%\input JOSEPH
%\global\sssecno=3\ssecno=5\global\secno=3
%\pageno=35

%\nssecp Application aux syst{\'e}mes lin{\'e}aires.|
%\nsssecp Syst{\`e}mes lin{\'e}aires
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}~:

%\nsssecp Syst{\`e}mes lin{\'e}aires
%\uppercase\expandafter{\romannumeral2}~:
%\nssecp Structure rationnelle sur un sous-corps.|
%\nsssecp  D{\'e}finitions exemples et propri{\'e}t{\'e}s.|
%\nsssecp Applications~:
%{\uppercase\expandafter{\romannumeral1}}
%Quelques propri{\'e}t{\'e}s des corps gauches.|
%\nsssecp Applications~:
%{\uppercase\expandafter{\romannumeral2}}
%Tours de sous-corps d'un corps non d{\'e}nombrable.|

\nsssecp Applications~:
{\uppercase\expandafter{\romannumeral3}}
Dimension du dual d'un espace de dimension infinie.|
{\eightpoint
Le dual d'un 
$K$%
-espace vectoriel de dimension finie
$V$
est, d'apr{\`e}s la Proposition 1 de {\bf 1.5\/}~:
$${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_K(V^\ast)\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(V)$$
Le propos de ce sous-sous\note{\eightpoint
pour ne pas dire \og fin-saoul\fgf!
}%
-paragraphe est
d'{\'e}tablir le~:
}
\Thc Th{\'e}or{\'e}me d'Erd{\"o}s-Kaplanski|
Le dual 
$V^\ast={\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_K(V, K)$
\hfill\break
 d'un 
$K$%
-espace vectoriel de dimension infinie
$V$
est de dimension~:
$${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_K(V^\ast)\!=\!%
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(K)%
^{{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_K(V)}%
$$
En particulier pour
$V$
de  dimension infinie, le dual 
$V^\ast$
 n'est pas isomorphe {\`a}
$V$%
.
\finc
\Thc Proposition|
Soit
$V_k\!\subset\!V$
une
$k$%
-structure sur un
$K$%
-espace vectoriel {\`a} gauche. Alors
${\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_k(V_k, k)\!\subset\!%
{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_k(V_k, K)\!=\!%
{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_K(V, K)$
est
$(K, k)$%
-libre.\hfill\break
Si
$V_k$
est de dimension finie, c'est une 
$k$%
-structure sur le dual
$V^\ast={\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_K(V, W)$%
.
\finc

{\eightpoint
\Dem Soit 
une famille
$\underline{f}=(f_i)_{i\in I}, f_i\in%
{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_k(V_k, k)$
libre sur
$k$%
. Une relation lin{\'e}aire 
$\displaystyle\sum_{i\in I} f_ib_i\!=\!0, b_i\!\in\!K$
sur
$K$
donne, si pour chaque
$\displaystyle i\in I,\ b_i\!=\!%
\sum_{j\in J}b_{i,\,j}\beta_j$
est l'{\'e}criture du coefficient
$b_i\in K$
dans la base 
$(\beta_i)_{i\in I}, \beta_i\in K_s$%
, les relations lin{\'e}aires
$\displaystyle\sum_{i\in I}f_ib_{i,\,j}\!=\!%
0, j\!\in\!J, %
b_{i,\,j}\in k$
qui, puisque la famille
$\underline{f}$
est 
$k$%
-libre, donnent pour tout 
$j\in J$
et
$i\in I, b_{i,\,j}\!=\!0$%
, et donc pour tout
$\displaystyle i\!\in\!I, %
b_i\!=\!\sum_{j\in J}b_{i,\,j}\beta_j\!=\!0$
et la famille
$\underline{f}$
est
$K$%
-libre.\hfill\carre

Ainsi
${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_K(%
<\!{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_k(V_k, k)\!>_K)\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(%
{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_k(V_k, k))$
et, dans le cas o{\`u}
$V_k$
est de dimension finie, le sous-
$K$%
-espace engendr{\'e} par
${\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_k(V_k, k)$
de dimension
${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(V_k)%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(k)$
$\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_K(V)%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_K(K)\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_K(%
{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_K(V, K))$%
, d'o{\`u}
$<\!{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_k(V_k, k)\!>_K=%
{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_K(V, K)$%
.\hfill\findem
}

\Thc Compl{\'e}ment|
Si
$V_k$
et
$K$
sont de dimension infinie, on a l'inclusion stricte~:
$$<{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_k(V_k, k)>_K\subset%
\bigl\{f\!\in\!{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_K(V, K)%
\, |\,%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(f(V_k))<\infty\bigr\}%
\build{\subset}_{\ne}^{}
{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_K(V, K)$$
\finc
{\eightpoint
\Dem L'image 
$\displaystyle f(V)\!\subset\!\sum_{i=1}^nk b_i$
de
$\displaystyle f\!=\!\sum_{i=1}^nf_ib_i\in%
<\!{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_k(V_k, k)>_K%
\!\subset\!
{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_K(V, K)$
est de dimension finie sur
$k$%
, alors que si
$(x_i)_{i\in I}, x_i\!\in\!K$
est une famille d'ensemble d'indice
celui d'une base
$(e_i)_{i\in I}, e_i\!\in\!V_k$%
, la forme lin{\'e}aire 
$f\!\in\!{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_K(V, K)$
d{\'e}termin{\'e}e par
$f(e_i)\!=\!x_i$
est d'image
$<x_i, i\in I>_k\subset K$%
, dont la dimension peut {\^e}tre  
${\mathop{\rm Min\/}\nolimits}\bigl(%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_K(V), %
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(K)\bigr)$%
.\hfill\findem
}

Le th{\'e}or{\`e}me d{\'e}coule 
des trois Affirmations~:
\Thc Affirmation 1|
${\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(V^\ast)=%
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(k)^%
{{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(V)}$
\finc
{\eightpoint
\Dem
Cela suit de l'exemple et la Proposition 1
 de {\bf 1.5\/}.\hfill\findem
}

%
\Thc Affirmation 2|
Si l'espace vectoriel
$V$
est de dimension infinie on a~:
$${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_K(V^\ast)\geq%
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(K)$$
\finc
{\eightpoint
\Dem 
Le dual de
$V^\ast$
est de dimension infinie car, d'apr{\'e}s 
$({\romannumeral1})$
de la Proposition 3 de {\bf 1.5\/}
il contient le sous-espace de dimension infinie
$\iota_V(V)$%
, ainsi
$V^\ast$
est de dimension infinie.\hfill\break 
Ayant le r{\'e}sultat pour
$k$
au plus d{\'e}nombrable, on suppose 
${\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(k)>%
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}({\bf N\/})$%
. 

On choisit une
$K$%
-base
$(e_i)_{i<I}, e_i\!\in\!V$
de
$V$%
. Pour tout
$k\!\subset\!K$%
, on note
$\displaystyle V_k\!=\!\oplus_{i<I}ke_i\!\subset V$%
, c'est une famille coissante 
(si
$k\!\subset\!k'\!\subset\!K%
, V_{k}\!\subset\!V_{k'}$%
) de
$k$%
-structures pour
$k\!\in\!{\cal K\/}_<(K)$
sur
$V$% 
.

 D'o{\`u} une famille croissante
$(V_{k_i})_{0<i<I}$
de structures rationnelles pour les sous-corps
$k_i\!\subset\!K, 0\!<\!i\!<\!$
donn{\'e} par la Proposition de {\bf 3.5.3\/},


D'apr{\`e}s  le Compl{\'e}ment de la Proposition
pour 
$0\leq i<I$
on a l'inclusion stricte~:
$$<{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}%
_{k_i}(V_{k_i},k_i>%
_{k_{i+1}}%
\build{\subset}_{\ne}^{}
{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_{k_i}(V_{k_i},k_{i+1})$$
Il y a donc,
d'apr{\`e}s l'axiome du choix, une application
$g : [0, I[\rightarrow V^\ast$
telle si
$0\!\leq\!i\!<\!I$
on a~:
$$g(i)\!\in\!%
{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_%
{\!\!k_i}(V_{k_i},k_{i+1})%
\setminus\!%
<\!{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_%
{\!\!k_i}(V_{k_i},k_i)\!>%
_{k_{i+1}}\subset{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_K(V, K)$$
La famille
$(g(i)_{0<i<I}$
est libre et de cardinal
${\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(I)\!=\!
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(K)$%
.\hfill\findem
}
%
\Thc Affirmation 3|
Si
$W$
est un
$k$%
-espace vectoriel on a~:
$${\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(W)=%
{\mathop{\rm Max\/}\nolimits}\bigl(%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(X), %
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(k))\bigr)$$
\finc
{\eightpoint
Si
$(w_j)_{j\in J}, w_j\in W$
est une base du dual on a
${\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(J)\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(W)$
infini et~:
$$\displaystyle W\!=\!\oplus_{j\in J}w_j k\!=\!%
\cup_{n=0}^{\infty}\cup_{J'\subset J,
  {\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(J')=n}%
\oplus_{j'\in J'}w_{j'}k$$
d'o{\'u} le r{\'e}sultat, puisque
${\mathop{\rm Card\/}\nolimits}\bigl(\{J'\subset J | %
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(J')\bigr)\!=\!n\}\!=\!%
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(J)$
et
${\mathop{\rm Card\/}\nolimits}\bigl(%
\oplus_{i=1}^nw_{j'_i}k\bigr)\!=\!%
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(k^n)$
qui est soit un cardinal fini, soit celui de
$k$%
.\hfill\findem
}
\vskip10mm
{\eightpoint
\centerline{\eightpoint\petcap
 Commentaires bibliographiques\/}
\vskip1mm

Pour une preuve interm{\'e}diaire entre l'originale
(\S3 du chap. \uppercase\expandafter{\romannumeral9} du
vol. \uppercase\expandafter{\romannumeral2} de {\bf [Ja]\/})
et la pr{\'e}sente, faire
les exercices 2 et 3 du \S7 du chap.
\uppercase\expandafter{\romannumeral2} des
{\'e}ditions apr{\`e}s la troisi{\`e}me ({\oldstyle 1959}) de
{[Bo]\/}.




}
%\end


%
%\hbox{\carre\nobreak\qed}
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}
%
%{\mathop{\rm Log}\nolimits}
%
%\build{=}_{}^{\sevenrm u.c.}
%
%\build{{\mathop{\rm Lim}\nolimits}}_{z\rightarrow u}^{}

%
%\rmc {\bf Exercice 1 }|
%\finc



%\nsecp Espaces m{\'e}triques sur un corps, orthogonalit{\'e} et  isomorphisme|
%

%\nssecp Produits scalaires et espaces m{\'e}triques|
