
%\input JOSEPH
%\global\sssecno=1\ssecno=4\global\secno=3
%\pageno=30
%\nssecp Application aux syst{\'e}mes lin{\'e}aires.|
%\nsssecp Syst{\`e}mes lin{\'e}aires
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}~:
%\nsssecp Syst{\`e}mes lin{\'e}aires
%\uppercase\expandafter{\romannumeral2}~:
%\nssecp Structure rationnelle sur un sous-corps.|
%\nsssecp  D{\'e}finitions exemples et propri{\'e}t{\'e}s.|
\nsssecp Applications~:
{\uppercase\expandafter{\romannumeral1}}
Quelques propri{\'e}t{\'e}s des corps gauches.|
\Defn Le {\it centre\/} d'un corps
$K$
est l'ensemble~: 
$${\mathop{\rm Z\/}\nolimits}(K)=%
\{z\in K\ |\ %
\forall \lambda\in K, z\lambda=\lambda z\}$$
des {\'e}l{\'e}ments de
$K$
commutant {\`a} tout {\'e}l{\'e}ment de
$K$%
.
 

 Plus g{\'e}n{\'e}ralement, le
{\it commutant dans
$K$%
\/} d'une partie
$L\subset K$
est~:
$${\mathop{\rm C\/}\nolimits}_K(L)=
\{z\in K\ |\ %
\forall \lambda\in L, z\lambda=\lambda z\}$$
On a
${\mathop{\rm Z\/}\nolimits}(K)\!=\!%
{\mathop{\rm C\/}\nolimits}_K(L)$%
, et ces
${\mathop{\rm C\/}\nolimits}_K(L)$
 sont\note{\eightpoint
Car 
$0\!\in\!{\mathop{\rm C\/}\nolimits}(L)$
et si 
$z_1, z_2, z\!\in\!{\mathop{\rm C\/}\nolimits}(L)$
avec 
$z\!\ne\!0$%
, pour tout
$\lambda\!\in\!K$
on a
$\lambda(z_1-z_2)\!=\!\lambda z_1-\lambda z_2\!=\!%
z_1\lambda-z_2\lambda\!=\!(z_1-z_2)\lambda,
\lambda(z_2z_1)\!=\!(\lambda z_2)z_1\!=\!%
(z_2\lambda)z_1\!=\!z_2(\lambda z_1)\!=\!%
z_2(z_1\lambda)\!=\!(z_2z_1)\lambda$
et 
$ z^{-1}\lambda\!=\!z^{-1}\lambda(zz^{-1})\!=\!%
z^{-1}(\lambda z)z^{-1}\!=\!%
z^{-1}(z\lambda)z^{-1}\!=\!%
(z^{-1}z)\lambda z^{-1}\!=\!\lambda z^{-1}$%
, donc
$z_1-z_2, z_2z_1, z^{-1}\!\in\!%
{\mathop{\rm C\/}\nolimits}(L)$%
.
}
 des sous-corps de
$K$%
.


Soit
$K$
un corps de centre
$k={\mathop{\rm Z\/}\nolimits}(K)$%
. 

{\eightpoint
Consid{\'e}rons le groupe des endomorphismes 
${\mathop{\rm End\/}\nolimits}_k(K_s)$
du
$k$%
-espace vectoriel {\`a} gauche
$K$%
. La multiplication {\`a} droite
${\mathop{\rm End\/}\nolimits}_k(K)\!\times\!\!K\!\ni\!%
(f, b)\!\mapsto\!f b : x\!\mapsto\!f(x)b$
en fait un
$K$%
-espace vectoriel {\`a} droite.
Il contient, 
$k$
{\'e}tant dans le centre de
$K$%
,
le sous-%
$k$%
-espace vectoriel 
$\sigma_K$
(isomorphe {\`a}
$K$%
) des multiplications {\`a} gauche
(lin{\'e}aires {\`a} droite)
$\sigma_a : K\rightarrow K, x\mapsto ax$
par les {\'e}l{\'e}ments 
$a\in K$%
. 
}
\Thc Lemme 1|
Ce sous-espace vectoriel
$\sigma_K$
des multiplications {\`a} gauche
par les {\'e}l{\'e}ments de
$K$
est 
$(K, k)$%
-libre dans le
$K$%
-espace vectoriel {\`a} droite
${\mathop{\rm End\/}\nolimits}_k(K_s)$
des
$k$%
-endomorphismes lin{\'e}aires ({\`a} gauche) de
$K$%
.
\finc
{\eightpoint
\Dem Soit
$\underline{\sigma}\!=\!(\sigma_{a_i})_{i\in I}, %
\sigma_{a_i}\in\sigma_K,a_i\!\in\!K$
une famille li{\'e}e de
$\sigma_K$
et
$\displaystyle\sum_{j=1}^n\sigma_{a_{i_j}}b_{i_j}\!=\!0$
une relation lin{\'e}aire non triviale de
longueur
$n$
minimale.
Quitte {\`a} remplacer 
$b_{i_j}$
par 
$b_{i_j}b_{i_n}^{-1}$%
, on peut supposer
$b_{i_n}\!=\!1$%
. Alors pour tout
$c\!\in\!K$
et
$x\in K$
on a
$\displaystyle0\!=\!%
\sum_{j=1}^n\sigma_{a_{i_j}}(xc)b_{i_j}\!=\!%
\sum_{j=1}^n\sigma_{a_{i_j}}(x)cb_{i_j}$
d'o{\`u}
$\displaystyle0\!=\!%
\sum_{j=1}^n\sigma_{a_{i_j}}cb_{i_j}-%
\sum_{j=1}^n\sigma_{a_{i_j}}b_{i_j}c\!=\!%
\sum_{j=1}^{n}\sigma_{a_{i_j}}(x)(cb_{i_j}-b_{i_j}c)%
\!=\!%
\sum_{j=1}^{n-1}\sigma_{a_{i_j}}(x)(cb_{i_j}-b_{i_j}c)$
et par minimalit{\'e} de
$n$
on a pour tout
$c\!\in\!K$
et
$j=1,\ldots, n, cb_{i_j}-b_{i_j}c=0$
et donc
$b_{i_j}\in{\mathop{\rm Z\/}\nolimits}(K)=k$%
.\hfill\findem
}
\Thc Compl{\'e}ment|
Soit
$(a_i)_{i\in I}, a_i\!\in\!K$
une 
$k$%
-base et 
$(b_i)_{i\in I}, b_i\!\in\!K$
une famille d'{\'e}l{\'e}ments presque tous nuls de
$K$%
.

Alors, si
$k\subset L\subset K$
est un sous corps de
$K$
contenant
$k$%
, l'endomorphisme
$$\displaystyle\sum_{i\in I}\sigma_{a_i}b_i\!\in\!%
{\mathop{\rm End\/}\nolimits}_k(K_s)$$
est
$L$%
-lin{\'e}aire [{\it c. a d.\/}
$\displaystyle\sum_{i\in I}\sigma_{a_i}b_i\!\in\!%
{\mathop{\rm End\/}\nolimits}_L(K_s)\!\subset\!%
{\mathop{\rm End\/}\nolimits}_k(K_s)$%
] si et seulement si~:\hfill\break
 pour tout
$i\in I$
le coefficient
$b_i\!\in\!{\mathop{\rm C\/}\nolimits}_K(L)$
est dans le commutant de
$L$
dans 
$K$%
.
\finc
%
{\eightpoint
\Dem 
$\displaystyle\sum_{i\in I}\sigma_{a_i}b_i\!\in\!%
{\mathop{\rm End\/}\nolimits}_L(K)$
si et seulement si pour tout
$\lambda\!\in\!L$
et
$x\!\in\!K$
on a
$\displaystyle%
\sum_{i\in I} \sigma_{a_i}(x)b_i\lambda\!=\!%
\bigl(\sum_{i\in I}\sigma_{a_i}(x)b_i\bigr)%
\lambda\!=\!%
\sum_{i\in I}\sigma_{a_i}(x\lambda)b_i\!=\!%
\sum_{i\in I}a_i(x\lambda)b_i\!=\!%
\sum_{i\in I}(a_ix)\lambda b_i\!=\!%
\sum_{i\in I}\sigma_{a_i}(x)\lambda b_i$%
, donc
$\displaystyle%
\sum_{i\!\in\!I}\sigma_{a_i}b_i\lambda\!=\!%
\sum_{i\!\in\!I}\sigma_{a_i}\lambda b_i$
et, puisque d'apr{\`e}s le Lemme la famille
$(\sigma_{a_i})_{i\in I}$
est libre sur
$K$%
, pour tout
$i\!\in\!I$%
et
pour tout
$\lambda\!\in\!L$%
, on a
$b_i\lambda=\lambda b_i$%
, {\it c. a d.\/} pour tout
$i\!\in\!I, b_i\!\in\!%
{\mathop{\rm C\/}\nolimits}_K(L)$%
.\hfill\findem
}
%
\vskip-1mm
On suppose d{\'e}sormais le corps
$K$
de dimension\note{\eightpoint
Comme
$k={\mathop{\rm Z\/}\nolimits}(K)$
les structure 
$K_s, K_d$
de
$k$%
-espace vectoriel {\`a} gauche et {\`a} droite
sur
$K$
co{\"\i}ncident et cette dimension sur
$k$
ne d{\'e}pend
de ce \og choix de c{\^o}t{\'e} des scalaires\fgf.
\hfill\break
De m{\^e}me si
$L\!\subset\!K$
est un sous-corps commutatif de
$K$
les structures {\`a} gauche et {\`a} droite de
$k\cap L$%
-espaces vectoriels sur
$k$
et
$L$
co{\"\i}ncident et les relations 
de la Proposition 
{\bf 3.5.1\/}
$${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_{k\cap L}(K)\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_{k\cap L}(L)\cdot%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_{L}(K)\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_{k\cap L}(k)\cdot%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_{k}(K)$$
donnent que les dimensions sur
$L$
ne d{\'e}pendent pas non plus
du choix de c{\^o}t{\'e}.
}
 finie 
$d$
sur son centre
$k$%
.\hfill\break
 En ce cas le Lemme et son compl{\'e}ment se
pr{\'e}cisent en la~:
%
\vskip-1mm
\Thc Proposition 1|
Soit
$(a_i)_{1\leq i\leq d}, a_i\!\in\!K$
une base du
$k$%
-e.v.
$K$%
. Alors~:

$({\romannumeral1)}$ la famille
$(\sigma_{a_i})_{1\!\leq\!i\!\leq\!d}\!\in\!%
{\mathop{\rm End\/}\nolimits}_k(K_s)$
est une 
$K$%
-base.

$({\romannumeral2)}$ Si
$k\!\subset\!L\!\subset\!K$
est un sous-corps de
$K$
contenant le centre
$k$%
, sa dimension et celle de son commutant
${\mathop{\rm C\/}\nolimits}_K(L)$
dans
$K$
sont li{\'e}es par la relation~:
$${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(%
{\mathop{\rm C\/}\nolimits}_K(L))\!\cdot\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(L)\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(K)$$

En particulier
$d=n^2$%
, la dimension de
$K$
sur
$k$
est le carr{\'e} de la dimension
$n={\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(L)$
de tout sous-corps commutatif maximal
$L\!\subset\!K$%
.
\finc
%
\vskip-1mm
{\eightpoint
\Dem Le sous-espace
$<\!\sigma_K\!>_K\subset\!%
{\mathop{\rm End\/}\nolimits}_k(K))$
est, d'apr{\`e}s la Proposition de 
{\bf 3.5.1\/} de dimension~:
${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(<\sigma_K>_K)\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(K)\!\cdot\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_K(<\sigma_K>_K)\!=\!%
d^2\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(%
{\mathop{\rm End\/}\nolimits}_k(K))$
et donc d'apr{\'e}s le co-Corollaire de {\bf 3.2\/}
on a l'{\'e}galit{\'e}
$<\sigma_K>_K\!=\!%
{\mathop{\rm End\/}\nolimits}_k(K))$%
.\hfill\carre

Soit
$c\!=\!{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_L(K)$%
. On a
${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(%
{\mathop{\rm End\/}\nolimits}_L(K))\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(%
{\mathop{\rm M\/}\nolimits}_{c,\, c}(L))$%
. D'apr{\`e}s la Proposition de {\bf 3.5.1\/} on a
$d\!=\!{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(K)\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(L)\cdot c$
et
${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(%
{\mathop{\rm End\/}\nolimits}_L(K))\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(L)\!\cdot\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_L(%
{\mathop{\rm M\/}\nolimits}_{c,\, c}(L))\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(L)\!\cdot\!c^2$.


D'autre part d'apr{\`e}s le Compl{\'e}ment du Lemme
on a
${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(%
{\mathop{\rm End\/}\nolimits}_L(K))\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(<\!\sigma_K\!>_%
{{\mathop{\rm C\/}\nolimits}_K(L)}\!)$
qui, toujours d'apr{\`e}s
la Proposition de {\bf 3.5.1\/} est
${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(%
{\mathop{\rm C\/}\nolimits}_K(L))\!\cdot\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(K)$%
. 

D'o{\`u}
$\bigl[{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(%
{\mathop{\rm C\/}\nolimits}_K(L))\!\cdot\!%
({\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(L)\bigr]\cdot c\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(%
{\mathop{\rm C\/}\nolimits}_K(L))\!\cdot\!%
\bigl[{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(L)%
\!\cdot\!c\bigr]\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(%
{\mathop{\rm C\/}\nolimits}_K(L))\!\cdot\!d\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(%
{\mathop{\rm End\/}\nolimits}_L(K))\!=\!%
\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(L)\!\cdot\!c^2\!=\!%
\bigl[{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(L)%
\!\cdot\!c\bigr]\!\cdot\!c\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(K)\!\cdot\!c$
et, en simplifiant cette relation entre entiers
positifs par
$c$%
, la relation de
$({\romannumeral2)}$%
.\hfill\carre

Enfin,
$k$
{\'e}tant commutatif, le corps 
$K$
contient des sous-corps commutatifs contenant
$k$%
, 
 de dimension sur
$k$
au plus
$d$%
, chacun est inclus dans un sous-corps commutatif
maximal
$L$%
.

 Pour tout
$x\!\in\!{\mathop{\rm C\/}\nolimits}_K(L))$
le sous-corps 
$L(x)\!\subset\!H$
engendr{\'e} par
$L$
et
$x$
contient
$L$
et
$x$
et est commutatif.
$L$
{\'e}tant suppos{\'e} maximal on a
$L(x)\!=\!L$
et donc
$x\!\in\!L$%
, {\it c. a d.\/}
${\mathop{\rm C\/}\nolimits}_K(L))\!=\!L$%
. 

La relation de 
$({\romannumeral2)}$
donne alors
${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(K)\!=\!%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(L)^2$%
.\hfill\carre\findem
}
\vskip-1mm
\Thc Corollaire 1|
Soit
$\alpha : K\rightarrow K$
un
$k$%
-automorphisme de corps.

Alors il y a
$a\in K$
tel que pour tout
$x\in K$
on a
$\alpha(x)=a^{-1}xa$%
.
\finc
\vskip-1mm
{\eightpoint
\Dem Comme
$\alpha(1)\!=\!1\!\ne\!0$
et avec les notations ci-dessus, il y a
$b_1,\cdots, b_d\!\in\!K$%
, non tous nuls, t.q. pour tout
$y\!\in\!K,\
\displaystyle\alpha(y)\!=\!\sum_{i=1}^d\sigma_{a_i}(y)b_i$%
. Donc pour tout
$x\!\in\!K, 0\!=\!\alpha(yx)-\alpha(y)\alpha(x)\!=\!$
$$\displaystyle\!=\!%
\sum_{i=1}^d\sigma_{a_i}(yx)b_i-\sum_{i=1}^d\sigma_{a_i}(y)b_i\alpha(x)\!=\!%
\sum_{i=1}^d\sigma_{a_i}(y)xb_i-\sum_{i=1}^d\sigma_{a_i}(y)b_i\alpha(x)\!=\!%
\sum_{i=1}^d\sigma_{a_i}(y)(xb_i-b_i\alpha(x))$$
et, par le Lemme 1, pour
$i\!=\!1,\ldots,\!d,\ xb_i=b_i\alpha(x)$%
. Si
$a\!=\!b_i\!\ne\!0$
on a alors~:
$\alpha(x)\!=\!a^{-1}xa$%
.\hfill\findem
}
\rmc Remarque et d{\'e}finitions|
Si
$a\!\in\!K$
la sous-
$k$%
-alg{\`e}bre
$k[a]\!\subset\!K$
engendr{\'e} par
$a$
est  un sous-corps commutatif de
$K$%
.
Le {\it degr{\'e} 
$d_a$
de
$a$
sur
$k$%
\/}
est sa dimension sur
$k$%
, 
le plus petit entier positif
$p$
tel que
$<1=a^0, a,\ldots, a^p>=<a^0,\ldots, a^{p-1}>$%
. Ainsi
$\underline{a}\!=\!(a^j)_{0\leq j\leq d_a-1}$
est base de
$k[a]$
et il y a 
$a_0,\ldots,a_{d_a-1}\!\in\!k$
tels que
$\displaystyle a^{d_a}\!=\!\sum_{j=0}^{d_a-1}a_ia^i$%
.\hfill\break
 La matrice\note{\eightpoint
op{\'e}rant par multiplication {\`a} droite
sur les lignes de coordon{\'e}es puisque l'on
consid{\`e}re ici le sous-corps
$k[a]$
comme
$k$%
-espace vectoriel {\`a} gauche.
} 
dans la base
$\underline{a}$
de la restriction
${\sigma_a}_{|k[a]}$
est donc
 la {\it matrice compagnon\/}~:
$$
\pmatrix{0&1\!\!&\cdots0\cdots&\!\!0\!\!&\cdots0\cdots&0\cr
        \vdots&\vdots\!\!&\ddots&\!\!\!\!&\vdots&0\cr
        0&0\!\!&\cdots0\cdots&\!\!1&\!\!\cdots0\cdots&0\cr
        \vdots&0\!\!&\vdots&\!\!\!\!&\ddots&0\cr
        0&0\!\!&\cdots0\cdots&\!\!0\!\!&\cdots0\cdots&1\cr
        a_0&a_1\!\!&\cdots&\!\!a_k\!\!&\cdots&a_{d_a-1}\cr
        }
$$
du
{\it polyn{\^o}me minimal de
$ a$%
\/}~:
$\displaystyle P_a\!=\!\chi_{{\sigma_a}_{|k[a]}}\!=\!%
X^{d_a}-\sum_{j=0}^{d_a-1}a_jX^j\!\in\!k[X]$%
.
\finc
{\eightpoint
 \Dem
Puisque 
$k\!=\!{\mathop{\rm Z\/}\nolimits}(K)\!\subset\!%
{\mathop{\rm C\/}\nolimits}_K(a)$
la sous-alg{\`e}bre
$k[a]$
est commutative.\hfill\break
 Comme sous-espace de 
$K$%
,
elle est un
$k$%
-espace vectoriel de dimension finie.\hfill\break
 Pour tout
$0\!\ne\!c\!\in\!k[a]$
la restriction 
${\sigma_c}_{|k[a]}$
est un endomorphisme injectif du
$k$%
-espace vectoriel de dimension finie
$k[a]$%
, donc surjectif  et
$c'$
tel que
$\sigma_c(c')\!=\!1$
est inverse de
$c$
dans
$k[a]$%
.\hfill\findem
}
\Thc Corollaire 2|
Le degr{\'e} 
$d_a$
d'un {\'e}l{\'e}ment
$a\in K$
divise 
$n=d_ae_a$%
.\hfill\break
{\eightpoint
Le quotient
$e_a\!=\!{\mathop{\rm deg\/}\nolimits}_{k[a]}(L)$
{\'e}tant  degr{\'e} sur
$k[a]$
d'un
sous-corps commutatif maximal 
$L\!\ni\!a$%
.
}
\finc
\Thc Lemme 2|
Soit
$L\subset K$
un sous-corps commutati maximal.\hfill\break
Alors pour tout
$a\in K$
le polyn{\^o}me caract{\'e}ristique de
$\sigma_a\in{\mathop{\rm End\/}\nolimits}_L(K)$
v{\'e}rifie~:
$$\chi_{\sigma_a}=P_a^{e_a}$$
en particulier 
$\chi_{\sigma_a}\in k[X]$%
, il est {\`a} coefficients dans
$k$%
.
\finc
{\eightpoint
\Dem Soit
$(\alpha_j)_{1\leq j\leq e_an}$
une base du
$k[a]$%
-espace vectoriel {\`a} gauche
$K$%
. Le
$k$%
-espace vectoriel
$\sigma_K\subset<\sigma_K>_L\!=\!%
{\mathop{\rm End\/}\nolimits}_L(K)$
a donc la base
$(a^i\alpha_j), 0\leq i<d_a, 
                       1\leq j\leq e_an$%
, base dans laquelle la matrice du
$L$%
-endomorphisme {\`a} droite
$${{\mathop{\rm End\/}\nolimits}_L}_{\sigma_a} %
 :\ <\sigma_K>_L\rightarrow<\sigma_K>_L, %
[x\mapsto\sum a^i\alpha^jxb_{i,\, j}]\mapsto%
[x\mapsto a\sum a^i\alpha^jxb_{i,\, j}]$$
est une somme directe de
$e_an$
transpos{\'e}es de la matrice de
$\sigma_a : k[a]_s\rightarrow k[a]_s$%
. Son polyn{\^o}me caract{\'e}ristique est donc
$\chi_{{{\mathop{\rm End\/}\nolimits}_L}_{\sigma_a}}\!=\!%
{P_a}^{e_an}$%
. D'autre-part, un choix d'une
$L$%
-base de
$K\!=\!\oplus_{l=1}^nc_lL$
permet d'{\'e}crire
${\mathop{\rm End\/}\nolimits}_L(K_s)\!=\!K_d^n%
, f\mapsto(f(b_l))_{1\leq l\leq n}$
comme somme directe de
$n$
exemplaires du
$L$%
-espace {\`a} droite
$K$%
. Ainsi on a aussi
$\chi_{{{\mathop{\rm End\/}\nolimits}_L}_{\sigma_a}}\!=\!%
\chi_{\sigma_a}^n$%
. Les deux polyn{\^o}mes
$\chi_{\sigma_a}, P_a^{e_a}$
{\'e}tant unitaires, {\`a} coefficient dans
le corps
$L\supset k$
et ayant m{\^e}me puissance n\ieme 
sont\note{\eightpoint
Car leur quotient, racine
$n$%
\ieme de l'unit{\'e} du corps
$L(X)$
des fractions rationnelles {\`a} coefficients dans
$L$%
, est dans
$L$%
, donc
$1$
car les deux polyn{\^o}mes sont unitaires.%
\findem\hfill\break
Ceci ne se g{\'e}n{\'e}ralise pas
{\`a}  un anneau commutatif non int{\`e}gre~:
dans
${\bf Z}/4{\bf Z}[X]$
on a
$X^2=(X+2)^2$%
. 
}
{\'e}gaux.\hfill\findem

}
\Thc Proposition 2|
Soit
$L\subset K$
un sous-corps commutatif maximal l'application
$$N : K\rightarrow L, %
N(a)={\mathop{\rm det\/}\nolimits}_L(\sigma_a)$$
 est polynomiale\note{\eightpoint
{\it c. a d.\/} si
$(a_i)_{i=1,\ldots, d\!=\!n^2}, a_i\in K$
est une 
$k$%
-base de
$K$%
, il y un polyn{\^o}me
$P\in k[X_1,\ldots, X_{d}]$
homog{\`e}ne de degr{\'e}
$n$
tel que pour tout
$\underline{x}\!=\!(x_1,\ldots, x_d)\!\in\!k^d$
on a
$N(\displaystyle\sum_{i=1}^dx_ia_i)\!=\!%
P(x_1,\ldots, x_d))$
}
homog{\`e}ne sur 
$k$
de degr{\'e}
$n\!=\!{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(L)$
sur le 
$k$%
-espace vectoriel
$K$%
.
\finc
\vskip-2mm
{\eightpoint
\Dem D{\'e}composons
$\displaystyle N(a)\!=\!%
N_1(a)+\sum_{i=2}^nN_i(a)\beta_i$
dans une
$k$%
-base de
$L$
qui compl{\'e}te
$\beta_1\!=\!1$%
. Comme
$N$
est polynomiale sur
$L$
homog{\`e}ne de degr{\'e}
$n$%
, les 
$N_i$
sont polyn{\^o}miales sur
$k$
homog{\`e}nes de degr{\'e}
$n$%
. Le Lemme 2, 
$N(a)\!=\!(-1)^n\chi_{\sigma_a}(0)\!\in\!k$
donne 
$N_1=N$%
.\hfill\findem
}
Comme
$N(a)\!=\!0$ 
ne s'annule que pour
$a\!=\!0$%
, le th{\'eor{\`e}me de Chevalley-Warning\note{\eightpoint
\sl un polyn{\^o}me homog{\'e}ne
$P\!\in\!k[X_1,\ldots,X_N]$
 sur un corps
fini sans z{\'e}ros non trivial a son degr{\'e}
$d\geq N$
au moins {\'e}gal {\`a} son nombre de variables. Warning pr{\'e}cise~:
le nombre de z{\'e}ros d'un polyn{\^o}me 
$Q\!\in\!k[X_1,\ldots,X_N]$
de degr{\'e}
$d<N$ est nul modulo la caract{\'e}ristique 
$p$
de 
$k$%
.
}
donne, puisque
$n\geq n^2$
si et seulement si
${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(K)\!=\!n\!=\!1$%
, le~:


\Thc Th{\'e}or{\`e}me de Maclagan Wedderburn|
Tout corps fini est commutatif.
\finc
%
%
\vskip2mm
{\eightpoint
\centerline{\eightpoint\petcap
 Commentaires bibliographiques\/}
\vskip1mm

Pour les propri{\'e}t{\'e}s
(inutiles ici)
 des
 corps commutatifs finis et la preuve {\bf [Wa]\/} de Warning
du  th{\'e}or{\`e}me de Chevalley  
voir {\bf 1.7\/} de {\bf [Sa2]\/}, chap.
\uppercase\expandafter{\romannumeral1} \S1 et \S2 de {\bf [Se]}
ou \S1 du chap. 7 de {\bf [He2]\/}.

Les propri{\'e}t{\'e}s des corps gauches sont usuellement
pr{\'e}sent{\'e}es comme partie de la th{\'e}orie des modules et
anneaux semi-simple 
(Chap. \uppercase\expandafter{\romannumeral8} de {\bf [Bo]\/}) ou
Kap 12, 13 de {\bf [vW]\/},
 pour un expos{\'e}
 concis voir
le chap. \uppercase\expandafter{\romannumeral9} de {\bf [Wl]\/} et/ou
(avec plus de d{\'e}tails et exemples) {\bf [Bl]\/} et {\bf [He3]\/}.

Que le th{\'e}or{\`e}me de Wedderburn suive de celui de Chevalley remonte {\`a}
Artin, voir {\bf [Ch]\/}.

Pour le th{\'e}or{\`e}me de Wedderburn voir aussi la populaire preuve
en une page\note{\eightpoint
qui ouvre aussi {\bf [Wl]\/} avant un tr{\`e}s
bref expos{\'e} des propri{\'e}t{\'e}s des corps finis.
}
 de {\bf [Wt]\/},\hfill\break les d{\'e}monstrations originelles {\bf [MW]\/}, 
celle\note{\eightpoint
qui contient une belle arithm{\'e}tique des 
\og polyn{\^o}mes {\`a} coefficients dans un corps gauche\fgf.
}
 de {\bf [Ar1]\/}
et l'expos{\'e} \og pour sophomore\note{\eightpoint
{\it c. a d.\/} l'{\'e}quivalent {\`a} l'universit{\'e} de Cornell en
{\oldstyle 1961} du L2 du LMD Valentinois de {\oldstyle 2010}.
}%
\fg
de {\bf [He1]\/} qui est repris, avec une comparaison 
des autres preuves en fin du manuel {\bf [He2]\/}. 



}

%\nsssecp Applications~:
%{\uppercase\expandafter{\romannumeral2}}
%La dimension du dual d'un espace vectoriel.|

%\end


%
%\hbox{\carre\nobreak\qed}
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}
%
%{\mathop{\rm Log}\nolimits}
%
%\build{=}_{}^{\sevenrm u.c.}
%
%\build{{\mathop{\rm Lim}\nolimits}}_{z\rightarrow u}^{}

%
%\rmc {\bf Exercice 1 }|
%\finc



%\nsecp Espaces m{\'e}triques sur un corps, orthogonalit{\'e} et  isomorphisme|
%

%\nssecp Produits scalaires et espaces m{\'e}triques|
