%\input JOSEPH

%\global\sssecno=0\ssecno=3\global\secno=3
%\pageno=25


%
%\nssecp D{\'e}terminants sur un anneau commutatif 
%et applications.|
%\nsecp Espaces vectoriels et dimension.|
%\nssecp Dimension d'un espace vectoriel.|
%\nssecp Le th{\'e}or{\`e}me du rang.|


\nssecp Application aux syst{\'e}mes lin{\'e}aires.|
\nsssecp Syst{\`e}mes lin{\'e}aires
\uppercase\expandafter{\romannumeral1}~:
le langage.| 
\Defn Soit
$(v_j)_{j\in J}, v_j\in V$
une famille indic{\'e}e par un ensemble
$J$
de vecteurs d'un espace vectoriel
et
$v\in V$
un autre vecteur de
$V$%
. {\it R{\'e}soudre le syst{\`e}me lin{\'e}aire\/}
$$\sum_{j\in J}X_j v_j=v$$
consiste {\`a} d{\'e}terminer les familles
$(x_j)_{j\in J}\in K^{(J)}$
d'{\'e}l{\'e}mnents 
$x_j, j\in J$
presque tous nuls du corps
$K$
telles que l'on a l'{\'e}galit{\'e} de vecteurs
$\displaystyle\sum_{j\in J} x_j v_j=v$%
.

{\eightpoint
Avec les notations de {\bf 3.1\/}, il s'agit 
de d{\'e}terminer la pr{\'e}image de
$v$
par le  morphis\-me
${\mathop{cl_{\underline{v}}}\nolimits} :%
K^{(J)}\rightarrow V,\
\underline{\lambda}\!=\!(\lambda_i)_{j\in J}\mapsto%
{\mathop{cl_{\underline{v}}}\nolimits}%
(\underline{\lambda})\!=\!%
\sum_{j\in J}\lambda_j v_j$%
. 
C'est  l'ensemble vide si 
$v$
n'est pas dans le sous-espace engendr{\'e}
par la famille,
  une classe modulo le
sous-espace vectoriel 
${\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(%
{\mathop{cl_{\underline{v}}}\nolimits})$
de l'espace vectoriel libre
$K^{(J)}$
sur
$J$
sinon. Si
$J$
est fini et donn{\'e}, la dimension de ce noyau, selon
le th{\'e}or{\`e}me du rang
(Corollaire de {\bf 3.3\/})
d{\'e}termine
et est d{\'e}termin{\'e}e par le rang de
${\mathop{cl_{\underline{v}}}\nolimits}$%%
.
}

Hormi cette pr{\'e}sentation on se limitera au cas
o{\`u} l'espace vectoriel
$V$
est de dimension finie, puis par choix d'une de
ses bases
$(b_i)_{i=1,\ldots,m}$
{\`a}
$V=K^m$
et o{\`u} l'ensemble
$J$
est fini puis, quitte {\`a} le num{\'e}roter
$J=\{1,\ldots, n\}$%
. 

En ce cas, en {\'e}crivant les coordonn{\'e}es
des vecteurs en colonnes\hfill\break
$v_j=(a_{1,\,j},\ldots,a_{m,\,j})^t,\ %
j=1,\ldots,m; v=(b_1,\ldots, b_m)^t\in K^m$
c'est le syst{\`e}me
$$\left\{\matrix{X_1 a_{1,\, 1}&+\ldots+&X_k a_{1,\, k}&%
+\ldots+&X_n a_{1,\, n}&=&b_1\cr
\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\cr
X_1 a_{i,\, 1}&+\ldots+&X_k a_{i,\, k}&%
+\ldots+&X_n a_{i,\, n}&=&b_i\cr\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\cr
X_1 a_{m,\, 1}&+\ldots+&X_k a_{m,\, k}&%
+\ldots+&X_n a_{m,\, n}&=&b_m\cr
}\right.\leqno{(\Sigma)}$$
\Defn Le {\it rang\/} d'une famille
$\underline{v}=(v_i)_{i\in I}, v_i\in V$
est 
${\mathop{\rm rg\/}\nolimits}(\underline{v})=%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(<\underline{v}>)$%
, \hfill\break
la dimension du sous-espace engendr{\'e}.
\Thc Proposition|Le syst{\`e}me
$(\Sigma)$
a une solution si et seulement si
$${\mathop{\rm rg\/}\nolimits}(v_1,\ldots, v_n)=%
{\mathop{\rm rg\/}\nolimits}(v_1,\ldots, v_n, v)$$
Ses solutions forment alors une classe
modulo un sous-espace de dimension~:
$$n-{\mathop{\rm rg\/}\nolimits}(v_1,\ldots, v_n)$$
\finc
%
%
%\nsssecp Syst{\`e}mes lin{\'e}aires
%\uppercase\expandafter{\romannumeral2}~:
%rang du syst{\`e}me transpos{\'e}.| 


%\end
%
%\hbox{\carre\nobreak\qed}
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}
%
%{\mathop{\rm Log}\nolimits}
%
%\build{=}_{}^{\sevenrm u.c.}
%
%\build{{\mathop{\rm Lim}\nolimits}}_{z\rightarrow u}^{}

%
%\rmc {\bf Exercice 1 }|
%\finc



%\nsecp Espaces m{\'e}triques sur un corps, orthogonalit{\'e} et  isomorphisme|
%

%\nssecp Produits scalaires et espaces m{\'e}triques|
