%\input JOSEPH
%\global\sssecno=0\ssecno=4\global\secno=3
%\pageno=28

%\nssecp Application aux syst{\'e}mes lin{\'e}aires.|
%\nsssecp Syst{\`e}mes lin{\'e}aires
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}~:

%\nsssecp Syst{\`e}mes lin{\'e}aires
%\uppercase\expandafter{\romannumeral2}~:
\nssecp Structure rationnelle sur un sous-corps.|
\nsssecp 
D{\'e}finitions exemples et
propri{\'e}t{\'e}s.|
{\eightpoint
Dans cette sous-section on consid{\`e}re
$k\subset K$
un sous-corps du corps
$K$%
.
Ainsi tout
$K$%
-espace vectoriel
$U$
est un
$k$%
-espace vectoriel, en particulier le corps
$K$
est un 
$k$%
-espace vectoriel. 
}

\Defns 
Un 
$k$%
-sous-espace  vectoriel
$U_k\subset V$
d'un
$K$%
-espace vectoriel
$V$
est
{\it
$(K,k)$%
-libre\/}
si toute famille
$\underline{u}=(u_i)_{i\in I}, u_i\in U_k$
libre sur
$k$
est, consid{\'e}r{\'e}e comme famille
$(u_i)_{i\in I}, u_i\in V$%
, libre sur 
$K$%
. Le sous-%
$K$%
-espace vectoriel~:
$$U=U_K=<U_k>_K\subset V$$
engendr{\'e} (sur %
$K$%
) par
$U_k$
est dit {\it port{\'e} par le sous-%
$k$%
-espace-%
$(K,k)$%
-libre\/}
$U_k\subset U$%
. 

Si
$U_K=V$
on dit que l'espace 
$V$
est {\it muni de la 
$k$%
-structure\/}
$V_k=U_k\subset V$%
.
%
%


Un sous-espace
$U\subset V$
est dit {\it 
$k$%
-rationnel\/}
(pour la
$k$%
-structure
$V_k\subset V$%
) %\hfill\break
 si il est engendr{\'e} sur
$K$
par le sous-%
$k$%
-espace vectoriel
$U_k=U\cap V_k\subset V_k$
de la
$k$%
-structure.
Ce sous-espace
$U_k$
est dit
{\it espace des
$k$%
-points du\/} sous-espace
$k$%
-rationnel
$U$%
.

\rmc Remarques et exemples|
a) Un sous-%
$k$%
-espace
$U_k\!\subset\!V$
est
$(K, k)$%
-libre si et seulement si pour toute famille
$(u_i)_{i\in I}, u_i\!\in\!U_k$%
, il est {\'e}quivalent qu'elle soit, comme famille de
$U_k$%
, li{\'e}e sur
$k$
et que, consid{\'e}r{\'e}e comme
famille 
$(u_i)_{i\in I}, u_i\!\in\!V$
de
$V$%
,  elle soit li{\'e}e sur
$K$%
.

b) Un sous-%
$k$%
-espace
$W_k\!\subset\!U_k\!\subset\!V$
d'un sous-espace
$(K, k)$%
-libre est
$(K, k)$%
-libre,\hfill\break
 en particulier l'espace des
$k$%
-points d'un sous-espace
$k$%
-rationnel est
$(K, k)$%
-libre.

 c) Si 
$(b_i)_{i\in I}, b_i\!\!\in\!\!V$
est
$K$%
-base de
$V\!$%
, alors
$V_k\!\!=\!\!\oplus_{i\in I}k b_i\!\!\subset\!\!%
\oplus_{i\in I}K b_i\!\!=\!\!V\!\!$
est 
$\null\!\!k$%
-structure de 
$\!V\!$%
.
 R{\'e}ciproquement\note{\eightpoint
car une
$k$%
-base
d'une 
$k$%
-structure
$(c_i)_{i\in I}, c_i\!\in\!V_k\!\subset\!V$
engendre
$V\!=\!(V_k)_K$
et est libre sur
$K$%
.
}
toute 
$k$%
-structure sur un
$K$%
-espace vectoriel
$V$
est obtenue de cette mani{\`e}re~:

c1) {\sl Si 
$V_k\subset V$
est une
$k$%
-structure sur un
$K$%
-espace vectoriel
$V$
alors pour tout 
$K$-espace vectoriel
$W$
la restriction
${\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_K(V, W)%
\rightarrow%
{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_k(V_k, W)$
est un isomorphisme du groupe des applications
$K$%
-lin{\'e}aires de
$V$
dans
$W$
dans celui des applications
$k$%
-lin{\'e}aires de
$V_k$
dans
$W$%
.
}
{\eightpoint
\Dem Soit
$(b_i)_{i\in I}$
une base de
$V_k$%
. Ainsi 
$V_k$
et
$V$
sont respectivement
$k$%
-espace
et
$K$%
-espace libre sur cette m{\^e}me base.
 Donc, d'apr{\`e}s leur
propri{\'e}t{\'e} universelle
(Proposition 3 de {\bf 1.4\/}),
les restrictions {\`a} cette base commune
${\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_K(V, W)\ni f%
\mapsto f_{|\{b_i | i\in I\}}\in W^I$
et
${\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_k(V_k, W)\ni g%
\mapsto g_{|\{b_i | i\in I\}}\in W^I$
sont des bijections.\hfill\findem
}



c2) {\sl Si
$U\!\subset\!V$
est un sous-espace
$k$%
-rationnel pour la 
$k$%
-structure
$V_k\!\subset\!V$
alors
$V_k/U\!\cap\!V_k\!\subset\!V/U$
est une
$k$%
-structure, dite
{\it
$k$%
-structure quotient\/}
sur le quotient
$V/U$%
.
}
{\eightpoint
\Dem Soit
$\pi : V\rightarrow V/U$
l'application quotient et 
$(b_l)_{i\in L=I\amalg J}, b_l\in V_k$
une base de
$V_k$
compl{\'e}tant une base
$(b_i)_{i\in I}, b_i\!\in\!U_k$
de
$U_k$
alors,
les restrictions de
$\pi$
aux suppl{\'e}mentaires
$W_k\!=\!\oplus_{j\in J}k b_j\!\subset\!V_k\!=\!%
U_k\oplus W_k$
et
$W\!=\!\oplus_{j\in J}K b_j\subset V=U\oplus W$
de
$U_k$
et
$U$
dans
$V_k$
et
$V$
induisent des isomorphismes sur les espaces quotients
$V_k/U_k\!=\!V_k/U\cap V_k\!\subset\!V/U$
et
$V/U$
respectivement. 

Ainsi
$V_k/U_k\!=\!V_k/U_k\cap V=\pi(\oplus_{l\in L} k b_l)%
\!=\!\pi(\oplus_{j\in J}k b_j)\subset%
\pi(\oplus_{j\in J}K b_j)\!=\!%
\pi(\oplus_{l\in L}K b_l)\!=\!V/U$
est la 
$k$%
-structure du quotient
$V/U$
associ{\'e} {\`a} sa base
$(\pi(b_j))_{j\in J}, \pi(b_j)\in V/U$%
.\hfill\findem
}

\finc
%
\Thc Proposition|
Soit
$\underline{b}\!=\!(b_J)_{j\in J}, b_j\!\in\!V$
une base d'un 
$K$%
-espace vectoriel
$V$
\hfill\break
et
$\underline{\beta}\!=\!(\beta_i)_{i\in I}, \beta_i\!\in\!K$
une base du
$k$%
-espace vectoriel (aussi {\`a} gauche)
$K$%
. 

Alors
$\underline{\beta b}\!=\!%
(\beta_i b_j)_{(i,\, j)\in I\times J}, %
\beta_i b_j\!\in\!V$
est une base du
$k$%
-espace vectoriel
$V$%
, ainsi~:
$${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(V)=%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(K)\cdot%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_K(V)$$
\finc

On se donne
$V_k\!\subset\! V, W_k\!\subset\!W$
deux
$K$%
-espaces vectoriels munis de
$k$%
-structure.
\Defn 
 Un morphisme
$f\in{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}(V, W)$
est dit {\it d{\'e}fini sur 
$k$%
\/} si 
$f(V_k)\subset W_k$%
. On note alors
$f_k\in{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}(V_k, W_k)$
le
{\it 
$k$%
-morphisme d{\'e}finissant
$f$%
.\/}
\Thc Th{\'e}or{\`e}me|
Soit
$f : V\rightarrow W$
un morphisme d{\'e}fini sur
$k$%
. Alors

$({\romannumeral1})\quad f(V)\cap W_k=f(V_k)$%
.

$({\romannumeral2})\quad%
{\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(f)=%
<{\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(f_k)>_K$%
.

En particulier 
$f$
et
$f_k$
 ont m{\^e}me rang et
m{\^e}me dimension de noyau~:
$${\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_K(f)=%
{\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_k(f_k),\quad%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_K(%
{\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(f))=%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}_k(%
{\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(f_k))$$
.
\finc
{\eightpoint
\Dem Soit
$(b_i)_{i\in I}, b_i\!\in\!V_k$
une base de
$V_k$%
. Un vecteur
$w\!\in\!W_k$
est dans 
$f(V)$%
, l'image de
$f$
si et seulement si la famille
$(w_j)_{j\in I\amalg\{w\}}, w_i\!=\!%
b_i, w_w\!=\!w\!\in\!W$
est li{\'e}e dans
$W$%
. 

Comme  famille du sous-espace
$(K, k)$%
-libre
$W_k$%
, cela arrive si et seulement si cette famille est
li{\'e}e dans
$W_k$%
,{\it c. a d.\/} si et seulement si
$w$
est dans l'image de
$f_k$%
. d'o{\`u}
$({\romannumeral1)}$%
.\hfill\carre

L'inclusion
$<\!{\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(f_k)\!>_K%
\!\subset\!{\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(f)$
{\'e}tant imm{\'e}diate, 
 il suffit\note{\eightpoint
quitte {\`a}
changer
$V, V_k$
en
$ V/\!%
<\!{\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(f_k)\!>_K,%
 V_k/%
{\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(f_k)$
et
$f_k$
en
$\overline{f_k} : V_k/%
{\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(f_k)\rightarrow W_k$%
.} de consid{\'e}rer le cas
${\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(f_k)\!=\!0$%
. Ainsi
$f_k$
est injective et, si
$(b_i)_{i\in I}, b_i\!\in\!V_k$
est une base de
$V_k$
alors la famille
$(f(b_i))_{i\in I}, f(b_i)\!\in\!W_k$
est libre dans
$W_k$
donc dans
$W$%
, puisque
$W_k$
est
$(K, k)$%
-libre dans
$W$
et
$f$
est injective.
\hfill\carre\findem
}
\Thc Corollaire|
Un syst{\`e}me lin{\'e}aire de
$m$
{\'e}quations {\`a}
$n$
inconnues {\`a} coefficients
et second membre dans un sous-corps
$k\subset K$
d'un corps
$K$
a une solution dans 
$k^n$
si et seulement si il a une solution dans
$K^n$%
. En ce cas ces ensembles de solutions sont
des classes de sous-%
$k$%
(resp. 
$K$)%
-espaces de
$k^n$%
(resp. 
$K^n$%
)
de m{\^e}me dimension.
\finc
%
%
\vskip10mm
{\eightpoint
\centerline{\eightpoint\petcap
 Commentaires bibliographiques\/}
\vskip3mm



Pour plus de d{\'e}tails voir le  \S3 de a $1^\circ$
 ({\oldstyle 1947}) {\'e}dition 
du Chap. \uppercase\expandafter{\romannumeral2} de {\bf [Bo]\/},
qui se base sur la tr{\`e}s concr{\`e}te
notion de {\it  solution primordiale\/}\note{\eightpoint
{\it c. a d.\/} solution dont l'ensemble des indices des coordonn{\'e}es 
non nulles 
est minimal et dont (au moins) une des coordonn{\'e}e vaut
$1$%
. Les r{\'e}sultat sont~:\hfill\break
{\sl L'espace des solutions est engendr{\'e} par les solutions primordiales.\/}\hfill\break
{\sl Les solutions primordiales d'un syst{\`e}me {\`a} coefficients dans 
$k\!\subset\!K$%
, sont {\`a} coefficients dans
$k$%
.
}
} %
 d'un syst{\`e}me lin{\'e}aire
homog{\`e}ne.
Notion abandonn{\'e}e dans les {\'e}ditions 
post{\'e}rieures {\`a } la trois{\`e}me qui, faisant
usage du produit tensoriel, ont un traitement 
des structures rationnelles (aux \S5 et \S8) moins {\'e}l{\'e}mentaire
qu'aux pr{\'e}c{\'e}dentes.




}

%\nsssecp Applications~:
%{\uppercase\expandafter{\romannumeral1}}
%Quelques propri{\'e}t{\'e}s des corps gauches.|

%\end


%
%\hbox{\carre\nobreak\qed}
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}
%
%{\mathop{\rm Log}\nolimits}
%
%\build{=}_{}^{\sevenrm u.c.}
%
%\build{{\mathop{\rm Lim}\nolimits}}_{z\rightarrow u}^{}

%
%\rmc {\bf Exercice 1 }|
%\finc



%\nsecp Espaces m{\'e}triques sur un corps, orthogonalit{\'e} et  isomorphisme|
%

%\nssecp Produits scalaires et espaces m{\'e}triques|
