Algèbre linéaire.

Mat122 et Mat111, Valence-Grenoble printemps automne hiver 2009, 2010 Collection de ^{⟨⟨} cours à distance^{⟩⟩} d’accoutumance à de robustes^{1}références.

1 Modules

Introduction et définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1 Applications linéaires, morphismes et isomorphismes. . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Sous-modules et modules quotients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Noyau, image, factorisation canonique et suites exactes. . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Produit, somme directe et module libre sur un ensemble. . . . . . . . . . . 6 1.5 Dualité, transposition et application canonique vers le bidual. . . . . . . . 9

2 Calcul matriciel et déterminants.

2.1 Calcul matriciel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Quelques identités polynomiales.

2.2.1 Métode de Gauss pour le ^{⟨⟨} système n×n général^{⟩⟩}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.2 Les identités remarquables de Crammer et du déterminant. . . . . . . . . . . . . 14 2.2.3 L’identité remarquable de Cayley-Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.4 Appendice : Théorème fondamental de l’arithmétique dans Z[X_{1}, …, X_{n}]. . 17

2.3 Déterminant sur un anneau commutatif et applications. . . . . . . . . . . . . 19

3 Espaces vectoriels et dimension.

Introduction et définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1 Combinaisons linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Dimension d’un espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Le théorème du rang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4 Applications aux systémes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4.1 Systèmes linéaires : I le langage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4.1 Systèmes linéaires : II rang du système transposé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5 Structure rationnelle sur un sous-corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.5.1 Définitions exemples et propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.5.2 Applications : I Quelques propriétés des corps gauches. . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.5.3 Applications : II Tours de sous-corps d’un corps non dénombrable. . . . . . . . 34 3.5.4 Applications : III Dimension du dual d’un espace de dimension infinie. . . . . . 35

Compléments (non exhaustifs!) de bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

On utilisera les baba ensemblistes (entiers naturels, ensemble, applications, injection, surjections et les propriétés élémentaires des cardinaux), relire [Ld] et les §0 à §8 de [Go].

Le 2.2 utilise qu’un anneau de polynômes (à nombre fini de variables) à coefficients entiers relatifs est factoriel. Ce fait très élémentaire (voir la preuve^{2}de l’appendice 2.2.4) adaptant celle de Zermolo [voir p. 11-12 de [Sa1]] pour les entiers) est rarement exposé dans les manuels. Pour l’approche classique voir les exercices 21 du §31 et 31 du §32 de [Go], les Chap. I et II de [Sa1], ou les §18 puis §30 et §31, ainsi que l’algorithme §32 de [vW], ou encore le §20 de [Wb].

Les 3.5.3, 3.5.4 utilisent un peu de récurrence transfinie (voir chap. II de [Kr] et/ou [Ha]), on consultera aussi la seconde partie (p. 17-30) du cours de magistère [Gu].

1 mais que sous le règne de El’hemdée, certains traitent de poussièreuses. 2 n’utilisant pas qu’un anneau de polynômes sur un corps est principal (donc factoriel).

1 Modules.

Soient f, g : M → N deux homorphismes d’un groupe abélien M vers un groupe abélien N, leur somme h = f + g est l’application qui à m ∈ M associe h(m) = f(m) + g(m) ∈ N. Comme l’addition + de N est commutative^{1}, c’est un homorphisme de groupe abélien. Muni de cette loi d’addition, l’ensemble Hom(M, N) des homomorphismes de M vers N est un groupe abélien.

Dans le cas où M = N, source et but coïncidant, deux homomorphismes f, g : M → M, des endomorphismes de M, se composent et f ∘g : M → M, x ↦ f ∘g (x) = f (g (x)) est un endomorphisme. Cette deuxième loi est associative, a l’identité Id_{M} de M comme élément neutre et est distributive par rapport à l’addition, ainsi (End (M), +, ∘) est un anneau. L’anneau opposé End (M)^{o} peut s’interpréter comme le même ensemble muni des mêmes lois, mais en écrivant la variable à gauche de l’application : l’image par l’application f du point m est notée (m)f.

Définitions. Soit Λ un anneau, dit anneau des scalaires, un Λ-module à gauche (respectivement à droite) est un groupe abélien M muni d’un morphisme d’anneau γ : Λ → End (M) (respectivement δ : Λ → End (M)^{o}).

Pour tout λ∈Λ et m ∈ M on note alors γ (λ)(m)=λ m (resp. δ (λ)(m) (ou (m) δ (λ))= mλ. L’endomorphisme γ (λ) (resp. δ (λ)) est l’homothétie (à gauche) (resp. (à droite)) de rapport λ.

Définition. Un Λ-module bilatéral est un groupe abélien M muni de structures de Λ-modules à gauche et à droite γ, δ : Λ → End (M) commutant : pour tout λ, μ∈Λ, m∈M on a (λm)μ=γ(λ) ∘ δ(μ)(m)=δ(μ) ∘ γ(λ)(m)=λ(mμ).

Exemples. — a) Si M =Λ (ou plus généralement M = Λ^{n}, n∈N) les multiplications à gauche et à droite ((λ, μ), m) ↦ λmμ (resp. ((λ, μ), (m_{i})_{1≤i≤n}) ↦ (λm_{i}μ)_{1≤i≤n}) d’un élément m∈M =Λ (resp. Λ^{n}) par les scalaires λ, μ∈Λ donnent à M sa structure de Λ-module bilatéral usuelle.

b) Si l’anneau Λ est commutatif les notions de module M à gauche et à droite sont pratiquement identiques^{2}et produisent une structure de Λ-module bilatérale dite canonique.

c) Tout groupe abélien M a une unique structure de ℤ-module à gauche et à droite : si k ≥ 0, γ (k)(m) = δ (k)(m) = ^{m + ⋯ + m}_{k fois} et si k ≤ 0, −(^{m + ⋯ + m}_{−k fois}).

Si l’anneau Λ n’est pas commutatif les notions de module M à gauche et à droite sont distinctes et quand un ensemble est muni de deux structures de Λ-module, l’une à gauche l’autre à droite, comme par exemple l’anneau Λ, on précisera de quel côté on se place : les structure à gauche et à droite de Λ sont notées^{3}Λ_{s}, Λ_{d}.

Hormis pour la structure de Λ-module sur le dual servant à produire le morphisme canonique d’un Λ-module dans son bidual, et les applications de la dimension aux corps gauches cet opuscule ne s’occupe que de situations où tous les modules sont du même côté.

Conformément à un usage trop bien établi pour être ébranlé, il est écrit pour les Λ-modules à gauche.(mais, suivant l’usage, le calcul matriciel est développé pour les Λ-modules à droite!)

1 h(x+y)=f(x+y)+g(x+y)=f(x)+f(y)+g(x)+g(y)=f(x)+g(x)+f(y)+g(y)=h(x)+h(y)

2 Si M est un Λ-module à gauche alors pour tout λ, μ∈Λ et m∈M on a :

λ · (μ · m)=(λμ) · m=(μλ) · m=μ · (λ · m) donc (m, λ) ↦ m · λ =^{Def} λ · m donne à M une structure

de Λ-module à droite commutant à la structure initiale. De même un un Λ-module à droite N est, par (λ, n) ↦ λ · n =^{Def} n · λ un Λ-module à gauche et un Λ-module bilatéral.

3 en suivant l’usage (issu du latin) s et d pour sinistra et dextra.

1.1 Applications linéaires, morphismes et isomorphismes.

Définitions. Une application Λ-linéaire d’un Λ-module M vers un Λ-module N est un homomorphisme f : M → N des groupes abéliens sous-jacents qui commute avec les homothéties : pour tout m ∈ M et λ ∈ Λ on a f (λ m) = λ f(m).

Ainsi une application f : M → N entre deux Λ-modules est^{1}Λ-linéaire si et seulement si pour tout x, y ∈ M et λ, μ ∈ Λ on a : f(λx + μy) = λf(x) + μf(u).

Un synonyme d’application linéaire est morphisme de Λ-modules ou Λ-mor-phisme. Si l’anneau Λ est fixé par le contexte on parlera simplement de modules, applications linéaires ou morphismes.

L’identité Id_{M} d’un module M est un morphisme et le composé g∘f : M → P de deux morphismes f : M → N et g : N → P est un morphisme.

L’ensemble des morphismes de Λ-modules de M vers N est noté Hom_{Λ}(M, N). C’est un sous-groupe du groupe Hom (M, N) = Hom_{ℤ} (M, N) des homomorphismes de groupe abélien de M vers N.

Un morphisme f : M → N est un isomorphisme si il y a un morphisme g : N → M tel que g ∘ f = Id_{M} et f ∘ g = Id_{N}.

En ce cas l’application f est bijective d’application réciproque f^{−1} = g. En fait :

Lemme. — Soit f : M → N un morphisme bijectif. Alors son application réciproque g = f^{−1} : N → M est un morphisme.

Ainsi un morphisme est un isomorphisme si et seuleument si il est bijectif.

Démonstration. — Soit u, v ∈ N, λ, μ ∈ Λ alors comme u=f(g(u)), v =f(g(v)) et λg(u) + μg(v)=g(f(λg(u) + μg(v))) on a : g(λu + μv) = g(λf(g(u)) + μf(g(v))) = g(f(λg(u) + μg(v))) = λg(u) + μg(v).

Dans le cas où le module N est muni d’une structure bilatérale

[par exemple l’usuelle (resp. la canonique) sur N = Λ^{n} (resp., si l’anneau Λ est commutatif)]

pour tout f ∈ Hom_{Λ} (M, N) et tout λ, μ ∈ Λ et y ∈ N, on a :

f (λ x)μ = (λ f (x)) μ = λ (f (x)μ)

ainsi l’application f μ : M → N, x ↦ f (x) μ est Λ-linéaire, c’est l’homothétique de f de rapport μ pour la structure de Λ-module à droite de Hom_{Λ} (M, N).

Commentaires bibliographiques

Plus de détails sur modules morphismes sont dans^{2}les §10 à §13 de [Go], le 1.4 de [Sa2], ou les plus exaustifs Kap. 12 de [vW], §1 et §2 de [Bo] Chap II, [Ja] vol. I et chap. III de [Lg].

1 f(x−y)=f(1x + (−1)y)=f(x) − f(y) et f(λx)=f(λx+00)=λf(x)+0f(0)=λf(x).

2 Un manuel ^{⟨⟨} élémentaire mais correct^{⟩⟩}, sans la ^{⟨⟨} standard mistake^{⟩⟩} de l’algèbre linéaire :

se ^{⟨⟨} mélanger les côté des scalaires^{⟩⟩} en passant de l’algèbre linéaire abstraite au calcul matriciel.

1.2 Sous-modules et modules quotients.

Définition. Un sous-module d’un Λ-module M est un sous-groupe abélien U ⊂ M de M stable par homothétie [pour tout λ ∈ Λ on a : γ (λ)(U) = λ U ⊂ U].

C’est un Λ-module et l’inclusion i_{U} : U ↪ M est un morphisme.

Exemples. — M, {0} ⊂ M sont des sous-modules dits triviaux, plein et nul. On note 0={0}.

Proposition 1. — Soit U_{i}, i ∈ I des sous-modules d’un module M. Alors :

(i) L’intersection ∩_{i∈I}U_{i} de cette famille est un sous-module de M, c’est le plus grand sous-module de M inclus dans tous les U_{i}.

(ii) L’intersection des sous-modules contenant chacun tous les U_{i} est le plus petit sous-module les contenant tous. Il est formé des sommes finies d’éléments u_{i} ∈ U_{i}, c’est la somme des U_{i}. On le note ∑_{i∈I} U_{i} ou, dans le cas où I = {1, …, n} est fini, U_{1} + U_{2} + ⋯ + U_{n}.

Complément et définitions. — Soit \underline{m} = (m_{i})_{i∈I}, m_{i} ∈ M (resp. E ⊂ M) une famille (resp. partie) d’un Λ-module M. Il y a un plus petit sous-module de M contenant tous les m_{i}, i∈I (resp. la partie E) c’est le sous-module engendré par la famille \underline{m} (resp. la partie E) notée < \underline{m} >=< \underline{m} >_{Λ} (resp. < E >=< E >_{Λ}).

Si M =< \underline{m} >_{Λ}, le module M est dit engendré par la famille \underline{m}.

Un module M est dit de type fini (engendré sur Λ par m_{1}, …, m_{n}) si M =< m_{1}, …, m_{n} >_{Λ}, il est engendré par une famille \underline{m} = m_{1}, …, m_{n} finie.

Définitions. Deux éléments x, y ∈ M sont congrus modulo un sous-module U si x − y ∈ U, on note alors x ≡ y mod U.

La congruence modulo un sous-module est une relation d’équivalence et l’ensemble quotient est muni d’une unique structure de Λ-module, le Λ-module quotient M/U, pour laquelle l’application quotient est un morphisme, le morphisme quotient π : M → M/U. De plus :

Proposition 2. — La précomposition g ↦ g ∘ π par π est un isomorphisme du groupe abélien Hom_{Λ} (M/U, N) sur le sous-groupe {f ∈ Hom_{Λ} (M, N)|f_{|U} = 0} des morphismes de M vers N s’annulant sur U.

Si l’anneau Λ est commutatif, c’est un isomorphisme de Λ-module.

Commentaires bibliographiques

La notion de sous-objet et structure quotient en algèbre, préparée en exercice dans [Go], et le point de vue de la Proposition 2 (insister plus sur morphismes qu’objets) est plus systématiquement utilisé et développé dans [Bo] et [Lg], et le Vocabulaire Mathématique de [Co].

1.3 Noyau, image, factorisation canonique et suites exactes.

Définitions. Soit f ∈ Hom_{Λ}(M, N) un morphisme de M vers N son noyau et son image sont ker(f) = {m ∈ M| f(m) = 0} et Im(f) = {f(m)| m ∈ M}. Ce sont des sous-modules de M et N respectivement. Le conoyau et la coimage de f sont respectivement : coker(f) = N/Im(f) et coim(f) = M/ker(f). Ainsi :

Un morphisme est surjectif si et seulement si son conoyau coker (f)=0 est nul. Plus utile que ce pléonasme est la fondamentale :

Proposition 1. — Un morphisme f : M → N est injectif ssi ker (f) = 0.

Proposition 2. — Tout morphisme f : M → N a une unique factorisation

f : M ⟶^{π} coim (f) ⟶^{\overline{f}} Im (f) ⟶^{i_{Im (f)}} N

où π est le morphisme quotient, \overline{f} un isomorphisme et i_{Im} (f) l’inclusion de l’image dans le but. Définition. Une suite exacte (courte) de Λ-modules, notée 0 → U →^{i} V →^{j} W → 0, est la donnée

de morpismes i : U → V injectif et j : V → W surjectif tels que ker(j) = Im(i).

Exemples. — a) Si U ⊂ M est un sous-module d’un module M, on a la suite exacte :

0 → U → M → M/U → 0

b) Si f : M → N est un morphisme de modules, on a la suite exacte :

0 → ker(f) → M → Im(f) → 0

Définition. Un morphisme d’une suite exacte 0 → U →^{i} V →^{j} W → 0 vers une suite exacte

0→U′ →^{i′}V′ →^{j′}W′ →0 est la donnée, notée (f, g, h), de trois morphismes f : U → U′, g : V →V′

et h : W →W′ tels que g ∘ i=i′ ∘ f et h ∘ j =j′ ∘ g, conditions que l’on exprime en disant que :

0 → U →^{i} V →^{j} W → 0
f ↓  g ↓  h ↓
0 → U′ →^{i′} V′ →^{j′} W′ → 0

est un diagramme commutatif. On a alors le (petit^{1}) Lemme des cinq :

Lemme. — Si les deux morphismes latéraux f et h sont des isomorphismes, alors le morphisme central g est un isomorphisme.

Démonstration. — D’après le lemme de 1.1 il suffit de montrer que g est bijectif.

Soit v′ ∈V′. Comme h, j sont surjectifs, il y a w ∈W, v_{1} ∈V tel que h(w) = j′(v′), j(v_{1}) = w. Ainsi j′(v′ −g(v_{1})) = j′(v′)−j′(g(v_{1})) = j′(v′)−h(j(v_{1})) = 0, donc v′ −g(v_{1}) ∈ ker(j′) = Im(i′) et il y a u′ ∈ U′ avec i′(u′) = v′ − g(v_{1}). Comme f est surjectif, il y a u ∈ U avec f(u) = u′, d’où g(i(u) + v_{1}) = g(i(u)) + g(v_{1}) = i′(f(u)) + g(v_{1}) = v′ − g(v_{1}) + g(v_{1}) = v′ et g est surjectif. ⊔ ⊓

Soit v ∈ ker(g). On a h(j(v)) = j′(g(v)) = j′(0) = 0, donc j(v) ∈ ker(h), qui est nul d’après la Proposition 1, puisque h est injectif. Ainsi v ∈ ker(j) = Im(i) et il y a u ∈ U tel que i(u) = v. Comme i′ ∘ f(u) = g ∘ i(u) = g(i(u)) = g(v) = 0 et i′, f sont injectifs on a : u = 0, d’où v = 0. Ainsi ker(g) = 0 et la Proposition 1 assure que g est aussi injective, donc bijective. ⊔ ⊓

1 Pour le vrai Lemme des cinq, faire l’exercice 25 du §7 de [Go].

1.4 Produit, somme directe et module libre sur un ensemble.

Définition. Soit N_{i}, i∈I une famille de Λ-modules indexée par un ensemble I. Le Λ-module produit ∏_{i∈I}N_{i} est l’ensemble des suites (n_{i})_{i∈I} indicées par I dont les ı^{ièmes} éléments sont des éléments de N_{i}. Cet ensemble de suites est muni de l’addition et de l’action de Λ composante par composante :

(n_{i})_{i∈I} + (n′_{i})_{i∈I} = (n_{i} + n′_{i})_{i∈I} et λ (n_{i})_{i∈I} = (λ n_{i})_{i∈I}

Pour tout k ∈ I le morphisme défini par pr_{k}((n_{i})_{i∈I}) = n_{k} est la k^{ième} projection :

pr_{k} : ∏_{i∈I} N_{i} → N_{k}

Si f_{i} : X → N_{i}, i∈I est une famille indexée par I de morphismes d’un Λ-mo-dule X vers les N_{i} alors il y a un unique morphisme f : X → ∏_{i∈I} N_{i} tel que pour tout i ∈ I on ait pr_{i}∘f = f_{i}, il est donné par f(x) = (f_{i}(x))_{i∈I} :

Proposition 1. — L’application f ↦ (pr_{i}∘f)_{i∈I} est un isomorphime de groupe abélien de Hom_{Λ}(X, ∏_{i∈I} N_{i}) sur ∏_{i∈I} Hom_{Λ}(X, N_{i}).

Si les modules N_{i} sont bilatéraux^{1}c’est un isomorphisme de Λ-modules.

Définition. Soit M_{j}, j ∈J une famille de Λ-modules d’ensemble d’indices J. Les suites (m_{j})_{j∈J} ∈∏_{j∈J} M_{j} dont presque toutes les composantes sont nulles^{2} forment un sous-Λ-module de ∏_{j∈J} M_{j} appelé somme directe des M_{j}, et noté

⊕_{j∈J}M_{j}

L’inclusion i_{J} : ⊕_{j∈J}M_{j} → ∏_{j∈I} M_{j} de la somme directe dans le produit est surjective si et seulement si l’ensemble {j ∈ J| M_{j} ≠ 0} est fini.

Pour tout k ∈ J on a la k^{ième} inclusion

i_{k} : M_{k} → ⊕_{j∈J}M_{j}

le morphisme défini par i_{k}(m) = (m_{j})_{j∈J} où m_{k} = m et m_{j} = 0 pour j ≠ k.

Si g_{j} : M_{j} → Y, j ∈ J est une famille, indexée par J, de morphismes de M_{j} vers un Λ-module Y alors il y a un unique morphisme :

g : ⊕_{j∈J}M_{j} → Y

tel que pour tout j ∈ J on ait :

g ∘ i_{j} = g_{j}

il est donné par g((m_{j})_{j∈J}) = ∑_{j∈J} g_{j}(m_{j}), cette somme étant bien définie car, sauf pour un nombre fini d’entre eux, les m_{j}, donc les g_{j}(m_{j}), sont nuls.

1 par exemple si l’anneau Λ est commutatif et les N_{i} sont munis de leur structure canonique.

2 c. a d. la suite (m_{j})_{j∈J} est de support, l’ensemble {j ∈J, m_{j} ∈0}, fini.

Proposition 2. — L’application g ↦ (g ∘i_{j})_{j∈J} est un isomorphisme du groupe abélien Hom_{Λ}(⊕_{j∈J}M_{j}, Y) sur le groupe abélien ∏_{j∈J} Hom_{Λ}(M_{j}, Y).

Si le module Y est muni d’une structure bilatérale^{3}c’est un isomorphisme de Λ-modules.

Lemme et définitions. — Soit P ⊂ M un sous-module de M tel qu’il y ait un sous-module Q ⊂ M avec P ∩ Q = 0 et P + Q = M. Alors l’application

P ⊕ Q → M

définie par les inclusions de P et Q dans M est un isomorphisme.

On dit alors que P est un facteur direct de M, que Q est un supplémentaire de P dans M et que M admet la décomposition en somme directe M = P ⊕ Q.

De même si une famille M_{j} ⊂M, j ∈J de sous-modules de M vérifie :

∑_{j∈J} M_{j} =M et pour chaque j_{0} ∈J, M_{j_{0}} ∩ ( ∑_{j∈J\{j_{0}}} M_{j})=0

alors le morphisme ⊕_{i∈J} M_{j} → M défini par les inclusions des M_{j} dans M est un isomorphisme.

On dit alors que M admet la décomposition en somme directe M = ⊕_{i∈J} M_{j}.

Ainsi si M =⊕_{j∈J}M_{j} est décomposition en somme directe d’un Λ-module M et N =∏_{i∈I} N_{i} est décomposition en produit d’un Λ-module N l’application

f ↦ (pr_{i} ∘ f ∘ i_{j})_{(i,j)∈I×J}

est un isomorphisme de groupe abélien de Hom_{Λ}(M, N) sur ∏_{(i,j)∈I×J}Hom_{Λ} (M_{j}, N_{i}).

Définition. la matrice d’endomorphismes de f associée à ces décompositions est :

(f_{i,j} (f) = pr_{i} ∘ f ∘ i_{j})_{(i,j)∈I×J} ∈ ∏_{(i,j)∈I×J} Hom_{Λ} (M_{j}, N_{i})

Si un troisième Λ-module L = ⊕_{k∈K}L_{k} est décomposé en somme directe et g : L → M une application linéaire telle que la matrice de i_{J}∘g est (g_{j,k})_{(j,k)∈J×K}. Alors la matrice (h_{i,k})_{(i,k)∈I×K} de l’application composée h = f∘g : L → M → N est donnée par la formule du calcul matriciel des endomorphismes :

h_{i,k} = ∑_{j∈J} f_{i,j} ∘g_{j,k}

qui un sens même si J est infini car le but de g étant la somme directe M = ⊕_{j∈J}M_{j} pour chaque k ∈ K et z ∈ L il n’y a qu’un nombre fini de j tels que g_{j,k} (z) ≠ 0 soit non nul et la somme ∑_{j∈J} g_{j,k} (z) est en fait finie.

Soit I un ensemble. On choisit pour chaque i ∈ I un exemplaire Λ_{i} de l’anneau Λ, on note son unité 1_{i} et on le considère comme Λ-module à gauche, ainsi Λ_{i} = {λ 1_{i}| λ ∈ Λ}.

3 p. e. l’usuelle (resp. canonique) si Y = Λ^{n} (resp. Λ est commutatif).

Définitions. Le Λ-module libre sur I est la somme directe

L_{I} = ⊕_{i∈I}Λ_{i}

(s’identifiant au module Λ^{(I)} des lignes dans Λ indicées par I d’éléments presques tous nuls),

munie de l’application e_{I} : I → L_{I} définie par :

e_{I} (i) = e_{i} = (e_{i_{j}})_{j∈I} où e_{i_{j}} = 0 si j ≠ i et e_{i_{i}} = 1_{i}

L’élément e_{i} est dit élément canonique d’indice i de base de Λ_{I}.

Cette application e_{I}:I → L_{I} a la propriété universelle suivante :

Proposition 3. — Pour toute application f : I → M d’un ensemble I vers un Λ-module M il y a un unique morphisme

L(f) : L_{I} → M tel que L(f) ∘ e_{I} = f

c’est le morphisme de la somme directe ⊕_{i∈I}Λ_{i} vers M déterminé par les morphismes f_{i} : Λ_{i} → M, λ 1_{i} ↦ λ f(i).

De même que l’on a identifié L_{I} aux lignes d’éléments de Λ indicées par I, on utilisera l’abus de notation f pour L(f).

Définition. Un Λ-module libre de base (b_{i})_{i∈I} est un Λ-module L muni d’un isomorphisme φ : L_{I} → L tel que pour tout i ∈ I on ait φ (e_{i}) = b_{i}.

L’isomorphisme réciproque ψ : L → L_{I} associe à chaque élément x ∈ L la ligne (x_{i})_{i∈I} de ses coordonnées dans la base (b_{i})_{i∈I}.

On a alors l’écriture unique x = ∑_{i∈I} x_{i} b_{i}. De plus l’inclusion {b_{i}| i ∈ I} ↪ L possède la propriété universelle de la Proposition 3.

Corollaire. — Soit f : M → N une application Λ-linéaire surjective et g : L → N un morphisme de source un Λ-module libre L de base (b_{i})_{i∈I}.

Alors, si les c_{i} ∈ M sont tels que f (c_{i}) = g(b_{i}), l’application Λ-linéaire g̃ : L → M déterminée par g̃ (b_{i}) = c_{i} vérifie la relation g = f ∘ g̃.

Commentaires bibliographiques

Les notions de somme et produit en algèbre, plus généralement de problème universel, ainsi que le procédé de construction qui à un ensemble I associe le module libre sur I sont^{4}de nouvelles illustrations du point de vue des catégories et foncteurs qui est implicite dans [vW], [Bo] et est plus amplement développé dans [Lg] et dans le Vocabulaire mathématique de [Co].

4 après la notion sous-objet et de quotient de 1.2.

1.5 Dualité, transposition et application canonique vers le bidual.

Définitions. Une forme linéaire sur un Λ-module à gauche M est une application Λ-linéaire à gauche de M vers l’anneau Λ.

Le Λ-module à droite dual de M est le groupe abélien Hom_{Λ} (M, Λ) des formes linéaires sur M muni de la structure usuelle.^{1}On le note M^{∗}.

Exemple. — L’application φ ↦ φ (1) est un isomorphisme du dual Λ^{∗} = (Λ_{s})^{∗} de l’anneau Λ vu comme Λ-module à gauche sur Λ_{d}, l’anneau Λ vu comme Λ-module à droite^{2}.

Si M est libre de base (b_{i})_{i∈I} la forme linéaire duale du k^{ième} élément de base b_{k} est b_{k}^{∗} : M → Λ déterminée par b_{k}^{∗} (b_{k}) = 1 et b_{k}^{∗} (b_{i}) = 0 pour i ≠ k.

La Proposition 2 de 1.4 se traduit en :

Proposition 1— Le dual (⊕_{i∈I}M_{i})^{∗} de la somme directe des modules M_{i} pour i ∈ I s’identifie au produit ∏_{i∈I} M_{i}^{∗} des duaux de ces modules.

En particulier le dual d’un Λ-module à gauche libre de base finie (b_{1}, …, b_{n}) est le Λmodule à droite libre de base la base duale (b_{1}^{∗}, …, b_{n}^{∗}).

Définitions. La transposée d’une application Λ-linéaire f : M → N est l’application f^{∗} : N^{∗} → M^{∗} qui à la forme linéaire ψ : N → Λ associe la forme linéaire f^{∗} (ψ) = ψ∘f : M → N → Λ.

L’application t : Hom_{Λ}(M, N) → Hom_{Λ}(N^{∗}, M^{∗}) f ↦ t (f) = f^{∗} est un morphisme de groupe abélien et, si l’anneau Λ est commutatif, un morphisme Λ-module. C’est la transposition.

Proposition 2— La transposée de l’identité d’un module M est l’identité de son dual M^{∗} : t(Id_{M}) = Id_{M^{∗}}

Si g ∈ Hom_{Λ} (L, M) et f ∈ Hom_{Λ} (M, N) sont composables alors :

t(f ∘g) = t(g)∘t (f) ∈ Hom_{Λ}(N^{∗}, L^{∗})

Lemme et définitions. — L’application qui à l’élément m ∈ M d’un Λ-module à gauche M associe φ ↦ φ (m), une forme linéaire sur le dual M^{∗} dite évaluation en m, est Λ-linéaire à gauche.

Elle est appelée application canonique de M dans son bidual M^{∗∗} = (M^{∗})^{∗} et est notée ι_{M} : M → M^{∗∗}.

La Proposition 1 et l’Exemple donnent :

Proposition 3— Si P est facteur direct d’un module libre L = P ⊕ Q alors :

(i) l’application canonique ι_{P} : P → P^{∗∗} est injective. (ii) si L est de type fini, ι_{P} est un isomorphisme de P sur son bidual P^{∗∗}.

1 dont l’homothétie de rapport λ est δ (λ) : Hom_{Λ}(M, Λ) → Hom_{Λ} (M, Λ), φ ↦ δ (λ) (φ) = φ λ, où φ λ est la forme linéaire x ↦ φ (x) λ.

2 L’isomorphisme réciproque étant μ ↦ [φ_{μ} : λ ↦ λ μ].

Compléments (non exhaustifs!) de bibliographie

[Ar1] E. Artin. — Über einen Satz von Herrn J.H. Maclagan Wederburn, Hamb. Abb. 5 (1928) pp. 245-250 et/ou Collected Papers of Emil Artin, Addison-Wesley 1965 pp. 301-306.

[Ar2] E. Artin. — Galois Theory, Notre Dame Math. Lect. 2, Notre Dame, 1942.

[Bl] A. Blanchard. — Les corps non commutatifs, P.U.F, 1972.

[Bo] N. Bourbaki. — Algèbre, Hermann, 1947, 1959, CCLS 1970.

[Ch] C. Chevalley. — Démonstration d’une hypothèse de M. Artin, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 11 1936 pp. 73-75.

[Co] P. Colmez. — Éléments d’analyse et d’algèbre (et de théorie des nombres), Ed. Ec. Polytechnique, 2009.

[Ga] P. Gabriel. — Matrices, géométrie, algèbre linéaire, Cassini, 2001.

[Go] R. Godement. — Cours d’algèbre, Hermann, 1966.

[Gu] L. Guillou. — Séries de Fourier et ensemble d’unicités^{1}, 2010.

[Ha] P. R. Halmos. — Naive Set Theory, Litton Ed. Pub., 1960.

[He1] I.N. Herstein. — Wederburn’s Theorem and a Theorem of Jacobson., Am. Math. Month. 68 3 (1961) pp. 249-251.

[He2] I.N. Herstein. — Topics in Algebra, Blaisdell 1964.

[He3] I.N. Herstein. — Non commutative rings, Carus Math. Mon. 1968.

[Ja] N. Jacobson. — Lectures in Abstract Algebra, van Nostrand 1951, 53, 64.

[Kr] J.-P. Krivine. — Théorie axiomatique des ensembles, P.U.F., 1969.

[Ld] E. Landau. — Grundlagen der Analysis, Leipzig, 1930, Trad. Chelsea 1951.

[Lg] S. Lang. — Algebra, Addison-Wesley, 1965.

[MW] J.H. Maclagan Wederburn. — A theorem on finite algebras., T.A.M.S. 6 (1905) pp. 349-352.

[Sa1] P. Samuel. — Anneaux factoriels, Publ. Soc. mat. São Paulo, 1964.

[Sa2] P. Samuel. — Théorie algébrique des nombres, Hermann, 1967.

[Se] J.-P. Serre. — Cours d’arithmétique, P.U.F, 1970.

[vW] B. L. van der Waerden. — Algebra, Springer, 1936.

[Wb] H. Weber. — Lehrbuch der Algebra I . Braunschweig, F. Vieweg, 1894.

[Wl] A. Weil. — Basic Number Theory, Springer, 1967.

[Wt] E. Witt. — Über die Kommutativität endlischer Schiefkörper, Hamb. Abb. 8 (1931) pp. 413 ou Gesammelte Abhandlungen, Springer 1998 pp. 395.

1 voir : http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/_{}˜ marin/Manuscripts/bili-ens/Reignier.pdf

Les rédactrices et rédacteurs^{1}suggérent à tout responsable de filière de substituer ce bref manuel à d’éventuelles maquettes de M1 enseignement puis, forts

1 Marine Audra, Loup Borgna, Cindy Bouvarel, Benoit Chauvet, Audrey Chevalier, Camille Chrétien, Anthony Cogne, Sarah El-Bouazid, Aurélie Guerre, Idem Kaya, Sophie Larré, Benedicte Legastelois, Raphael Mallet, Samantha Petit-Charles, Alexandre Pimbert, Alexandre Pinel, Adrien Pomaret, Valentin Regazzoni, Foriane Robin, Lydie Terras, Hawa Traore, Camille Vulin, Adrien Allagui, Camille Cornut-Chauvin, Oumou Diallo, Eymeline Eynard, Romain Giraud, Lea Hansen, Gaetan Lagier, Kevin Merz, Emmanuel Orchanian, Mathilde Portela, Cheik Sissoko,Maxime Choquel, Nicolas Cornut, Seydou Doumbia, Elsa Kusterlé, Mathilde Morel, Solomane Nanakasse, Abdoulaye Samake, Vanessa Smanioto, Masseni Traore, Landry Curmi, Mah Konaté, Abdoulaye Maïga, Sebastien Pellurson, Brian Vautier, Rehana Yattara.

d’actives complicités^{2}en l’utilisant largement^{3}, éventuellement modifié^{4}, malgré les

2 à : VALENCE : M.-C. Darracq, F. Dupré, L. Lefevre, J.-E. Rombaldi. L’INSTITUT FOURIER : H. Abdallah, A. Aksenov, J.-F. Arnoldi, R. Bacher, M. Barbelet, C. Barbe-Zoppis, S. Baseilhac, P. Bérard, G. Berhuy, A. Bernard, J. Bertin, L. Bessiéres, G. Besson, M.-H. Biasini, R. Binder, M. Blanco, C. Blondel, M. Bordonard, A. Bosche, T. Bouche, V. Bour, C. Bouvier, M. Brion, J. Brossard, M. Brown, Y. Carrière, A. Castro-Trejo, N. Catrain, G. Catz, A. M. de Cavalcante, G. Cellier, C. Chabauty, C. Champetier, M. Charles, G. Charlot, C. w. Chen, L. Chevalier, A. Chiodo, V. Chorier, B. Claudon, Y. Colin de Verdière, C. Datry X. Colipan, A. Cocquio, I. Costerg, M.-C. Darracq, H. de Alba Casilas, C. Datry, J.-M. et M. Decauwert, E. Delaye, J.-P. Demailly, B. Demange, M. Deraux, A. Deruelle, Y. Dieng, Z. Djadli, S. Druel, J. Duchon, J. Ducoat, B. Dudin, A. Dufesnoy, É. Dumas, M. Dupraz, S. El-Garès, P. Elbaz-Vincent, P. Eyssidieux, H. Falavard, M. Falconet, F. Faure, R. Feres, M.-J. Ferton A. Fossas, L. Funar, T. Gallay, S. Gallot, L. Garcia, O. Garotta, J. Gasqui, E. Gaudron, H. Gaussier, F. Gauthier, C. Gedda, A. Gerbaud, R. Gilard, N. Giroux, P. Glenat, G. Gonzalez-Springer, P. Gosselin, C. Goutorbe, S. Gravier, R. de Graeve, D. Grenier, P. Greenberg, S. Guillermou, L. Guillou, A. Guttin-Lombard, D. Haefner, P.-J. Haug, H. Hichri, M. Huruguyen, R. Joly, J. Joukoff, A. Joye, J. Helmstetter, T. Kashiwabara, M.-N. Kassama, B. KLoeckner, S. Kobeissi, S. Kossarev, J.-L. Koszul, N. Kox, R. Ksouri, K. Kuyumzhiyan, O. Lablée, J. Lancrenon, C. et Y. Laurent, Y, B. Le Gouec, F. Leinardi, C. Lescop, C. Leuridan, M. Leyton-Alvarez, A. Liendo, B. Loiodice, F. Lontin, D. Luna, C. Maclean, G. T. Magusson, B. Malgrange, L. Manivel, ,M. Marchand, ,F. Martin, H. Maugendre, G. Maurin, G. Mcshane, D. Megy, J.-B. Meilhan, M. Michalek, G. Michel, S. Modeste, B. Mokhtari, M. Mollard, V. Monaci, M. Morales, F. Mouton, C. et N. Moser, V. Munier, D. et G. Muraz, A. Navari, M. Nguyen, H. Pajot, S. Pagelot, F. Palesi, A. Pantchichkine, J. Papin,M. Parisse, B. Parisse, Al. et An. Parreau, C. Payan, H. Pesce, C. Pech, S. Peche, C. Peters, C. Petit, E. Peyre, M Peyron, D. Piau, J. Plut, G. Rahal, G. Remond, A. Rahm, G. Robert, R. Robert, T. Richard, T. Rivoal, A. Rolland, J.-E. Rombaldi, J. Rocques, L. Rozoy, A. Sallaz, C. Sallustio, A. Savignoni, F. Sergeraert, V. Sergiescu, D. Spehner, A.- M. Strano, R. Terepereau, H. Toureille, F. Truc, N. Vasseur, J.-L. Verger-Gaudry, G. Vinel, M. Vitter, S. Vogelsberger, A. Voutier, P. Will, P. Witomski, N.H. Xuong, M. Zaïem, M. Zaidenberg. CHAMPOLION : L. Bonavero, J.-P. Heysche, R. Krust, É. Labeye-Voisin, M. Moreau. LYON : C. Danthony, A. Fathi, E. Giroux, B. Sevennec. ORSAY : F. Haglund, D. Luçon, Y.-M. Visetti. PALAISEAU : J. Barge, P. Colmez, J. Lannes. PISA : F. Aquitapace, F. Broglio, R. Benedetti, M. Galbiati. RENNES : S. Cantat, L. Moret-Bailly, C. Mourougane. TOULOUSE : M. Boileau, V. Guirardel, J.-P. Otal.

et plus robustement à :

BERLIN : Edmund Landau. BITCHE : Pierre Gabriel. CHICAGO : Joseph Maclagan Wederburn. CORNELL : Isaac Herstein. LAREN : Bartel van der Waerden, HAMBURG : Emil Artin et Ernst Witt. MARSEILLE : André Blanchard. U. MICHIGAN : Paul Halmos, NANCAGO : Nicolas Bourbaki, PALAISEAU : Pierre Colmez. PARIS : Roger Godement, Jean-Louis Krivine et Jean-Pierre Serre. PRINCETON : André Weil. SÃO PAULO et ORSAY : Pierre Samuel. STRASSBURG : Heinrich Weber.

3 avec l’appui logistique de Cassini, Dover, M.A.A, P.U.G., P.U.F., S.M.F, Springer.. . .

services de vigilance El’hemdiens^{5}, progresser dans le classement de Changai.

4 voir http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/ marin/sources/Avr2010 (et http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/ marin/sources/texmf)

5 Jacques Gasqui, Christine Kazantsev, Maëlle Nodet et Bernard Ycart.