%\input JOSEPH
%\global\sssecno=0\global\ssecno=0\global\secno=2
%\pageno=5
\notenumber=1
\titrecourant={\S\the\ssecno\hfill\eightrm Courbes unicursales. \hfill}
\auteurcourant={\hfill\uppercase\expandafter{\romannumeral\the\secno}\quad\eightrm Des fractions rationnelles aux surfaces de Riemann. \hfill}

%

\nssecp Courbes unicursales.|
%
\vskip-4mm
\nsssecp Les deux th{\'e}or{\`e}mes de L{\H u}roth.|
{\eightpoint
\Rmc Rappel| Soit
$f :{\bf P}_1\rightarrow{\bf P}_1$
une fonction m{\'e}romorphe non constante sur la droite projective.
{\sl Pour tout
$a\!\in\!{\bf C}$
la pr{\'e}image
$f^{-1}(a)$
est  finie non vide, son nombre d'{\'e}l{\'e}ments, compt{\'e}s avec
multiplicit{\'e}s
$\displaystyle\sum_{z\in f^{-1}(a)}v_z(f-a)\!=\!\sum_{p\in f^{-1}(\infty)}v_p({{1}\over{f}})$%
, est {\'e}gal {\`a} celui de
$f^{-1}(\infty)$
 et ne d{\'e}pend donc pas de
$a$%
, c'est 
${\mathop{\rm deg}\nolimits}(f)$%
, le
{\it degr{\'e} de\/}
$f$%
. 

De plus pour
$ p\!=\!\sum_{i=0}^{d_p}X^ia_i, q\!=\!%
\sum_{j=0}^{d_q}X^jb_j\!\in\!{\bf C}[X], a_{d_p}b_{d_q}\!\ne\!0, (p, q)=1$
 deux polyn{\^o}mes complexes  premiers entre eux avec
$f\!=\!{{p}\over{q}}$
alors~:
$
{\mathop{\rm deg}\nolimits}(f)=\max(d_p, d_q)
$%
.
}
\finc
}




\Thc Lemme| Soit
$f\in{\bf K}\!\setminus\!{\bf C}$
une fraction rationnelle non constante alors 
${\bf K}$
est alg{\'e}brique sur le corps
${\bf C}(f)$
engendr{\'e} par
$f$%
, de degr{\'e}
$[{\bf K}\,:\, {\bf C}(f)]\!\leq\!{\mathop{\rm deg}\nolimits}(f)$%
.
\finc
\vskip-1mm
{\eightpoint
\Dem
Le g{\'e}n{\'e}rateur 
$X$
sur
${\bf C}$
du corps
${\bf K}$
est, avec les notations du rappel, 
 racine du polyn{\^o}me
$R\!=\!p(T)-q(T)f\!\in\!{\bf C}(f)[T]$
donc 
$[{\bf K}\,:\, {\bf C}(f)]\!\leq\!d_R\!=\!\max(d_p, d_q)\!=\!{\mathop{\rm deg}\nolimits}(f)$%%
.\hfill\findem
}
\Thc Th{\`e}or{\`e}me {\eightbf (L{\H u}roth XX$^\circ$)}|
Soit
${\bf K}\supset{\bf L}\build{\supset}_{\ne}^{}{\bf C}$
sous-corps,  non constant, du corps des fractions rationnelles.
Alors 
${\bf K}\!=\!{\bf C}(\mu)$
est 
${\bf C}$%
-engendr{\'e} par tout coefficient non constant 
$\mu\in{\bf L}$
du polyn{\^o}me minimal 
$\displaystyle M\!=\!\sum_{i=0}^nT^i\mu_i\!\in\!{\bf L}[T],\mu_n\!=\!1$
de
$X$
sur
${\bf L}$%
.
\finc
\vskip-1mm
{\eightpoint
\Dem 
Si
$\mu\!=\!{{p}\over{q}}$%
, 
$N\!=\!p(T)-q(T)\mu\!\in\!{\bf C}(\mu)[T]\!\setminus\!\{0\}$
annule le
${\bf C}$%
-g{\'e}n{\'e}rateur 
$X$
de
${\bf K}$%
. Division euclidienne de
$N$
par
$M$
et  minimalit{\'e} de
$M$
donnent 
$Q\!\in\!{\bf L}[T]\!\setminus\!\{0\}$
tel que
$N\!=\!M\cdot Q$%
. 

Par hypoth{\`e}se 
$1$
et
$\mu$
sont coefficients de 
$M$%
, donc
$N$
a ses coefficients
${\bf C}$%
-lin{\'e}aires en ceux de
$M$
 donc, par
$({\romannumeral 1})(b)$
de la proposition de
{\bf 1.1\/}, 
si
$a\!\in\!{\bf P}_1$%
, la majoration
$v_a(M)\!\leq\!v_a(N)$
et~:
$v_a(N)\!=\!v_a(M)+v_a(Q)$
d'o{\`u}
$v_a(Q)\!\geq0$%
, ainsi 
$({\romannumeral 2})(b)$
de cette proposition donne~:
$Q\!\in\!{\bf C}[T]$%
. 

Quotient  par
$Q\!\in\!{\bf C}[T]\!\subset\!{\bf L}[T]$
 de
$N\!\in\!{\bf C}(\mu)[T]\!\subset\!{\bf L}[T]$%
, 
$M\!\in\!{\bf C}(\mu)[T]$
et
$[{\bf K}\, :\, {\bf L}]\!=\![{\bf K}\, :\, {\bf C}(\mu)]$%
. Comme
$[{\bf K}\, :\, {\bf C}(\mu)]\!=\!%
[{\bf K}\, :\, {\bf L}][{\bf L}\, :\, {\bf C}(\mu)],
[{\bf L}\, :\, {\bf C}(\mu)]\!=\!1$
et
${\bf L}\!=\!{\bf C}(\mu)]$%
.\hfill\findem
}
%
\Thc Corollaire {\eightbf (L{\H u}roth XIX$^\circ$)}|
Soit
$f, g\!\in\!{\bf K}$
avec
${\bf L}\!=\!{\bf C}(f, g)$
non constant.

Alors si
$\tau\!\in\!{\bf L}\!=\!{\bf C}(\tau)$
engendre
${\bf L}$%
, il y a
$f_1, g_1\!\in\!{\bf K}$
et
$E\!\subset\!{\bf P}_1$
une partie finie telles que
$(f, g)\!=\!(f_1\circ \tau, g_1\circ \tau)$
et la restriction
$(f_1, g_1)_{|} : {\bf P}_1\!\setminus\!E\rightarrow{\bf P}_1$
est injective.
\finc
%
\vskip-1mm
{\eightpoint
\Dem La premi{\`e}re partie est la moiti{\'e} de l'hypoth{\'e}se~:
$f, g$ 
sont dans le corps engendr{\'e} sur
${\bf C}$
 par
$\tau$%
.  Que
$\tau$
soit dans le corps 
${\bf L}$
engendr{\'e} par
$f$
et
$g$
donne deux polyn{\^o}mes
$A, B\!\in\!{\bf C}[U, V]$
tels que la fraction rationelle
$d\!=\!B(f, g)\!\ne\!0$
est non nulle et
$\tau\!=\!{{A(f, g)}\over{B(f, g)}}\!=\!{{n}\over{d}}$%
. 

Soit
$E\!=\!\tau(d^{-1}\!\cup\!n^{-1}(\{0, \infty\}))$
et
$u, v\!\in\!{\bf P}_1\!\setminus\!E$
 tels que
$(f_1(u), g_1(u))\!=\!(f_1(v), g_1(v))$%
.\hfill\break
Par surjectivit{\'e} %\note{\eightpoint assur{\'e}e par le rappel.}
 de
$\tau$%
, il y a
$(r, s)\!\in\!\tau^{-1}((u, v))$%
. Donc~:
$u\!=\!\tau(r)\!=\!{{A(f, g)}\over{B(f, g)}}(r)\!=\!%
{{A(f_1\circ \tau, g_1\circ \tau)}\over{B(f_1\circ \tau, g_1\circ \tau)}}(r%
)\!=\!{{A(f_1(\tau(r)), g_1(\tau(r)))}\over{B(f_1(\tau(r)), g_1(\tau(r)))}}\!=\!
{{A(f_1(u), g_1(u))}\over{B(f_1(u), g_1(u))}}\!=\!
{{A(f_1(v), g_1(v))}\over{B(f_1(v), g_1(v))}}\!=\!\cdots\!=\!v$%
. Ainsi
$(f_1, g_1)_{|}$
est  injective.\hfill\findem
}

%
{\eightpoint
\vskip2mm
\centerline{\eightpoint\petcap
 Commentaires bibliographiques\/}
%\vskip3mm


 Pour un expos{\'e} en fran{\c c}ais du corollaire original {\bf [L{\H u]\/}}
voir {\bf [Jo1]\/}  $3^\circ$ Ed. 
{\bf\uppercase\expandafter{\romannumeral1}\/}.{\bf 609\/} p. 616-618.
L{\H u}roth a lieu sur tout corps 
$k$
en lieu de
${\bf C}$
(consid{\'e}rer les ordres aux points de
${\bf P}_1(\overline{k})$
o{\`u}
$\overline{k}\!\supset\!k$
est une cl{\^o}ture
alg{\'e}brique de
$k$%
), comparer avec
{\bf [vW]\/} \S {\bf 73\/} p. 221-224, ou {\bf [Ja]\/}
{\uppercase\expandafter{\romannumeral3}\/} {\uppercase\expandafter{\romannumeral4}\/} 4
p. 157-160.)

}



%\end 

%
%\hbox{\carre\nobreak\qed}
%
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}
%
%{\mathop{\rm Log}\nolimits}
%
%\build{=}_{}^{\sevenrm u.c.}
%
%\build{{\mathop{\rm Lim}\nolimits}}_{z\rightarrow u}^{}
%
%\rmc {\bf Exercice 1 }|

%\finc


%\nsecp Espaces m{\'e}triques sur un corps, orthogonalit{\'e} et  isomorphisme|
%

%\nssecp Produits scalaires et espaces m{\'e}triques|
