%\input JOSEPH
%\global\sssecno=0\ssecno=2\global\secno=3
%\pageno=24



%
%\nssecp D{\'e}terminants sur un anneau commutatif 
%et applications.|
%\nsecp Espaces vectoriels et dimension.|
%\nssecp Dimension d'un espace vectoriel.|

\nssecp Le th{\'e}or{\`e}me du rang.|
\Thc Proposition|
Soit
$$0\rightarrow U%
\build{\rightarrow}_{}^{\iota}%
V%
\build{\rightarrow}_{}^{\pi}%
W\rightarrow0$$
une suite exacte courte d'espaces vectoriels.
Alors
$${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(V)=
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(U)+%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(W)$$
{\eightpoint
Plus pr{\'e}cis{\'e}ment si
$\underline{b}\!=\!(b_i)_{i\in I}, b_i\!\in\!U, 
\underline{d}\!=\!(d_j)_{j\in J}, d_j\!\in\!W$
sont des bases des espaces extr{\^e}mes 
$U, W$
de la suite exacte et si, pour
$i\!\in\!I, c_i\!=\!\iota(b_i)\!\in\!V$
et pour
$j\!\in\!J, c_j\!\in\!\pi^{-1}(d_j)\subset V$%
,\hfill\break
 la famille
$\underline{c}\!=\!(c_k)_{k\in K=I\amalg J}, c_k\!\in\!V$
est une base de l'espace central
$V$
de la suite exacte.
}
\finc
{\eightpoint
\Dem Soit
$\displaystyle\sum_{k\in K}\lambda_k c_k\!=\!0$
une relation lin{\'e}aire de la famille
$\underline{c}$%
. 

Alors, comme pour
$i\!\in\!I, \pi(c_i)\!=\!\pi(\iota(b_i))\!=\!\pi\circ\iota(b_i)\!=\!0$
et, pour
$j\!\in\!J, \pi(c_j)\!=\!d_j$%
, on a
$\displaystyle0=\pi(\sum_{k\in K}\lambda_k c_k)\!=\!%
\pi(\sum_{i\in I}\lambda_i c_i)+%
\pi(\sum_{j\in J}\lambda_j b_j)=%
\sum_{i\in I}\lambda_i \pi(c_i)+%
\sum_{j\in J}\lambda_j \pi(c_j)\!=\!%
\sum_{j\in J}\lambda_j d_j$
et donc,\hfill\break
 puisque
$\underline{d}$
est libre pour
$j\!\in\!J$
on a 
$\lambda_j\!=\!0$%
. Ainsi
$\displaystyle
0\!=\!\sum_{i\in I}\lambda_i c_i\!=\!%
\sum_{i\in I}\lambda_i \iota(b_i)\!=\!%
\iota\bigl(\sum_{i\in I}\lambda_i b_i\bigr)$
et, puisque
$\iota$
est injective
$\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_i b_i\!=\!0$%
, d'o{\`u} puisque
$\underline{b}$
est libre, pour tout
$i\!\in\!I, \lambda_i\!=\!0$%
.

Ainsi pour tout
$k\!\in\!K\!=\!I\amalg J, \lambda_k\!=\!0$
et la famille
$\underline{c}$
est libre.\hfill\carre

Soit
$v\!\in\!V$ un vecteur de l'espace central.
Comme la famille
$\underline{d}$
est g{\'e}n{\'e}ratrice il y a 
$(\lambda_j)_{j\in J}\!\in\!K^{(J)}$
telle que
$\displaystyle\pi(v)\!=\!\sum_{j\in J}\lambda_j d_j$%,
donc le vecteur
$\displaystyle v'\!=\!v-\sum_{j\in J}\lambda_j c_j$%
, satisfaisant {\`a}~:\hfill\break
$\displaystyle\pi(v')\!=\!%
\pi(v)-\sum_{j\in J}\lambda_j \pi(c_j)\!=\!%
\pi(v)-\sum_{j\in J}\lambda_j d_j\!=\!0$
est dans le noyau
${\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(\pi)\!=\!%
{\mathop{\rm Im\/}\nolimits}(\iota)$
et donc il y a
$u\!\in\!U$
tel que
$\iota(u)\!=\!v'$%
. Comme la famille
$\underline{b}$
est g{\'e}n{\'e}ratrice, il y a
$(\lambda_i)_{i\in I}\!\in\!K^{(I)}$
telle que
$\displaystyle u\!=\!\sum_{i\in I}\lambda_i b_i$%
, donc
$\displaystyle v'\!=\!\iota(u)\!=\!%
\sum_{i\in I}\lambda_i \iota(b_i)\!=\!%
\sum_{i\in I}\lambda_i c_i$%
. 

Ainsi
$\displaystyle v\!=\!v'+\sum_{j\in J}\lambda_j c_j\!=\!%
\sum_{k\in I\amalg J}\lambda_j c_j$
et la famille
$\underline{c}$
est aussi g{\'e}n{\'e}ratrice.\hfill\carre\findem
}
\Thc Corollaire|
Soit
$f : V\rightarrow W$
un morphisme d'espaces vectoriels. Alors~:
$${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(V)=%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(%
{\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(f))+
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(%
{\mathop{\rm Im\/}\nolimits}(f))$$
\finc
{\eightpoint
\Dem La suite
$0\rightarrow{\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(f)%
\build{\rightarrow}_{}^{\subset}V%
\build{\rightarrow}_{}^{\overline{f}}%
{\mathop{\rm Im\/}\nolimits}(f)%
\rightarrow0$
est exacte.\hfill\findem
}
\Defn Le {\it rang\/} d'une application lin{\'e}aire
est la dimension de son image~:
$${\mathop{\rm rg\/}\nolimits}(f)=%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(%
{\mathop{\rm Im\/}\nolimits}(f))$$

%
%

%\nssecp Application aux syst{\'e}mes lin{\'e}aires.|
%\nsssecp Syst{\`e}mes lin{\'e}aires
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}~:
%le langage.| 


%\end
%
%\hbox{\carre\nobreak\qed}
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}
%
%{\mathop{\rm Log}\nolimits}
%
%\build{=}_{}^{\sevenrm u.c.}
%
%\build{{\mathop{\rm Lim}\nolimits}}_{z\rightarrow u}^{}

%
%\rmc {\bf Exercice 1 }|
%\finc



%\nsecp Espaces m{\'e}triques sur un corps, orthogonalit{\'e} et  isomorphisme|
%

%\nssecp Produits scalaires et espaces m{\'e}triques|
