%\input JOSEPH
%\global\sssecno=0\ssecno=2\global\secno=1
%\pageno=7
\notenumber=1

\auteurcourant={\hfill\uppercase\expandafter{\romannumeral\the\secno}\quad\eightrm Des fractions rationnelles aux surfaces de Riemann. \hfill}
\titrecourant={\S\the\ssecno\hfill\eightrm Branches analytique, d{\'e}finition et sorites des surfaces de Riemann. \hfill}
\nssecp Branches analytiques, d{\'e}finition et sorites des surfaces de Riemann.|
\vskip-2mm
\nsssecp Branches analytiques d'une courbe.|
%
{\eightpoint
\Rmp Rappels : fonctions d{\'e}finies en int{\'e}grant un param{\`e}tre
et  principe de l'argument.|
Soit
${\cal U}, {\cal V}\!\subset\!{\bf C}$
deux ouverts du plan complexe
$\Gamma\!\subset\!{\cal U}$
un disque ferm{\'e} inclus dans le premier.\hfill\break
%
{\bf A} {\sl Soit
$\phi :\partial\Gamma\times{\cal V}\rightarrow{\bf C}$
de sections {\`a} gauche et {\`a} droite
$_u\phi : \{u\}\times{\cal V}\rightarrow{\bf C},
\phi_v : \partial\Gamma\times\{v\}\rightarrow{\bf C}$% 
, avec 
$\phi$
continue et les
$_u\phi, u\!\in\!\partial\Gamma$
holomorphes alors
$\Phi : {\cal V}\rightarrow{\bf C}, \Phi(v)\!=\!\int_{\partial\Gamma}\,\phi_v$
est holomorphe.
}\hfill\break
%
{\bf B\/} Soit
$g :{\cal U}\rightarrow{\bf C}$
 holomorphe.
 La
{\it multiplicit{\'e} en\/}
$u\!\in\!{\cal U}$
de
$f$
est
$\nu(g ; u)\!=\!v_u(g-g(u))$%
~:
$$\nu(g ; u)\!=\!\infty\
\hbox{\sevenrm si \/}
f\
\hbox{\sevenrm est constante pr{\`e}s de \/}
u,
\hbox{\sevenrm sinon \/}\
\nu(g ; u)\!=\!1+v_u(g')\!=\!1+\min(\{n\!\in\!{\bf N} \,|\, g^{(n+1)}(u)\!\ne\!0\}$$
%
{\bf C} {\sl Si
$0\!\not\in\!g(\partial\Gamma)$%
, alors pour tout
$h : {\cal U}\rightarrow{\bf C}$
holomorphe on a~:
$$
{{1}\over{2\pi i}}\int_{\partial\Gamma}{{g'}\over{g}}\,h\, =\sum_{u\in g^{-1}(0)\cap D}\nu(g ; u)h(u)
$$
}
%
{\bf D} {\sl Si il y a
$k : h({\cal U})\rightarrow{\bf C}$
tel que
$g\!=\!k\circ h$
(pour tout
$u\!\in\!{\cal U}$
la valeur
de
$g$
en
$u$ 
ne d{\'e}pend que de celle
$h$%
)
alors soit
$g$
est constante soit
$h({\cal U})$
est un ouvert et
$k$
est holomorphe sur
$h({\cal U})$%
.
}
%
\finp
}
%
\Defns L'{\it ensemble alg{\'e}brique du plan complexe affine\/}
 associ{\'e} au polyn{\^o}me non nul
$f\!\in\!{\bf C}[U, V]\!\setminus\!\{0\}$
{\`a} coefficients complexes en deux variables est~:
$${\cal Z}(f)=(Z(f), f)\quad \hbox{\rm o{\`u} \/}\quad 
Z(f)\!=\!\{(u, v)\!\in\!{\bf C}^2 \, |\, f(u, v)\!=\!0\}$$
 
Il est coup{\'e} par 
${\bf C}\times\{v\}$%
, l'%
{\it horizontale d'ordonn{\'e}e\/}
$v$%
, en l'ensemble alg{\'e}brique
$(f_v^{-1}(0), f_v)$
 des z{\'e}ros du {\it sp{\'e}cialis{\'e} {\`a} droite\/}%
\note{\eightpoint
 image de
$f$
par le morphisme d'anneau
$\rho_v : {\bf C}[U, V]\rightarrow{\bf C}[V], \rho_v(U)\!=\!U, \rho_v(V)\!=\!v$%
.
}
$f_v\!=\!f(U, v)\!\in\!{\bf C}[V]$
en
$v$%
.
%
\Defns  La
{\it forme horizonlement homog{\`e}ne associ{\'e}e au\/}
un polyn{\^o}me en deux variables
$\displaystyle f\!=\!\sum_{i=0}^dU^ia_i\!\in\!{\bf C}[U, V], a_i\!\in\!{\bf C}[V], a_d\!\ne\!0$
 de
{\it
$U$%
-degr{\'e}\/}
$d$
est~:
$$\displaystyle F\!=\!\!\sum_{i=0}T^{d-i}U^{i}a_i\!\in\!{\bf C}[V][T, U],\
\hbox{\rm  on a \/}\
F(T, U, V)\!\!=\!T^df({{U}\over{T}}, V)$$

Si  le
$V$%
-degr{\'e} de
$f$
est 
$e$%
, la 
{\it forme bi-himog{\`e}ne associ{\'e}e {\`a}\/}
$f$
est~:
$$\overline{F}\!=\!T^df({{U}\over{T}}, {{V}\over{W}})W^e\quad [=\!F(T, U, {{V}\over{W}})W^e]$$
La
{\it fermeture  dans\/} le carr{\'e} projectif
${\bf P}_1\times{\bf P}_1$
de l'ensemble alg{\'e}brique
${\cal Z}(f)$
est~:
$$\overline{\cal Z}(f)=(\overline{Z}(f), \overline{F})\quad \hbox{\rm o{\`u} \/}\quad 
\overline{Z}(f)\!=\!%
\{([t : u], [v : w])\!\in\!{\bf C}\times{\bf P}_1 \, |\, \overline{F}(t, u, v, w)\!=\!0\}$$
{\eightpoint
On note
$\pi\!=\!{\mathop{\rm pr}\nolimits}_2 : {\bf P}_1\times{\bf P}_1\rightarrow{\bf P}_1$
la projection du carr{\'e} projectif sur la droite verticale.
}
%
\Defns La
{\it
multiplicit{\'e} (horizontale) de\/}
$\overline{\cal Z}(f)$
{\it en\/}
un point
$M\!\in\!{\bf P}_1\times{\bf P}_1$
de coordonn{\'e}es
$M\!=\!(p, q),  p\!=\![t : u], q\!=\![v :w]\!\in\!{\bf P}_1$
est
$\mu_{\overline{\cal Z}(f)}(M)\!=\!v_M(F_q)$%
,  l'ordre de %la forme lin{\'e}aire
$Tu-Ut$
comme facteur de la forme
$F_q$%
, elle est nulle si et seulement si
$M\!\not\in\!\overline{Z}(f)$%
.\hfill\break 
{\eightpoint
Si
$t\!\ne\!0,\quad\mu_M(\overline{Z}(f))\!=\!\nu_0(z\mapsto F_q(t, u+z))$%
, et si
$u\!\ne\!0$
on a~:
$\mu_M(\overline{Z}(f))\!=\!\nu_0(z\mapsto F_q(t+z, u))$%
, en particulier si
$tu\!\ne\!0,
\nu_0(z\mapsto F_q(t, u+z))\!=\!\nu_0(z\mapsto F_q(u+z, t))$%
.

D'o{\`u} une fonction
{\it  multiplicit{\'e}\/}%
\note{\eightpoint
(%
{\it horizontale}%
), 
de valeur
$\infty$
en
$M\!=\!(p, q)$
si
$ q\!=\![v, 1]$
 et l'horizontale
${\bf P}_1\times\{q\}\!\subset\!\overline{Z}(f)$
d'ordonn{\'e}e
$q$
est incluse dans
$\overline{Z}(f)$%
, 
{\it c. a d.\/}
si
$f\!=\!g\cdot(V-v)^{\nu_v}, g\!\in\!{\bf C}[U,V],  \nu_v\!>\!0, g_v\!\ne\!0$%
.
}
$\mu : {\bf P}_1\times{\bf P}_1\rightarrow\{\infty\}\!\cup\!{\bf N}, M\mapsto\mu_M({\cal Z}(f))$%
.
%
%{\eightpoint
%\Defn 
 
La
 {\it partie horizontalement\/}
(ou
$h$%
-)
{\it r{\'e}guliere\/}%
\note{\eightpoint
ou l'%
{\it ensemble de ses points 
$h$%
-r{\'e}guliers\/}%
.
}
$\overline{Z}(f)_{hr}$%
de
$\overline{Z}(f)$
est le plus grand ouvert de cet ensemble alg{\'e}brique sur lequel la multiplicit{\'e} 
$\mu$
est finie et localement constante.

Si
$f\!=\!g\prod_{[v:1]\in\Upsilon_\infty}(V-v)^{\nu_v}, 
\hbox{\sevenrm pour tout \/}
v, g_v\!\ne\!0$
alors 
$\overline{Z}(g)\!\subset\!\overline{Z}(f)\!=\!%
\overline{Z}(g)\cup_{q\in\Upsilon_\infty}\!{\bf P}_1\times\{q\}$%
\hfil\break
et si
$M\!\in\!\overline{Z}(f)\!\setminus\!%
\cup_{q\in\Upsilon_\infty}{\bf P}_1\times\{q\}\subset\overline{Z}(g)$
alors~:
$\mu_M(\overline{Z}(f))\!=\!\mu_M(\overline{Z}(f))\!<\!\infty$%
.
} 
\vskip-2mm
\Rmc Hypoth{\`e}se SCV|
On suppose d{\'e}sormais%
\note{\eightpoint
Quite {\`a} rempla{\c c}er
$f$
par
$g$%
. Le sigle
{\bf SCV}
est pour pour 
{\it sans composantes verticales\/}.
}
$\overline{Z}(f)$
de multiplicit{\'e} partout finie.
\finc
\vskip-2mm
%
Soient
${\check f}_1\!=\!U^df({{1}\over{U}}, V), {\check f}_2\!=\!f(U, {{1}\over{V}})V^e,
{\check f}_3\!=\!U^df({{1}\over{U}}, {{1}\over{V}})V^e\!\in\!{\bf C}[U, V]$%
, les trois polyn{\^o}mes aux inverses de
$f$%
. Les involutions
$\tau_1, \tau_3, \tau_3\!=\!\tau_1\circ\tau_2$
de
${\bf P}_1\times{\bf P}_1$%
~:
$$\tau_1 : ([t : u], q)\mapsto([u : t], q), \tau_2 : (p, [v : w])\mapsto(p, [w : v])$$
{\'e}tant holomorphes et {\'e}changeant les  multiplicit{\'e} de
$\overline{Z}(f), \overline{Z}({\check f_i})\!\subset\!{\bf P}_1\times{\bf P}_1$%
, on peut  pour {\'e}tudier la multiplicit{\'e} au voisinage d'un point
$M\!=\!(p, q)\!\in\!\overline{Z}(f)$%
, supposer de plus que
$(p, q)\!=\!(u, v)\!\in\!Z(f)\ [=\!\overline{Z}(f)\cap{\bf C}^2]$
est dans le plan affine.
%
\Thc Proposition| 
Soit
$\Gamma\!\times\!\Delta\!\ni\!M_0\!=\!(u_0, v_0)\!\in\!Z(f)$
 un bidisque v{\'e}rifiant~:
$$\bigl(\Gamma\times\{v_0\}\bigr)\cap{Z}(f)\!=\!\{M\}\quad
\hbox{\rm et \/}\quad
\bigl(\partial\Gamma\times\Delta\bigr)\cap{Z}(f)\!=\!\emptyset$$
et dont le centre
$M_0$
est  de multiplicit{\'e}
$\mu_0\!=\!\mu_{M_0}(Z(f))\!>\!0$
positive alors~:


$({\romannumeral1})$ 
Les points du disque horizontal
$\Gamma\times\{v\}, v\!\in\!\Delta$
qui sont dans
$Z(f)$
sont en nombre, compt{\'e} avec multiplicit{\'e},
$\displaystyle N_\Gamma :\Delta\rightarrow{\bf N},
N_\Gamma(v)\!=\!\sum_{(u, v)\in\Gamma\times\{v\}}\mu(u, v)=\mu_0$
ne d{\'e}pendant pas de
$v\!\in\!\Delta$%
. Ainsi 
$\mu$
est semi continue sup{\'e}rieurement. 

$({\romannumeral2})$ La fonction 
$\displaystyle h : \Delta\rightarrow{\bf C}, 
h(v)\!=\!\sum_{(u, v)\in\Gamma\times\{v\}}\!\!\!{{\mu(u, v)}\over{\mu_0}}u$%
, moyenne pond{\'e}r{\'e}e par multiplicit{\'e} des points de 
$Z(f)\cap\bigl(\Gamma\times\{v\}\bigr)$
est holomorphe sur
$\Delta$%
.
\finc
{\eightpoint
\Dem Le {\bf C} des rappels pour
$g\!=\!f_v$
et
$h\!=\!1$
la fonction \og constante
$1$%
\fgf, puis
$h\!=\!{{1}\over{\mu_0}}{\mathop{\rm Id}\nolimits}_{\cal U}\!=\!%
{{1}\over{\mu_0}}{{\mathop{\rm pr}\nolimits}_1}_{|{\cal U}\times\{v\}}$
donne~:
$N_\Gamma(v)\!=\!\int_{\partial\Gamma}{{f_v'}\over{f_v}}$
et
$h(v)\!=\!\int_{\partial\Gamma}{{1}\over{\mu_0}}{{f_v'}\over{f_v}h}$% 
. 

Le {\bf A} des rappels avec
$\phi\!=\!{{f_v'}\over{f_v}}$%
, puis
$\phi\!=\!{{1}\over{\mu_0}}{{f_v'}\over{f_v}}h$%
, {\'e}tablit alors
$({\romannumeral1})$
et
$({\romannumeral2})$%
.\hfill\findem
}
\vskip-2mm
\Thc Corrolaire {\rm et\/} {\bf d{\'e}finition\/}|
Si, avec les notations de la proposition, ce point
$M_0$
est limite de points 
$M_i\!\ne\!M_0$
de multiplicit{\'e}
$\mu(M_i)\!=\!\mu_0$%
, le \og graphe couch{\'e}\fgf%
~:
$${\cal V}^h=\{(h(v), v)\!\in\!{\bf C}\times{\bf C} \, |\, v\!\in\!\Delta\}$$
est un voisinage de
$M$
dans
${Z}(f)$%
. Ainsi
$M_0\!\in\!Z(f)_{hr}$
est dans la partie r{\'e}guli{\`e}re et
${\goth t}\!=\!\pi_{|} : {\cal V}^h\rightarrow \Delta$
est un hom{\'e}omorphisme, dit
{\it uniformisante  en\/}
$M$
de 
${Z}(f)_{hr}$%
.
\finc
{\eightpoint
\Dem  Par hypoth{\`e}se et le {\bf B} des rappels le point
$M_0$
et les points
$M_i, i\!>\!0$
dont il est limite anullent les 
$\mu_0$
polyn{\^o}mes
$f_k\!=\!{{\partial f}\over{\partial U^k}}, 0\!\leq\!k\!<\!\mu_0$%
.

D'autre part, supposant que tous les
$M_i\!\in\!\Gamma\times\Delta$
sont dans le bidisque
$\Gamma\times\Delta$%
, les deux parties
$({\romannumeral1})$
et
$({\romannumeral2})$
de la proposition donnent, pour
$i\!\in\!{\bf N}, M_i\!=\!(h(\pi(M_i)), \pi(M_i))$%
. 
 
Ainsi
$v_0\!=\!\pi(M_0)$
est z{\'e}ro non isol{\'e} des
$\mu_0$
fonctions holomorphes
$\varphi_k : v\mapsto f_k(h(v), v)$%
.\hfill\break
 Ces fonctions sont donc identiquement nulle et par
le {\bf B} des rappels tous les points
du \og graphe couch{\'e}\fg
${\cal V}^h$
sont de multiplicit{\'e}
$\mu_0$%
. Ainsi, par
$({\romannumeral1})$
de la proposition,
${\cal V}^h\!=\!Z(f)\cap\Gamma\times\Delta$%
.\hfill\findem
}

Par contrapos{\'e} du corollaire les points de
$\Sigma\!=\!\overline{Z}(f)\setminus\!\overline{Z}(f)_{hr}$
sont isol{\'e}s. Par compacit{\'e} de
$\overline{Z}(f)$%
, l'ensemble
$\Sigma$
et 
$\Upsilon\!=\!\pi(\Sigma)$
 sont finis. 

{\eightpoint
\Defns Un
{\it disque\/}
$\Delta$
 de la droite projective
${\bf P}_1$
est un disque ouvert soit de
${\bf C}_\infty\!\!=\!\{\infty\}\cup{\bf C}\!\setminus\!\{0\}\!\subset\!{\bf P}_1$%
, soit de
${\bf C}_0\!=\!{\bf P}_1\!\setminus\!\{\infty\}\!\subset\!{\bf P}_1$%
. 

Les homographies agissant transitivement sur les
\og cercles droite\fg
de
${\bf P}_1$%
,\hfill\break
 {\sl Pour tout 
$q\!\in\!\Delta$
et tout
$r\!\in]0, 1]$
il y a
$q'\!\not\in\!\Delta$
,tel que~:
$\Delta\!=\!\{p\!\in\!{\bf P}_1 \,|\, \bigl|{{p-q}\over{p-q'}}\bigr|\!<\!r\}$%
}.

Le 
{\it disque unit{\'e}\/}
est
${\bf D}\!=\!\{z\!\in\!{\bf C} \, |\, |z|\!<\!1\}$%
, son bord
$\partial{\bf D}\!=\!{\bf U}$
est le {\it cercle unit{\'e}\/}%
\note{\eightpoint
stable par multiplication on note de m{\^e}me 
${\bf U}\!\subset\!{\bf C}^{\times}$%
, le 
{\it sous-groupe du cercle\/}
correspondant.
}%
. L'application
${\goth u} : \Delta\rightarrow {\bf D},
{\goth u}(p)\!=\!{{p-q}\over{p-q'}}$
est dite 
{\it uniformisante centr{\'e}e au point \/}
$q\!\in\!\Delta$
du disque
$\Delta$%
.
\vskip-2mm

Pour tout
$r\!\in\![0, 1]$
on note
${\goth H}_r\!=\!\{z\!\in\!{\bf C} \,|\, \bigl|{{z+1}\over{z-1}}\bigr|\!<\!r\}$%
. Si
$r\!<\!1$
ce sont des disques d'uniformisantes centr{\'e}es en
$-1$
d'union croissante le
{\it demi-plan {\`a} gauche\/}
$${\goth H}_1\!=\!{\goth H}\!=\!\{z\in\!{\bf C} \,|\, \Re(z)\!<\!0\}\!=\!\exp^{-1}({\bf D})$$
pr{\'e}-image du 
disque unit{\'e}
${\bf D}$
 par l'exponentielle. 
On note
${\goth e}\!=\!\exp_{|{\goth H}}$
et,
 si
$n\!\in\!{\bf N}\!\setminus\{0\}$%
,
${\goth e}_n : {\goth H}\rightarrow{\bf D}, {\goth e}_n(z)\!=\!{\goth e}({{z}\over{n}});
{\goth p}_n : {\bf D}\rightarrow{\bf D}, {\goth p}_n(v)\!=\!v^n$%
, on a la factorisation
${\goth e}\!=\!{\goth p}_n\circ{\goth e}_n$%
.
}


%
\Defn Une
{\it branche de\/}
$\overline{Z}(f)$
au dessus%
\note{\eightpoint
ou 
{\it d'ordonn{\'e}e, {\`a} l'{\'e}tage,\dots\/}
$q$%
.
} de
$q\!\in\!{\bf P}_1$
est 
$b\!=\!({\cal B}, {\goth u})$
pour~:

$(1)$
${\goth u}$
une uniformisante centr{\'e}e en 
$q\!\in\!\Delta\!\subset\!{\bf P}_1$
d'un disque contenant
$q$%
,\hfil\break
 de disque point{\'e} correspondant
$\Delta'\!=\!\bigl(\Delta\!\setminus\!\{p\}\bigr), \Delta'\cap\Upsilon\!=\!\emptyset$
 disjoint de
$\Upsilon\!=\!\pi(\Sigma)$%
.

$(2)$ 
${\cal B}$%,
, le
{\it support\/}
de
$b$%
, composante connexe de
$\overline{Z}(f)\cap\pi^{-1}(\Delta')\ [=\!\overline{Z}(f)_{hr}\cap \Delta']$%
.\hfill\break
Elle est dite
{\it r{\'e}guli{\`e}re\/} 
s'il y a 
$M\!\in\!\overline{Z}(f)_{hr}$
dont
$\{M\}\cup{\cal B}$
est voisinage dans
$\overline{Z}(f)$%
.
%
\Thc Th{\'e}or{\`e}me {\rm et\/} {\bf d{\'e}finitions\/}|
Soit
$b\!=\!({\cal B}, {\goth u})\!$
branche de
$\!\overline{Z}(f)\!$
au dessus de
$q\!\in\!{\bf P}_1$%
.\hfill\break
 %
Alors il y a un entier positif
$n\!\in\!{\bf N}\!\setminus\!\{0\}$
dit
{\it degr{\'e} (horizontal) de la branche\/}
et un hom{\'e}omorphisme 
${\goth t}' : {\cal B}\rightarrow{\bf D}'\!=\!%
{\bf D}\!\setminus\!\{0\}$
dit
{\it uniformisante de la branche\/}
$b$
tels que~:
$$
\pi_{\cal B}\!\build{=}_{}^{\sevenrm Def}\!{\goth u}\circ\pi_{|{\cal B}}={\goth p}_n\circ {\goth t}'
$$
\finc
\vskip-4mm
%
{\eightpoint
\Dem 
Par proposition et  corrollaire pour tout
$M\!\in\!{\cal B}$
il y a
$h_\delta :\delta\rightarrow{\bf P}_1$
holomorphe sur un disque
$\delta\!=\!\delta_M\!\subset\!\Delta'$
et de graphe couch{\'e} voisinage de
$M$
dans
$\overline{Z}(f)$
(donc dans
${\cal B}$%
).\hfill\break
On note
$s_\delta : \delta\rightarrow{\cal B}, s_\delta(z)\!=\!(h_\delta(z), z)$
la {\it section de \/}
$\pi_{\cal B}$
ainsi d{\'e}finie, de
$\delta$
sur l'ouvert
$s_\delta(\delta)$
de
${\cal B}$%
.
\Rmc Affirmation 1|
Soit
$s, s' : {\goth O}\rightarrow{\cal B}$
continues sur un ouvert de
${\goth H}$
avec
$\pi_{\cal B}\circ s\!=\!{\goth e}\!=\!\pi_{\cal B}\circ s'$%
\nobreak
 alors
$\{z\!\in\!{\goth O} \,|\, s(z)\!=\!s'(z)\}$
est ouvert-ferm{\'e} de
${\goth O}$%
. Ainsi si
${\goth O}$
est connexe, soit il est vide, soit
$s\!=\!s'$%
.
\finc
\vskip-2mm
\Dem Ferm{\'e} car
$s-s'$
est continue\note
{\eightpoint
et
${\cal B}$
s{\'e}par{\'e}!
}, et ouvert car, si
$\tilde{\delta}_z$
est la compo\-sante de
$z$
dans
${\goth e}^{-1}(\delta_{s(z)})$%
, le corrollaire donne 
$\pi_{\cal B}\circ s_{|\tilde{\delta}}\!=\!%
{\mathop{\rm pr}\nolimits}_2\circ s_\delta\circ{\goth e}_{|\tilde{\delta}}\!=\!%
\pi_{\cal B}\circ s'_{|\tilde{\delta}} : \tilde{\delta}\rightarrow{\bf P}_1$%
.\hfill\carre
\vskip-2mm
\Rmc Affirmation 2|
Si
$M_0\!\in\!{\cal B}\cap\pi_{\cal B}^{-1}(e^{-1})$
il y a
$s\!=\!s_1$%
, {\it rel{\`e}vement 
{\`a}
$\pi_{\cal B}$
de
${\goth e}$
tel que
$s(-1)\!=\!M_0$%
}~:
$$\hbox{\sevenrm Si \/}\
I_{M_0}\!=\!\{r\in[0, 1] \,|\, \hbox{\sevenrm t. q. il y a \/}\  %
s_r : {\goth H}_r\rightarrow{\cal B};\
\pi_{\cal B}\circ s_r\!=\!\exp_{|{\goth H}_r};\
 s(-1)\!=\!M_0\}\
\hbox{\sevenrm alors \/}\
I_{M_0}\!=\![0, 1[$$
\finc
\vskip-4mm
\Dem
Soit
$r\!\in\!\overline{I_{M_0}}$
limite de
$r_i\!\in\!I_{M_0}$%
. Par l'affirmation 1 les
$s_{r_i}$
sont uniquement d{\'e}termin{\'e}, ils se recollent donc en un
$s_r$%
, ainsi
$I_{M_0}$
est ferm{\'e}.\hfill\carre

Si
$r\!\ne\!1, z\!\in\!\{-1\}\cup{\mathop{\rm Fr}\nolimits}({\goth H}_r)$
et
$z\!\in\!\delta_z\!=\!\delta\!\subset\overline{\delta}\!\subset\!\Delta'\!=\!\pi({\cal B})$
est un disque le contenant et de fermeture incluse dans l'image verticale de la branche
et sur lequel une section
$s_\delta\!=\!s_{\delta_z}$
est d{\'e}finie.
La compacit{\'e} de
${\cal B}\cap {\goth u}^{-1}(\overline{\delta})$
produit un point
$N\!\in\!{\cal B}\cap\overline{s_r({\goth H}_r)}$
limite de points
$N_i\!\in\!s_{r_i}({\goth H}_{r_i})$
. 

Comme si
$z, z'\!\in\!{\mathop{\rm Fr}\nolimits}({\goth H}_r)$
et
$\pi_{\cal B}(N_i)\!\in\!\delta_z\cap\delta_{z'}$
on a
$s_{\delta_z}(\pi_{\cal B}(N_i))\!=\!s_r(\pi_{\cal B}(N_i))\!=\!s_{\delta_{z'}}(\pi_{\cal B}(N_i))$
et les intersections
$\delta_{z}\cap\delta_{z'}$
et
$\delta_z\cap{\goth H}_r$
sont connexes, l'affirmation 1 produit une section recollant les
$s_{\delta_z}$
avec
$s_r$
sur un voisinage de
$\overline{{\goth H}_r}$
dans
${\goth H}$%
, qui par compacit{\'e} de
 $\overline{{\goth H}_r}$%
, contient 
${\goth H}_{r'}$
o{\`u}
$r'\!>\!r$% 
. 

Ainsi le ferm{\'e}
$I_{M_0}$
est ouvert dans l'intervalle connexe
$[0, 1]$%
, contenant
$0$%
, il lui est {\'e}gal.\hfill\carre\carre

Les
$s_\delta(\delta)$
{\'e}tant  ouverts dans
${\cal B}$%
, la section 
$s$
est ouverte et ferm{\'e}e donc%
\note{\eightpoint
puisque
${\cal B}$
est connexe.
}
surjective.
 
 Soit
$v\!\in\!\Delta'$%
, comme
${\mathop{\rm card}\nolimits}({\cal B}\cap\pi^{-1}(v))\!\leq\!d$%
, les
$s(z+2\pi i n), n\!\in\!{\bf Z}$
ne sont pas distinct. 

Il y a donc un plus petit entier positif
$n\!\in\!{\bf N}\!\setminus\!\{0\}$
tel que pour un
$z\!\in\!{\goth H}$
on a
$s(z+2\pi i n)\!=\!s(z)$%
. Par l'affirmation 1 ceci a lieu en tout
$z\!\in\!{\goth H}$
et 
$s\!=\!{\goth s}\circ{\goth e}_n$
se factorise par
${\goth e}_n$%
. Par minimalit{\'e} de
$n$%
, cette surjection ouverte
${\goth s}$
est injective donc un hom{\'e}omorphisme et
${\goth t}\!=\!{\goth s}^{-1}$
convient.\hfill\findem
}
On note
$\widehat{\Sigma}$
l'ensemble des branches non r{\'e}guli{\`e}res, de quotient
$\widetilde{\Sigma}$
en identifiant deux branches
$({\cal B}', {\goth u}'), ({\cal B}'', {\goth u}'')$
si il y a une branche 
$b$
de support
 ${\cal B}\!\subset\!{\cal B}'\cap{\cal B}''$%
. 

On choisit une branche
$({\cal B}_{\tilde{b}}, {\goth u}_{\tilde{b}}), \tilde{b}\!\in\!\widetilde{\Sigma}$
par classe d'{\'e}quivalence.
%
\Defns Les ouverts de
$\overline{Z}(f)_{hr}$
et les
$\widehat{\cal B}\!\build{=}_{}^{\sevenrm Def}\!{\cal B}\cup\{\tilde{b}\}, \tilde{b}\!\in\!\widetilde{\Sigma}%
, ({\cal B}, {\goth u})\!\in\!\tilde{b}$
sont les 
{\it ouvert de\/}
 la
{\it courbe 
$\widehat{\overline{Z}(f)}\!\!\build{=}_{}^{\sevenrm Def}\!\!\overline{Z}(f)_{hr}\amalg\widetilde{\Sigma}$% 
, normale%
\note{\eightpoint{\rm
Sous {\bf SCV}, sans {\bf SCV} avec les notation du haut de la p. 8 
$\widehat{\overline{Z}(f)}\!=\!%
\widehat{\overline{Z}(g)}\amalg_{q\in\Upsilon_\infty}{\bf P}_1\times\{q\}$%
.}
}
 associ{\'e}e au polyn{\^o}me\/}
$f\!\in\!{\bf C}[U, V]$%
.
La
{\it branche compl{\'e}t{\'e}e\/}
de 
$b\!=\!({\cal B}, {\goth u})$
est
$\hat{b}\!=\!(\widehat{\cal B}, \widehat{\goth u})$
o{\`u}~:
$$\widehat{\goth u} : \widehat{\cal B}\rightarrow{\bf D}, \hat{\goth u}(\tilde{b})\!=\!0\
\hbox{\rm et si \/} M\!\in\!{\cal B}, \hat{\goth u}(M)\!=\!{\goth u}(M)$$
%
\Thc Compl{\'e}ment|
La branche
${\cal B}$
est 
 holomorphiquement param{\'e}tr{\'e}e par~:
$${\goth s}\!=\!%
\iota\circ{\goth t}^{-1} : \Delta'\rightarrow{\cal B}\hookrightarrow{\bf P}_1\times{\bf P}_1$$
qui s'{\'e}tend en 
$\hat{\goth s} : \widehat{\cal B}\rightarrow\overline{Z}(f)\!\subset\!{\bf P}_1\times{\bf P}_1$
injective telle que, pour toute branche
$b'\!=\!({\cal B}, {\goth u}')$
de m{\^e}me support
${\cal B}$%
, la compos{\'e}e
$\hat{s}\circ\hat{\goth u}^{-1} : {\bf D}\rightarrow{\bf P}_1\times{\bf P}_1$
est holomorphe.
\finc
{\eightpoint
\Dem
La premi{\`e}re partie suit de {\bf D} des rappels puisque %,
%avec les notations de l'affirmation 2, la section holomorphe
$s\!=\!{\goth s}\circ{\goth e}_n$
et
$s, {\goth e}_n$
sont  holomorphes,
la seconde partie, comme
$\overline{\cal B}\!\setminus\!{\cal B}\!\subset\!%
\overline{Z}(f)\cap\pi^{-1}(\hat{\goth u}'(\tilde{b}))$
est fini, suit alors du th{\'e}or{\`e}me de Riemann,
dit des singularit{\'e}s inexistentes.\hfill\findem
}
%
{\eightpoint
\vskip5mm
 \centerline{\eightpoint\petcap
 Commentaires bibliographiques\/}
%\vskip3mm

Le passage d'un polyn{\^o}me
$f$
{\`a} sa forme verticalement homog{\`e}ne
$F$
est {\`a} la base de l'{\'e}limina\-tion,
voir {\bf [Mu]\/} 2\S 2C, {\bf [vW]\/} \S {\bf 34-35\/}  et \S {\bf 130}, 
 et {\bf [Wb]\/}
\S 53 {\`a} 57.

Pour les courbes alg{\'e}briques planes voir {\bf [Gi]\/} chap 
{\uppercase\expandafter{\romannumeral1}\/} \S 3 {\`a} 5 p. 5-14. (et {\bf [Wk]\/}).

Pour plus de d{\'e}tails sur leur {\'e}tude locale voir {\bf [Wl]\/} (et {\bf [Wk]\/}).



}




%\end 

%
%\hbox{\carre\nobreak\qed}
%
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}
%
%{\mathop{\rm Log}\nolimits}
%
%\build{=}_{}^{s\sevenrm u.c.}
%
%\build{{\mathop{\rm Lim}\nolimits}}_{z\rightarrow u}^{}
%
%\rmc {\bf Exercice 1 }|

%\finc


%\nsecp Espaces m{\'e}triques sur un corps, orthogonalit{\'e} et  isomorphisme|
%
%\nssecp Produits scalaires et espaces m{\'e}triques|
