$a2)$
Soit
$\Lambda\!=\!<\omega, \omega'>$
r{\'e}seau muni d'une base
$(\omega, \omega')$%
, et
$\lambda\!=\!\lambda_\Lambda\!=\!e({{\omega'}\over{2\omega}})\!\in\!{\bf C}^{\times}$%
.
L'application
$z\mapsto e({{z}\over{\omega}})$
induit une application holomorphe bijective~:
$$e_\Lambda : \Lambda\backslash{\bf C}^{+}\rightarrow%
\Lambda_{\lambda_\Lambda, m}\backslash{\bf C}^{\times}$$
 


$a3)$
Comme%
\note{\eightpoint
par le changement de variable
$y\!=\!{{1}\over{s}}$%
.}%
$\int_{0}^1{{dy}\over{\sqrt{y-y^3}}}\!=\!\int_{1}^{+\infty}{{ds}\over{\sqrt{s^3-s}}}\!=\!K$%
, 
$\displaystyle
G : {\goth H}\rightarrow{\bf C}, G(v)\!=\!\int_{\infty}^{v}{{dz}\over{\sqrt{z^3+z}}}$
est isomorphisme holomorphe sur 
{\it carr{\'e} sud\/}
$Q_S$%
, s'{\'e}tendant {\`a} la fermeture de
${\goth H}$%
, envoyant
$\infty, 0, -i, i$
sur respectivement les sommets  haut
$0$%
,   bas 
$-K\sqrt{2}i$%
, gauche
$-K{{1+i}\over{\sqrt{2}}}$
et droite
$K{{1-i}\over{\sqrt{2}}}$
de
$Q_S$%
. L'isomorphisme inverse
$v_S\!=\!G^{-1}$
se rel{\`e}ve, si
$F\!=\!u^2-v^3-v\!\in\!{\bf C}[u, v]$%
, en une param{\'e}trisation par ce carr{\'e} sud~:
$$f_S\!=\!(u_S, v_S) : Q_S\rightarrow\widehat{\overline{Z}(F)}\!=\!\widehat{{\cal C}}%
\!\subset\!{\bf P}_1\times{\bf P}_1$$
 d'une%
\note{\eightpoint
par exemple celle o{\`u},
au dessus de la diagonale
$Q_S\cap i{\bf R}, \Im(u_0)\!>\!0$%
.
}
 des deux composantes de
$\pi^{-1}({\goth H})$
la pr{\'e}image du demiplan {\`a} gauche par la projection verticale
dans la normalis{\'e}e%
\note{\eightpoint
Contrairement {\`a}
$\overline{Z}(f)\!\subset\!{\bf P}_1\times{\bf P}_1$%
, la cubique plane
$\overline{Z}(U^2W^3-VW^2-V^3)\!\subset\!{\bf P}_2$
est lisse.
}
, 
$\widehat{{\cal C}}$
de la cubique 
de l'exemple 2 de {\bf 1.2.2\/}.
 

Par sym{\'e}trie%
\note{\eightpoint
d'axes
$[0, K{{1-i}\over{\sqrt{2}}}], ]-i\infty, -i]$% 
, {\`a} la source et au but respectivement.
}%
, on {\'e}tend 
$v_S$
en l'injection holomorphe
${v}_S\cup{v}_E, v_E(z)\!=\!-\overline{v_S(i\overline{z})}$
du rectangle 
$R_{ES}\!=\!Q_S\cup Q_E$
union  du carr{\'e} sud et est
$Q_E\!=\!-iQ_S$
se relevant%
\note{\eightpoint
gr{\^a}ce {\`a}
$u_Z(z)\!=\!i\overline{u_S(i\overline{z})}$%
.
}
en une param{\'e}trisation 
$f_S\cup f_E\!=\!(u_S\cup u_E, v_S\cup v_E) %
: R_{ES}\rightarrow\widehat{{\cal C}}$
 d'une des deux composantes de
$\pi_{\hat{\cal C}}^{-1}({\bf C}\!\setminus\![-i, +i\infty[)$%
.\hfill\break
Elle est injective et, par
{\it sym{\'e}trie de Schwarz\/},
 holomorphe. 

Reprenant la construction le long du c{\^o}t{\'e}
$[-K{{1-i}\over{\sqrt{2}}}, K{{1-i}\over{\sqrt{2}}}]$
de
$R_{ES}$%
, on prolonge cette para\-m{\'e}\-trisation {\`a}
$R_{NO}\!=\!-R_{ES}$%
, rectangle nord-ouest,
donnant sur le carr{\'e} union
$Q\!=\!R_{ES}\cup R_{NO} $
une surjection holomorphe, injective sur l'union de l'int{\'e}rieur
et de deux c{\^o}t{\'e}s adjacents puis, l'{\^a}ne trottant en spirale
dans le r{\'e}seau 
$\Lambda_K\!=\!2K<{{1-i}\over{\sqrt{2}}}, {{1-i}\over{\sqrt{2}}}>$%,
, un morphisme
$\tilde{f} : {\bf C}\rightarrow\widehat{{\cal C}}$
invariant par 
$\Lambda_K$%
, d'o{\`u} une bijection holomorphe
$f : \Lambda_K\backslash{\bf C}\rightarrow\widehat{{\cal C}}$
de la surface de Riemann quotient du groupe additif complexe
${\bf C}^{+}$
par ce
{\it  r{\'e}seau en diamants\/}
$\Lambda_K$
sur la cubique
$\widehat{{\cal C}}$%
.

\npage

$b)$
Soit
$\lambda, \mu\!\in\!{\bf C}^{\times}, |\lambda|\!>\!1$
et, pour
$n\!\in\!{\bf Z}, T_n(Z)\!=\!%
{{(Z-\mu\lambda^{2n})(Z-\mu^{-1}\lambda^{2n})}\over{(Z-\lambda^{2n})^2}}%
\!\in\!{\bf C}(Z)$
. 

Pour tout
$m\!\in\!{\bf N}$
et
$z\!\in\!{\bf C}^\times$%
, on a 
$$T_{-m}(z)\!=\!\bigl(1+(1-\mu){{\lambda^{-2m}}\over{z-\lambda^{-2m}}}\bigr)%
\bigl(1+(1-\mu^{-1}){{\lambda^{-2m}}\over{z-\lambda^{-2m}}}\bigr)$$
$$T_m(z)\!=\!%
\mu\bigl(1+{{z(1-\mu^{-1})}\over{\lambda^{2m}-z}}\bigr)%
\mu^{-1}\bigl(1+{{z(1-\mu)}\over{\lambda^{2m}-z}}\bigr)\!=\!%
\bigl(1+{{(1-\mu^{-1})z}\over{\lambda^{2m}-z}}\bigr)%
\bigl(1+{{(1-\mu)z}\over{\lambda^{2m}-z}}\bigr)$$
et  
$z$
a un voisinage sur lequel, pour
$M$
assez grand,
$%\displaystyle
\sum_{m\geq M}{{\lambda^{-2m}}\over{z-\lambda^{-2m}}},
\sum_{m\geq M }{{1}\over{\lambda^{2m}-z}}$
sont  des s{\'e}ries  uniform{\'e}ment absolument convergentes, ainsi le produit infini~:
$$Q_{\lambda; \mu, \mu^{-1}}\!=\!%
\prod_{n\in{\bf Z}}{{(z-\mu\lambda^{2n})(z-\mu^{-1}\lambda^{2n})}\over%
{(z-\lambda^{2n})^2}}$$
converge vers une application holomorphe
$\tilde{q}_{\lambda; \mu, \mu^{-1}} : {\bf C}^{\times}\rightarrow{\bf P}_1$
invariante par le r{\'e}seau multiplicatif
$\Lambda_{\lambda m}\!=\!\{\lambda^{2n} \,|\, n\!\in\!{\bf Z}\}\!\subset\!{\bf C}^{\times}$%
, induisant donc sur la surface de Riemann quotient la fonction~:
\vskip-2mm
$${q}_{\lambda; \mu, \mu^{-1}}\!=\!%
{q}_{\mu, \mu^{-1}} : E_\lambda\build{=}_{}^{\sevenrm Def}%
\Lambda_{\lambda m}\backslash{\bf C}^{\times}\rightarrow{\bf P}_1$$
De m{\^e}me si
$\underline{\mu}\!=\!(\mu_i), \underline{\nu}\!=\!(\nu_i)\!\in\!\bigl({\bf C}^{\times}\bigr)^N$
v{\'e}rifient
$\displaystyle\prod_{i=1}^N\mu_i\!=\!\prod_{j=1}^N\nu_j$%
, le produit infini~:
$$P_{\lambda; \underline{\mu}, \underline{\nu}}\!=\!%
\prod_{n\in{\bf Z}}{{\prod_{i=1}^N(z-\mu_i\lambda^{2n})}\over%
{\prod_{j=1}^N(z-\nu_j\lambda^{2n})}}$$
induit sur la surface de Riemann quotient de
${\bf C}^{\times}$
par le r{\'e}seau multiplicatif
$\Lambda_{\lambda m}$%
~:
$$p_{\lambda; \underline{\mu}, \underline{\nu}}\!=\!p_{\underline{\mu}, \underline{\nu}} :%
E_\lambda\rightarrow{\bf P}_1$$

%}
\finc
%
%
%
\Rmc Remarque|
 Le produit de
${\bf C}^\times$
induit sur 
$E_\lambda$ 
une structure de groupe ab{\'e}lien pour lequel les translations
sont holomorphes. Les fonctions
$p_{\lambda; \underline{\mu}, \underline{\nu}}$
permettent donc si
$\overline{\mu}_1,\ldots, \overline{\mu}_N, 
\overline{\nu}_1,\ldots,\overline{\nu}_N\!\in\!E_\lambda$
v{\'e}rifient
$\displaystyle\prod_{i=1}^N\overline{\mu}_i\!=\!%
\prod_{j=1}^N\overline{\nu}_j\!\in\!E_\lambda$
de produire une fonction dont les z{\'e}ros et les p{\^o}les%
\note{\eightpoint
{\'e}crits en les b{\'e}gayant selon leurs multiplicit{\'e}s.
}
sont
$\overline{\mu}_1,\ldots, \overline{\mu}_N$
et
$\overline{\nu}_1,\ldots,\overline{\nu}_N$%
.
\finc
\npage
%
\Rmp Exemples 3 : D{\'e}termination de
$M(E_\lambda)$
et {\'e}quation diff{\'e}rentielle de Weierstrass.|
Piratant la preuve de l'{\bf Affirmation 2\/} de {\bf 1.3.2\/}
on obtient le~:
\vskip-2mm
{\Thc Lemme|
Soit
${\cal Y}\!\subset\!{\bf P}_1$
un  ouvert muni d'une action discr{\`e}te libre de
$H$%
,
$X\!\in\!\{{\bf P}_1, {\bf C}\}$
et un morphisme
$f : X\rightarrow H\backslash{\cal Y}$%
.

Alors il y a un morphisme
$\tilde{f} : X\rightarrow {\cal Y}$
tel que
$f\!=\!\rho\circ\tilde{f}$%
.\findem
\finc
}
%
{\Thc Corollaire|
Tout morphisme
$f : {\bf P}_1\rightarrow E_\lambda$
est constant%
\note{\eightpoint
d'apr{\`e}s l'exemple 2  a2, a3) et {\bf Hi\/},
on retrouve que  l'exemple 2 de {\bf 1.2.2\/}
n'est pas rationnelle.
}%
.\hfill\findem
\finc
}
%
{\Thc co-Corollaire|
Le 
{\it produit des pr{\'e}images}%
~:
$$f^\ast : {\bf P}_1\rightarrow E_\lambda,
f^\ast(y)\!=\!\prod_{x\in f^{-1}(y)}x^{e_x}$$
d'une fonction non constante
$f\!\in\!M(E_\lambda)\setminus{\bf C}$
sur
$E_\lambda$
est
$f^\ast\!\in\!{\bf C}$%
, une constante.\hfill\findem
\finc
}
%
Ainsi la condition 
$\prod_{i=1}^N \mu_i\!=\!\prod_{j=1}^N\nu_j$
d'{\'e}galit{\'e}
 du produit des z{\'e}ros et de celui des p{\^o}les est satisfaite par tout
$f\!\in\!M(E_\lambda)$%
.

D'apr{\`e}s la fin de {\bf Ao\/}, les 
$p_{ \underline{\mu}, \underline{\nu}}$
construites {\`a} la fin du b) de l'exemple 2 sont,
 {\`a} constante mulitplicative pr{\`e}s, toutes les fonctions sur
$E_\lambda$%
.

De plus,
si
$q\!\in\!M(E_\lambda)\!\setminus\!{\bf C}, 
{\mathop{\rm deg}\nolimits}f\!>\!1$
et, si
${\mathop{\rm deg}\nolimits}q_i\!=\!2, q_i^{-1}(\infty\}\!=\!\{1\}, i\!=\!1, 2$%
, il y a
$a, b\!\in\!{\bf C}$
tels que
$q_1\!=\!aq_2+b$%
, donc
$q'_1\!=\!aq'_2$%
. 
L'{\'e}galit{\'e} des limites en
$1$
des produits par
$(z-1)^6$
de chacun des membres  de
$$\tilde{p}_{(\lambda, -1, -\Lambda), (1, 1, 1)}^2\!=\!%
\tilde{q}_{\lambda, \lambda}\tilde{q}_{-1, -1}\tilde{q}_{-\lambda, -\lambda}$$
{\'e}tablit pour une telle fonction sur
$E_\lambda$%
, de degr{\'e} deux et p{\^o}le double en 
$1\!\in\!E_\lambda$
l'%
{\it {\'e}quation diff{\'e}rentielle de Weierstrass\/}~:
$$q'\!=\!4(q-q(\lambda))\cdot(q-q(-1))\cdot(q-q(-\lambda))$$

\finp

%
{\eightpoint
\vskip10mm
 \centerline{\eightpoint\petcap
 Commentaires bibliographiques\/}
 %\vskip3mm



Pour l'action  du groupe de congruence%
\note{\eightpoint
il est d'indice $6$ dans 
${\mathop{\rm PSL}\nolimits}_2({\bf Z})$%
, donc les union des images du domaine fondamental par 
$S, ST, STS, T^{-1}S\!=\!STST, T^{-1}S\!=\!STSTS$
et
$T, TS, ST^{-1}S\!=\!TST, ST^{-1}\!=\!TSTS, S\!=\!TSTST$
repr{\'e}sent{\'e}es sur la figure p.128 se projettent en deux ouverts de carte recouvrant le quotient.
}
(Ex. 1 ${(\romannumeral5})$ c))~:
 {\bf [Se]\/}{\uppercase\expandafter{\romannumeral7}\/}\S1.2 et
{\bf [Ru]\/}{\bf 16.18\/}-{\bf 19\/}, %\hfill\break
 puis {\bf 20\/} pour, dans ce cas du groupe de congruence,
 l'analogues   de 
Ex. 2 ${(\romannumeral5})$ a3)).\hfill\break
Pour l'application $G$ de Ex. 2 ${(\romannumeral5})$ a3)~:
{\bf [Cn]\/} {\uppercase\expandafter{\romannumeral6}\/} exercice 8,
 {\bf [Ah]\/}{\bf 6.2.3\/},
puis%
\note{\eightpoint
pour les triangles euclidiens.
}
{\bf 6.2.4\/}
et%
\note{\eightpoint
pour les triangles {\`a} c{\^o}t{\'e}s arcs de cercles  et des fonctions invariantes par d'autres groupes.
}
{\bf [Cy] 7\/}.\hfill\break
La fonction
$\Gamma$  
permet de calculer l'int{\'e}grale $K$ de Ex. 2 ${(\romannumeral5})$ a3))~: {\bf [Ar]\/}
$(5.10)$%
, {\bf [Ko-Kr]\/}{\bf \uppercase\expandafter{\romannumeral1}\/} 4.5.

Une approche analogue {\`a} celle des Exemple 2  $({\romannumeral 5})$ b) et 3 
est esquiss{\'e}e dans {\bf [Ko-Kr]\/}{\bf \uppercase\expandafter{\romannumeral1}\/} 6.9.\hfill\break
Pour son {\'e}quivalent%
\note{\eightpoint
par Ex. 2  ${(\romannumeral5})$ a2), les formules de
Ex. 2  ${(\romannumeral5})$ b) s'y retrouve plus  tard avec la {\it fonction $\sigma$\/}.
}
additif voir~:
 {\bf [Cn]\/}{\uppercase\expandafter{\romannumeral5}\/}{\bf 2.5\/},
{\bf [Ah]\/} {\bf 7\/},  {\bf [Sl]\/} {\bf \uppercase\expandafter{\romannumeral1}\/},
{\bf [Ha]\/} {\bf \uppercase\expandafter{\romannumeral4}\/}{\bf 4\/},
{\bf [Ko-Kr]\/} {\bf \uppercase\expandafter{\romannumeral1}\/},
{\bf [Jo]\/}\uppercase\expandafter{\romannumeral1}\uppercase\expandafter{\romannumeral7}.  
}
\npage
\centerline{Rappel de sorites sur les surfaces de Riemann}
\vskip10mm

Bien%
\note{\eightpoint
en particulier tous les {\'e}nonc{\'e}s locaux.
}
des propri{\'e}s des fonctions holomorphes sur
${\bf P}_1$
se traduisent%
\note{\eightpoint
Sans autre pr{\'e}cision
$f : X\rightarrow Y$
est un morphisme de surface de Riemann.
}%
 alors~:
%
\Thc Forme normale et prolongement analytique|
{\bf Fn\/} Soit
$x\!\in\!X$
et 
$v$
une uniformisante en
$f(x)$%
. 
Alors il y a uniformisante 
$u$
en
$x$
et
$r_x\!\in\!{\bf N}\cup\{\infty\}$
tels que~:
$$\hbox{\rm pour \note{\eightpoint
avec l'abus (acceptable, puisque
$|u|\!<\!1$%:
) conventionnel
$u^{\infty}\!=\!0$%
.
}}
e_x\!=\!r_x+1,\
\hbox{\rm on a \/}\
v\!=\!u^{e_x}$$
\vskip-10mm
\hfill\findem\hfill\break
{\bf Pa\/} Si de plus
$X$
est connexe et
$g\ne f : X\rightarrow Y$
est un  morphisme distinct, de m{\^e}me source et but que
$f$%
 , alors
$\{ x\!\in\!X\,|\, f(x)\!=\!g(x)\}$
est discret.
\finc
%
\vskip-2mm
{\eightpoint
\Defns Les entiers
$e_x, r_x$
sont respectivement l'%
{\it indice\/}
et l'%
{\it exc{\`e}s de ramification en
$x$\/}%
.\hfill\break
%
Le morphisme
$f$
est~:
{\it non ramifi{\'e} en
$x$%
\/}
si
$r_x\!=\!0$%
,
{\it non ramifi{\'e}\/}
si il est non ramifi{\'e} en tout point,\hfill\break
{\it isomorphisme\/}
si il y a un morphisme
$g : Y\rightarrow X$
tel que
$g\circ f\!=\!{\mathop{\rm Id}\nolimits}_X, f\circ g\!=\!{\mathop{\rm Id}\nolimits}_Y$%
.\hfill\break
 Une
{\it fonction sur\/}
$X$
est un morphisme
$f : X\rightarrow{\bf P}_1$
de but la droite projective, dont 
{\it l'ensemble des p{\^o}les\/}
$f^{-1}(\{\infty\})$
est discret. On note
$M(X)$
l'ensemble des fonctions sur
$X$%
.
}
%
\Thc  Corollaire {\bf Hi (holomorphie de l'inverse)}|
Si 
$f : X\rightarrow Y$
est bijective alors son inverse
$g\!=\!f^{-1} : Y\rightarrow X$
est holomorphe.\hfill\findem
\finc
%
\vskip-2mm
%
\Thc {\bf Si\/} Singularit{\'e}s innexistantes|
Soit
$\widehat{X}\!\supset\!X$
avec
$X$
 surface de Riemann,
$\widehat{X}\!\setminus\!X$
discret et
$f$
a une extension 
$\widehat{f} : \widehat{X}\rightarrow Y$
continue alors
$f$
est holomorphe.\hfill\carre
\hfill\break
De plus un tel
$\widehat{f}$
existe si
$Y$ 
est compacte et 
$\widehat{X}\!\setminus\!X\!\subset{\cal U}\!\subset\!\widehat{X}, 
\widehat{f}({\cal U})\!\subset\!{\cal V}\!\subset\!Y$%
,  ouverts de carte sans composante
${\cal U}_i$
de
${\cal U}$
d'image dense dans une composante de
${\cal V}$%
.\hfill\findem
\finc
%
\vskip-2mm
%
\Thc {\bf Ao\/} Application ouverte|
On a la partition ouverte
$X\!=\!X_c\amalg X_o$
en~:\hfill\break
$X_c\!=\!\{x\!\in\!X \,|\, f\ \hbox{\sevenrm constante pr{\`e}s de \/}\ x\}$
et
$X_o\!=\!\{x\in\!X \,|, f\ \hbox{\sevenrm ouverte pr{\`e}s de \/}\ x\}$
.\hfill\carre\hfill\break
%
{\eightpoint
De plus
si
$f$
est propre, le
{\it degr{\'e}\/}
$y\mapsto{\mathop{\rm deg}\nolimits}_f(y)\!=\!\sum_{x\in f^{-1}(y)}e_x$
est% 
\note{\eightpoint
par {\bf Fn\/} et {\bf C} des rappels de {\bf 1.3.1\/}
} 
 localement constant.\findem
}
\finc
%
\vskip-2mm
%
\Thc {\bf Fh\/} Factorisation|
Soit
$W, X, Y$
des surfaces de Riemann,
$k : X\rightarrow Y, h : W\rightarrow X$
et
$g\!=\!k\circ h$%
. Alors si
$h$
est surjective ces applications sont holomorphes, d{\`e}s que deux d'entre elles le sont.
\finc
{\eightpoint
\Dem Cela suit de la coScolie, de {\bf Fn\/}
et {\bf Hi\/} ou {\bf D\/} des rappels de {\bf 1.3.1\/},
 suivant que l'application non suppos{\'e}e holomorphe est
$g, h$
ou
$k$
respectivement.\hfill\findem
}




\end 

%
%\hbox{\carre\nobreak\qed}
%
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}
%
%{\mathop{\rm Log}\nolimits}
%
%\build{=}_{}^{\sevenrm Def}
%
%\build{{\mathop{\rm Lim}\nolimits}}_{z\rightarrow u}^{}
%
%\rmc {\bf Exercice 1 }|

%\finc


%\nsecp Espaces m{\'e}triques sur un corps, orthogonalit{\'e} et  isomorphisme|
%
%\nssecp Produits scalaires et espaces m{\'e}triques|
