%\input JOSEPH

%\global\sssecno=1\ssecno=4\global\secno=3
%\pageno=26


%
%\nssecp D{\'e}terminants sur un anneau commutatif 
%et applications.|
%\nsecp Espaces vectoriels et dimension.|
%\nssecp Dimension d'un espace vectoriel.|
%\nssecp Le th{\'e}or{\`e}me du rang.|
%\nssecp Application aux syst{\'e}mes lin{\'e}aires.|
%\nsssecp Syst{\`e}mes lin{\'e}aires
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}~:le langage.| 

\nsssecp Syst{\`e}mes lin{\'e}aires
\uppercase\expandafter{\romannumeral2}~:
rang du syst{\`e}me transpos{\'e}.| 
Le syst{\`e}me
$(\Sigma)$
est associ{\'e} {\`a} la matrice
$A=\pmatrix{a_{1,\, 1}&\cdots&a_{1,\, }\cr
\vdots&&\vdots\cr
a_{m,\, 1}&\cdots&a_{m,\, n}\cr
}\in{\mathop{\rm M\/}\nolimits}_{m,\, n}$%
.
{\eightpoint
\Defns Les {\it rangs de colonne\/}
(resp. {\it ligne\/}) {\it  {\`a} droite\/}
(resp. {\it gauche\/}) de
$A$
sont les dimensions~: 
$${\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_d^c(A)=%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(<c_1,\ldots, c_n>_d),\quad
{\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_s^l(A)=%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(<l_1,\ldots, l_m>_s)$$
$${\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_s^c(A)=%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(<c_1,\ldots, c_n>_s),\quad
{\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_d^l(A)=%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(<l_1,\ldots, l_m>_s)$$
des sous-espace vectoriels {\`a} droite 
(resp. {\`a} gauche) de
$K^m$
(resp. 
$K^n$%
)
engendr{\'e} par\hfill\break
 les colonnes
$c_j\!=\!(a_{1,\,j},\ldots,a_{m,\,j})^t\in K^m$
(resp. lignes
$l_i=(a_{i,\,1},\ldots,a_{i,\,n})\in K^n$%
)
.
}



\Thc Proposition|
On a les {\'e}galit{\'e}s~:
$${\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_d^c(A)=%
{\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_s^l(A),\quad
{\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_s^c(A)=%
{\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_d^l(A)$$
\finc
%
{\eightpoint
\Dem Posons
$p={\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_s^l(A)$%
. Quitte {\`a} renum{\'e}roter les lignes on peut
supposer que l'espace 
$<l_1,\ldots,l_m>_s=<l_1,\ldots, l_{p}>_s$
des lignes est engendr{\'e} par les
$p$
premi{\`e}res lignes.\hfill\break
Cette renum{\'e}rotation correspondant {\`a} un 
isomorphisme de permutation
 des coordonn{\'e}es de l'espace
$K^m$
des colonnes, ne change pas le rang {\`a} droite
${\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_d^c(A)$
de colonne.

Soit
$A_{p,\,n}\in%
{\mathop{\rm M\/}\nolimits}_{p,\,n}$
la matrice des 
$p$
premi{\`e}res lignes de
$A$%
.

Comme les autres lignes 
$\displaystyle
l_k\!=\!\sum_{i=1}^{p}c_{k,\,i}l_i, p\!<k\!\leq\!m$
sont combinaisons lin{\'e}aires
des premi{\`e}res, toute relation lin{\'e}aire
({\`a} droite)
$\displaystyle\sum_{j=1}^n a_{i\,j} x_j\!=\!0, %
 1\!\leq\!i\!\leq\!p$
entre les colonnes de
$A_{p,\, n}$
donne pour
$\displaystyle p<k\leq m,\ 
\sum_{j=1}^na_{k,\, j} x_j=\sum_{j=1}^n%
\bigl(\sum_{i=1}^{p}c_{k\, i} a_{i,\,j}\bigr) x_j=%
\sum_{i=1}^{p}c_{k\, i}\bigl(%
\sum_{j=1}^n a_{i,\,j} x_j\bigr)=0$%
, la m{\^e}me relation entre les colonnes compl{\`e}tes de
$A$%
. Ainsi puisque\note{\eightpoint
d'apr{\`e}s l'exemple de {\bf 3.2\/}.
}
${\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_d^c(A_{p,\, n})%
\leq p$
on a~:
${\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_d^c(A)\leq p=%
{\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_s^l(A)$%
.



Soit
$A^t=(a_{j,\, i})_{\matrix{1\!\leq\!j\!\leq\!n\cr
                           1\!\leq\!i\!\leq\!m\cr}}\in%
{\mathop{\rm M\/}\nolimits}_{n,\,m}$
la matrice dont les lignes (resp. colonnes)
sont les colonnes (resp. lignes) de
$A$%
. L'in{\'e}galit{\'e} pr{\'e}c{\'e}dante appliqu{\'e}e
une fois {\`a}
$A$%
, puis {\`a}
$A^t$
et au corps oppos{\'e}
$K^\circ$
donne~:
${\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_d^c(A)\leq%
{\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_s^l(A)=%
{\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_s^c(A^t)\leq%
{\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_d^l(A^t)=%
{\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_d^c(A)$%
, d'o{\`u} la premi{\`e}re {\'e}galit{\'e}
${\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_d^c(A)=%
{\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_s^l(A)$%
. La seconde suit en appliquant la premi{\`e}re
dans le corps oppos{\'e}
$K^\circ$%
.\hfill\findem
}
%
%
\Thc Corollaire|
Soit
$f : U\rightarrow V$
un morphisme entre deux espaces vectoriels
de dimension finie et
$f^\ast : V^\ast\rightarrow U^\ast$
son morphisme transpos{\'e} alors~:
$${\mathop{\rm rg\/}\nolimits}(f)=%
{\mathop{\rm rg\/}\nolimits}(f^\ast)$$
\finc
%
\rmc Remarque|
Il n'y a pas {\'e}galit{\'e} entre les quatre rangs
d'une matrice~: si
$a, b\in K, ab\ne ba$
la matrice
$A\!=\!\pmatrix{1&b\cr
        a&ab\cr}$
v{\'e}rifie\note{\eightpoint
puisque
$a\pmatrix{1&b\cr}\!=\!\pmatrix{a&ab\cr}$%
, mais 
$\pmatrix{1&b\cr}a\!=\!\pmatrix{a&ba\cr}\ne%
\pmatrix{a&ab\cr}=a\pmatrix{1&b\cr}$%
.
}~:
${\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_s^l(A)\!=\!1\!\ne2\!=\!%
{\mathop{\rm rg\/}\nolimits}_d^l(A)$%
.
\finc
\rmc Exemple|
Soit
$H=
\{z_{a, b}=\pmatrix{a&b\cr
        -\overline{b}&\overline{a}\cr} | %
 a, b\in{\bf C\/}\}\subset%
{\mathop{\rm M\/}\nolimits}_2({\bf C\/})$%
, c'est un sous-anneau non commutatif\note{\eightpoint
$a=\pmatrix{0&1\cr
            -1&0\cr}, b=\pmatrix{0&i\cr
                                i&0\cr}$ 
v{\'e}rifient
$ab=\pmatrix{i&0\cr
        0&-i\cr}=-ba\ne ab$%
.
}
qui, puisque la transconjugaison
$\sigma : \pmatrix{a&b\cr
        -\overline{b}&\overline{a}\cr}\mapsto
\pmatrix{\overline{a}&-b\cr
        \overline{b}&a\cr}$
est un anti-automorphisme\note{\eightpoint
{\it c. a d.} pour tout
$x, y\in H, \sigma(x-y)=\sigma(x)-\sigma(y)$
et
$\sigma(xy)=\sigma(y)\sigma(x)$%
.
}
v{\'e}rifiant pour tout
$z=z_{a,\, b}\in H, z\sigma(x)=|a|^2+|b|^2$%
, est un corps, le {\it corps des quaternions\/},
 l'inverse d'un {\'e}l{\'e}ment
$z=z_{a,\,b}\ne0$
non nul {\'e}tant
$z^{-1}=(|a|^2+|b|^2)^{-1}\sigma(z)$%
.
\finc
%
\vskip3mm
{\eightpoint
\centerline{\eightpoint\petcap
 Commentaires bibliographiques\/}
\vskip3mm

Corps et espaces vectoriels sont tr{\`e}s
efficacement pr{\'e}sent{\'e}s dans le chap.
\uppercase\expandafter{\romannumeral1}\note{\eightpoint
d'o{\`u} (Theorem 4) le pr{\'e}sent  {\bf 3.4.2\/}
a {\'e}t{\'e} pirat{\'e}!
} de {\bf [Ar2]}.

Pour r{\'e}soudre effectivement les syst{\'e}mes lin{\'e}aires et la
\og m{\'e}thode de Gauss sur un corps\fgf, outre C et E du
chap. \uppercase\expandafter{\romannumeral1} de {\bf [Ar2]},
voir A2 de {\bf [Ga]\/}
(en particulier l'{\'e}nonc{\'e} d'unicit{\'e} de {\bf 2.7\/}.)

Voir au \S3 du chap. 7 de {\bf [He2]\/} une preuve du th{\'e}or{\`e}me
de Fr{\"o}benius {\'e}tablissant que
{\sl le corps
$H$
de l'exemple est {\`a} isomorphisme pr{\`e}s le seul
corps non commutatif contenant les r{\'e}els comme sous-corps,
en {\'e}tant\note{\eightpoint
voir {\bf 3.5.1\/} et {\bf 3.5.2\/} ci-dessous pour
cette alg{\`e}bre lin{\'e}aire \og {\`a} plusieurs corps\fgf.
} 
de dimension
finie sur les r{\'e}els.\/}

Plus de d{\'e}tails sur matries et  espaces vectoriels
sont dans ~:

les \S14 {\`a} \S20 de {\bf [Go]\/}.

le \S3 (pour la 
$1^\circ$
 ({\oldstyle 1947}) {\'e}dition,
\S7 apr{\'e}s la  troisi{\'e}me ({\oldstyle 1959}) {\'e}dition 
du Chap. \uppercase\expandafter{\romannumeral2} de {\bf [Bo]\/}.\hfill\break
la dualit{\'e} est au \S4  (%
$1^\circ$%
) ({\oldstyle 1947}) {\'e}dition,
\S2 apr{\'e}s la troisi{\'e}me ({\oldstyle 1959})
 {\'e}dition 
du Chap. \uppercase\expandafter{\romannumeral2} de {\bf [Bo]\/}.

Kap. 4 de {\bf [vW]\/}, chap. \uppercase\expandafter{\romannumeral1}
de vol. \uppercase\expandafter{\romannumeral2} de {\bf [Ja]\/}
ou \S 5 de
chap. \uppercase\expandafter{\romannumeral3} de {\bf [Ld]}.


}

%\end
%
%\hbox{\carre\nobreak\qed}
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}
%
%{\mathop{\rm Log}\nolimits}
%
%\build{=}_{}^{\sevenrm u.c.}
%
%\build{{\mathop{\rm Lim}\nolimits}}_{z\rightarrow u}^{}

%
%\rmc {\bf Exercice 1 }|
%\finc



%\nsecp Espaces m{\'e}triques sur un corps, orthogonalit{\'e} et  isomorphisme|
%

%\nssecp Produits scalaires et espaces m{\'e}triques|
