%\input JOSEPH
%\global\sssecno=2\ssecno=5\global\secno=3
%\pageno=34

%\nssecp Application aux syst{\'e}mes lin{\'e}aires.|
%\nsssecp Syst{\`e}mes lin{\'e}aires
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}~:

%\nsssecp Syst{\`e}mes lin{\'e}aires
%\uppercase\expandafter{\romannumeral2}~:
%\nssecp Structure rationnelle sur un sous-corps.|
%\nsssecp  D{\'e}finitions exemples et propri{\'e}t{\'e}s.|
%\nsssecp Applications~:
%{\uppercase\expandafter{\romannumeral1}}
%Quelques propri{\'e}t{\'e}s des corps gauches.|


\nsssecp Applications~:
{\uppercase\expandafter{\romannumeral2}}
Tours de sous-corps d'un corps %
non d{\'e}nombrable.|
\Thc Lemme|
Si
$M\subset G$
est une partie infinie d'un groupe
$G$%
.

Alors le sous-groupe
$G_M\subset G$
engendr{\'e} par
$M$
dans 
$G$
est de m{\^e}me cardinal~:
$${\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(G_M)=
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(G)$$
\finc
{\eightpoint
\Dem
Quitte {\`a} changer
$M$
en
$\{e_G, m, m^{-1} | m\!\in\!M\}$
(de m{\^e}me cardinal que
$M$%
) on peut supposer 
$G_M$
image par la composition de
l'ensemble
$M^{({\Bbb N})}$
des suites de longueur finie dans
$M$
dont le cardinal est celui de 
$M$%
, d'o{\`u}
${\mathop{\rm Card\/}\nolimits} M\!\leq\!%
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits} G_M\!\leq\!%
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits} M^{({\Bbb N})}\!=\!%
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits} M$%
.\hfill\findem
}
\Thc Corollaire|
Soit
$M\subset K$
une partie infinie d'un corps
$K$%
.

Alors le sous-corps
$K_M\subset K$
engendr{\'e} par
$M$
est de m{\^e}me cardinal~:
$${\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(K_M)=%
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(M)$$

\finc
\vskip-3mm
{\eightpoint
\Dem
Soit
$A_n\!\subset\!K, n\!\in\!{\Bbb N\/}$
les parties d{\'e}finies par
$A_0\!=\!M$
et les relations de r{\'e}cur\-rence
$A_{2n+1}\!=\!%
{K^\times}_{\!\!A_{2n}\setminus\{0\}}\!\subset\!K^\times$%
, sous-groupe du groupe multplicatif de
$K$
engendr{\'e} par
$A_{2n}\!\setminus\!\{0\}$
et
$A_{2n+2}\!=\!{K^+}_{A_{2n+1}}\!\subset\!K^+$%
, sous-groupe du groupe additif de
$K$
engendr{\'e} par
$A_{2n+1}$%
. D'apr{\'e}s le  Lemme elles ont m{\^e}me
cardinal que
$M$%
, il en est de m{\^e}me de leur union
$\displaystyle K_M\!=\!%
\cup_{n\in{\Bbb N}}A_n$%
.\hfill\findem

Si
$B\!\subset\!K$
est une
$k$%
-base d'un surcorps
$K\!\supset\!k$
d'un corps
$k$
on a
$B\!\subset\!K\!=\!K_{k\amalg B}$
d'o{\'u} le~:
}
\Thc co-Corollaire|
Le cardinal d'un surcorps
$K\!\supset\!k$
d'un corps
$k$
est~:
$${\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(K)=%
{\mathop{\rm Max\/}\nolimits}\bigl(%
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(k), %
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(K)\bigr)
$$
\finc
\Thc Proposition|
Soit
$K$
un corps de cardinal sup{\'e}rieur au d{\'e}nombrable~:
$${\mathop{\rm Card}\nolimits}(K)>%
{\mathop{\rm Card}\nolimits}({\Bbb N\/})$$
et
$I$
le plus petit ordinal de cardinal
${\mathop{\rm Card}\nolimits}(I)=%
{\mathop{\rm Card}\nolimits}(K)$
celui de
$K$%
.

Alors il y a 
$(k_i)_{i\in]0, I[}, k_i\!\subset\!K, %
{\mathop{\rm card\/}\nolimits}(k_{i})\!=\!
{\mathop{\rm Max\/}\nolimits}\bigl(%
{\mathop{\rm Card}\nolimits}(i),\,
{\mathop{\rm Card}\nolimits}({\Bbb N\/})\bigr)$%
, une famille de sous-corps infinis de
$K$
qui, si
$k_0=K_{\{1\}}$
le {\it sous-corps premier\/}\note{\eightpoint
{\it c. a d.\/} engendr{\'e} dans
$K$
par la partie
$\{1\}\subset K$%
.
}
de
$K$%
, est \og infiniment croisssante\fgf, {\it c. a d.\/}
 pour tout
$j\!<\!i\!\in\![0, I[$
on a~:
$$k_j\subset k_i\quad\hbox{\rm et\/}\quad
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_{k_i}(k_{i+1})\!\geq\!
{\mathop{\rm Card}\nolimits}({\Bbb N\/})$$
\finc
{\eightpoint
\Dem
Soit
$${\cal K\/}^\infty_{<\!<\!K}\!=\!%
\bigl\{k\subset K\,|\, %
{\mathop{\rm Car\/}\nolimits}({\bf N\/})\!\leq\!%
{\mathop{\rm Car\/}\nolimits}(k)\!<\!%
{\mathop{\rm Car\/}\nolimits}(K)\bigr\}$$
l'ensemble des sous-corps infinis de 
$K$
de cardinal inf{\'e}rieur {\`a} celui de
$K$%
.

Pour tout
$k\!\in\!{\cal K\/}^\infty_{<\!<\!K}$
le co-Corollaire donne
${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_{k}(K)\!=\!% 
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(K)$%
. 

Ainsi, l'axiome du choix donne
 une partie libre d{\'e}nombrable
$J_k\!\subset\!K$
et donc, toujours d'apr{\'e}s le co-Corollaire,
le sous-corps de
$K$
engendr{\'e} par cette partie,
$k(J_k)$
v{\'e}rifie~:\hfill\break
$k\!\subset\!k(J_k),\  %
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(k(J_k))\!=\!% 
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(k)$%
, donc
$k(J_k)\!\in\!{\cal K\/}^\infty_{<\!<\!K}$
et 
${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(k(J_k))\!\geq\!% 
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}({\bf N\/})$%
.

De m{\^e}me, le corps
premier 
$k_0$
{\'e}tant fini ou d{\'e}nombrable, 
la dimension sur 
$k_0$
du corps
$K$
est  
${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_{k_0}(K)\!=\!% 
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(K)$%
, le cardinal de 
$K$%
. Il y a donc une partie 
$k_0$%
-libre d{\'e}nombrable
$J_0\!\subset\!K$%
.



 
La suite
$k_i\!\in\!{\cal K\/}^\infty_{<\!<\!K}, i\!\in\!]0, I[$
se d{\'e}finit par
$k_1\!=\!K_{J_0}$
le sous-corps de
$K$
engendr{\'e} par
$J_0\subset K$
et les relations de r{\'e}currence (transfinie)
$k_{i+1}\!=\!k_i(J_{k_i})$%
, corps engendr{\'e} dans
$K$
sur
$k_i$
par
$J_{k_i}$%
, et si
$j\!\in\!]0, I[$
n'a pas de pr{\'e}c{\'e}dent 
$k_i\!=\!\cup_{j<i}k_i\!=\!k_0(\cup_{j<i}J_j)$%
. Ainsi
$k_i$
est le corps engendr{\'e} dans 
$K$
par 
$I_i\!=\!\cup_{j<i}J_j$%
, partie de cardinal 
${\mathop{\rm card\/}\nolimits}(I)\!=\!
{\mathop{\rm Max\/}\nolimits}\bigl(%
{\mathop{\rm Card}\nolimits}(i),\,
{\mathop{\rm Card}\nolimits}({\Bbb N\/})\bigr)$%
, et libre sur le corps premier.
Ce sous-corps est, d'apr{{\'e}s} le co-Corollaire,
de cardinal
${\mathop{\rm card\/}\nolimits}(k_i)\!=\!
{\mathop{\rm Max\/}\nolimits}\bigl(%
{\mathop{\rm Card}\nolimits}(i),\,
{\mathop{\rm Card}\nolimits}({\Bbb N\/})\bigr)$%
.\hfill\findem
}
\rmc Remarque|
Le corps
${\bf C\/}(X)$
des fractions rationnelles {\`a} coefficients complexes
est engendr{\'e} sur
${\bf C\/}$
par\note{\eightpoint
il est m{\^e}me engendr{\'e} par le seul {\'e}l{\'e}ment
$X$%
.
} 
la famille d{\'e}nombrable libre
$(X^n)_{n\in{\bf N\/}}$%
.
Par d{\'e}composition en {\'e}l{\'e}ments simples,
cette famille se compl{\`e}te par
$({{1}\over{(X-a)^{m+1}}})_{(a, m)\in{\bf R\/}\times{\bf N\/}}$
en une base. Ainsi~:
$${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_{\bf C\/}({\bf C\/}(X))\!=\!%
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}({\bf N\/}\cup({\bf C\/}\times{\bf N\/}))\!=\!
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}({\bf C\/})\!>\!%
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}({\bf N\/})$$
et dans la proposition l'in{\'e}galit{\'e}
${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_{k_i}(k_{i+1})\!\geq\!
{\mathop{\rm Card}\nolimits}({\Bbb N\/})$
peut {\^e}tre stricte.
\finc%

%\end


%
%\hbox{\carre\nobreak\qed}
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}
%
%{\mathop{\rm Log}\nolimits}
%
%\build{=}_{}^{\sevenrm u.c.}
%
%\build{{\mathop{\rm Lim}\nolimits}}_{z\rightarrow u}^{}

%
%\rmc {\bf Exercice 1 }|
%\finc



%\nsecp Espaces m{\'e}triques sur un corps, orthogonalit{\'e} et  isomorphisme|
%

%\nssecp Produits scalaires et espaces m{\'e}triques|
